第8章 弹性体振动

第八章 弹性体振动

§8-1 概述

任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。

多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。

x

x

)

a )

b ((

图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型

从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。

从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。

从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。

在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。

§8-2 杆的纵向振动

8.2.1运动方程

假设有一根均质等截面的棱柱形杆，杆长为l ，截面积为A ，质量密度为ρ，拉压弹性模量为E 。取杆件中心线为x 轴，原点取在杆的左端面(见图8-2a)。假设在振动过程中杆的横截面只有x 方向的位移，而且每一截面都始终保持平面并垂直于x 轴线。当杆件处于平衡状态，杆上各截面的位置用它们的x 坐标来表示。当杆件振动时，x 截面的纵向位移则用广义坐标来u 表示。显然对应于一个x 就有一个u ，而不同时间内每个u 也在变化，因此u 是x 和t 两个变量的函数。

u ＝u (x ,t

)

)

a )

b o

S

dx x

S S ∂∂+

2

2t

u Adx ∂∂ρA

图8-2 棱柱形杆的纵向振动

现在，我们在x 截面处取杆件上一个微小的单元体来研究(见图8-2b)，分析其受力状态。

设x 截面的振动位移为u ，则在x ＋dx 截面处的振动位移就应该是dx x

u

u ∂∂+。又设x 截面上的拉压内力为S ，则x ＋dx 截面上的拉压内力应为dx x

S

S ∂∂+。这一微元段所产生的惯性力是2

2t u Adx

∂∂ρ。根据达伦培尔原理可以得出以下关系式：

0)(22=∂∂--∂∂+t

u Adx S dx x S S ρ (8-1)

根据虎克定律：εσE =。

其中微元段的轴向应变量ε为：

x

u dx u

dx x u

u ∂∂=-∂∂+

=

)(ε

故用微元段的轴向应力σ来表示其轴向拉压内力S 时，可得：

x

u

EA

AE A S ∂∂===εσ (8-2) 将(8-2)式代入(8-1)式得：

02

22

2=∂∂-∂∂t u A

dx x u EA ρ

即

2

22

2t u

E x u ∂∂=

∂∂ρ

或

2

22

2

21t

u a

x

u ∂∂=

∂∂ (8-3)

式中：

ρ

E

a =

(8-4)

(8-3)式即为等截面杆纵向自由振动的运动方程，它是一个二阶齐次偏微分方程式，也 就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。式中a 可以证明是声波在杆件中沿x 轴的传播速度，对一定的杆来说，a 是个常数。

8.2.2固有频率和主振型

如前所述，通过求解系统自由振动的运动方程，可以求出系统的固有频率和主振型。现在要求杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解(8-3)式所示的偏微分方程式。

我们现在不用偏微分方程的理论来求(8-3)式的解，而是根据对多自由度振动系统的了解，仍然用待定系数法来寻找它的简谐振动的特解．如前所述，多自由度系统自由振动的解为，

{}{}t i n

e A x ω=

当自由度数n →∞时，上式中的振动位移的列矢量{}x 就变成截面位置坐标x 和时间t 两个变量的连续函数u (x , t )。上式中的振幅列矢量(即主振型){}A 也就变成了连续函数U (x ),因为在弹性体振动过程中，对应于每一个截面位置坐标x 就有一个振幅U ，但由于弹性体截面有无穷多个，所以U 也有无穷多个，故不能象多自由度系统那样用n 个振幅组成的列矢量来表示，而只能用一个未知函数U (x )来表示。显然U (x )表示了杆件纵向振动的振型，故称其为振型函数。此外，还应有一个时间函数由Φ(t )，它表示杆件的振动方式。

通过以上分析，我们可以推断出杆件纵向振动的解应具有以下形式：

)()(),(t x U t x u Φ= (8-5)

将上式分别对x 和t 求二阶偏导：

2222)()(dx x U d t x u Φ=∂∂ 2

22

2)()

(dt t d x U t u Φ=∂∂

将以上两式代入(8-3)得：

2

22

2

2)()

(1)()

(dt

t d x U a

dx

x U d t Φ=

Φ

应用分离变量法，则上列偏微分方程的形式可以改变为：