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《机械工程测试技术》教案01信号及其描述
第一章信号及其描述教学重点：1、周期信号与离散频谱2、瞬变非周期信号与连续频谱§1－1信号的分类与描述一、信号的分类（一）确定性信号与随机信号1、确定性信号:可以用明确的数学关系来描述的信号（可确定任何时刻的信号值）1）周期信号：按一定间隔（周期）重复出现，无始无终的信号，可表示为：x（t）＝x（t＋nT）n＝1，2，3，…T为周期2）非周期信号：可用明确的数学式描述，但变化无周期的信号3）准周期信号：由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量的频率不成整数比，故无法找到公共周期，因而无法按一定的时间间隔重复出现。
2、随机信号：不能准确地预测其未来值，也无法用数学关系式来描述的信号,但其值的变动服从某些统计规律，可以用统计方法预测未来值。
如：幅值的均值、分散范围等。
（二）连续信号和离散信号以独立变量（时间变量t）的取值是否连续来划分（三）能量信号和功率信号二、信号的时域描述和频域描述1、信号的时域描述1）以时间为独立变量的信号，直接观测记录到的信号，连续信号。
2）信号的时域描述，包含有信号的全部信息量。
2、信号的频域描述1）以频率为独立变量表示的信号。
2）周期信号可以表示为频率成整数比的简谐信号的叠加。
3）周期方波的时域图形、幅频谱和相频谱三者之间的关系：频谱：将组成信号的各频率成分（简谐分量）找出来，按频率大小的次序排列，称为频谱（幅频图和相频图）频谱分析：将信号的时域描述通过适当的方法，变成信号的频域描述过程。
时域描述与频域描述的联系：两者都包含了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点。
§1-2周期信号与离散频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式任何一个周期信号x(t)，可以用三角级数表示（周期为T0）：二、周期信号的指数傅里叶级数利用欧拉公式，将周期信号的三角傅里叶级数变换为指数傅里叶级数复指数形式的频谱为双边谱三角函数形式的频谱为单边谱三.周期信号频谱的特点周期信号的频谱具有三个特点：1）周期信号的频谱是离散的。
传感器与测试技术第2章 信号及其描述
1
a0 T0
T0 2 x t dt
T0 2
an
2 T0
T0 2 x t
T0 2
cosn0tdt
周期
T0
信号的 角频率
正弦分量幅值
bn
2 T0
T0 2 x t
T0 2
sinn0tdt
0
2.2.2 周期信号的频域分析
傅里叶级数的三角函数展开式
x满t足狄 里a 赫0利 条件的周a期nc 信o 号s，n 可看0tbnsinn0t 作是由多个乃至n 无 1 穷多个不同频率的 简谐信号线性叠加而成
2．连续信号和离散信号
信号的幅值也可以分为连续和离散的两种，若信号的幅 值和独立变量均连续，称为模拟信号；若信号的幅值和独立 变量均离散，称为数字信号，计算机所使用的信号都是数字 信号。
综上，按照信号幅值与独立变量的连续性可分类如下所 示：
信号离 连散 续信 信号 号一 数 一 模般 字 般 拟离 信 连 信散 号 续 号信 (信 (信 信 号 号 号 号 ((独 的 独 的立 幅 立 幅变 值 变 值量 与 量 与离 独 连 独散 立 续 立)变 )变量 量均 均离 连散 续))
2.2.2 周期信号的频域分析
实例分析
双边幅频谱和相频谱分别为
cnnar2cA n tan-2nA0n1,3, 52,
实频谱和虚频谱分别为
2
n1,3,5,
n1,3,5,
R e cn 0
Im
cn
2A n
2.2.2 周期信号的频域分析
实例分析
周期方波的实、虚频谱和复频谱图
2.2.2 周期信号的频域分析
周期信号的强度描述常以峰值、峰-峰值、均 值、绝对均值、均方值和有效值来表示，它 确定测量系统的动态范围。 周期信号强度描述的几何含义如图2-7所示
信号及其描述
1 X( ) 2
j t x ( t ) e dt （1－26）
x( t ) X ( )e jt d
（1－27）
在数学上，称X(ω)为x(t)的傅里叶变换， x(t)为X(ω)的傅里叶逆变换，记为
FT x( t ) X( )
X ( ) IFT x( t )
以ω为独立变量，此式即为该周期方波的频域描述。 在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出，按序 排列，得出信号的“频谱”。 若以频率为横坐标、分别以幅值或相位为纵坐标，便 分别得到信号的幅频谱和相频谱。图1－5。
表1－1的说明: 每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱， 因此，在频域中每个信号都需要同时用幅 频谱和相频谱描述才是完整的。
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。 • 周期信号：
定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0) 式中，T0——周期。
• 非周期信号：
–定义：不具有周期重复性的确定性信号。 –非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。
非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周 期信号两类。
–准周期信号：由多个具有不成比例周期的正 弦波之和形成，或者称组成信号的正（余） 弦信号的频率比不是有理数 。 –瞬变非周期信号：或在一定时间内存在，或 随着时间的增长而衰减至零的信号。
三种瞬变非周期信号
x(t)—矩形脉冲信号；
y(t)－衰减指数脉冲信号；
z(t)－正弦脉冲；
2、连续信号和离散信号 • 分类依据：
–自变量（即时间t）是连续的还是离散的 。 –信号的幅值是连续的还是离散的 ；
• 连续信号：
–自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 ； –自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化信 号。
1第一章 信号及其描述 工程测试
4A 1 1 x t sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t 3 5 4A 1 sin n 0 t n1 n 2 n 1,3 ,5 式中 0 T0
工程测试技术与信息处理
第1 章
第一节
信号的分类与描述
1.1 信号的分类与描述
信号的分类主要是依据信号波形特征来 划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波 形的概念。
1.1 信号的分类与描述
信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为 信号的波形
1.1 信号的分类与描述
1.1 信号的分类与描述
（1—14a）
（1—14b)
c0 a0
（1—14c）
x(t ) c0 c n e
n 1
jn0t
cn e
n 1
jn0t
x(t )
n
cn e jn0t （n=0，±1，±2…） （1—15）
1 T2 式中 cn T x t e jn t dt T0 2
为了深入的了解信号的物理实质，将其进行分类研 究是十分有必要的，从不同角度观察信号，可分为：
1 从信号描述上分为 --确定性信号和非确定信号
2 从连续性上分为
--连续信号和离散信号 3 从信号的幅值和能量上分为 --能量信号和功率信号
1.1 信号的分类与描述
1.1.1确定性信号与随机信号
可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。 不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号（随机信号）
例1-1
求下图中周期性三角波的傅里叶级数。
解：由图可得x（t）在一个周期中的表达式为：
信号与系统第2章信号描述及其分析1
图2.2.3 谐波逐次叠加后的图形 (a)1次 (b)1,3次 (c)1,3,5次
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第2章 信号描述及其分析
(2) 从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的频谱 衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分组成，而 方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时域波形上，表 现为含高频成分多的时域波形(方波)的变化比含高频成分少的时 域波形(三角波)的变化要剧烈得多。因此，可根据时域波形变化 剧烈程度，大概判断它的频谱成分。
本节小结 本节主要介绍了信号的分类。由于不同类型的信号其处 理方法不同，所以必须善于区分不同类型的信号。
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第2章 信号描述及其分析
§2 周期信号与离散频谱
信号的时域描述与时域分析 本课程所研究的信号 一般是随时间变化的物理量，抽象为以时间为自变量表达 的函数，称为信号的时域描述。求取信号幅值的特征参数 以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的 时域分析。时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反 映信号的幅值随时间变化的特征，而不能明显表示出信号 的频率构成。因此必须研究信号中蕴涵的频率结构和各频 率成分的幅值、相位关系。
本章重点及难点 本章重点为信号的分析，其中信号频
谱的求取为主要内容。难点为傅里叶变换。
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第2章 信号描述及其分析
首先应清楚如下三个方面：
信号与信息 信号与信息并非同一概念。 信号分析和信号处理 信号分析和信号处理并没有明确的界 限，通常把研究信号的构成和特征称为信号分析，把信号经过 必要的变换以获得所需信息的过程称为信号处理。 对信号进行分析与处理的原因 在一般情况下，仅通过对信 号波形的直接观察，很难获取所需要的信息，需要对信号进行 必要的分析和处理。
测试技术-第一章 信号及其描述
2014-4-23
《测试技术》讲义
6
2014-4-23
《测试技术》讲义
7
能量信号和功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。显然，电压信号加到电阻R上， 其瞬时功率 P(t ) x 2 (t ) / R 。当R=1 时， P(t ) x 2 (t ) 。瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号 实际的量纲，而把信号的平方及其对时间的积分 分别称为信号的功率和能量。当 x(t ) 满足 2 x (1—4) (t )dt 时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量 有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰 减指数函数等。
2014-4-23 《测试技术》讲义 5
连续信号和离散信号
连续信号：若信号数学表示式中的独立变量取值 是连续的 (图1—3a)。 离散信号：若独立变量取离散值。图1-3b是将 连续信号等时距采样后的结果，就是离散信号。 离散信号可用离散图形表示，或用数字序列表示。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信 号。 若离散信号的幅值也是离散的．则称为数字信号。 数字计算机的输入、输出信号都是数字信号。
，
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数 函数形式后，可分别以 cn 和 n 作幅 频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实 部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别 称为实频谱图和虚频谱图(参阅例1—2)。 比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复 指数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到 +∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0 到+∞)；两种频谱各谐波幅值在量值上有 A c c0 a0 。双边幅频谱 确定的关系， 2 ， 为偶函数，双边相频谱为奇函数。
机械工程测试技术基础段富海-第一章 信号及其描述
x(t)sintsin 2t
2 2
1
x(t) 0
1
1.993 2 0 0
20
40
60
t
60
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第一节 信号的分类与描述
瞬变非周期信号是一些或在一定时间区间内存 在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。
x(t)x0 e tsin 0 t (0)
2.连续信号和离散信号
若信号数学表示式中的独立变量取值是连续 的，则成为连续信号，否则是离散信号。
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第一节 信号的分类与描述
若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟 信号。
若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信 号。
T0
t0
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第二节 周期信号与离散频谱
S4:周期性三角波的傅立叶级数：
x(t)A 24A 2 cos0t312co3 s0t512co5 s0t.
..
第一节 信号的分类与描述
例：集中参量的单自由度系统做无阻尼自由振动
x(t) x0 sin
kt m
0
T0 2/ k m
0
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第一节 信号的分类与描述
复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率 的正弦信号迭加而成。
PAGE: 1
机械工程测试技术基础-简答题
一、 信号及其描述1、周期信号频谱的特点：①离散性——周期信号的频谱是离散的；②谐波性——每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；③收敛性——谐波分量的幅值按各自不同的规律收敛。
2、傅里叶变换的性质：奇偶虚实性、对称性、线性叠加性、时间尺度改变特性、时移和频移特性、卷积特性、积分和微分特性。
3、非周期信号频谱的特点：①非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，包含了从零到无穷大的所有频率分量；②非周期信号的频谱是连续的；③非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位；④非周期信号频域描述的数学基础是傅里叶变换。
二、测试装置的基本特性1、测量装置的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量装置与理想时不变线性系统的接近程度。
线性度——测量装置输入、输出之间的关系与理想比例关系的偏离程度。
灵敏度——单位输入变化所引起的输出变化。
回程误差——描述测量装置同输入变化方向有关的输出特性，在整个测量范围内，最大的差值称为回程误差。
分辨力——能引起输出量发生变化的最小输入量。
零点漂移——测量装置的输出零点偏离原始零点的距离，它是可以随时间缓慢变化的量。
灵敏度漂移——由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系的变化。
2、传递函数的特点：①()s H 与输入()t x 及系统的初始状态无关，它只表达系统的传输特性；②()s H 是对物理系统的微分描述，只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构；③对于实际的物理系统，输入()t x 和输出()t y 都具备各自的量纲；④()s H 中的分母取决于系统的结构。
3、一阶测试系统和二阶测试系统主要涉及哪些动态特性参数，动态特性参数的取值对系统性能有何影响？一般采用怎样的取值原则？ 答：测试系统的动态性能指标：一阶系统的参数是时间常数τ；二阶系统的参数是固有频率n ω和阻尼比ξ。
对系统的影响：一阶系统的时间常数τ值越小，系统的工作频率范围越大，响应速度越快。
信号及其分类
x(t t0 )
可见：
x(t) 和 函数的卷积的结果，就是在发生 函数的坐标
位置上（以此作为坐标原点）简单地将 x(t) 重新构图
4. (t)的频谱
第一章 信号及其描述
第一节 信号的分类与描述 一、信号的分类：
一、信号的分类： （一）确定性信号：确定函数x(t)或表格表示
周期信号: x（t）=x (t+nT０) （n=1,2,3,…….）
x(t) x0 sin(
k m
t
0
)
0
2 T0
k m
非周期信号：
准周期信号，例：sin t sin 2t
arctg cni cnR
注意：cn 与 cn 共轭，即：cn c*n
频谱图：cn w n w
cnR w 实频谱 cni w 虚频谱
n n
实偶虚奇 模偶相奇
复指数函数的频谱： 双边谱 三角函数的频谱： 单边谱
cn
1 2
An
c0 a0
负频谱率的理解 ：
(t)dt lim
0
S (t)dt 1
(t)
,t 0 0,t 0
2．采样性质 (t) f (t)dt (t) f (0)dt
f (0) (t)dt f (0)
对于有时延 t0
T0
x(t)e jn0tdt
2
1
x(t) ( T n 0
T0 2
T0
x(t)e
jn0t dt)e jn0t
2
第二讲 信号分类及其描述
• 随机过程是指变化过程没有确定的变化形式，没有必然的 确定性变化规律，亦即不能用确定的函数加以描述，但具有 一定的统计规律。这样的变化过程就叫随机过程。随机过程 可分为平稳随机过程和非平稳随机过程. • 对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本 函数，记作x(t)，如图2一18所示。在有限时间区间上的样本 函数称为样本记录。在同一试验条件下，全部样本函数的集 合(总体)称为随机过程。通常随机过程用大写字母如X( t)或 {x( t ) }来表示，它的样本函数用xi( t ), x2( t ),…来表示，即
2.掌握信号时域波形分析方法
3.掌握信号频域频谱分析方法
2.1 信号的分类与描述
1 从信号描述上分 --确定性信号与非确定性信号； 2 从信号的幅值和能量上 --能量信号与功率信号； 3 从分析域上 --时域与频域；
4 从连续性 --连续时间信号与离散时间信号；
5 从可实现性 --物理可实现信号与物理不可实现信号。
c) 非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相 位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。 非确定性信号根据是否能满足平稳随机过程的条件， 又可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。
2.1 信号的分类与描述
2 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（ -∞，∞），能量为有限 值的信号称为能量信号，满足条件：
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非周期信号与连续频谱
X ( ) x(t )e jt dt
傅里叶变换对 :
1 x(t ) 2
X ( )e jt d
频谱特点：其频谱是连续的，它是由无限多个、 频率无限接近的频率成分所组成。谱线幅值在 各频率上趋于无穷小。
2.掌握信号时域波形分析方法
3.掌握信号频域频谱分析方法
2.1 信号的分类与描述
1 从信号描述上分 --确定性信号与非确定性信号； 2 从信号的幅值和能量上 --能量信号与功率信号； 3 从分析域上 --时域与频域；
4 从连续性 --连续时间信号与离散时间信号；
5 从可实现性 --物理可实现信号与物理不可实现信号。
c) 非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相 位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。 非确定性信号根据是否能满足平稳随机过程的条件， 又可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。
2.1 信号的分类与描述
2 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（ -∞，∞），能量为有限 值的信号称为能量信号，满足条件：
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非周期信号与连续频谱
X ( ) x(t )e jt dt
傅里叶变换对 :
1 x(t ) 2
X ( )e jt d
频谱特点：其频谱是连续的，它是由无限多个、 频率无限接近的频率成分所组成。谱线幅值在 各频率上趋于无穷小。
2.3-1 信号及其描述-瞬变非周期信号分析
lim x ( t ) =
T0 → ∞
lim ∑ T →∞
0
∞
n = −∞ ∞
C n e j nω 0 t
傅里叶变换系数
傅里 叶变 换的 指数 形式
1 T0 2 j nω 0 t − j nω 0 t x (t ) e dt e = lim ∑ ∫ − T0 2 T0 → ∞ n = −∞ T 0 ∞ d ω ∞ x ( t ) e − jω t dt e jω t ⇒ ∫ −∞ 2 π ∫ −∞ X (ω) 1 ∞ ∞ x ( t ) e − jω t dt e jω t d ω x(t ) = 2π ∫−∞ ∫−∞
x(t ) = sin(t ) + sin( 2t )
只有两个频率成分，具有离散频谱 离散频谱， 只有两个频率成分， 具有 离散频谱 ，但不是周期 准周期信号。 信号，故称为准周期信号 信号，故称为准周期信号。 → 准周期信号的频谱分析可以参照周期信号 的分析方法。 的分析方法。
第一章 信号分析基础
第一章 信号分析基础
华中科技大学机械学院
测试技术与信号处理
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
周期信号的频谱具有离散性 并且各谐波分量 周期信号的频谱具有 离散性并且各谐波分量 离散性 的频率具有一个公约数——基频 公约数——基频。 的频率具有一个 公约数 —— 基频 。 但几个简谐信 号的叠加，不一定是周期信号， 准周期信号— 号的叠加， 不一定是周期信号 ， 如 准周期信号— 由两个以上周期信号合成， — 由两个以上周期信号合成， 但各信号频率不成 公倍数。 公倍数。 如：
jω t x(t ) = 1 X (ω )e d ω 2π ∫−∞ ∞ − jω t X (ω ) = ∫ x(t )e dt −∞ ∞
信号及其描述
法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。
例如 x(t) sin t sin 是2t两个正弦信号的合成，其频率比 有理数，不成谐波关系。
1 /，2 不1/ 是2
瞬变非周期信号——在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至 零的信号。
如有阻尼振动系统的位移信号、用锤子敲击 物体时的敲击力信号。图2-4是后者的波形， 其数学表达式为式
c0 a0
cn
1 2
(an
jbn ), cn
1 2
(an
jbn )
cn
cn
1 2
An
1 2
a2n b2n
负频率说明
主要原因角速度
按其旋转方向可
Im
A
以为正或负，一
个向量的实部可
以看成为两个旋
转方向相反的矢
0
Re 量在其实轴上投
影之和，而虚部
则为虚轴上投影
之差。
第二节 周期信号与离散频谱
二、 傅里叶级数的复指数函数展开式
信号时域波形
信号频域幅频谱
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅里叶级数的三角函数展开式
在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开称傅里叶级数。 周期性三角函数（如图1-6所示）
图1-6
14
傅立叶级数——任何周期信号在有限区间上，当其满足狄里赫来 条件时，都可展开成一系列正交函数的线性组合的无穷级数。 傅立叶级数有多种形式 三角展开式、复指数展开式是常见的形 式 傅立叶级数三角展开式
x(t)=x(t+nT0)
(n=0,1，2，…)
离散性的周期信号可表示为
x(n)=x(n+mk)
(m=0, 1,2,…)
信号与系统的基本概念
1 g (t)
lim
0
g (t)
(t)
+ t=0
1V
2
0
2
t
-
C=1F
3.复指数信号
est s j 为复数，称复频率
⑴当 s 0 时，e st 1，为直流信号 ⑵当 0 时，e st et，为单调增长或衰减的
实指数信号
⑶当 0 时，est e jt cost j sin t
解：对信号 f1(t)，有
E lim
T (e2 t )2dt
0
e4tdt
e4tdt 2
4t
e dt
1
T T
0
0
2
P0 所以该信号为能量信号。
对信号 f2 (t) 有
T
E lim (e2t )2dt T T lim 1 e4T e4T T 4
f 2 (t) e2t
连续时间信号： 除若干个不连续点外，
其它时刻都有定义 ，通常
用 f (t) 表示。
f (t)
0
t
离散时间信号：
仅在离散时刻有定义， 通常用 f (tk ), f (kT), f (k) 表示。
…
…
t3
t-1 0 t1 t2
t4
tk
3 .周期信号和非周期信号 周期信号：
…
…
0
(每隔一定时间重复出现且无始无终)
系统的模型是实际系统的近似化和理想化。一般来 说，系统输入和输出之间的关系常用微分方程表示：
y(n)(t) an1y(n1)(t) a1y'(t) a0 y bmx(m)(t) bm1x(m1)(t) b1x'(t) b0x(t)
也可以用一个方框图表示系统：
机电工程测试与信号分析 第二章 信号及其描述
量；绝对均值是信号经过全波整流后的均
值。
x
1 T
T
x(t)dt
0
x
1 T
T 0
x(t) dt
A
0
t
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直 流分量。
三、周期信号的强度描述（2）
3、有效值和平均功率：有效值是信号的均 方根值，它反映信号的功率大小。有效值的 平方就是信号的平均功率，即信号的均方值 E[x2(t)]，表达了信号的强度。
2 从信号的幅值和能量上 --能量信号与功率信号；
能量信号：能量有限，功率为零
功率信号：能量无限，功率有限
P
1
t2
x2 (t)dt
t2 t1 t1
例
x1(t) e2 t
E lim T (e2 t )2 dt 0 e4tdt e4tdt 1
T T
0
2
p0
所以，x1(t)为能量信号
信号频域分析是采用傅立叶级数或傅立叶变换将时域信 号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来 了解信号的特征。
傅里叶级 数或傅立
叶变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
频域分析的概念
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
电子琴
频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
2 T 2
x(t
)
sin
n0tdt
0
n 1,2,3,4,67, ,8,9,11,
例a、求图中周期性三角波信号的 x(t
)
A
2A T0
t
,
t
1.2-信号的描述、分类和典型示例
由此可知，连续信号是指它的 时间变量 t 是连续的，因此也称 为连续时间信号
O
t1
t
连续信号又称为模拟信号
②离散信号： 信号只在规定的离散时刻点才有值。
f (t )
f(t)只在0、 t1 、 t2等离散时刻点 有函数值，是离散信号
由此可知，离散信号是指它的 时间变量 t 取离散值，所以也 称为离散时间信号
4.Sa(t)信号(抽样信号)
1
Sat
sin t 表达式：Sa(t ) t 性质
2π
① Sa t Sa t ，偶函数 t) 1 ② t 0，Sa(t ) 1，即 limSa( t 0 ③ Sa(t ) 0，t nπ，n 1, 2,3
t ) 0，衰减信号 ④ tlimSa(
本课程主要讨论 确定信号 先连续，后离散； 先周期，后非周期。
即：非周期信号可视为周期为无限长的周期信号
三、典型连续信号
1.指数信号 表达式： f (t ) Keat K为常数，表示信号 在t =0点的初始值 a为实数，其绝对值 |a| 反映 信号增长或衰减的速率
1 令 |a|
f(t)
πO
π
t
3π
⑤ 0 ⑥ sinc(t ) sin π t π t
sin t π dt , t 2
sin t t d t π
5.钟形信号(高斯函数)
表达式：
f (t ) Ee
t
2
f t
E
0.78 E
( t )
e jt cos t jsin t e-jt cos t jsin t
1 jt -jt 所以有： sin t (e e ) 2j 1 jt -jt cos t (e e ) 2
O
t1
t
连续信号又称为模拟信号
②离散信号： 信号只在规定的离散时刻点才有值。
f (t )
f(t)只在0、 t1 、 t2等离散时刻点 有函数值，是离散信号
由此可知，离散信号是指它的 时间变量 t 取离散值，所以也 称为离散时间信号
4.Sa(t)信号(抽样信号)
1
Sat
sin t 表达式：Sa(t ) t 性质
2π
① Sa t Sa t ，偶函数 t) 1 ② t 0，Sa(t ) 1，即 limSa( t 0 ③ Sa(t ) 0，t nπ，n 1, 2,3
t ) 0，衰减信号 ④ tlimSa(
本课程主要讨论 确定信号 先连续，后离散； 先周期，后非周期。
即：非周期信号可视为周期为无限长的周期信号
三、典型连续信号
1.指数信号 表达式： f (t ) Keat K为常数，表示信号 在t =0点的初始值 a为实数，其绝对值 |a| 反映 信号增长或衰减的速率
1 令 |a|
f(t)
πO
π
t
3π
⑤ 0 ⑥ sinc(t ) sin π t π t
sin t π dt , t 2
sin t t d t π
5.钟形信号(高斯函数)
表达式：
f (t ) Ee
t
2
f t
E
0.78 E
( t )
e jt cos t jsin t e-jt cos t jsin t
1 jt -jt 所以有： sin t (e e ) 2j 1 jt -jt cos t (e e ) 2
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747
Hale Waihona Puke 矩形窗函数的幅值频谱为矩形窗函数的相位频谱视符号
而定。当
为正值时相角为零，当
为负值时相角为π。
848
•1.3.2傅立叶变换的主要性质
• 傅立叶变换构建了信号时域描述和频域描述的 对应关系，熟悉傅立叶变换的主要性质，有助于了 解信号在某个域的变化和运算在另一个域中产生何 种相应的变换和运算关系，最终有助于对复杂工程 问题的分析和简化计算。
•简单周期信号 •复杂周期信号
•准周期信号
•瞬态信 号
•非平稳随机信号
66
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号
•x••(t•)
b) x ( t ) = x ( t + nT )
•A
•m
•简单周期信 号
•k
•复杂周期信 号
77
•b) 非周期信号：再不会重复出现的信号。 •准周期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率 比不是有理数。
333
434
535
•第1章 信号及其描述
•表1-2 几种典型周期信号上述各值之间的数量关系
636
1.3瞬变非周期信号与连续频谱
•概述：
• 非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号，其 频谱各有独自的特点。
• 周期信号可展开成许多乃至无限项简谐信号之和， 其频谱具有离散性，且诸简谐分量之间的频率具有一个 公约数——基频。
•特性： •（1）乘积性
•（2）积分性
•（3）卷积性
•（4）傅氏变换
272
根据傅里叶变换的对称性、时移性、频移性，可以 得到下列傅里叶变换对(p35)：
（1-55）
373
3. 正、余弦函数的频谱密度函数 4. 因为正、余弦函数不满足绝对可积条件，所以不
能直接进行傅里叶变换。解决的办法是：在傅里 叶变换时引入 函数。 5. 根据欧拉公式，正、余弦函数可以写成
929
•第1章 信号及其描述
030
•说明：周期信号的频谱具有如下三个特点： •①周期信号的频谱是离散的。 •②每条谱线只出现在基波频率的整倍数上， • 基波频率是各分量频率的公约数。 •③各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值 • 或相位角。工程中常见的周期信号，其谐 • 波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减 • 小的。因此，在频谱分析中没必要取那些 • 次数过高的谐波分量。
成分
称为n次谐波。
222
•例1-1 P9 求图1-6中周期性三角波的傅里叶级
数
323
1.2.2傅里叶级数的复指数函数形式 根据欧拉公式有：
（1-10，11，12）
424
1.2.2 傅里叶级数的复指数函数形式
因此式（1-7）可改写为：
令
则
（1-13，14，15）
525
1.2.2傅里叶级数的复指数函数形式
• •（1-25，26，27）
343
444
•而周期函数的傅立叶系数Cn反映的是 •对应频率成分幅值的大小
545
•例1-3 求矩形窗函数的频谱。
646
•引用式(1-12)稍作修改,有
•代入上式得
(1-
33)
•Sincθ以2π为周期并随θ的增加而做衰减震荡，是偶 函数，在nπ（n=±1，±2… ）处其值为零。
是周期信号。但这种信号有离散频谱，故称为准周
期信号。多个独立振源激励起某对象的振动往往是
这类信号。
838
•通常所说的非周期信号是指 瞬变非周期信号。常见的此 类信号如图1-11所示。 •图1-11a为矩形脉冲信号 ，图1-11b为指数衰减信号 ，图1-11c为衰减震荡， •图1-11d为单一脉冲。 • 下面讨论这种非周期信号 的傅立叶变换及其频谱。
信号及其描述修改
22
•机械工程测试技术基础
•第1章 信号及其描述
• 1.1 信号的分类与描述 • 1.2 周期信号与离散频谱
• 1.3 瞬变非周期信号与连续频谱 • 1.4 随机信号
33
•第1章 信号及其描述
1.0 概述
在生产实践和科学试验中，需要观察大量的 现象及其参量的变化。
这些变化量可以通过测量装置变成容易测量 、记录和分析的电信号。
•a)能量信号 • 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号 称为能量信号，满足条件：
•一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号 。
•瞬态信号
212
在测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。当电压信号x(t)加到R=1的 电阻上，其瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量（p19）。
一个信号中包含着被测系统的某些有用信息 ，这些信息反映被测系统的状态或特性，它 是人们认识客观事物内在规律、研究事物之 间的相互关系、预测未来发展趋势的依据。
44
•1.1 信号的分类与描述
• 为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是 非常必要的，从不同角度观察信号，可以将其分为：
•1 按信号随时间的变化特征分类 •--确定性信号与随机信号；
• 但是，几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。 也就是说，具有离散频谱的信号不一定是周期信号。只 有各个简谐成分的频率比是有理数时，它们才能在某个 时间间隔后周而复始，合成后的信号才是周期信号。
737
• 如果各个简谐成分的频率比不是有理数，例
如
,各个简谐成分在合成以后，
不可能经过某一时间间隔后重演，其合成信号就不
•④ 时移和频移特性 •（1-40，41）
• •证明略。
757
•时移特性表明： • 将信号在时域中平移，则其幅频谱不变， 相频谱中相角的改变量与频率成正比，例（ 表1-1）：
•频移特性表明： • 如果频谱函数在频域中平移f0，则其代表 的信号波形将与频率为f0的正、余弦信号相 乘，即进行了调制。
858
（1-7，8，9）
020
121
• 周期信号是由一个或几个、甚至无穷多
个不同频率的谐波叠加而成的，以频率为
横坐标，以幅值和相角为纵坐标作图，则
分别得到幅频谱图和相频谱图，由于n是
整数序列，各频率成分都是w0的整倍数，
相邻频率的间△w=w0=2π/T0，因而谱
线是离散的。通常，把w0成为基频，并把
515
616
信号的频谱：将组成信号的各频率成分按序 排列，以频率为横坐标，分别以幅值和相位为 纵坐标，便分别得到信号的幅频谱和相频谱。 信号时域描述直观地反映信号瞬时值随时间 变化的情况；频域描述则反映信号的频率组成 及其幅值、相角之大小。它们是从两个侧面， 观察事物本质特征的两种不同方法，两种描述 方法能相互转换，而且包含同样的信息量。
•2 按信号幅值随时间变化的连续性分类 •--连续信号与离散信号
•3 按信号的能量特征分类 •--能量信号与功率信号；
55
•1 确定性信号与随机信号
•确定性信号：可用明确数学关系式描述的信号。 •随机信号：不能用数学关系式描述的信号。
•信 号
•确定 性信号
•随机 •信号
•周期信 号
•非周期信号 •平稳随机信号
474
应用式（1-55），可以认为，正、余弦函数是把频 域中的两个 函数向不同方向平移后，它们的差或 和的傅里叶逆变换。即：
（1-56，57）
正、余弦函数及其频谱如下图1-19所示。
575
676
•4. 周期单位脉冲序列的频谱
777
878
•其频谱如图1-20所示，
979
第4节 随机信号
•1.4.1 概述
717
例如：表1-1为两个周期方波的二维频谱图， 注意：幅频相同，但相频不同。
818
1.2 周期信号和离散频谱 狄里赫利条件： 1.函数在一周期内极大值与极小值为有限 个 2.函数在一周期内间断点为有限个 3.函数在一周期内函数绝对值积分为有限 值
即
919
1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式
939
1.3.1 傅立叶变换
周期信号，当周期T→∞时，变成非周期信号， 这时就不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各 频率成分的比例关系还是存在的，因此我们还希 望研究信号的频率成分，这就需要借助于另外一 种数学方法――傅立叶变换。
040
141
242
•于是，
•由于时间t是积分 变量，故积分之后 仅是w的函数。
将式（1-8）带入式（1-14），并令
即得： ）
（1-16
一般情况下， 是复数，可以写成 ）
（1-17
式中 ）
（1-18，19
626
727
828
•例1-2 画出余弦、正弦函数的实、虚频谱图。 •解：根据欧拉公式（1-11，12），余弦函数只 有实频谱图，与纵轴偶对称。正弦函数只有虚频 谱图，与纵轴奇对称。 •一般周期函数按傅里叶级数的复指数函数形式展 开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是奇 对称的。
464
565
2. 函数及其频谱
3. ① 函数的定义（P33） 4. 从函数值极限来看 5.
） 6. 从函数强度（面积）的角度来看
7.
）
（1-47 （1-48
•用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现 象，如云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积 分等于1，说明其强度为1，若强度为K的脉冲用kδ(t) 表示。
88
•瞬态信号:在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值 衰减至零的信号。
•0
99
•c)随机信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不 可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
•平稳与非平 稳
010
•2 连续信号与离散信号
•a) 连续时间信 号
•b)离散时间信 号