群论
群论是什么难度的数学
群论是什么难度的数学
群论是抽象代数知识，难度较大，较抽象的难度的数学。
相对来说，群论的难度要高出很多。
线性代数还有矩阵、线性方程组等一些具体的容易理解的内容，而群论的绝大多数内容都是抽象的数学结构，需要更多的想象力。
群论的应用
群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。
结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。
如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。
阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。
在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。
对这类群的分析又叫调和分析。
在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。
群论中的群和子群
群论是数学中一个重要的分支，研究的是群及其性质与结构。
而群则是具备代数结构的一个集合，其中包含了运算和运算规则。
本文将介绍群论中的群和子群的概念以及一些重要性质和例子。
在群论中，群被定义为一个集合G和一个二元运算组成的代数结构，满足以下四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
具体地说，对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a和b也在G中。
此外，群运算必须满足结合律，即(a b)c=a(b c)。
群中必须存在一个单位元e，使得对于任意的元素a，a e=e a=a。
最后，对于每个元素a都必须存在一个逆元a^-1，使得a a-1=a-1*a=e。
这些性质使得群成为一个具有一定代数结构的集合。
群的一个重要概念是子群。
子群是指一个群G的一个非空子集H，其本身也构成一个群，且H中包含了G的运算。
换句话说，子群是群中封闭的子集。
子群的一个重要性质是它必须包含群G的单位元。
此外，子群中的每个元素都必须同时是群G中元素的逆元。
例如，对于一个群G，它的子集H如果同时满足封闭性、含有单位元以及对于每个元素a都有a^-1也在H中，则H是G的一个子群。
对于子群的性质，我们可以得到以下结论：首先，子群的运算是满足结合律的。
这是因为子群是通过继承原群的运算所得到的，而原群的运算满足结合律。
其次，子群的单位元是原群的单位元。
这是因为子群必须包含原群的单位元，所以它的单位元一定与原群的单位元相同。
最后，子群的逆元也是原群的逆元。
这是因为子群必须包含原群中每个元素的逆元，所以子群的逆元一定与原群的逆元相同。
我们可以通过一些具体的例子进一步理解群和子群的概念。
例如，整数集合Z构成一个群，以加法作为运算。
在Z中，任意两个整数的和仍然是一个整数，满足封闭性。
0是Z中的单位元，对于任意整数a，有-a是它在Z中的逆元。
Z的非负整数集合N构成Z的一个子群，它的单位元是0，而逆元只能是自身或者0。
总结起来，群论中的群和子群是讨论群结构的两个基本概念。
群论的应用
群论的应用群论是数学中的一门重要分支，它是研究对称性的一种数学工具。
群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中，其应用更是不可或缺。
本文将从这些领域中的具体应用来介绍群论的重要性。
在物理学中，群论被广泛应用于研究粒子物理学和凝聚态物理学。
在粒子物理学中，群论被用来研究基本粒子的对称性，如电荷守恒、自旋守恒等。
在凝聚态物理学中，群论被用来研究晶体结构的对称性，如晶格点群、空间群等。
这些对称性的研究可以帮助科学家预测物质的性质，并且为新材料的设计提供了理论基础。
在化学中，群论被广泛应用于分子对称性的研究。
分子的对称性可以通过群论来刻画，而分子的对称性又直接决定了分子的性质，如极性、光学活性等。
因此，群论在化学中的应用非常重要，不仅可以帮助化学家理解分子的性质，还可以在合成新药物、新材料等方面提供指导。
在计算机科学中，群论被广泛应用于密码学和计算机图形学中。
在密码学中，群论被用来设计安全的加密算法，如RSA算法、椭圆曲线加密算法等。
在计算机图形学中，群论被用来描述三维物体的对称性，如旋转对称性、平移对称性等。
这些对称性的研究可以帮助计算机图形学家设计出更加逼真的三维模型，并且可以在虚拟现实、游戏等方面得到应用。
除此之外，群论还被应用于音乐理论、经济学、生物学等多个领域。
在音乐理论中，群论被用来研究音乐的对称性，如和声、旋律等。
在经济学中，群论被用来研究市场的对称性，如货币汇率、股票价格等。
在生物学中，群论被用来研究生物分子的对称性，如蛋白质的空间结构等。
通过上述应用的介绍，我们可以看出群论在各个领域中的作用是非常重要的。
无论是物理、化学、计算机科学还是其他领域，群论都为科学家提供了一个强有力的数学工具，帮助他们更好地理解和预测物质的性质。
因此，我们可以说群论在现代科学中具有不可替代的地位。
群论发展历程
群论发展历程
群论是数学中的一个分支，主要研究集合上的各种代数结构以及它们之间的关系和性质。
群论起源于19世纪，经过多年的
发展，已经成为数学的一门独立学科。
群论的历程可以追溯到1824年，当时法国数学家Galois首次
提出了群的概念，并应用到了求根式的可解性问题中。
此后，数学家们开始对群的性质和结构进行深入研究，并发现了许多重要的结果。
在20世纪初，数学家们开始将群论应用到其他领域，比如几
何学和物理学。
尤其是在量子力学中，群论成为了重要的工具，用来描述基本粒子之间的相互作用。
在20世纪的后半期，群论的发展进入了一个高潮。
数学家们
提出了许多重要的结论和定理，如尾群定理、Sylow定理和诺
特定理等。
这些结果不仅深化了对群的认识，也为其他数学分支提供了重要的工具。
随着计算机技术的发展，群论的应用也在不断扩大。
例如，密码学中的很多算法都基于群论的原理。
此外，群论还被广泛应用于代数方程的求解、图论、编码理论等领域。
至今为止，群论仍然是数学中一个活跃的研究领域。
数学家们在探索群的性质和结构的同时，也致力于将群论的方法和思想应用到更广泛的问题中。
通过不断发展和创新，群论在数学和其他学科中的作用将会变得更加重要和广泛。
群论的基本概念和运算
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
群论中的群的基本定理和群的生成元
群论是数学中一门重要的分支，研究的是代数结构中的群。
群是以二元运算（通常为乘法）定义的一种数学结构，满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元的性质。
在群论中，有两个重要的概念，即群的基本定理和群的生成元。
首先，群的基本定理是群论中的核心定理之一。
它表明，对于任何有限群G，存在一个唯一的素数p以及正整数n₁,n₂,...,nk，使得G同构于n₁个阶为p的循环群、n₂个阶为p²的循环群、...、nk个阶为p^k的循环群的直积。
这个基本定理可以看作是将一个复杂的有限群分解为几个简单的循环群的直积的过程。
通过群的基本定理，我们可以更好地理解有限群的结构和性质，为解决许多数学问题提供了有力的工具。
其次，群的生成元是群论中的另一个重要概念。
对于给定的群G，如果存在元素a₁,a₂,...,an，它们的乘积可以得到G中的所有元素，那么称a₁,a₂,...,an是群G的生成元。
换句话说，生成元是通过群中的有限次操作可以生成整个群的元素。
生成元可以帮助我们更好地理解群的性质，特别是它们的元素之间的关系。
在许多实际问题中，通过寻找群的生成元，我们可以简化问题的复杂度，从而更容易解决。
在群的生成元的概念中，有一个重要的定理，即生成元的个数不唯一。
对于一个群G，它的生成元的个数可以是有限的也可以是无限的。
但是，存在一种特殊情况，即群G的所有生成元的个数都是有限的，这种情况下群G被称为有限生成群。
有限生成群在实际问题中具有重要的应用，如密码学、编码理论等领域。
除了有限生成群，还有一类特殊的群，即无限生成群。
无限生成群由无限多个生成元组成，通常被用来描述无穷集合中的对称性。
例如，无限群中的整数加法群Z和无限循环群C都是无限生成群。
总之，群论中的群的基本定理和群的生成元是群结构研究中的重要内容。
群的基本定理可以帮助我们理解有限群的结构和性质，而群的生成元则可以帮助我们处理复杂的群问题。
通过深入学习和应用群的基本定理和群的生成元，我们能够在数学和其他领域中更好地理解和解决问题。
群论课件ppt
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
数学中的群论
数学中的群论群论是数学中一个重要的分支，在代数学领域中占有重要地位。
它研究的是一种代数结构称为群。
群论的概念和理论对于深入理解和解决许多数学问题都起着关键的作用。
本文将介绍群论的基本概念、性质以及在数学中的应用。
一、群的定义和基本性质群是一个集合G，配合一个二元运算"*"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a*b仍然属于G.2. 结合性：对于任意的a，b，c∈G，(a*b)*c = a*(b*c).3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e = e*a = a.4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b = b*a = e.群论的基本性质包括：1. 结合律：对于群G中的任意元素a，b，c，有(a*b)*c = a*(b*c).2. 单位元唯一：群G的单位元是唯一的，记作e.3. 逆元唯一：群G中的每个元素a都有唯一的逆元b，满足a*b = b*a = e.4. 取消律：对于群G中的任意元素a，b和c，如果a*b = a*c，那么b = c.二、群的例子1. 整数加法群：整数集合Z构成一个群，其中的二元运算为加法。
2. 整数乘法群：非零整数集合Z*构成一个群，其中的二元运算为乘法。
3. 实数集合R上的乘法群：实数集合R中除去0以外的元素构成一个群，其中的二元运算为乘法。
4. 矩阵群：所有n阶可逆矩阵构成一个群，其中的二元运算为矩阵乘法。
5. 置换群：n个元素的置换构成一个群，其中的二元运算为置换的复合运算。
三、群的作用和应用1. 群在密码学中的应用：群论在密码学中具有广泛的应用，如素数取模、离散对数、RSA加密等加密算法都与群有关。
2. 群在物理学中的应用：群论在量子力学、粒子物理学等多个物理学领域中起着重要的作用，如对称群、李群等。
3. 群在图论中的应用：图的自同构和等价性质的研究中，群论的方法被广泛应用，极大地推动了图论的发展。
群论
群论在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。
于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
基本概念群的定义设是一个非空集合，是它的一个二元运算，如果满足以下条件：(1) 封闭性：若，则存在唯一确定的使得；(2) 结合律成立，即对中任意元素都有；(3) 单位元存在：存在，对任意，满足。
称为单位元，也称幺元；(4) 逆元存在：任意，存在，（为单位元），则称与互为逆元素，简称逆元。
记作；则称对构成一个群。
通常称上的二元运算为“乘法”，称为与的积，并简写为。
若群中元素个数是有限的，则称为有限群。
否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算对于，对于的子集，定义，简写为；，简写为。
对于的子集 , ，定义，简写为。
对于的子集，记。
群的替换定理若是群，则对于任一，。
子群若是群，是的非空子集并且也是群，那么称为的子群。
这条定理可以判定的子集是否为一个子群：且是的子群群的例子全体整数的加法构成一个群：最常见的群之一是整数集，它由以下数组成：..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...下列整数加法的性质，可以作为抽象的群公理的模型。
对于任何两个整数a和b，它们的和a+b也是整数。
换句话说，在任何时候，把两个整数相加都能得出整数的结果。
这个性质叫做在加法下封闭。
对于任何整数a,b和c，(a+b) +c=a+（b+c）。
用话语来表达，先把a加到b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把a加到b与c的和是相等的。
这个性质叫做结合律。
如果a是任何整数，那么0 +a=a+ 0 =a。
群论在现代数学中的应用
群论在现代数学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的是一种代数结构——群。
群论的发展对于数学的各个领域都有着深远的影响，尤其在现代数学中，群论的应用更是广泛而深入。
本文将介绍群论在现代数学中的一些重要应用。
一、密码学中的应用密码学是信息安全领域中的重要分支，而群论在密码学中有着广泛的应用。
群论中的离散对数问题是密码学中的一个重要难题，而群论提供了解决这个问题的数学工具。
基于群论的离散对数问题，我们可以设计出一些安全的加密算法，如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
这些算法在现代的网络通信和电子支付等领域中得到了广泛应用，保护了用户的信息安全。
二、物理学中的应用群论在物理学中的应用也是非常重要的。
物理学中的对称性是研究物理现象的重要工具，而群论提供了对称性的数学描述。
通过群论的方法，我们可以研究物理系统的对称性，从而揭示出物理规律。
例如，对称群在量子力学中的应用非常广泛，它可以描述粒子的自旋、轨道角动量等性质。
此外，群论还在固体物理、粒子物理和宇宙学等领域中发挥着重要作用，为物理学的发展提供了重要的数学工具。
三、几何学中的应用几何学是研究空间形状和变换的学科，而群论在几何学中有着广泛的应用。
群论提供了对几何变换的数学描述，通过群论的方法，我们可以研究几何变换的性质和规律。
例如，对称群可以描述几何图形的对称性，而拓扑群可以描述空间的连续变换。
此外，群论还在流形、拓扑学和微分几何等领域中发挥着重要作用，为几何学的研究提供了重要的数学工具。
四、代数学中的应用群论作为代数学的一个重要分支，自然也在代数学中有着广泛的应用。
群论提供了对代数结构的数学描述，通过群论的方法，我们可以研究代数结构的性质和规律。
例如，线性代数中的矩阵群可以描述线性变换的性质，而Galois群可以描述方程的根与系数之间的关系。
此外，群论还在代数拓扑学、代数几何学和代数编码等领域中发挥着重要作用，为代数学的研究提供了重要的数学工具。
群论通俗理解
群论通俗理解
群论是数学中的一个分支，主要研究集合上的代数结构，广泛应用于物理、化学、密码学等领域。
但是对于非数学专业的人来说，群论的概念可能有些抽象难懂。
下面我们来通俗理解一下群论。
群论的核心概念是“群”。
群是一个集合，其中包含一个二元运算，满足四个性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
其中，“封闭性”指的是任意两个元素做运算后得到的结果还在这个集合中，“结
合律”指的是运算顺序不影响结果，“单位元”指的是存在一个元素，与集合中任意元素做运算后得到原元素本身，“逆元”指的是每个元
素都有一个逆元与之对应，满足逆元与该元素做运算后得到单位元。
群论的研究课题包括群的结构、子群、同态、同构、正规子群等。
其中，群的结构是指群元素之间的关系，包括群的阶、循环群等；子群是指一个群中的一个子集，满足该子集构成的集合同样也是一个群；同态是指保持群结构和运算的映射；同构是指存在一种一一对应的映射，满足映射前后的元素之间的关系不变；正规子群是指一个群的子群，满足该子群在整个群的左右陪集中都是相同的。
群论的应用非常广泛，比如在物理学中，对称群、李群等是研究粒子物理、精细结构等重要工具；在密码学中，群论是研究加密算法和密码分析的基础；在计算机科学中，群论也有着广泛的应用，比如图形学、计算几何等领域。
总之，群论是一门非常重要的数学分支，它的应用领域非常广泛，通过通俗易懂的解释，相信大家都能够对群论有更深入的理解。
群论
第六章群论6.1 群论基础1 群的定义设G是一些元素的集合，G = {g0, g1, …, g i, …}. 在G中定义了乘法运算，如果G对这种运算满足下面四个条件：(1) 有唯一的单位元e. e∈G, 对任意f∈G, 都有ef = fe = f(2) 封闭性. 对任意f , g∈G, 若f g= h, 必有h∈G.(3) 结合律 . 对任意f , g, h∈G, 都有(f g) h = f (g h)(4) 逆元素. 对任意f∈G, 有唯一的f -1∈G，使f f -1= f -1f = e,则称G为一个群. e 称为群G 的单位元，f –1称为f的逆元素。
有限群中群元素的数目称为群的阶。
2群的乘法表二阶群G2 E AE E AA A E三阶群G3 E A BE E A BA AB EB B E A(i) 若AA = A2 = E -> BB = B2 = E; -> AB = B -> A = E（不合理） (ii) 若 AA = A2 = B, AB = AA2 = A3 = E; BA = E, BB = A.G3 E A A2E E A A2A A A2 EA2 A2 E A—循环群G = { X, X2, X3, …, X n = E}—Abel群 AB = BA.四阶群(i) 四阶循环群X = A X2 = B X3 = C X4 = EG4(1) E A B CE E A B CA ABC EB BC E AC C E A B(ii)G4(2) E A B CE E A B CA A E C BB BC E AC C B A EEx1构造五阶群的乘法表。
3 子群在G4(2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子群。
定理：g阶群G的任意子群H, 它的阶h必为g的除数。
即，g =hn, n为整数。
如：G6的子群的阶是：6和1，2，3。
群论需要哪些知识点
群论需要哪些知识点群论（Group Theory）是数学中一个重要的分支，它研究的是数学结构中的群及其性质。
群论的发展对于数学、物理学、化学等学科都有着重要的影响。
在学习群论之前，需要掌握一些基本的数学知识点，如集合论、代数学、数论等。
接下来，我们将逐步介绍群论需要的知识点。
1.集合论群是一种特殊的集合，因此在学习群论之前，我们需要对集合论有一定的了解。
集合论是数学的基础，它研究的是元素的集合及其关系。
在群论中，我们将关注集合的基本操作，如并、交、差等，以及集合的基本性质，如幂集、子集等。
2.代数学群论是代数学的一个重要分支。
代数学研究的是数学结构及其性质。
在学习群论之前，我们需要了解一些基本的代数学概念，如代数运算、代数结构等。
此外，还需要熟悉代数学中的一些基本性质，如封闭性、结合律、交换律等。
3.数论数论是研究整数性质的数学分支。
在群论中，我们经常会遇到循环群，它是由一个元素生成的群。
数论中的循环群和群论中的循环群有着密切的联系。
因此，在学习群论之前，我们需要对数论中的一些基本概念有所了解，如模运算、欧拉定理等。
4.群的定义与性质群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。
在学习群论之前，我们需要了解群的定义及其基本性质。
群的基本性质包括封闭性、结合律、单位元、逆元等。
此外，还需要了解群的子群、同态等概念。
5.群的分类与应用群论研究的是群及其性质，不同的群有着不同的性质和应用。
在学习群论时，我们需要了解不同类型的群，如阿贝尔群、循环群、对称群等。
此外，还需要了解群在数学、物理学、化学等领域的应用，如密码学、晶体学等。
6.群论的进一步研究群论是一个广泛而深入的数学领域，学习群论之后，我们可以进一步研究更深层次的群论内容，如拉格朗日定理、卡西迪定理等。
此外，还可以学习群的表示论、群的作用等高级内容。
综上所述，群论需要的知识点包括集合论、代数学、数论、群的定义与性质、群的分类与应用，以及群论的进一步研究。
什么是群论？群论的发展？
什么是群论？群论的发展？群论起源于对代数⽅程的研究，它是⼈们对代数⽅程求解问题逻辑考察的结果。
群理论被公认为⼗九世纪最杰出的数学成就之⼀。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域,同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚⾄对于⼆⼗世纪结构主义哲学的产⽣和发展都发⽣了巨⼤的影响。
我们今天就主要了解它的发展⾥程,成长历史.群论产⽣的历史背景从⽅程的根式解法发展过程来看，早在古巴⽐伦数学和印度数学的记载中，他们就能够⽤根式求解⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0，接着古希腊⼈和古东⽅⼈⼜解决了某些特殊的三次数字⽅程，但没有得到三次⽅程的⼀般解法。
这个问题直到⽂艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意⼤利⼈解决。
同⼀时期，意⼤利⼈费尔拉⾥⼜求解出⼀般四次⽅程 x4+ax3+bx2+ cx+d=0的根是由系数的函数开四次⽅所得。
但是在以后的⼏个世纪⾥，探寻五次和五次以上⽅程的⼀般公式解法却⼀直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗⽇转变代数的思维⽅法，提出⽅程根的排列与置换理论是解代数⽅程的关键所在，他的⼯作有⼒地促进了代数⽅程论的进步。
但是他的这种⽅法却不能对⼀般五次⽅程作根式解，于是他怀疑五次⽅程⽆根式解。
并且他在寻求⼀般n次⽅程的代数解法时也遭失败，从⽽认识到⼀般的四次以上代数⽅程不可能有根式解。
他的这种思维⽅法和研究根的置换⽅法给后⼈以启⽰。
相继鲁菲尼和⾼斯都在这⽅⾯进⾏了研究. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。
1824年到1826年，阿贝尔着⼿考察可⽤根式求解的⽅程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果⼀个⽅程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表⽰成⽅程的根和某些单位根的有理数。
并且利⽤这个定理⼜证明出了阿贝尔定理：⼀般⾼于四次的⽅程不可能代数地求解。
接着他进⼀步思考哪些特殊的⾼次⽅程才可⽤根式解的问题。
在⾼斯分圆⽅程可解性理论的基础上，他解决了任意次的⼀类特殊⽅程的可解性问题，发现这类特殊⽅程的特点是⼀个⽅程的全部根都是其中⼀个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q 2(x)满⾜q1q2(x)=q2q1(x)，q 1，q2为有理函数。
群论 定理
群论定理
群论是一种数学理论，研究的是具有某种特性的集合，特别是满足某种封闭性的集合。
群论中的主要研究对象是群以及与群有关的半群、子群、同态、同构等概念和性质。
一、群的定义
一个集合G，若在G中定义了加法“+”和乘法“*”，使得G对于加法和乘法都构成一个封闭的集合，则称G是一个群。
这里的加法和乘法可以视为在G上的二元运算。
二、群的性质
1.封闭性：对于任意两个元素x，y属于G，其和或积仍属于G。
2.结合律：对于任意三个元素x，y，z属于G，有(x+y)+z=x+(y+z)和
(x y)z=x(y z)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，使得对于任意元素x属于G，有
e+x=x+e=x。
4.逆元：对于任意元素x属于G，存在一个元素y属于G，使得x+y=e和
x*y=e。
三、群的运算
群的运算主要指加法和乘法。
在实践中，为了方便计算和研究，常常会引入一些特殊的运算，如求逆元、求阶等。
四、群的分类
根据不同的标准，群可以分为不同的类型：
1.循环群和非循环群：循环群是指存在一个元素g，使得G={g^n|n=0,±1,±
2,...}；否则称为非循环群。
2.交换群和非交换群：交换群是指所有元素都可交换；否则称为非交换群。
3.阿贝尔群和非阿贝尔群：阿贝尔群是指满足交换律的群；否则称为非阿贝
尔群。
简单地入门群论
简单地入门群论
群论是一种抽象代数学理论，它旨在研究任意一些对象，这些对象按照一种二元操作（通常是乘法）结合在一起。
在群论中，这些对象被称为群元素，而这种操作被称为群运算。
群论的主要研究内容包括群的结构、同态、互补子群、共轭类、置换群、有限群等等。
群论的基础概念包括：
1. 群元素：群中的元素。
2. 二元运算：群中的元素之间的运算。
3. 封闭性：群中所有元素的运算都能得到另一个群元素。
4. 结合律：群元素的运算满足结合律。
5. 单位元素：群中存在唯一的元素，其与其他元素的运算不改变这些元素的值。
6. 逆元素：对于每个群元素，都存在一个逆元素，其与原元素运算结果为单位元素。
7. 可交换性：如果群元素的运算可交换，则称该群是交换群或阿贝尔群。
群论的重要应用包括数学、物理、化学、计算机科学等领域。
例如，在密码学领域，群论有重要的应用，包括椭圆曲线密码和RSA算法等。
在学习群论时，需要掌握基本概念，并学习一些常见的群及其性质，例如置换群、循环群和对称群。
通过这些学习，可以逐步深入了解群论的基本概念和理论，并应用于实际问题中。
群论发展历程怎么写
群论发展历程怎么写群论是一门研究群和群的性质、结构以及其在数学和其他学科中的应用的数学分支。
群论的发展历程可以追溯到19世纪初，以下是群论发展的一些重要里程碑：1. 初始概念的形成：在1828年，法国数学家Evariste Galois提出了“群”的概念。
他研究了代数方程解的对称性，并提出了群的一些基本性质。
2. 简化理论的建立：在19世纪后半期，德国数学家SophusLie和瑞典数学家Felix Klein分别作出了对群论的重大贡献。
Lie研究了连续变换群，而Klein则发展了对变换群进行分类的方法。
3. 群的抽象理论建立：20世纪初，德国数学家Emmy Noether和奥地利数学家Hans Hahn分别独立地提出了群的抽象理论。
Noether的工作深化了对群结构的理解，她发展了群的基本定理，如群同构定理和第一同构定理。
4. 群的拓展与应用：在20世纪初，英国数学家Burnside（W. Burnside）和Frobenius（F. G. Frobenius）分别研究了有限群和群论的应用。
Burnside发展了有限群的理论，而Frobenius在抽象群理论的基础上发展了群表示论。
5. 群论的发展与应用拓广：20世纪中期，法国数学家Alexander Grothendieck的工作推动了抽象代数和群论的交叉研究。
他发展了同调代数等工具，为群论的进一步发展提供了新的途径。
6. 群论在其他领域的应用：现代科学中，群论在各个领域有着广泛的应用。
例如，量子力学中的对称群、杂化群和群表示论等概念为理解粒子的对称性提供了重要的工具；密码学中的群论在安全通信和数据加密中扮演重要角色。
7. 群论的发展与前沿：群论作为一门活跃发展的数学分支，至今仍有许多待解决的问题，例如，有限群的分类问题和无穷群的结构等。
当前的研究趋势集中在交叉学科研究和应用中，如代数几何、数论、动力系统和理论物理等。
综上所述，群论作为一门重要的数学分支，在数学基础理论的推动下不断发展，为许多领域的研究提供了重要的工具和思想。
群论发展历程
群论发展历程群论是一种研究社会中群体行为及其规律的学科。
群论的发展历程可以追溯到19世纪末20世纪初，经历了多个阶段和重要的学者贡献。
下面将介绍群论的发展历程。
第一阶段是群论的萌芽期，此阶段主要集中于群体心理和行为的研究。
1884年，法国社会心理学家勒庞提出了群体心理学的概念，对群体行为进行了初步的分析和解释。
此后，美国社会心理学家罗斯托将群体心理学进一步发展，并于1908年提出了群体思维的概念。
他认为在群体中，个体可能会失去自我意识，从而被群体思维所主导。
第二阶段是群论的初步建立期，此阶段主要集中于群体动力学的研究。
20世纪40年代，美国心理学家特志尔和法国社会心理学家莱贝尔分别独立提出了“小群体动力学”的概念，并对小群体行为进行了系统的观察和分析。
他们认为，群体中的个体行为受到社会规范、社会影响以及个人目标等因素的共同作用。
第三阶段是群论的发展期，此阶段主要集中于群体结构和网络的研究。
20世纪70年代，美国心理学家霍特还提出了“小世界现象”的概念，指出人们在日常生活中形成的社交网络具有高度的连接性和短路径特性。
此后，网络理论逐渐成为群论研究的重要分支之一。
1987年，美国社会学家格兰诺夫特提出了“弱关系”的概念，认为个体的社会资本主要通过弱关系来获得。
第四阶段是群论的拓展期，此阶段主要集中于群体决策和创新的研究。
20世纪80年代，美国社会心理学家韦尔曼提出了“群体智慧”的概念，指出群体在决策和问题解决方面可以具有优势。
此后，群体决策和创新的研究成为群论研究的热点领域之一。
同时，网络技术的快速发展也为群论研究提供了新的方法和工具。
综上所述，群论的发展历程经历了群体心理和行为的研究、群体动力学的研究、群体结构和网络的研究以及群体决策和创新的研究等多个阶段和重要的学者贡献。
随着社会的变迁和科技的发展，群论的内容和研究方法也在不断拓展和更新，为我们更好地理解和应对群体行为带来了新的思考和挑战。
群论中的群与子群概念
群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的是关于集合上的运算的代数系统。
而群与子群则是群论中的两个基本概念。
首先，我们来谈谈群的概念。
群是由一个集合以及一个运算组成的代数结构。
这个运算满足四个基本性质：封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素。
封闭性指的是任意两个元素进行运算后的结果仍然属于群的集合中。
结合性是指群中任意三个元素进行运算时，先进行其中两个元素的运算，再与第三个元素进行运算，结果应该与先将后两个元素进行运算后再与第一个元素进行运算的结果相等。
单位元素是指在群中存在一个特殊的元素，与群中的任意元素进行运算后，结果不变。
逆元素则是指群中的每个元素都有一个特殊的元素与之进行运算后，结果为单位元素。
群的例子有很多，例如，整数集合{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}构成了一个群，其中的运算是加法。
在这个群中，0是单位元素，任意整数n的逆元素是-n。
另一个例子是二阶对称群S2，它是由两个元素e和s组成，其中e是单位元素，s的平方等于e。
可以发现，群的定义非常广泛，不同的群可能有不同的性质和结构。
接下来，我们来讨论子群的概念。
子群是一个群的一个子集，同时也是一个群。
即子群继承了原群的运算，并且满足群的四个基本性质。
如果一个子集满足封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素这四个性质，那么我们就可以称它为原群的子群。
当然，子群中的单位元素和逆元素都是继承自原群中的。
子群在群论中有着重要的地位，它可以帮助我们研究群的结构和性质。
通过寻找原群的子群，我们可以将复杂的群分解为更简单的子群，进而更方便地分析群的性质。
有时候，我们可以通过子群的性质来推导出原群的性质，或者通过研究子群中的元素来了解原群的特点。
子群的例子也有很多。
例如，对于整数群，它的所有偶数构成的集合{…, -4, -2, 0, 2, 4, …}就是一个子群。
因为任意两个偶数相加还是偶数，单位元素是0，并且每个偶数的相反数依然是偶数。
群论
124第7章 群论第七章中我们介绍了近世代数的一些基本概念，有了这些初步的准备，这一章我们来介绍群这个含有一个代数运算的重要的代数系统．§1群的定义群是含有一种代数运算，这个代数运算一般用符号 或•来表示，有时为了方便也可能直接用普通加法或乘法符号来表示，或者省略运算符号，仅写为ab ，所以有时就把代数运算叫做乘法．请大家注意区分它和普通乘法的不同．定义1设G 是一个非空集合，在G 上的一个二元运算 ，若 满足结合律，则称G 为一个半群．引入半群的目的是为了更方便的介绍群的概念, 下面先介绍几个名词．定义 2 设G 为一个半群，如果存在元素G e L ∈， 对于任意的G g ∈，都有g g e L = ，那么就称L e 为G 的一个左单位元；如果存在元素G e R ∈，对于任意的G g ∈，都有g e g R = ．那么就称R e 为G 的一个右单位元；若e 既为G 的一个左单位元，又为G 的一个右单位元，则称e 为G 的一个单位元．注 半群既可以没有左单位元，又可以没有右单位元或者仅有左单位元或右单位元．但是，若两者都存在，则一定相等，即为单位元．因为e e e e e R L R L === ．定义 3 ),( G 是含右单位元e 的半群，称G 中元素g 是右可逆，如果存在G g ∈′，使e g g =′ ，称g ′为g 的右逆元；称G 中元素g 是左可逆，如果存在 G g ∈′′，使e g g =′′ ，称g ′′为g 的左逆元；称G 中元素g 是可逆元，如果存在G g ∈−1，使125e g g g g ==−− 11，称1−g 为g 的逆元．显然，若G g ∈，g 既有左逆元，又有右逆元，则两者必定相等，并为G 中元素g 得逆元．有了半群、单位元、逆元的概念，即可引入群的定义．定义 4 一个有单位元的半群),( G ，叫做一个群，如果G 的每一个元都为可逆元．换言之，一个非空集合G ，给定G 上的一个二元运算 ，若以下条件满足（１）任意,,G b a ∈则G b a ∈ ；（２）结合律成立：对任意的G c b a ∈,,有)()(c b a c b a =；（３）G 中存在唯一的单位元G e ∈，对任意的G g ∈都有g e g g e == ；（４）G 中任意元素g ，存在G g ∈−1使e g g g g ==−− 11．则称),( G 为一个群．在群的定义中，（1）是多余的，因为已知 是集合G 上的一个二元运算，当然任意两个元素的运算结果仍在G 中，此处只是强调一下G 对 是封闭的．定义了群之后，来看几个群的例子．例1 G 只包含一个元素g ，二元运算定义为g g g = ，则G 对于这个二元运算来说做成一个群．（1） 结合律满足；（2）存在单位元g ；（3）对G 中元素g ，存在逆元g ．例2 全体不等于零的有理数对于普通乘法来说做成一个群．结合律成立．单位元为1．a 的逆元为a1．126例3 Z n ∈，模n 剩余类}1,,1,0{}|]{[−=∈=n Z k k Z n ,二元运算定义为模n 加法，则),(+n Z 构成一个群．（1）结合律成立；（2）单位元为0；（3）0的逆元为0，1的逆元为1−n ，以此类推．例4 模m 的简化剩余系*m Z 对于模m 乘法运算构成一个群．证明 (1) 对任意的,,*m Z b a ∈ 都有,1),(,1),(==m b m a 所以*,1),(m Z ab m ab ∈=．（2）对于模m 乘法，结合律显然成立．（3）单位元为1．（4）对任意的m Z a *∈，存在唯一的1−a ，使)(mod 11m a a =⋅−，故*m Z 中每一个元素都有逆元．以上三个例子中，例1，例3 ，例4的非空集合元素个数为有限多个，例2 元素个数为无限多个．定义5 假如一个群的元的个数是一个有限整数，这个群叫做有限群，否则，这个群叫做无限群．一个有限群的元的个数叫做这个群的阶．记为G ．从群得定义我们知道群满足结合律，而对于交换律，则不一定成立．定义6 一个群),( G ，假如对任意的G b a ∈,，都有 a b b a =．则这个群叫做交换群（也叫Abel 群）．还有一个重要概念是利用单位元e 来定义的．定义7 若群G 的一个元g ，能够使得e gm =的最小的正整数m 叫做g 的阶（或周期）．若这样的m 不存在，则称g 的阶为无限．此处定义的g 的阶类似于初等数论中定义g 的指数)(g m δ，在前面的介绍中我们知道指数满足如下性质：对任给的整数d ，如果)(mod 1m gd ≡，则d g m |)(δ．127在此处元素的阶也有类似的性质．定理1 设a 的周期为m ，当且仅当n m |时，e a n=．证明 设n m |，则存在整数k ，使得mk n =．于是 e e a a a k k m mk n ====)(．反之，设e a n=，但n m |/，则r mk n +=，m r <≤1．于是 r r r mk n a ea a a e ====+，与m 是a 的周期矛盾．实际上，群中元素的阶的定义与模的既约剩余系中元素的指数定义是一致的，所不同的是，在模的既约剩余系中，当时我们并没有提到群的概念．而在本质上，模的既约剩余系关于剩余类的乘法运算就构成一个有限群，元素的指数即为元素的阶（群中）．最后我们来证明群的一个等价的定义．定义4′ 设),( G 是一个半群，如果对于G 中任意,,b a 方程b a y b x a == ,在G 中都有解，则G 为一个群．证明 （1）先证G 中有单位元e ． 令b b y = 的一个解为L e ，则b b e L = ．对任意的,G a ∈ 因为a x b = 有解c ，于是， ()()a c b c b e c b e a e L L L ==== ，L e 为G 的左单位元．同样可以证明b y b = 的解R e 为G 的右单位元．所以e e e R L ==为G 的单位元．（2） 下证对任意的G a ∈，逆元1−a 存在．显然e a y = 的解a ′为a 的左逆元，而e y a = 的解a ′′为a 的右逆元，a a e a a a e a a ′′=′′=′′′=′=′．故两者相等为a 的逆元，所以G 为一个群．从群的等价定义4′可以知道，在群中，一元一次方程有解且解唯一．例5 设b a ,是群G 的元素，a 的阶为p ，b 的阶为q ，（q p <为不同的素数），且 ba ab =，则ab 的阶为pq ．128证明 设ab 的阶为r ，由题设知e b a ab pq pq pq ==)(，故pq r |．所以 ,,,1q p r =或q p 中的一个．1=r 显然是不可能的，若p r =，则p p p p b b a e ab ===)(，因为q p <，所以与b 的周期为q 矛盾．若q r =，则q q q q a b a e ab ===)(从而q p |，此与q 为素数矛盾．所以pq r =．§2 循环群在上一节中给出了群的定义，这一节中，我们介绍一种很重要的群—循环群，并重点研究循环群的结构．研究群的结构是群论的主要目的．到目前为止，仅有少数几类群的结构完全被大家所了解．而对于多数群的结构，目前还有待继续研究．值得说明的是，本节中我们将代数运算通称为乘法．定义 1 若一个群G 的每一个元都是某一固定元a 的乘方，}|{Z n a G n∈=，则称G 为循环群，我们也说，G 是由元a 所生成的，记为)(a G =，a 叫做G 的一个生成元．我们先举两个循环群的例子．例1 ),(+=Z G 是一个循环群，因为)1(=G ．例2 G 包含模n 的n 个剩余类，代数运算定义为模n 加法．剩余类的每一个元可以写成i ，10−≤≤n i ．显然，1是G 的一个生成元．这两个例子具有一定的代表性，例1中的群),(+Z 通常叫做整数加群，生成元1是无限阶的．例2中的群),(+n Z 通常叫做模n 的剩余类加群，生成元1的阶为n ．例3 前面我们证明了模m 的简化剩余系*m Z 构成一个群，当模m 有原根g 时，则g 为*m Z129的生成元，且任给i ，满足1))(,(=m i φ，则i g 亦为*m Z 的生成元，并由此可看出，*m Z 的生成元共有))((m φφ个．通过下列定理可以知道，所有的循环群只有两类．而例1与例2中两个具体的群即为两类循环群的代表．定理1 假定G 是一个由元a 所生成的循环群，当a 的阶无限时，那么G 与整数加群同构；若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构．证明 令 k a k :φ首先证明φ为G 到),(+Z 的映射：即证明k h a a k h =⇒=．反证法：若k h a a =而k h ≠，假定k h >，则得到e a k h =−，与a 的阶无限矛盾．所以φ为G 与整数加群),(+Z 间的映射．又因为k h a a ≠⇒k h ≠，所以φ为单射．显然φ为满射，所以φ为一一映射．又因为)()()()(k h k h k h a a k h a a a φφφφ=+==+．因此φ为同构映射．故G 与整数加群同构．（2）a 的阶是一个有限整数n ，令h a h :ϕ下证ϕ为G 到),(+n Z 的群同构映射．由第1节定理及初等数论中剩余类的性质知：130k h k h n e a a a k h k h =⇔−⇔=⇔=−，所以ϕ映射并且为单射．显然ϕ为满射，所以ϕ为一一映射．又因为k h a a a k h k h +=+==+)()(ϕϕ．所以ϕ为G 与模n 的剩余类加群的同构映射．得证．至此，我们对循环群的存在及构造问题就完全掌握了．但是一般的群构造极其复杂，很难得到象循环群类这样的完美结果．§3 变换群、置换群在前面介绍的群的例子中，集合上的二元运算都是一些具体的普通加法或乘法运算，本节讨论变换群，它的元素不再是普通的数，二元运算也不再是我们通常的四则运算．变换群虽然是一类具体的群，但从同构的概念上，任何抽象群都可以在这类群中找到同构的群．因此通过对变换群的研究，有助于帮助了解抽象群．首先我们再回顾一下以前介绍过的集合A 上的变换．定义1 A 是给定的集合，我们称A 到A 的一个映射A A →:φ为集合A 上的一个变换．A 到A 的一个一一映射称为A 上的一个一一变换．A 到A 的恒等映射称为A 上的恒等变换．考虑集合A 上的所有变换的全体，记为集合S ，规定变换的合成 为S 上的代数运算，显然恒等变换为S 的单位元，由第６章的基本概念知 满足结合律．因此),( S 是一个含有单位元的半群．通常),( S 并不能构成一个群．但S 的子集G 对于上述运算却有可能构成一个群．下面定理说明了),( G 构成群的一个必要条件．定理 1 假如G 是集合A 的若干个变换所作成的集合，并且包含恒等变换ε，若是对于变换的合成来说G 作成一个群，那么G 只包含A 的一一变换．证明 若G 关于变换的合成构成群．则对于任意的G 的元素φ，一定存在1−φ，使εφφφφ==−−11．下证φ为A 上的一一变换．任给A a ∈，131a a a a ===−−)())(()(11εφφφφ，所以φ为满射．若)()(b a φφ=，则b b b a a a =====−−−−)())(())(()(1111φφφφφφφφ．所以φ为单射．定理得证．定义2 一个集合A 的若干个一一变换对于变换的合成作成的群，叫做A 的一个变换群． 我们给出了变换群的定义，但是是否存在变换群，即能否找到若干个一一变换作成变换群呢？我们来看如下定理．定理 2 一个集合A 的所有一一变换作成一个变换群G ．证明 （1）首先证明集合G 对合成运算封闭．若21,φφ为一一变换，则21φφ也是A 上的一一变换．先证21φφ为满射：对任意A a ∈，因为21,φφ为一一变换，所以存在A a a ∈′′′,，使得a a =′)(2φ，a a ′=′′)(1φ，故存在A a ∈′′，使a a =′′)(21φφ．再证21φφ为单射：若b a =/，则)()(22b a φφ≠，)]([)]([2121b a φφφφ≠．因此21φφ也是A 上的一一变换．2） 结合律显然成立．3） 恒同变换ε为一一变换，即为单位元．４）若是φ一个一一变换，那么有一个A 上变换φ′，对任意A a ∈，定义()a a φφ:′容易证明φ′满足εφφφφ=′=′．所以1−=′φφ．定理得证．在证明任意抽象群同构于一个变换群之前，首先需要证明以下结论．132定理 3 ),( G 是一个群，G ′是定义了一个二元运算•的非空集合，如果存在一个G 到G ′的同态满射，对任意的G b a ∈,有)()()(b a b a φφφ•= ，则),(•′G 也是一个群．证明 因为φ是G 到G ′的同态满射，G 的二元运算 适合结合律，由第6章的定理知，G ′的二元运算•也适合结合律．若e 是G 的单位元，e e ′=)(φ，下证e ′是G ′的单位元，任意的G x ′∈′，存在,G x ∈ 使得x x ′=)(φ故)()()()()()()()(x e x x e x e x x e φφφφφφφφ=•=•⇒== ．从而x e x x e ′=′•′=′•′，即e ′是G ′的单位元．任取G a ′∈′，存在,G a ∈a a ′=)(φ同理e a a a a e a a a a ′=•=•⇒==−−−−)()()()()()()(1111φφφφφφφ ．可知G a ′∈−)(1φ为a ′在G ′中的逆元．从而),(•′G 也是一个群．下面定理在群的理论上是一个非常重要的结果．它使任何一个抽象的群跟一个具体的变换群联系在一起．定理4 （Cayley 定理）任意群都与一个变换群同构．证明 对于任意的G g ∈，作集合G 的下述变换 gx x g :τ133则g τ是G 的一一变换．事实上，因b gx =在G 中有解，故对任意,G b ∈存在G x ∈使()b x g =τ，即g τ是G 到G 的一个满射．又因为2121gx gx x x ≠⇒≠，故g τ是G 到G 的一个单射．从而g τ是G 到G 的一个一一变换．由于())()()()())((x x gh hx g hx x x gh g h g h g ττττττ=====•,故对任意的G h g ∈,都有,gh h g τττ=•即}|{G g G g ∈=′τ关于映射的合成是封闭的．令g g τφ :．显然φ为G 到G ′的满射，设h g ≠，则存在,G x ∈ )()(x x hx gx h g ττ≠⇒≠，即h g ττ≠，所以φ是G 到G ′的一一映射．又因为)()()(h g gh h g gh φφτττφ•=•==，由定理 3知G ′是一个群，且G G ′≅．即G 同构于集合G 上的一个变换群．从定理4知，从同构的角度，任意抽象群对应一个变换群．也就是说，如果对于抽象群的研究也可以转换成变换群研究．由此即可看出变换群在群论中的特殊地位，但往往变换群的结构并不比抽象群更容易．下面我们讨论一类简单的变换群，即有限集合A 上的一一变换群．一般一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．所以我们得到置换群的定义．定义 3 一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群．134置换群是变换群的特例，在高等代数中都介绍过，在此我们将一些主要结论简单回忆一下．我们知道，n 个元的置换有!n 个，这!n 个n 次置换关于置换合成作成的群叫做n 次对称群，用n S 表示．故n 次对称群n S 的阶为!n ．现在我们规定一个新符号．定义4 n S 的把1i a 变到2i a ，2i a 变到k i i a a ,,3 变到1i a ，而使其余元（假如还有的话）不变的置换，叫做一个k －循环置换．我们用符号()k i i i 21来表示．特别地，当2=k 时，称()21i i 为一个对换．每一个n 个元的置换π都可以写成若干个互不相交的循环置换的乘积，而每一个循环置换可以表示成对换的乘积．虽然每个置换表示成对换的乘积时，表示法不唯一，但奇偶性不变．通常将表示成偶数个对换的置换为偶置换，表示成奇数个对换的置换为奇置换．!n 个n 次置换中奇偶置换各占一半．所有的偶置换构成一个置换群，称为n 次交代群．最后我们描述在有限群下的Cayley 定理．定理 5 每一个有限群都与一个置换群同构．定理5说明了，每一个有限群都可以在置换群中找到例子．置换群是一种比较容易计算的例子．因此利用定理 5寻找有限群的例子是一种较好的方法．例1 设)(a G =是n 阶循环群，则G 与置换群G ′同构，求G ′．解 由于G 是n 阶循环群，故G ′也是n 阶循环群．为了找到G ′，只要找到G ′的生成元即可．G G ′≅，故G 的生成元的象即为a 的象．由Cayley 定理的证明知n f a ：ax x()n e a a a a a a e f n n 213212=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−， 即()()n G 21=′．例2 证明：4S 有生成元{)41(),31(),21(}．证明 因为任一置换可表示成对换的乘积．4S 中不同的对换为{)43(),42(),32(),41(),31(),21(} 只需证明由)41(),31(),21(可生成)43(,)42(),32(即可．135)231()31)(21(=， )431()31)(41(=，)241()41)(21(=， )341()41)(31(=，)321()21)(31(=， )421()21)(41(=，)43()43)(21)(21()431)(231)(21(==，)32()32)(41)(41()341)(241)(41(==，)42()42)(31)(31()421)(321)(31(==，所以由)}41(),31(),21{(=S 可生成4S ．例3 证明：3S 不是交换群．证明 3S 有 6个元．这6个元可以写成I ，)12(，)13(，)23(，)123(，)132(因为)123()23)(12(=≠)132()12)(23(=所以3S 不是交换群．§4 子群 子群的陪集集合论中我们学了子集的概念，在群论中，集合G 的非空子集合H 对于G 上的二元运算是否也可构成一个群．我们规定定义 1 群() ,G 非空子集H ，若对于G 的运算作成群，则说H 是G 的一个子群．我们用符号G H ≤表示．给定一个任意群G ，则G 至少有两个子群G 和}{e ，称之为平凡子群；其它的子群，称为G 的真子群．例1 设136},,1|{Z n C x x x G n ∈∈==∗，∗C 表示除去零元素以外的复数域，对于某个固定的n ，},1|{∗∈==C x x x H n构成G 的子群．因为任取H x x ∈21,，1)(21=nx x ，故H x x ∈21．G 中的元素满足结合律，所以H 中的元素也满足结合律．,11=n 所以H 中有单位元． H x x x x n n n ∈⇒==⇒=−−−1111)()(1，即H 是一个子群．例2 模4的剩余类加群}3,2,1,0{),(4=+Z ，4Z 和}0{为其平凡子群．}2,0{=H 为其真子群．子群的定义给出了子群的判定方法，以下介绍一个更简单的判定方法，而不需要每次验证子集合H 是否符合群的所有条件．定理 1 H 为群G 的非空子集，H 作成G 的一个子群的充分必要条件是⑴ H ab H b a ∈⇒∈,；⑵ H a H a ∈⇒∈−1．证明 充分性：因为由⑴可知H 是闭的．结合律在G 中成立，在H 中也成立．又因为H 中至少有一个元a ，由⑵知H 中含有1−a ，所以由⑴得 H e aa ∈=−1．故H 中存在单位元．因此H 构成一个群．反过来，若H 作成一个群，则⑴显然成立．下证（2）成立．因为H 是一个群，H 有单位元e ′．任意的H a ∈，a e a a e =′=′．由于G e a ∈′,，所以e ′是a ya =在G 的解．但这个方程在G 里只有一个解，就是G 的单位元e ，所以H e e ∈=′．因为H 是一个群，方程e ya =137在H 中有解a ′，a ′也是这个方程在G 里的解，而方程在G 里有且只有一个解1−a ，所以，H a a ∈=′−1．证毕．推论 1 H 为群G 的非空子集，H 作成G 的一个子群的充分必要条件是H ab H b a ∈⇒∈−1,．有了子群的概念，我们讨论循环群的子群的结构．定理2 循环群的子群仍为循环群。
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E
不动
C
绕C轴转180o
A
绕A轴转180o D
顺时针转120o
B
绕B轴转180o F
逆时针转120o
一般的对称操作群: 分子点群,晶体点群,旋转群,置换群
2. 群论中的基本概念
(1). 群的阶: 指一个群中元素的个数; (2). 有限群与无限群: 指阶为有限及无限的群； (3). 离散群: 群的元素个数是可数有限的群; (4). 连续群: 群的元素的个数是不可数无限的群; (5). 阿贝尔群:群中任意两元素对乘法对易,即满足
┌1 2 3┐
e=∣
∣
└1 2 3┘
┌1 2 3┐
a=∣
∣
└2 1 3┘
┌1 2 3┐
b=∣
∣
└1 3 2┘
┌1 2 3┐
┌1 2 3┐
c=∣
∣
d=∣
∣
└3 2 1┘
└2 3 1┘
可以证明它们符合群的四个基本条件.
┌1 2 3┐
f=∣
∣
└3 1 2┘
例3.矩阵群:
以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群
A
B
D
C
D
A
C
B
B
C
A
D
（2）运算举例
B
A
2
C
D
B
A
2 1 2
B
A
1
2
C
D
2 5 7
C
D
5
A
D
2
——
2
B
C
D
A
2
C
D
B
A
C
B
（3）单位元 1
B
A
1 ：
2
B
A
2
C
D
（4）逆元
例 d3 群
1 0 0 e 0 1 0
0 0 1
0 0 1 c 0 1 0
1 0 0
0 1 0 a 1 0 0
0 0 1
0 0 1 d 1 0 0
0 1 0
1 0 0 b 0 0 1
0 1 0
0 1 0 f 0 0 1
1 0 0
封闭性： a d = b, b d = c, d2 = ?
例4. 对称群 以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群 例 D3 群
定理1：一个系统的所有对称变换的集合是一个群。
证明：（a）如果逐次施行两次对称变换，系统仍保持不 变，因此系统的任意两个对称变换的合成，仍然是一个对称 变换，即所考虑的集合对逐次变换是封闭的。
（b）我们可以把对系统不进行变换定义为恒等变换，它 显然 属于这个集合。
（c）给定一对称变换，就有一个也属于此集合的逆变换。 （d）显然，系统的逐次变换服从结合律。 所以由一个系统的所有对称变换的集合是一个群。
(6)在矩阵乘法下
1 0
10,
1
0
0 1
两个矩阵组成了二阶有限群。
，
(7)若 k是一正整数，由 k个整数 0,1,2,,k 1 组成的集合是对于模
k 的加法群，其中模 k 的加法是指二数相加后除以 k ，再取
余数。例如，令 k 10 ，则 (7 5) 2 。
(8)设 E 和 I 对三维实空间 R3 中向量 r 的作用为 Er r,
c)有唯一的单位元素. 集合G中存在一个单位元素 ,
对任e意元素 , 有：f G
ef fe f
d)可逆性. 对任意元素 f , 存G在逆元素
,使
f 1 G
f 1 f ff 1 e
则称集合G为一个群.
由定义可知基本性质： 1、单位元的逆元为单位元本身，逆元的逆就是群元本身
2、乘积的逆元 (g1g2 )1 g21g11
第二章 群的基本理论
2.1 群的概念
1. 群的定义
假设G是由一些元素组成的集合，即G={…,g,…},在G 中各元素间定义了一种合成规则(操作，运算，群的乘 法 ). 如果G对这种合成规则满足以下四个条件：
a）封闭性. G中任意两个元素的乘积仍然属于G.
即对任意 f , g必有G,
fg hG.
b) 结合律.即对任意 f , g, h 都G有, ： ( fg)h f (gh).
AB BA 群.
n
3. 群的具体例子
(1)由实数 ，1 组1 成了以普通乘法作为合成法则的二阶群。
(2)由复数 1,i,1,i 组成了在普通乘法下的四阶有限群。
(3)在普通加法下，所有整数组成了分立无限群.
(4)在普通乘法下，所有不为零的正实数组成了连续无限群。
(5)只包含单位元的单一点集是在乘法下的一阶群。
Ir r,即 E 是保持 r不变的恒等变换, I 是使 r
反演的反演变换.定义群的乘法为从右到左连续对 r
作用,则集合 E, I 构成反演群, 即空间反演操作和恒等
操作组成一个二阶有限变换群。
(9) Rn 是晶体中任何格矢，Rn n1a1 n2 a2 n3a3 其中 a1, a2 , a3
是原胞的基矢，n1, n2 , n3 是任何整数，根据固体物理知识，
例1：全部正负整数（包括零），群乘为代数的加法运算， 单位元为0，逆元为其负数，构成群。
例2. 置换群 以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群 例: Z3 群 ( 三位置置换群 )
┌1 2 3 ┐
∣
∣表示将 1、2、3 处之物分别放於 2、3、1 处，
└231┘
Z3群由以下六元素构成：
知道平移 Rn 与平移 Rm 的次序无关，即：r Rn Rm r Rm Rn
如令 Tn ,Tm 分别代表平移 Rn 与平移 Rm 的操作，显然有 TnTm TmT n
所有这些平移操作，构成的群称为平移群，可见该群是阿贝 尔群。
(10)绕一个固定轴转动任何角度的一些操作组成群，称为轴转动群
例.正方形的对称性群
（1）平面上正方形ABCD的对称变换群
S(K) = { 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }
1：
B
A
2
B
A
2
2：
C
D
B
Aபைடு நூலகம்
2
C
D
C
D
A
D
-2--
B
C
3 ：
4：
5：
B
A
2
C
D
B
A
2
C
D
B
A
C
D
D
C
A
B
C
B
3-—2-
D
A
C
D
B
A
B
A
6：
C
D
B
A
7：
C
D
B
A
8：
C
D
Cˆn ,ˆv ,ˆh , Sˆn , iˆ, Eˆ , Iˆn
基本对称操作：旋转和反映。
对称元素： 完成对称操作所关联的几何元素（点、线、面及
其组合） 旋转轴， 镜面，对称中心，映轴，反轴
符号
Cn , v , h , Sn , i, E, In
基本对称元素：对称轴和对称面
（3）对称性群：一个系统的所有对称变换组成的群。
如，可令转动
角的操作为 R ,
转动
/
角的操作为
R
/
,
有： Ra R / R / R / Ra/ R
因此，轴转动群也是阿贝尔群。
作业：试证明任何二阶群都是阿贝尔群。
4. 对称变换群
（1）对称：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。 （2）对称操作：使物理系统保持不变的变换。
对称操作 旋转、反映、反演、象转、反转。 算符表示