第8章 弹性体振动
第八章弹性体的应力和应变§81弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种
第八章 弹性体的应力和应变§8.1 弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。
其实，最基本的形变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力） 其中， 沿作用力截面的法线方向。
2. 线应变（相对伸长或压缩）绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸伸长nF Sσ＝（1）例：如图示， 0σ>（或压缩）。
公式：当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。
如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ，横向形变后为 。
横向形变和纵向形变之比为泊松系数：3. 胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比：其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
l l ε∆=（2）0100b b b b b ε-∆==（3）1εμε=（4）Y σε＝（5） 或n F lY S l ∆=（6） 0ε<0ε<设一纵波传播中，t 时刻 x 处媒质的变形情况， 表示 所取媒质的长度，x 处媒质的位移为 y(x) ，处媒质的位移为 ，因此 媒质的应变为： ，取，即为 x 处媒质的应变：拉伸或压缩的形变势能同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：§8.2 弹性体的剪切形变 一、剪切形变·剪切应力与应变（9）()y x x +∆0()()lim x y x x y x y x x ε∆→+∆-∂==∆∂xy ∆ ∆ / 0x ∆→x ∆x x +∆所以： （7）n F y Y S x ∂=∂212pE Y V ε=（8）0212pE Y ε=当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。
例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。
1.剪应力其中：S 为假想截面ABCD 的面积，力F 在该面上均匀分布。
弹性体的振动
以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻 的纵向位移。在杆上取微元段dx，它 的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二 定律，它的运动方程为
将它代入式(6.3.1)并化简，得
可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波 动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变 量法
上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量
6.4 梁的弯曲振动
粱弯曲振动的运动方程
考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动。假 定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对 称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假 定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材 料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动 惯量的影响，这种梁称做欧拉—贝努利(EulerBernoulli)梁。于是，梁上各点的运动只需用 梁轴线的横向位移表示
设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均 为常数，建立如上图所示的坐标系。
在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t， 此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受 力情况。微元段沿y方向的运动方程为
忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点 的矩之和应为零，即
略去二阶微量，有 由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为 将(6.4.2)和( 6.4.3)代入(6.4.1)中，得
方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是
其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条 件(6. 2.7)，得 于是有
而由条件(6.2.15)可得
上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系 列特征值bi
所以系统的各阶固有频率为：
与其相应的特征函数，亦称振型函数为 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
• 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有 共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的 一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相 应的地位和发展。
弹性体振动中的应力分布及其影响因素
弹性体振动中的应力分布及其影响因素弹性体振动是一种重要的物理现象，在许多领域都有广泛的应用。
在弹性体振动中，应力分布是一个关键的因素，它决定了弹性体在振动过程中的变形和响应。
本文将探讨弹性体振动中的应力分布及其影响因素。
首先，我们来了解一下弹性体振动的基本原理。
当一个弹性体受到外力作用时，会发生变形，并产生应力。
在振动过程中，弹性体会以一定的频率在平衡位置附近做小幅度的振动。
这种振动可以通过弹性体的模态来描述，每个模态都对应着一种特定的振动形式。
在弹性体振动中，应力分布是非常复杂的。
一般来说，应力分布随着振动的进行而发生变化。
在振动的最大位移处，应力最大；在平衡位置附近，应力较小。
同时，应力还会随着振动频率的变化而发生变化。
在某些特定的频率下，应力可能会达到最大值，这被称为共振现象。
应力分布的形式和振动模态有关。
对于不同的振动模态，应力的分布也会有所不同。
例如，在弦的振动中，应力分布呈现出波纹状，而在圆盘的振动中，应力分布则呈现出同心圆状。
影响弹性体振动中应力分布的因素有很多。
首先是弹性体的材料性质。
不同的材料具有不同的弹性模量和泊松比，这会影响应力的分布。
弹性模量越大，弹性体的刚度越高，应力分布也会相应增大。
泊松比则决定了弹性体在振动过程中的横向收缩程度，从而影响应力的分布。
其次是振动的频率。
振动的频率会直接影响应力的分布。
在共振频率附近，应力会达到最大值。
因此，在设计弹性体振动系统时，需要避免共振频率的出现，以防止应力过大导致破坏。
此外，弹性体的几何形状也会对应力分布产生影响。
不同的几何形状会导致不同的模态分布，从而影响应力的分布。
例如，在梁的振动中，应力分布会随着梁的截面形状和尺寸的变化而变化。
最后，还有外界环境对应力分布的影响。
例如，温度的变化会导致弹性体的尺寸发生变化，从而影响应力的分布。
此外，外界的约束条件也会对应力分布产生影响。
例如，在一个受到约束的弹性体中，应力的分布会受到约束条件的限制。
第八章弹性体的应力和应变-盐城师范学院
第八章弹性体的应力和应变学时安排：3课时教学目的与要求：1、掌握应力和应变的相互关系、拉伸形变的胡克定律及其适用范围；2、了解杨氏模量、泊松比、剪切模量、固体的弹性形变势能、弹性形变势能密度等概念；3、了解梁的弯曲、杆的扭转的基本知识和结论。
教学重点：弹性体的拉伸和压缩。
教学难点：应力、杨氏模量、剪切模量、泊松比等概念的物理意义。
习题：8.1.2 8.1.3 8.1.6Chapter8 弹性体的应力和应变形变的分类：塑性形变：外力撤消后，形变不完全消失；弹性形变：外力撤消后，形变完全消失，此类物体为弹性体——理想模型；本章的研究范围：各向同性的均匀弹性体的弹性形变，均匀弹性体：体内各点的弹性相同。
各向同性的弹性体：体内各点的弹性与方向无关。
弹性形变的种类：伸长、缩短、切变、扭转、弯曲……； 弹性形变的基本种类：长应变、切应变。
§8—1 弹性体的拉伸和压缩一、外力、内力与应力1．外力：对于给定物体，外界（其它物体）对它的作用力2．内力：物体内部各部分之间的相互作用力。
内力的求法：外力→物体形变→内力，为了研究内力，用一假想的平面S 将物体分为两个部分：则S 面的两侧的相互作用力——内力F ' 、F求内力的方法：隔离体法，S 面的两侧分别为一个隔离体。
物体处于平衡时，列出左侧（或右侧）隔离体的平衡方程式，由外力求内力。
S 面上受力不均匀时，在S 面上任一点（O 点）处取面元S ∆，0n 自受力一侧指向施力物一侧，是S ∆的外法向，S ∆确定了即可确定S ∆的受力（内力）。
3．应力：描述物体内部各点处内力强度的物理量（1）定义：①平均应力：F p S ∆=∆ ②应力：0lim S F p S∆→∆=∆ 物理意义：作用于物体某点处某有向面元的平均应力，当面元0S ∆→时的极限——该无限小有向面元上的应力。
③正应力：p n σ=⋅ σ正应力为p 在无穷小有向面元的外法向上的投影，σ取“+”——有向面元的某一侧受到另一侧的拉力σ取“－”——有向面元的某一侧受到另一侧的压力 ④剪切应力：τ，p 在无穷小有向面元的外法线垂直方向上的投影。
振动理论与应用第8章 弹性体的一维振动
Theory of Vibration with Applications
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8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
dU dx
x =0
= 0,
dU dx
x =l
=0
px px U ( x) = C cos + D sin a a p p D = 0， C sin l = 0 a a p ∴ sin l = 0 a
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8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U ( x ) = C cos px px + D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) = 0 , U (l ) = 0
若
k =，相当于自由端，即 0
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8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
例8-2 与例8-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。 解：此系统仍属于复杂边界条件问题。 当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力 因此杆的边界条件为
U (0) = 0 , EA dU dx
x =l
= − kU (l )
U ( x) = C cos
EA
px px + D sin a a
p C = 0, U ( x) = D sin x a
弹性体中的波动与振动
弹性体中的波动与振动在自然界中，波动和振动是非常常见的现象，而弹性体中的波动与振动则是一个非常有趣和复杂的研究领域。
弹性体是一种能够恢复其形状和体积的物质，当其受到外力作用时，就会发生波动和振动。
一、弹性体的特性弹性体具有可以恢复形变的特性，当外力作用撤除后，弹性体会回到原来的形态。
这种属性来源于弹性体的分子内部结构。
弹性体的分子间力可以解释为由于电荷相互作用所产生的力，这种力可以使得分子在受到外力作用后变形，并将变形的形状存储下来。
当外力消失时，分子间的力就能使弹性体恢复原始形态。
二、弹性体中的波动在弹性体中，波动表现为能量的传递。
当弹性体受到一个扰动时，这个扰动会通过分子间的力传递给其周围的分子，从而导致波动的形成。
这个传递的过程可以通过振动的方式进行。
在弹性体中，波动有两种常见的类型：横波和纵波。
横波是指波动的方向与传播方向垂直的波动，而纵波则是指波动方向与传播方向相同的波动。
三、弹性体中的振动振动是指弹性体内部的周期性运动。
当弹性体受到一个外力作用时，它会产生振动。
振动可以分为简谐振动和复杂振动。
简谐振动是指一个物体沿一个固定轴线作往返运动。
弹簧振子是一个常见的简谐振动的例子。
当一个弹簧振子受到外力作用时，它会在平衡位置附近产生往复运动，这种运动是以一定的频率进行的。
复杂振动则是指一个物体在多个方向上的振动。
例如，当一个匀质杆的一个端点受到扰动时，杆会以不同的频率和振幅在不同方向上振动。
四、弹性体中的应用由于弹性体的特性和波动振动的机制，弹性体在许多领域都有很重要的应用。
在工程领域，弹性体的特性被广泛应用于设计和制造材料和结构。
例如，钢材的弹性和刚性使得它成为建筑、桥梁和机械的重要构件。
在医学领域，弹性体的波动特性被用于声波成像技术，如超声波医学成像。
超声波技术通过测量声波在人体组织中的传播速度和反射程度来生成图像，从而帮助医生进行诊断。
在地震学领域，弹性体的波动特性被用于研究地震的传播和影响。
第8章 弹性体的一维振动
d dx
(EA
dU j dx
)
=
−
p
j
2ρAU
j
（8-22b）
用U j 乘以式（8-22a），用U i 乘以式（8-22b），并分别沿杆长 l 对 x 进行积分，得
190
∫ ∫ l
0U j
d (EA dU i )dx = − dx dx
pi2
l
0 ρAU iU j d x
（8-23a）
∫ ∫ l
0Ui
d2 U (x) + p2 U (x) = 0
d x2
a2
（8-7）
当U (x) 具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解 p2 值及振型函数U (x) 称为杆作纵向
振动的特征值问题。 p2 为特征值，U (x) 又称为特征函数或主振型；而 p 是固有频率。
式（8-7）的解可表示为
U (x) = C cos px + D sin px
d (EA dU j )dx = − dx dx
p
2 j
l
0 ρAU iU j d x
再利用分部积分，可将式（8-23）中左边积分为
∫ ∫ U
j
( EA
dUi dx
)
l 0
−
l EA dU i 0 dx
dU j dx
d x = −pi2
l
0 ρAU iU j d x
（8-23b） （8-24a）
∫ ∫ Ui
3.00
4.00
5.00
10.0
20.0
100.0 ∞
β1
1.08
1.20
1.27
1.32
1.42
弹性体的震动
弹性体的振动5.1 引言任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统）。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
(a)(b)5.1多自由度系统和弹性体的动力学模型多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图5.l(a)所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n个集中质量(m1，m2，…，m n。
)和n-1个弹簧(k1，k2，…，k n-1)所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成，如图5.1(b)所示。
当一个零件的分段数n→∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x也从一个离散值(x1，x2，…，x n)变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数(,)y x t来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
弹性体材料的质点振动规律
弹性体材料的质点振动规律弹性体材料是一类特殊的材料，具有较大的变形能力和恢复力。
它们在受到外力作用时，会发生质点的振动。
本文将探讨弹性体质点的振动规律。
一、弹性体质点的振动特性弹性体质点的振动特性与质点本身的特性以及材料的弹性刚度有关。
通常情况下，弹性体质点的振动是周期性的，即在一定的时间内，质点会重复地执行相同的振动。
1. 自由振动当弹性体质点没有外力作用时，质点将进行自由振动。
自由振动的周期与质点的质量和弹性刚度有关。
当外力作用为零时，质点将按照一定的频率前后摆动，形成周期性的振动。
质点在振动过程中会经历位移、速度和加速度的变化，这些变化遵循一定的规律。
2. 阻尼振动当弹性体质点受到阻尼力的作用时，振动将会减弱并逐渐停止。
阻尼振动的特点是在振动过程中，质点的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼振动与阻尼系数有关，阻尼系数越大，阻尼力越大，振动减弱的速度也越快。
3. 受迫振动当弹性体质点受到外力周期性的作用时，质点将发生受迫振动。
受迫振动的频率与外力作用的频率相同或者相近。
当外力的频率接近质点的固有频率时，质点的振动幅度会不断增大，形成共振现象。
受迫振动的特点是振动幅度与外力频率的关系，当外力频率接近质点固有频率时，幅度增大；当外力频率与质点固有频率相差较大时，振动幅度较小。
二、弹性体振动的数学描述为了进一步研究弹性体质点的振动规律，我们需要使用数学模型进行描述。
1. 弹簧模型弹簧模型是最简单的一种描述弹性体振动的数学模型。
它假设弹性体质点受到弹性力的作用，弹簧的劲度系数与弹性体的弹性刚度相同。
通过牛顿第二定律可以得到弹性体质点的振动方程。
有时候，还可以加入阻尼项和外力项进行更复杂的振动模拟。
2. 波动方程弹性体振动也可以用波动方程进行描述。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了弹性体中的波动传播和振动。
通过求解波动方程，我们可以得到质点的振动波动形式和特性。
三、弹性体振动的应用弹性体振动是一个具有广泛应用的物理现象，在多个领域都有实际应用。
结构动力学 连续弹性体的振动(与“坐标”有关文档共69张)
aa
aa
U ' 0 0 A' A' 0
a
U ' l B' sin l 0
aa
B
'
不恒为零，所以
sin
a
l
0
第13页，共69页。
sin l 0 l n , n 0,1, 2...
a
a
n
n
l
a
代入振型函数为
Un x
Bn'
cos n
a
x
Bn'
cos
n
l
x
对应的第 n 阶主振动为
(2)固支点
固支点处转角、位移均被锁住，为零
y x,t 0
y x,t 0
x
x 0或
第23页，共69页。
（3）自由端 力与力矩均为零
M
EI
2 y x2
0
x 0,
Q
M x
EI
3 y x3
0
x 0,
（4）梁端有弹性支承
弹性梁端剪力等于弹性恢复力, 弹性恢复力与
位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,
3 y EI x3 0
第25页，共69页。
（5）梁端有集中质量力 梁端弯矩为零
2Y ,t
EI 2x2 0 梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移
正向相反，所以二者同号
EI
3 y x3
,t
M
2 y t 2
,t
对位移或转角施加的约束 称为几何边界条件。
对剪力和弯矩施加的约束 称为力边界条件。
2 y t 2
q( x, t )
第20页，共69页。
弹性力学中的弹性体的振动和谐振频率
弹性力学中的弹性体的振动和谐振频率弹性体是指在外力作用下，能够发生形变，但在外力作用消失后，又能够恢复原状的材料。
在弹性体的振动过程中，涉及到振动和谐共振频率的概念。
本文将探讨弹性力学中的弹性体的振动和谐共振频率，并介绍相关理论和应用。
一、弹性力学基础在深入理解弹性体的振动和谐共振频率前，先了解一些弹性力学的基础知识是必要的。
弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的一门学科。
在弹性力学中，有两个重要的基本方程：胡克定律和牛顿第二定律。
胡克定律是描述物体弹性形变的关系，简单来说就是弹性体的形变与受力成正比。
具体公式为：F = -kx其中，F表示受力，k表示弹簧系数，x表示形变。
牛顿第二定律是描述物体受力与加速度之间关系的定律。
其公式为：F = ma其中，F表示受力，m表示物体质量，a表示加速度。
二、弹性体的振动当一个弹性体受到外力作用后，如果形变足够小，就可以认为弹性体是弹性的，可以发生振动。
弹性体的振动有两种基本形式：自由振动和受迫振动。
1. 自由振动自由振动是指弹性体在没有外力作用下的振动。
当弹性体受到外力作用后，会发生形变，但是外力消失后，弹性体会按照自己的固有特性恢复原状，继续向前振动。
弹性体的自由振动是周期性的，振动的周期取决于弹性体的固有特性，与外力无关。
2. 受迫振动受迫振动是指弹性体在外力作用下的振动。
外力可以是周期性的，弹性体会跟随外力的周期进行振动，这种振动称为强制振动；外力也可以是非周期性的，弹性体会根据外力的不同而产生各种不规则的振动。
三、弹性体的谐振频率在自由振动中，弹性体的振动可以通过谐振频率进行描述。
谐振频率是指使得振动呈现最大幅度的频率。
在弹性体受到自由振动的情况下，当振动频率等于谐振频率时，振幅最大；当振动频率与谐振频率有一定偏差时，振幅逐渐减小。
弹性体的谐振频率与弹性体的固有特性有关。
根据弹性力学的理论，谐振频率与弹性体的质量和弹性系数相关。
谐振频率可用以下公式表示：f = 1 / (2π) * √(k / m)其中，f表示振动的频率，k表示弹簧系数，m表示物体质量。
第八章弹性体的应力和应变
第⼋章弹性体的应⼒和应变第⼋章弹性体的应⼒和应变8.1弹性体的拉伸和压缩四种物体的形变：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲本节从弹性均质直杆的情况出发讨论拉伸、压缩的正应⼒与形变的关系。
（⼀）外⼒、内⼒和应⼒：对于直杆整体来说作⽤在直杆的拉⼒（或压⼒）F '和F F '''=- 是外⼒，设想在直杆上某位置作与轴线垂直的假想截⾯AB ，截⾯上半部分通过假想截⾯对下半部分施以向上（或向下）的拉（或压）⼒F -，下半部分通过假想截⾯对上半部分施以向下（或向下）的拉（或压）⼒F，对直杆整体⽽⾔，这对⼒为内⼒。
当作⽤⼒远⼤于⾃重时，可把⾃重忽略不计，据平衡条件得出内⼒和外⼒⼤⼩相等即：F F F '''==⼆、直杆的应⼒：如果杆的直径⽐长度⼩很多，则可认为直杆横向假想截⾯应⼒分布均匀的，应⼒⼤⼩为：nF Sσ=n F →内⼒在假想截⾯外法线⽅向的投影，S 表⽰横截⾯的⾯积，拉伸应⼒0σ>，压缩应⼒0σ<。
(a)(b)（⼆）直杆的线应变以杆的拉伸为例，如图所⽰，直杆在竖直⽅向拉⼒作⽤下发⽣拉伸形变。
设 0l 直杆的原长l 形变后的长度0l l l ?=- 0l ?>为绝对伸长0l ?<为绝对压缩⼀、线应变：绝对伸长和压缩之⽐称相对伸长（或压缩）⼜叫线应变。
l lε?=0ε> 为拉伸 0ε< 为压缩⼆、泊松系数：直杆拉伸压缩时，还产⽣横向形变。
直杆沿轴向拉伸时，则横向收缩，直杆沿轴向压缩时，则横向膨胀。
设想直杆横截⾯是正⽅形，每边长为0b ，横向形变后边长为b ，则横向相对形变或应变为：010b b bb bε-?==实验证明，对于⼤多数教材1ε的绝对值⽐相对线应变ε的绝对值⼩3～4倍。
横向应变与纵向应变之⽐的绝对值称为泊松系数，µ是描写物质弹性特征的物理量。
1εµε=(三)胡克定律⼀、内容：对于有拉伸压缩形变的弹性体，当应变较⼩时，应变与应⼒成正⽐。
第八章弹性体的应力和应变-精选
弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值。
外力拉压杆件时，外力的功与弹性体反抗形变而施于外
界的力所做的功大小相等符号相反。因此，弹性势能等 于自势能零点开始外力做功的正值。
A0lF ndY l0 S0ld1 2Y l0l2Sl0
若取未变形时未势能零点，则外力的功等于形变达到时
F S
剪切应力互等定律： 作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线
的剪切应力是相等的。
剪切应变： 平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比。
tgbb' bb' 式中 为切变角。
ab
ab
2. 剪切形变的胡克定律 实验表明，若形变在一定限度内，
剪切应力与剪切应变成正比
N
简称“帕”，符号“Pa”。
量纲：L-1MT-2
［例题１］薄壁圆柱形容 器壁内的应力。
[解] 按平衡条件
2pR2D0
得到应力
Rp d
2. 直杆的线应变
设直杆原长和形变后的长度分别为l０和l，
则线应变 l0 l l
l0
l0
设直杆横截面是正方形，每边长b０，横向 形变后边长为b，则横向应变为
第八章 弹性体的应力和应变
这一章将考虑物体的形变，弹性体是研究形变 的一个理想模型，它假设物体受外力发生的形变在 外力撤消后能够消失。研究弹性体的力学称弹性力 学，弹性力学将弹性体看作是连续介质，所以也叫 连续介质力学。
弹性体的形变有四种：拉伸压缩、剪切、扭转 和弯曲，其中最基本的是拉伸压缩和剪切。
1 12
K R Ybh3
式中表示加于梁的 力偶矩，b 为梁的 宽度，h 为梁的高 度。
2. 杆的扭转
杆扭转的原因：杆受到作用在与其轴线垂直的两个平面上 大小相等方向相反的力矩。
第八章弹性体的应力和应变
5
§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
4
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
连续弹性体的振动
4 y d4y T (t ) 4 4 x dx
4 d 2T d y 2 Y x 2 a T t 4 0 dt dx
d y 1 dT 2 4 Y x dx T t dt
a
2
4
2
a 2 d 4Y d 2T 2 4 2 Ydx Tdt d 2T 2 T 0 2 dt
N A x A x E EA x u x
由牛顿第二定律
2u N N x A x dx 2 N dx N dx t x x u E A x x x
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 1） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u x, t
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
2 y EI 4 y 0 2 4 t A x
4 2 y y 2 a 0 2 4 t x 采用分离变量的求解思路,
,
y x, t Y x T t
2 y d 2T Y ( x) 2 2 t dt
扭矩为零
（3）弹性支承
k
, t GJp ,t X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
2 J o 2 , t Jpd ,t t x J 圆盘对称轴转动惯量
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
振动力学(梁的横向振动)
第 i阶振型有 i－ 1 个节点。节点坐标
1
2
l2
EI
A
i
l
xk
k
即
xk
)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ (0)0,Φ (0)0 Φ(l)0,Φ(l)0 代入特征方程的解得到
i 1
l
l
q & 0 i 0 A Φ jΦ id x q & 0 i0 A Φ iu & (x ,0 )d x
i 1
标准坐标下的初始激励响应
qi(t)qi0cositq & i0 i sinit
弹性体的振动
物理坐标下的响应
u(x,t)Φ i(x) qi0cositq & i0sinit
l
0j
d2 dx2
EI
d2i
dx2
dx
l EI d2i
0 dx2
d2j dx
dx2
0li2Aijdx
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
l
0i
d2 dx2
EI
d2j
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0l2j Aijdx
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
l 0j
解： （1）固有频率与相应的固有振型为
i
i
l
2
EI
A
Φi(x)
Ci
理论力学中的弹性体与振动传播研究
理论力学中的弹性体与振动传播研究弹性体是理论力学中重要的研究对象之一，而振动传播又与弹性体密切相关。
本文将介绍弹性体与振动传播的相关理论和研究进展。
一、弹性体的概念和特性弹性体指的是能够在外力作用下发生变形，但在外力撤离后能够恢复到原状的物质。
弹性体的特性包括以下几个方面：1. 弹性模量：弹性模量是衡量物质抵抗变形的能力的物理量，常用的弹性模量有杨氏模量、泊松比等。
杨氏模量描述了物质在拉伸或压缩时的变形程度，泊松比则表示了物质在受力时横向的变形程度。
2. 应力-应变关系：弹性体的变形与所施加的应力存在一定的关系，这种关系被称为应力-应变关系。
根据线弹性理论，当物体受到小的应力作用时，其应变与应力成线性关系。
3. 弹性力学方程：弹性力学方程是描述弹性体力学行为的基本方程，常用的方程有胡克定律、拉普拉斯方程等。
胡克定律描述了线弹性体的应变与应力的关系，拉普拉斯方程则描述了弹性体的平衡状态。
二、振动传播与弹性体振动传播是指振动在介质中的传递过程。
而弹性体在振动传播中起到重要的作用。
弹性体的弹性模量决定了振动的传播速度和传播方式。
1. 振动传播速度：弹性体的杨氏模量和密度决定了振动在该介质中的传播速度。
通常情况下，杨氏模量越大，介质的传播速度越快，例如固体的传播速度大于液体和气体。
2. 纵波和横波：根据振动方向的不同，振动传播可分为纵波和横波。
纵波是指振动方向与传播方向相同的波，而横波则是指振动方向垂直于传播方向的波。
弹性体中的振动传播既可以是纵波，也可以是横波，具体取决于介质的性质和振动的方向。
3. 声速与介质特性：声速是指声波在介质中传播的速度，而声速受到介质的弹性模量、密度等因素的影响。
对于弹性体而言，其声速与弹性模量呈正相关，密度呈负相关。
因此，通过测量声速可以获得弹性体的弹性模量和密度等物理属性。
三、弹性体与振动传播的研究进展弹性体与振动传播的研究一直是理论力学的重要课题，随着科学技术的进步，研究者们在此领域取得了不少重要成果。
《力学》第8章
应用：空心管。
实心圆柱体的扭转力偶矩与扭转角的关系
dM 2 rdr r 2 r dr
2
R
R 2
M
dM
l
R
2 r d r 2 G
0
r dr
2 0
2 G
r
0
3
dr
4
GR
2l
4
M
GR
2l
c
短而粗的圆柱体具有较强的抗扭转形变能力。
2
1 2
E V
2
弹性势能密度
Ep
0
EP V
1 2
E
2
8.2.弹性体的剪切应变 一、剪切形变· 切应力与切应变 1．剪切形变：物体在力偶作用下，使两平行截面间发生 相对平行移动时，这种形变叫剪切形变。
2．切应力：设沿两个面元切线方向的力偶 F F
则： F S
3．切应力互等定律 由力偶矩平衡条件
类 似 分 析 ： 小 G大 。
G 1
x
3．剪切形变势能
x x x
A
Fdx Sdx G S dx
0 0 0
GS L
xd x
0
1 GS 2 L
(x)
2
1 2
G SL (
x L
)
2
Ep
Ep
0
1 2
Ep V
GV
1 2
2
G
2
l0
忽略截面变化，则
A外
L 0
Fn d
ES l0
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第八章 弹性体振动§8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
xx)a )b ((图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。
当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。
此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。
§8-2 杆的纵向振动8.2.1运动方程假设有一根均质等截面的棱柱形杆，杆长为l ，截面积为A ，质量密度为ρ，拉压弹性模量为E 。
取杆件中心线为x 轴，原点取在杆的左端面(见图8-2a)。
假设在振动过程中杆的横截面只有x 方向的位移，而且每一截面都始终保持平面并垂直于x 轴线。
当杆件处于平衡状态，杆上各截面的位置用它们的x 坐标来表示。
当杆件振动时，x 截面的纵向位移则用广义坐标来u 表示。
显然对应于一个x 就有一个u ，而不同时间内每个u 也在变化，因此u 是x 和t 两个变量的函数。
u ＝u (x ,t))a )b oSdx xS S ∂∂+22tu Adx ∂∂ρA图8-2 棱柱形杆的纵向振动现在，我们在x 截面处取杆件上一个微小的单元体来研究(见图8-2b)，分析其受力状态。
设x 截面的振动位移为u ，则在x ＋dx 截面处的振动位移就应该是dx xuu ∂∂+。
又设x 截面上的拉压内力为S ，则x ＋dx 截面上的拉压内力应为dx xSS ∂∂+。
这一微元段所产生的惯性力是22t u Adx∂∂ρ。
根据达伦培尔原理可以得出以下关系式：0)(22=∂∂--∂∂+tu Adx S dx x S S ρ (8-1)根据虎克定律：εσE =。
其中微元段的轴向应变量ε为：xu dx udx x uu ∂∂=-∂∂+=)(ε故用微元段的轴向应力σ来表示其轴向拉压内力S 时，可得：xuEAAE A S ∂∂===εσ (8-2) 将(8-2)式代入(8-1)式得：02222=∂∂-∂∂t u Adx x u EA ρ即2222t uE x u ∂∂=∂∂ρ或222221tu axu ∂∂=∂∂ (8-3)式中：ρEa =(8-4)(8-3)式即为等截面杆纵向自由振动的运动方程，它是一个二阶齐次偏微分方程式，也 就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。
式中a 可以证明是声波在杆件中沿x 轴的传播速度，对一定的杆来说，a 是个常数。
8.2.2固有频率和主振型如前所述，通过求解系统自由振动的运动方程，可以求出系统的固有频率和主振型。
现在要求杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解(8-3)式所示的偏微分方程式。
我们现在不用偏微分方程的理论来求(8-3)式的解，而是根据对多自由度振动系统的了解，仍然用待定系数法来寻找它的简谐振动的特解．如前所述，多自由度系统自由振动的解为，{}{}t i ne A x ω=当自由度数n →∞时，上式中的振动位移的列矢量{}x 就变成截面位置坐标x 和时间t 两个变量的连续函数u (x , t )。
上式中的振幅列矢量(即主振型){}A 也就变成了连续函数U (x ),因为在弹性体振动过程中，对应于每一个截面位置坐标x 就有一个振幅U ，但由于弹性体截面有无穷多个，所以U 也有无穷多个，故不能象多自由度系统那样用n 个振幅组成的列矢量来表示，而只能用一个未知函数U (x )来表示。
显然U (x )表示了杆件纵向振动的振型，故称其为振型函数。
此外，还应有一个时间函数由Φ(t )，它表示杆件的振动方式。
通过以上分析，我们可以推断出杆件纵向振动的解应具有以下形式：)()(),(t x U t x u Φ= (8-5)将上式分别对x 和t 求二阶偏导：2222)()(dx x U d t x u Φ=∂∂ 2222)()(dt t d x U t u Φ=∂∂将以上两式代入(8-3)得：22222)()(1)()(dtt d x U adxx U d t Φ=Φ应用分离变量法，则上列偏微分方程的形式可以改变为：22222)()(1)()(dt t d t dx x U d x U a ΦΦ= (8-6)上式左边仅是坐标x 的函数，右边仅是时间t 的函数，因此它们必须等于同一个常数上式方能成立。
若假设这一常数为2n ω-(因为只有把常数设为负值，才可能得到满足边界条件的非零解)，则(8-6)式就变成下列两个常微分方程式：0)()(222=Φ+Φt dt t d n ω (8-7)0)()(2222=+x U adxx U d nω (8-8)显然，(8-7)、(8-8)式的解分别为：t B t A t n n ωωsin cos )(11+=Φ (8-9)axD axC x U n n ωωsincos)(11+= (8-10)式中，n ω即为杆件纵向自由振动的频率，也就是杆件的固有频率。
U (x )则是杆件纵向自由振动的振型函数，即主振型。
将(8-9)、(8-10)式代回(8-5)式，即可得杆件纵向自由振动的解：)sin cos )(sincos(),(1111t B t A a xD axC t x u n n n n ωωωω++= )sin()sincos (11ϕωωω++=t axD axC A n n n)sin()sincos(ϕωωω++=t axD a x C n n n (8-11)式中C 、D 、n ω、ϕ为四个待定常数，要由杆件的两个边界条件和振动时的两个初始条件来决定。
现以杆件两端是由自由端的情况为例来说明求固有频率及主振型的方法。
由于自由端上应力σ为零，故应变ε也为零。
因此自由端的边界条件可写成：00=∂∂=x xu ，0=∂∂=lx xu将以上两个边界条件分别代入(8-11)式得：0)sin(0=+=∂∂=ϕωωt aD xun n x (8-12)0)sin()sincos(=+-=∂∂=ϕωωωωωt alaCalaDxun n nn nlx (8-13)因为对于任何t 值，以上两式都必须成立，所以0)sin(≠+ϕωt n 。
因此，以(8-12)式得到D ＝0。
这时，不能再令C ＝0，否则就得到u (x ,t )=0的非振动解。
从(8-13)式可以看出，要使u (x ,t )有非零解，就必须有:0sin =aln ω (8-14)上式就是杆件纵向振动的频率方程，由此可以求得无限多阶固有频率。
因为由(8-14)式可得：πωi aln = 故杆件的固有频率为：),,3,2,1(∞⋅⋅⋅===i Eli l ia ni ρππω (8-15)对应于上述无限多阶固有频率，就有无限多阶主振型：lxi C x U i i πcos)(= (8-16) 令i ＝1、2、3分别代入(8-15)与(8-16)式，即可求得具有自由端的杆件纵向振动时的前三阶固有频率和相应的主振型。
第一阶固有频率和主振型为：ρπωEln =1，lxC x U πcos)(11=第二、三阶固有频率和主振型为：ρπωEl n 22=，lxC x U π2cos)(22= ρπωEln 33=，lxC x U π3cos)(31= 这三阶主振型表示在图8-3之中，可以看出，随着频率阶数的升高，节点数也在增加。
)a 0l2l 2l c1c1-0l2l 22c cc24l 43l )b 2--)c 0l2l 2l c3c3c3c36l 3l 3l 56l图8-3 杆件纵向振动的主振型§8-3 轴的扭转振动8.3.1运动方程设有一根均质等截面面轴，长度为l ，半径为r ，质量密度为ρ，剪切弹性模量为G ，截面的极惯性矩为J p 。
取轴线为x 轴，原点取在轴的左端面(见图8-4)。
22tdx J p ∂∂θρdx xT ∂∂+T图8-4 圆轴的扭转振动在轴的x 截面处截取微元段dx ，并取x 截面相对平衡位置的转角θ为广义坐标，则在x ＋dx 截面上的角位移应为dx x∂∂+θθ。
故微元段两端截面的相对扭转角θd 为： dx xdx x d ∂∂=-∂∂+=θθθθθ)( 因此微元段上的角应变量xdx d ∂∂==θθεθ。
故x 截面上的内扭矩T 为：xGJ T p∂∂=θ 单位长度上扭矩的变化量为：22xGJ x T p ∂∂=∂∂θ 所以x ＋dx 截面上的内扭矩为：22xGJ T dx x T T p ∂∂+=∂∂+θ 圆柱形微元段的极转动惯量I p 为：dx J I p p ρ=根据转动方程式可得：T dx xGJ T tdxJ pp -∂∂+=∂∂)(2222θθρ即2222x Gt ∂∂=∂∂θθρ(8-17)令ρGb =则(8-17)式可改写成：222221t u b x u ∂∂=∂∂ (8-18)上式就是等截面圆轴扭转自由振动的运动方程。