排队论例题
排队论算例
排队论算例解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下：245)1(5)4(41)1(6)3(21)1(12)2(241)1(1)1(24)1(5)1(6)1(12)1()()1(5)4()1(6)3()1(12)2()1()1()1(3)3(2)4(1)4(2)2(1)3(2)4(2)1(2)2(1)4(1)1(3)1(241=========+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==+∑=P P P P P P P P P P P P i P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P i 由正则条件知：解得：076.0)0(8116)4(114.0)0(278)3(171.0)0(94)2(256.0)0(32)1(384.0)0(1)0(81211)0(8116)0(278)0(94)0(32)0()(4===========++++=∑=P P P P P P P P P P P P P P P i P i 由正则条件知：【例题4】求解下列生灭过程的状态指标？解：系统容量有限，即最多可同时容纳3个顾客。
系统中可能容纳0个、1个、2个和3个顾客，即有4个状态。
对于状态0S 有：1032P P =，即：0132P P =对于状态1S 有：120542P P P =+，即：0231P P =对于状态3S 有：3232P P =，即：0192P P =由正则条件可知，13210=+++P P P P ，即：45.00=P 故有：30.00=P 、15.02=P 、10.03=P 。
【例题5】某公路收费入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。
收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s ，汽车的到达率为400辆/h ，服从泊松分布。
试求：（1）收费亭空闲的概率；（2）收费亭前没有车辆排队的概率；（3）收费亭前排队长度超过100m （即排队车辆超过12辆）的概率；（4）平均排队长度；（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值；（6）车辆的平均排队时间？解：显然这是一个M/M/1/∞∞/排队系统，收费亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收费亭交费便是接受服务。
排队论习题
排队论 习题1．指出下列排队系统中的顾客和服务员：（1）机场起飞的客机；（2）十字路口红灯前的车辆；（3）超级市场收款台前的车辆；（4）高速公路收费口；（5）汽车加油站；（6）电报局2．到达只有一台加油设备加油站的汽车平均到达率为60台/h，由于加油站的面积较小而且较拥挤，到达的汽车中平均每4台中有一台不能进入站内而离去。
这种情况下排队等待加油的汽车队列（不计正在加油的）为3.5台，求进入该加油站汽车等待加油的平均时间。
3．某机关接待室，接待人员每天工作10小时。
来访人员的到来服从泊松分布，每天平均有90人到来，接待时间服从指数分布，平均速度为10人/时，（平均每人6分种）。
试求排队等待接待的平均人数；等待接待的多于2人的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少？4．为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立少。
假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子？5．工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务（加工）所需间服从负指数分布，平均服务时间为8分钟。
求：⑴工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；⑵若要求有90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时间多是多少？⑶若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4分钟，在这种情况下，工件在系统内的平均数是多少？6．经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达10人，顾客到达服从普阿松分布，关口检服务时间服从指数分布，平均时间是5分钟，试求：⑴顾客来海边不用等待的概率；⑵海关内顾客的平均数；⑶顾客在海关内平均逗留时间；h⑷当顾客逗留时间超过1.2时，则应考虑增加海关窗口及人数，问平均达到率提高多少时，管理者才作这样的打算。
【最新精选】排队论习题
排队论习题1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：（1）顾客来借书不必等待的概率3/8（2）柜台前平均顾客数5/3（3）顾客在柜台前平均逗留时间1/30（4）顾客在柜台前平均等待时间1/802、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。
由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。
问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。
3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。
（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。
（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。
1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。
2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。
对这两个排队系统进行评价，并作出选择。
4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。
每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。
司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。
5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。
试求：（1）到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率（2）顾客从到达时算起到打完电话离去超过10分钟的概率（3）管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时需安装第二台。
排队论练习题
第9章排队论判断下列说法是否正确：（1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（4）对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流；（5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
M/M/1、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6小时，求：（1）理发店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数；（5）在店内平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待服务时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
、某修理店只有一个修理工，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。
求：（1）修理店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内顾客平均数；（4）店内等待顾客平均数；（5）顾客在店内平均逗留时间；（6）平均等待修理时间。
排队论习题及答案
排队论习题及答案排队论习题及答案排队论是概率论和数学统计中的一个重要分支，研究的是随机事件的排队问题。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的情况，如等候乘坐公交车、购物结账等。
排队论的研究可以帮助我们更好地理解和优化排队过程，提高效率和服务质量。
下面，我们将介绍几个排队论的习题及其解答。
习题一：某银行有两个窗口，顾客到达银行的时间服从平均到达率为λ的泊松分布，每个顾客在窗口办理业务的时间服从平均服务率为μ的指数分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：首先，我们可以根据泊松分布和指数分布的性质，得到顾客到达时间和服务时间之间的关系。
假设顾客到达时间服从泊松分布，到达率为λ，那么两个顾客到达时间之间的时间间隔服从参数为λ的指数分布。
同样，假设顾客的服务时间服从指数分布，服务率为μ，那么两个顾客的服务时间之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。
根据排队论的基本原理，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
平均排队长度可以通过利用排队论的公式计算得到。
在本题中，根据M/M/2模型，可以得到平均排队长度的公式为：Lq = λ^2 / (2μ(μ - λ))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率。
接下来，我们可以计算平均等待时间。
根据排队论的公式，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
所以，平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ综上所述，我们可以通过计算得到平均等待时间和平均排队长度。
习题二：某餐厅有4个服务台，每个服务台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/4模型来求解。
根据M/M/4模型，平均排队长度的公式为：Lq = (λ/μ)^4 * (1/(4! * (1 - ρ)))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。
平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ通过计算可以得到平均等待时间和平均排队长度。
排队论_运筹学
排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。
目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。
解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。
排队论例题
排队论例题几种典型的排队模型（1）M/M/1/?/?/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。
系统运行指标a.系统中的平均顾客数（队长期望值）0.s n i L n P λμλ∞===-∑；b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）0(1).q n i L n P ρλμλ∞==-=-∑； c.系统中顾客停留时间的期望值1[]s W E W μλ==-； d.队列中顾客等待时间的期望值1q s W W ρμμλ=-=-。
(2) M/M/1/N/?/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P 011,11N P ρρρ+-=≠-；11,1n n N P n N ρρρ+-=<- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）c ．系统中顾客停留时间的期望值d ．队列中顾客等待时间的期望值。
1q s W W μ=-(3) M/M/1/?/m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型系统的稳态概率n P001!()()!m i i P m m i λμ==-∑；0!(),1()!n n m P P n m m n λμ=≤≤- 系统运行指标a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）c ．系统中顾客停留时间的期望值d ．队列中顾客等待时间的期望值(4) M/M/c/?/?/FCFS 单服务台排队模型系统的稳态概率n P100111[()()!!1c k c k P k c λλμρμ-==+-∑； 001(),!1(),!n n n n c P n c n P P n c c cλμλμ-?≤??=??>?? 系统运行指标a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）：b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）：c ．系统中顾客停留时间的期望值：d ．队列中顾客等待时间的期望值：[典型例题精解]例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
排队论习题答案
排队论习题答案排队论习题答案排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中的等待时间、服务时间以及系统的稳定性等问题。
在实际生活中，我们经常会遇到排队的情况，比如超市、银行、医院等地方。
那么，如何有效地解决排队问题，减少等待时间呢？下面我将通过几个习题来探讨排队论的解题方法。
习题一：某银行有两个窗口，分别为A窗口和B窗口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，平均每10分钟到达一人。
A窗口的服务时间服从均值为5分钟的指数分布，B窗口的服务时间服从均值为7分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答一：首先，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μA=1/5=0.2人/分钟，平均服务率μB=1/7≈0.1429人/分钟。
根据排队论的基本原理，当λ<μ时，系统稳定，顾客平均等待时间为0。
当λ>μ时，系统不稳定，顾客平均等待时间为ρ/(μ-λ)，其中ρ为系统繁忙率。
由于该题目中有两个窗口，所以我们需要计算两个窗口的繁忙率ρA和ρB。
ρA=λ/μA=0.1/0.2=0.5，ρB=λ/μB=0.1/0.1429≈0.7。
由于两个窗口的繁忙率不相等，我们需要使用排队网络的方法来求解。
根据排队网络的基本原理，顾客平均逗留时间等于顾客在每个窗口的平均逗留时间之和。
根据排队网络的公式，顾客在A窗口的平均逗留时间为1/(μA-λ)≈5分钟，顾客在B窗口的平均逗留时间为1/(μB-λ)≈7.5分钟。
所以，顾客平均逗留时间为5+7.5=12.5分钟。
习题二：某医院门诊部有一个窗口，顾客到达的时间间隔服从泊松分布，平均每10分钟到达一人。
窗口的服务时间服从均值为8分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答二：同样地，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μ=1/8=0.125人/分钟。
《运筹学》 第六章排队论习题及 答案
《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
第九章排队论
第九章排队论1、某混凝土搅拌站只有一套搅拌设备，一直平均每小时有4辆浇灌车来装搅拌好的混凝土，并且每车混凝土平均需要6分钟搅好装上车。
浇灌车的到达次数服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。
试求：（1）搅拌站空闲时间的概率；（2）站上有三辆车的概率；（3）站上至少有一辆车的概率；（4）在系统中的平均车辆；（5）在系统中的平均等待装车的车辆；（6）平均逗留时间；（7）车辆平均到达间隔时间；（8）平均等待时间。
2、某建筑工地修理部只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时5人，修理时间服从负指数分布，平均需8分钟。
试求修理部不空闲的概率，修理部至少有一个顾客的概率，修理部顾客的平均数，在修理部内平均逗留时间，必须在修理部内逗留12分钟以上的概率。
3、某建筑公司自设卫生所。
每小时到达该所看病的病人平均为4人，而所中仅一位医生，给病人诊断治病的速率平均为每小时5人。
若到达过程为泊松过程。
服务时间服从负指数分布。
试计算平均在卫生所里等待看病及看病的人数，平均在卫生所里等待看病的人数，平均每位来看病的职工需消耗的时间，平均每位来看病的职工需消耗的等待看病时间，没有职工来看病的概率。
4、设有两个售票亭，现考虑每分钟平均到达6.4人的最简单流，服务时间服从负指数分布，平均每分钟可服务4人。
试求系统中无人的概率，系统中的平均人数，排队等候的平均人数，顾客等候的平均时间。
5、某电信局准备在新建成的国际机场装设电话亭，而电信局的目标是每一个等候电话的概率不超过0.10；使用电话的平均需求率为每小时30人，且为最简单流，使用电话的平均时间为5分钟，且为负指数分布。
应该置多少个电话亭？6、设有两个修理工人，其责任是保证5台灵敏的机器能正常运行。
每台机器平均损坏率为每小时一次，这两位工人能以相同的平均修复率4小时修理机器，求⑴等待修理的机器平均数；⑵机器在系统中的平均台逗留时间。
7、设某电话间顾客按泊松流到达，平均每小时到达6人，每次通话时间平均为8分钟，方差为16分钟，通话时间服从爱尔朗分布。
运筹学课件排队论例题
1.某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。
试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务的时间；（8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。
2.某修理店只有一个修理工，且店内最多只能停放3台待修的机器。
设待修机器按泊松流到达修理站，平均每分钟到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25分钟可修理1台，试求：（1）顾客损失率；（2）有效到达率；（3）平均队长；（4）平均排队长；（5）平均逗留时间；（6）平均等待时间。
3.设有一工人看管5台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均为15分钟。
当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为12分钟，试求：（1）修理工人空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均数；（4）等待修理机器的平均数；（5）每台机器平均停工时间；（6）每台机器平均待修时间。
4.某售票处有三个窗口，顾客的到达为泊松流，平均到达率为0.9人/分钟；服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分钟。
现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票。
试求：（1）整个售票处空闲的概率；（2）平均排队长与平均队长；（3）平均等待时间；（4）平均逗留时间；（5）顾客到达时必须排队等待的概率；（6）若顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队，且入队后不再换队，求（1）~（5）的各个指标，并与前面求出的指标相比较，哪种排队方式更好？5.一个修理工负责5台机器的维修。
每台机器平均2小时损坏一次，又修理工修复一台机器平均需时18.75分钟，以上时间均服从负指数分布。
试求：（1）所有机器均能正常运行的概率；（2）等待维修的机器的期望数；（3）假设该维修工照管6台机器，重新求（1），（2）的数据；（4）假如希望做到至少在一半时间内所有机器都同时正常运行，则该维修工最多看管多少台机器；（5）假如维修工每小时工资为8元，机器不能正常运行时每小时损失为40元，则该维修工应看管多少台机器为合适。
排队论练习题
排队论练习题在我们的日常生活中，我们经常会遇到需要排队等候的场合。
无论是购物、就餐、排队领取文件还是上学等，排队都是我们所不能避免的一部分。
排队问题可以归结为排队论，它研究的是在有限的资源下，如何使排队过程更加高效、公平和有序。
本文将介绍一些排队论的常见练习题，探索其中的解决方法。
1. 餐厅排队问题假设有一家餐厅，每个顾客到达的时间不同，而每个顾客就餐的时间也不同。
当顾客到达时，他们需要选择一个队伍排队等候。
该如何安排队伍，以使得等候时间最短并且公平？解决方法：一种常见的方法是采用先来先服务（First-Come-First-Served, FCFS）策略，即按照顾客到达的顺序进行排队，先到先服务。
另一种方法是采用最小服务时间优先（Shortest Processing Time, SPT）策略，即将服务时间最短的顾客排在前面。
2. 超市收银台排队问题在超市，顾客排队等待结账是常见的场景。
每个收银员可以为一个顾客服务，而且每个顾客的购物总额不同。
如何安排顾客的排队顺序，以使得所有人的等待时间尽可能相同，同时提高整体效率？解决方法：一种常见的方法是采用多队列排队（Multiple Queue），即为每个收银员提供一个专属队伍，顾客可以自行选择队伍。
另一种方法是采用单队列排队（Single Queue），只有一个队伍排队，当前一个顾客结账完毕后，下一个顾客才能进行结账。
3. 公交车站排队问题在繁忙的交通枢纽，如公交车站，乘客需要依次排队上车。
乘客的到达时间和上车时间不同，如何安排乘客的上车顺序以最大程度地减少等待时间和拥挤现象？解决方法：一种常见的方法是采用先上车的乘客先下车（First-On-First-Off, FIFO）策略，即按照到达的顺序排队上车，然后按照到达的先后顺序下车。
另一种方法是采用优先级策略，如让老人、孕妇和残疾人优先上车。
4. 机场安全检查排队问题在机场，旅客需要进行安全检查。
排队论练习题
例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。
求L 、Lq 、W 和Wq 。
根据题意，λ=200辆/小时，μ=240辆/小时，ρ=λ/μ=5/6。
)(7590W W )(90)(025.020024011W 17.45L L 511L 65q 65q 565秒秒小时=⨯=ρ===-=λ-μ==⨯=ρ==-=ρ-ρ=例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。
求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。
解：设为M/M/1模型。
平均服务时间：31)(==μts E 分钟 （隐含c ，每个呼叫的平均时间为3分钟）平均服务率：31=μ呼叫/分钟 （隐含c ）平均等待时间： 3)()(=-=λμμλw E 分钟故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为： 613132=+=μλμ呼叫/分钟 此时：5.0==μλρ例4．分组交换网中所有信道（链路、线路）容量加倍，每个用户的数据量也加倍。
排队论举例
练
习
3 ． 某售票处有 3 个售票口， 顾客的到达服从泊 某售票处有3 个售票口 ， 松分布，平均每分钟到达λ= 松分布，平均每分钟到达λ= 0 ．9 人，3 个窗 口售票的时间都服从负指数分布， 口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟 卖给μ= 卖给μ= 0.4人，设可以归纳为M／M／3模型， 设可以归纳为M 模型， 试求： (1)整个售票处空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均逗留时间； (4)平均等待时间； (5)顾客到达后的等待概率。 顾客到达后的等待概率。
2.相当于3个M/M/1/ 相当于3 M/M/1 三个系统并联： 三个系统并联：
λ=0.3 μ=0.4 ρ=λ/μ=0.75 λ=0 μ=0 ρ=λ/μ=0 P0=1-ρ=0.25 （每个子系统） 每个子系统） ρ=0
三个服务台都有空的时候， 三个服务台都有空的时候，P03=0.0156
Ls=ρ/(1-ρ)=3 ( 子 系 统 ） 整 个 系 统 为 9 /(1 )=3 Lq=Ls-λ/μ=2.25（每个子系统） 25（每个子系统） Ws=Ls/λ=10 /λ=10 Wq=Ws-1/μ=7.5 /μ=7
例 题 解 析 故售票处空闲的概率为 0.0156
平均等待时间 Wq=7.5分钟 10分钟 平均逗留时间 Ws=10分钟 队长 Ls=3 三个队 共3+3+3=9 75（ 队列长 Lq=2.25 共6.75（人）
相比之下， 相比之下，排一队共享三个服务台效率好
练
习
2．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人 设有一个医院门诊，只有一个值班医生。 的到达过程为泊松流，平均到达时间间隔为 20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min， 20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min， 求： (1)病人到来不用等待的概率； (2)门诊部内顾客的平均数； (3)病人在门诊部的平均逗留时间； (4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1h， 若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1 则院方将考虑增加值班医生。 则院方将考虑增加值班医生。问病人平均到达率 为多少时，医院才会增加医生? 为多少时，医院才会增加医生?
排队论例题(20200614212401)
几种典型的排队模型（1）M/M/1/ / /FCFS单服务台排队模型系统的稳态概率F nP0 1 , / 1为服务强度；F n （1 ）系统运行指标a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）L s n.F n ------------------ ；i 0b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）L q （n 1）.F ni 0c. 系统中顾客停留时间的期望值1 W s E[W]d. 队列中顾客等待时间的期望值1W q W s⑵M/M/1/N/ /FCFS单服务台排队模型系统的稳态概率巳P n系统运行指标a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）c. 系统中顾客停留时间的期望值d. 队列中顾客等待时间的期望值1。
W q W s -⑶M/M/1/ /m/FCFS (或M/M/1/m/m/FCFS)单服务台排队模型系统的稳态概率F nP)m , ；F n ■ , ( ) F0,1 n mm! / 、i (m n)!()i o (m i)!系统运行指标a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）c.系统中顾客停留时间的期望值d.队列中顾客等待时间的期望值⑷M/M/c/ / /FCFS单服务台排队模型系统的稳态概率P n系统运行指标a. 系统中的平均顾客数(队长期望值)：b. 系统中排队等待服务的平均顾客数(排队长期望值)：c. 系统中顾客停留时间的期望值：d. 队列中顾客等待时间的期望值：［典型例题精解］例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为 负指数分布，平均时间为 15分钟。
求: (1)顾客来理发不必等待的概率； (2)理发馆内顾客平均数；(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过小时，则店主将考虑增加设备及人员。
问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢 例2 :某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都 是随机的。
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排队论例题
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
几种典型的排队模型
（1）M/M/1///FCFS 单服务台排队模型
系统的稳态概率n P
01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。
系统运行指标
a.系统中的平均顾客数（队长期望值）
0.s n i L n P λμλ∞===
-∑；
b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）
0(1).q n i L n P ρλμλ
∞==-=
-∑； c.系统中顾客停留时间的期望值
1[]s W E W μλ
==
-； d.队列中顾客等待时间的期望值 1q s W W ρμμλ=-
=-。
(2) M/M/1/N//FCFS 单服务台排队模型
系统的稳态概率n P 011,11N P ρρρ+-=
≠-； 11,1n n N P n N ρρρ
+-=<- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）
b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）
c ．系统中顾客停留时间的期望值
d ．队列中顾客等待时间的期望值 。
1q s W W μ=-
(3) M/M/1//m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型
系统的稳态概率n P 00
1!()()!m i i P m m i λμ==-∑； 0!(),1()!n n m P P n m m n λμ=≤≤- 系统运行指标
a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）
b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）
c ．系统中顾客停留时间的期望值
d ．队列中顾客等待时间的期望值
(4) M/M/c///FCFS 单服务台排队模型
系统的稳态概率n P
100111[()()!!1c k c k P k c λλμρμ-==+-∑； 001(),!1(),!n n n n c P n c n P P n c c c
λμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 系统运行指标
a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）：
b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）：
c ．系统中顾客停留时间的期望值：
d ．队列中顾客等待时间的期望值：
[典型例题精解]
例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
求：
(1)顾客来理发不必等待的概率；(2)理发馆内顾客平均数；
(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过小时，则店主将考虑增加设备及人员。
问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢
例2：某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作10小时，来访人员和接待时间都是随机的。
若来访人员按普阿松流到达，其到达速率λ=7人/小时，接待时间服从负指数分布，其服务速率μ=人/小时。
现在问：
(1)来访者需要在接待室逗留多久等待多长时间
(2)排队等待接待的人数。
(3)若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少
例3：某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。
求：
（1）顾客到达电话亭要等待的概率；
（2）等待打电话的平均顾客数；
（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的
（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少
例4：单人理发馆有6把椅子接待人们排队等待理发。
当6把椅子都坐满时，后来到的顾客不进店就离开。
顾客平均到达率为3人/小时，理发需时平均15分钟。
求系统各运行指标。
例5：某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置3个座位供顾客等候，一旦满座则后来者不再进店等候。
已知顾客到达间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔80min，平均美容时间为50min。
试求任一顾客期望等候时间及该店潜在顾客的损失率。
例6：病人以平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，对每名病人诊断时间平均6min。
计算：
（1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例；
（2）求下述情况的概率
a.有一个病人；
b.有2个病人在候诊室外排队。
例7：某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。
求： (1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都出故障的概率；(3)出故障的平均台数；
(4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间；（6）平均等待修理时间；
（7）评价这些结果。
例8：一个机修工人负责3台机器的维修工作，设每台机器在维修之后平均可运行5天，而平均修理一台机器的时间为2天，试求稳态下的各运行指标。
例9：一个工人负责照管6太自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。
设每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的平均时间为。
试分析该系统的运行情况。
例10：某售票厅有三个窗口，顾客的到达服从普阿松过程，平均到达率每分钟=人，服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率每分钟=人。
现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，求系统的运行指标。
例11：某商店收款台有3名收款员，顾客到达为每小时504人，每名收款员服务率为每小时240人，设顾客到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布，求解。
例12：某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为分钟的负指数分布，试求：（1）银行内空闲时间的概率；（2）银行内顾客数为n时的稳态概率；
（3）平均队列长；（4）银行内的顾客平均数；（5）在银行内的平均逗留时间；
（6）等待服务的平均时间。
[考研真题]
例1：为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。
假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子
例2：工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务所需时间服从负指数分布，平均服务时间8分钟。
求：
1.工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；
2.若要求在90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时
间最多是多少
3.若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4分钟，在这
种情况下，工件在系统内的平均数是多少
例3：某机关接待室，接待人员每天工作10小时。
来访人员的到来服从泊松分布，每天平均有90人到来，接待时间服从指数分布，平均速度为10人/小时。
试求排队等待接待的平均人数；等待接待的多于2人的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少
例4：经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达10人，顾客到达服从泊松分布，关口检查服务时间服从负指数分布，平均时间是5分钟，试求：
1．顾客来海边不用等待的概率；
2．海关内顾客的平均数；
3．顾客在海关内平均逗留时间；
4．当顾客逗留时间超过小时时，则应考虑增加海关窗口及人数，问平均到达率提高多少时，管理者才作这样的打算。