逆命题与逆定理(提高)知识讲解

逆命题与逆定理（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；
2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；
3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．
【要点梳理】
要点一、互逆命题与互逆定理
1.互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.
要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.
2.互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
要点诠释：
（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；
(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.
要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
要点诠释：
性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、角平分线性质定理及其逆定理
角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
【典型例题】
类型一、互逆命题与互逆定理
1、请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．
【答案与解析】
解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题．
举例证明：
如图在△ABC中DE∥BC，交边AB、AC分别于D、E两点，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠A＝∠A，
但△ADE与△ABC不全等．
【总结升华】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假，再举例证明即可.
举一反三：
【变式】试写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．
(1)对顶角相等；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)若a＝0，则ab＝0；
(4)两条直线不平行，则一定相交；
【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；
(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；
(3)若a＝0，则ab＝0(真)；若ab＝0，则a＝0(假)；
(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；
类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
2、如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．
【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【答案与解析】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵OB+OC+BC=16cm，
∴OA=0B=OC=5cm；
（3）∵∠BAC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°．
【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠A＝50°，DE是线段AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD ＝_________ ．
【答案】50°；
3、（2016•怀柔一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB=∠AED.
【思路点拨】由线段垂直平分线的性质以及三角形的性质即可得到答案.
【答案与解析】
证明：∵DE是AB边的垂直平分线,
∴AE=BE , ∠ADE=90°.
∴∠EAB=∠B.
在Rt△ABC中，∠C=90°,
∴∠CAB+∠B=90°.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°,
∴∠AED+∠EAB=90°.
∴∠CAB=∠AED.
【总结升华】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
类型三、角平分线性质定理及其逆定理
4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，
求证：OB＝OC．
证明：∵AO平分∠BAC，
∴OB＝OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
【思路点拨】由角平分线的性质可得OD＝OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB＝OC．
【答案与解析】
证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD＝OE，
在△DOB和△EOC中，
∠DOB＝∠EOC，OD＝OE，∠ODB＝∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB＝OC．
【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．
5、如图所示，已知△ABC中，F点到直线AE、AD、BC的距离都相等．
求证：F点在∠DAE、∠CBD、∠BCE的平分线上．
【思路点拨】连接AF，由已知可知GF＝FM，已知AF＝AF，则利用HL来判定Rt△AGF≌Rt△AMF从而可得到∠FAG＝∠FAM，同理可得到∠FC G＝∠FCH，∠FBH＝∠FBM，即F点在∠DAE、∠CBD、∠BCE的平分线上．【答案与解析】
证明：如图所示，连接AF．
∵F点到直线AE、AD的距离相等，
即FG＝FM，
∴△AGF和△AMF为直角三角形．
在Rt△AGF和Rt△AMF中，
∵FG＝FM，AF＝AF，
∴Rt△AGF≌Rt△AMF．
∴∠FAG＝∠FAM．
同理可证Rt△FGC≌Rt△FHC，
Rt△FHB≌Rt△FMB，
∴∠FCG＝∠FCH，∠FBH＝∠FBM，
∴F点在∠DAE，∠CBD，∠BCE的平分线上．
【总结升华】此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．准确作出辅助线是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，求证：O也在∠A的平分线上．
【答案】
证明：如图，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵O在∠B的平分线上，
∴OD=OE，
又点O在∠C的平分线上，
∴OE=OF，
∴OD=OF，
∴O在∠A的平分线上.。