第六章简单的超静定问题
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M Bl ql 3 16 EI 3EI
q A A l
MB
P=ql C l/2 l/2
B
相当系统
MB
几何相容方程为: B1 B 2
M Bl M Bl ql ql 24 EI 3EI 16 EI 3EI
3 3
B
MB
P=ql C
3 ql 2 ql 2 5ql 2 MB 2 24 16 32
3
X 1a 5 Pa w D1 3 EI 6 EI
3
3
5 X1 P 4
(2) 加固前后B点挠度变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
3
2
3
(2) 加固后B点挠度的变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
2、超静定结构的类型
第一类
第二类
第三类
3、超静定次数
超静定结构的内外约束力总数或内力数要多于静力 平衡方程，其差值称为超静定次数。
超静定次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程数
结构的超静定次数就 于它的多余约束力数
超静定问题的解法： 1、静力平衡（不足） 2、变形几何（补充） 3、物理本构（沟通） 综合考虑变形的几何相容条件、物理关系和 静力学平衡条件。 关键：几何相容条件（变形协调条件）
Concrete is poured around the wires to form a beam. P
P
•
After the concrete sets properly, the force is removed. Thus, the beam is left in a prestressed condition, with the wires in tension and the concrete in compression.
0 l1
1 l2
2
n-1 ln
n ln+1
n+1
任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，由于是连续梁， 挠曲ห้องสมุดไป่ตู้在n支座处光滑连续,则
Mn-1
n左 n右
n+1 Mn+1 ln+1
n-1 ln
n
基本静定 系为:
Mn-1
n-1
n n
Mn
n+1
Mn+1
几何相容方程为:
n1 n 2
Prestressed concrete • High-strength steel wires are stretched. • P P
Prestressed concrete Q: Let us assume that the prestressing force produces in the steel wires an initial stress 620 MPa. If the moduli of elasticity of the steel and concrete are in the ratio 12:1 and the cross-sectional areas are in ratio 1:50, what are the final stresses in the two materials? Steel: Concrete: 500MPa (tension) 10MPa (compression) P P P P
FA FB 0
lt l F
lt l t
FB l L t EA
FB EAt
FB E t A
温度应力：
Q235低碳钢线膨胀系数为
1 2 .5 1 0
6
C
1
E 200 GPa
s 235 M Pa
q
超静定问题
A l
B
q
基本静定系1
A
B FB
MA
q
B
基本静定系2
A
例4 已知长度为 l、弯曲刚度为EI，的悬臂梁 承受均布荷载，求图示静不定梁的支反力 q
A B
l
解法一：将支座B看成 多余约束，几何相容条 A 件为：
q
B l
wB 0
3
FB l ql 0 3 EI 8 EI
3ql FB 8
P
B C D A
a
a
解：(1)基本静定系如图 解： P
A
X1
D1 B
C
D
X1
几何相容条件为：
w D w D1
C D
X 1a wD 3 EI
3
P
A
X1
D1 B
A
X1
D1 B
A D1
P
B
X 1a 3 5 Pa 3 wD1 3EI 6 EI
w D w D1
X 1a wD 3 EI
§6-2 拉压超静定问题
D C B
如图所示，求三杆的轴力 问题: 这个结构是静定的？超静定的？
A F
超静定次数?
对A点分析：三杆的轴力与外力F构 成平面汇交力系。
2 3
平面汇交力系的独立平衡方程数是 未知力个数是 因此这个结构是 1 次超静定。
例1 已知: 1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为 E3A3, F，求各杆内力。 解: 分析A结点 FN1
多余约束并不“多余”，通过增加多余约束， 有效降低结构的内力及变形，可提高安全度。
2、超静定结构的类型 外力超静定结构 仅在结构外部存在多余约束，即支座反 力不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 内力超静定结构 仅在结构内部存在多余约束，即结构内力 不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 混合超静定结构 内、外超静定兼而有之的结构。
a
a
B
2( l1 ) l 2
分析AB
A
aF1 2aF2 0
物理方程
FA
F1
F2
B
F1l l1 EA (伸长)
2( l1 ) l2
(拉力)
F2 l l2 (缩短) EA
几何相容条件
4 EA F1 5l
2 EA (压力) F2 5l
思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距 离 = 1mm，材料的弹性模量E=210GPa，上下 两段杆的横截面面积分别为600mm2和300mm2。 试作杆的轴力图。
B
2
P
例7 如图所示双跨简支梁受集中力F作用，求约束 反力，并画出剪力图和弯矩图。
q A l B l/2 l/2 P=ql C
解一： 以支座B为多余约束 在P单独作用下
wB1 11ql 96 EI
4
q A B l l/2
P=ql C l/2
4
在q单独作用下 4
wB 2 5 q 2l
5 ql 768 EI 48 EI
FB 2l 48 EI
3
相当系统 q A B FB P=ql C
在FB单独作用下
wB 3 FB l 3 6 EI
根据B点的实际挠度为0
11ql 4 5ql 4 FB l 3 0 96 EI 48 EI 6 EI
21 FB ql 16
B
作弯矩图
q A l
MB
P=ql C l/2
B l/2
5ql 2 MB 32
– +
5ql 2 32
M
+
11ql 2 64
连续梁与三弯矩方程
为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在 其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械 中常见的这类结构称为连续梁。 撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因 此中间支座就是其多余约束，中间支座数就是连续 梁的超静定次数。
（思考:为何最大负弯矩在D1处?）
例6 图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD 杆所受的拉力。
D
a
A C
L
2
L
B
2
P
解：几何相容条件为 D
wC lCD
a
C
( P FC ) L wC 48 EI
3
FC
A
lCD
C
FC L EA FC
L
2
L
1、静定结构和超静定结构
F A a B
若结构的全部约束反力和内力 都可由静力平衡方程求得，称 为静定结构。
若结构的约束反力与内力不能仅仅根 据静力平衡方程求出，称为超静定结 构或静不定结构。
1、静定和超静定结构-多余约束
F A a B
比较上下两图，下面的图中是在上面 的图中增加了一个约束。 在静定结构上增加的约束——多余约束 相应的反力称为多余约束力。 解除多余约束代之于未知力后的结 构 ——基本静定系（相当系统）
作剪力图和弯矩图
q A
11 ql 32
P=ql B l
21 ql 16
C l/2
11 ql 32
l/2
21 ql 32
21 ql 32
Fs
11 ql 32
11 ql 32
– +
5ql 2 32
M
0.06ql
2
+
11 2 ql 64
解二：以支座B阻止截面相对转 动为多余约束 q
B1
B2
M Bl ql 3 24 EI 3EI
0 l1 1 l2 2 n-1 ln n ln+1 n+1
0 l1
1 l2
2
n-1 ln
n ln+1
n+1
如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将 连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。 每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方 向相反的一对力偶矩，与其对应的几何相容条件是两侧 截面的相对转角为零。 对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个 补充方程——三弯矩方程。
C Me
B
b
MB
M A MB Me
AB AC CB 0
MA Me b l
M Aa MBb 即： 0 GI p GI p
MB Me a l
§6-4 简单超静定梁 用“多余未知力”代替“多余”约束，就得到 一个形式上的静定梁 该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基 本静定系 综合考虑变形的几何方程、力和变形关系 可求解多余未知力
FN1
E1 A1 P, E1 A1 E 2 A2
FN2
E 2 A2 P E1 A1 E 2 A2
内力按刚度分配
装配应力的计算：超静定结构中由于加工误 差， 装配产生的应力。
平衡方程：
1
F N1
F N3
F N2
3
2 l
FN1 FN 2
FN3 ( FN1 FN 2 ) cos
加固前B点挠度为：
3
2
3
wB0
8 Pa 3 EI
3
加固前后B点挠度的比值
w B1 w B 0 w B 39 wB0 wB0 64
(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值 加固前AB梁最大负弯矩 加固后AB梁最大弯矩 P
A
M 0 max 2 Pa
X1
D1 B
最大负弯矩
M1max M D1 Pa
170 M Pa
2.5 t M Pa
t 80 C, 200 M Pa
伸缩节
伸缩缝
§6-3 扭转超静定问题
例3 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力 偶矩Me作用，求杆两端的支座反力偶矩。
Me
A C B
a
b
解：
A
Me
ɑ
MA 静力平衡方程为： 几何相容条件为：
A
A
几何相容条件：
l3
l1 A l2
l3
l1 cos
例2 图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度 均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装到横梁 后，求两杆内力。 解: 装配后各杆变形 1杆伸长 2杆缩短
l1 l 2
A
1
2
l1 l 2
几何相容条件
FN1 FN2
FN3 F 1
N2
A
3
2
l
F F
x
0 0
A
F
F
y
( FN1 FN2 ) cos FN3 F
通过三杆的变形及A点的位移找出补充方程 ——变形几何相容方程
2、考虑变形几何相容条件 由对称性知:
1
A
3
2
l
l1 l2
3、物理关系
l1 l3 cos
第六章 简单的超静定问题
(Simple Statically Indeterminate Problems)
§6-1 超静定问题及其解法
结构按静力学特性可以分成静定结构和超静定结构两类。
F A a B
如图所示，求固定端的约束反力 平面任意力系，通过静力学平衡方 程可以解出全部的三个约束反力。 若在C处增加一个约束 则无法仅通过静力学平衡方程求出 全部的四个未知力。
FN1l l1 E1 A1 cos
4、联解方程
FN1 FN 3
FN3l l3 E3 A3
A*
E 1 A1 c o s 2 F 3 2 E 1 A1 c o s E 3 A 3 E 3 A3 F 3 2 E 1 A1 c o s E 3 A 3
思考：已知长为L、抗压刚度为E1A1的圆杆, 放于同样 长度、抗压刚度为E2A2的圆筒内, 两端固定，承 受如图作用力P，求各部分的内力。
A
4
q
B FB
解法二：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，几何相容条件为：
A
q
B l
A 0
M Al ql 0 3 EI 24 EI ql MA 8
2 3
MA A
q
B
例5 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短 梁CD加固。设二梁EI相同，求 (1) 二梁接触处的作用力； (2)加固前后B点挠度的比值； (3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。
FA 85kN
A
60kN 2.4m 40kN 1.2m
FB 15kN
C
B
1.2m
温度应力：超静定结构中，由于温度变 化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。
温度应力的计算：
B l
温度由 t1 t 2 , t t 2 t1
FA FB
A
A
l
l t
平衡方程 变形相容条件 物理方程
q A A l
MB
P=ql C l/2 l/2
B
相当系统
MB
几何相容方程为: B1 B 2
M Bl M Bl ql ql 24 EI 3EI 16 EI 3EI
3 3
B
MB
P=ql C
3 ql 2 ql 2 5ql 2 MB 2 24 16 32
3
X 1a 5 Pa w D1 3 EI 6 EI
3
3
5 X1 P 4
(2) 加固前后B点挠度变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
3
2
3
(2) 加固后B点挠度的变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
2、超静定结构的类型
第一类
第二类
第三类
3、超静定次数
超静定结构的内外约束力总数或内力数要多于静力 平衡方程，其差值称为超静定次数。
超静定次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程数
结构的超静定次数就 于它的多余约束力数
超静定问题的解法： 1、静力平衡（不足） 2、变形几何（补充） 3、物理本构（沟通） 综合考虑变形的几何相容条件、物理关系和 静力学平衡条件。 关键：几何相容条件（变形协调条件）
Concrete is poured around the wires to form a beam. P
P
•
After the concrete sets properly, the force is removed. Thus, the beam is left in a prestressed condition, with the wires in tension and the concrete in compression.
0 l1
1 l2
2
n-1 ln
n ln+1
n+1
任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，由于是连续梁， 挠曲ห้องสมุดไป่ตู้在n支座处光滑连续,则
Mn-1
n左 n右
n+1 Mn+1 ln+1
n-1 ln
n
基本静定 系为:
Mn-1
n-1
n n
Mn
n+1
Mn+1
几何相容方程为:
n1 n 2
Prestressed concrete • High-strength steel wires are stretched. • P P
Prestressed concrete Q: Let us assume that the prestressing force produces in the steel wires an initial stress 620 MPa. If the moduli of elasticity of the steel and concrete are in the ratio 12:1 and the cross-sectional areas are in ratio 1:50, what are the final stresses in the two materials? Steel: Concrete: 500MPa (tension) 10MPa (compression) P P P P
FA FB 0
lt l F
lt l t
FB l L t EA
FB EAt
FB E t A
温度应力：
Q235低碳钢线膨胀系数为
1 2 .5 1 0
6
C
1
E 200 GPa
s 235 M Pa
q
超静定问题
A l
B
q
基本静定系1
A
B FB
MA
q
B
基本静定系2
A
例4 已知长度为 l、弯曲刚度为EI，的悬臂梁 承受均布荷载，求图示静不定梁的支反力 q
A B
l
解法一：将支座B看成 多余约束，几何相容条 A 件为：
q
B l
wB 0
3
FB l ql 0 3 EI 8 EI
3ql FB 8
P
B C D A
a
a
解：(1)基本静定系如图 解： P
A
X1
D1 B
C
D
X1
几何相容条件为：
w D w D1
C D
X 1a wD 3 EI
3
P
A
X1
D1 B
A
X1
D1 B
A D1
P
B
X 1a 3 5 Pa 3 wD1 3EI 6 EI
w D w D1
X 1a wD 3 EI
§6-2 拉压超静定问题
D C B
如图所示，求三杆的轴力 问题: 这个结构是静定的？超静定的？
A F
超静定次数?
对A点分析：三杆的轴力与外力F构 成平面汇交力系。
2 3
平面汇交力系的独立平衡方程数是 未知力个数是 因此这个结构是 1 次超静定。
例1 已知: 1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为 E3A3, F，求各杆内力。 解: 分析A结点 FN1
多余约束并不“多余”，通过增加多余约束， 有效降低结构的内力及变形，可提高安全度。
2、超静定结构的类型 外力超静定结构 仅在结构外部存在多余约束，即支座反 力不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 内力超静定结构 仅在结构内部存在多余约束，即结构内力 不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 混合超静定结构 内、外超静定兼而有之的结构。
a
a
B
2( l1 ) l 2
分析AB
A
aF1 2aF2 0
物理方程
FA
F1
F2
B
F1l l1 EA (伸长)
2( l1 ) l2
(拉力)
F2 l l2 (缩短) EA
几何相容条件
4 EA F1 5l
2 EA (压力) F2 5l
思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距 离 = 1mm，材料的弹性模量E=210GPa，上下 两段杆的横截面面积分别为600mm2和300mm2。 试作杆的轴力图。
B
2
P
例7 如图所示双跨简支梁受集中力F作用，求约束 反力，并画出剪力图和弯矩图。
q A l B l/2 l/2 P=ql C
解一： 以支座B为多余约束 在P单独作用下
wB1 11ql 96 EI
4
q A B l l/2
P=ql C l/2
4
在q单独作用下 4
wB 2 5 q 2l
5 ql 768 EI 48 EI
FB 2l 48 EI
3
相当系统 q A B FB P=ql C
在FB单独作用下
wB 3 FB l 3 6 EI
根据B点的实际挠度为0
11ql 4 5ql 4 FB l 3 0 96 EI 48 EI 6 EI
21 FB ql 16
B
作弯矩图
q A l
MB
P=ql C l/2
B l/2
5ql 2 MB 32
– +
5ql 2 32
M
+
11ql 2 64
连续梁与三弯矩方程
为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在 其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械 中常见的这类结构称为连续梁。 撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因 此中间支座就是其多余约束，中间支座数就是连续 梁的超静定次数。
（思考:为何最大负弯矩在D1处?）
例6 图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD 杆所受的拉力。
D
a
A C
L
2
L
B
2
P
解：几何相容条件为 D
wC lCD
a
C
( P FC ) L wC 48 EI
3
FC
A
lCD
C
FC L EA FC
L
2
L
1、静定结构和超静定结构
F A a B
若结构的全部约束反力和内力 都可由静力平衡方程求得，称 为静定结构。
若结构的约束反力与内力不能仅仅根 据静力平衡方程求出，称为超静定结 构或静不定结构。
1、静定和超静定结构-多余约束
F A a B
比较上下两图，下面的图中是在上面 的图中增加了一个约束。 在静定结构上增加的约束——多余约束 相应的反力称为多余约束力。 解除多余约束代之于未知力后的结 构 ——基本静定系（相当系统）
作剪力图和弯矩图
q A
11 ql 32
P=ql B l
21 ql 16
C l/2
11 ql 32
l/2
21 ql 32
21 ql 32
Fs
11 ql 32
11 ql 32
– +
5ql 2 32
M
0.06ql
2
+
11 2 ql 64
解二：以支座B阻止截面相对转 动为多余约束 q
B1
B2
M Bl ql 3 24 EI 3EI
0 l1 1 l2 2 n-1 ln n ln+1 n+1
0 l1
1 l2
2
n-1 ln
n ln+1
n+1
如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将 连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。 每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方 向相反的一对力偶矩，与其对应的几何相容条件是两侧 截面的相对转角为零。 对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个 补充方程——三弯矩方程。
C Me
B
b
MB
M A MB Me
AB AC CB 0
MA Me b l
M Aa MBb 即： 0 GI p GI p
MB Me a l
§6-4 简单超静定梁 用“多余未知力”代替“多余”约束，就得到 一个形式上的静定梁 该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基 本静定系 综合考虑变形的几何方程、力和变形关系 可求解多余未知力
FN1
E1 A1 P, E1 A1 E 2 A2
FN2
E 2 A2 P E1 A1 E 2 A2
内力按刚度分配
装配应力的计算：超静定结构中由于加工误 差， 装配产生的应力。
平衡方程：
1
F N1
F N3
F N2
3
2 l
FN1 FN 2
FN3 ( FN1 FN 2 ) cos
加固前B点挠度为：
3
2
3
wB0
8 Pa 3 EI
3
加固前后B点挠度的比值
w B1 w B 0 w B 39 wB0 wB0 64
(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值 加固前AB梁最大负弯矩 加固后AB梁最大弯矩 P
A
M 0 max 2 Pa
X1
D1 B
最大负弯矩
M1max M D1 Pa
170 M Pa
2.5 t M Pa
t 80 C, 200 M Pa
伸缩节
伸缩缝
§6-3 扭转超静定问题
例3 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力 偶矩Me作用，求杆两端的支座反力偶矩。
Me
A C B
a
b
解：
A
Me
ɑ
MA 静力平衡方程为： 几何相容条件为：
A
A
几何相容条件：
l3
l1 A l2
l3
l1 cos
例2 图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度 均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装到横梁 后，求两杆内力。 解: 装配后各杆变形 1杆伸长 2杆缩短
l1 l 2
A
1
2
l1 l 2
几何相容条件
FN1 FN2
FN3 F 1
N2
A
3
2
l
F F
x
0 0
A
F
F
y
( FN1 FN2 ) cos FN3 F
通过三杆的变形及A点的位移找出补充方程 ——变形几何相容方程
2、考虑变形几何相容条件 由对称性知:
1
A
3
2
l
l1 l2
3、物理关系
l1 l3 cos
第六章 简单的超静定问题
(Simple Statically Indeterminate Problems)
§6-1 超静定问题及其解法
结构按静力学特性可以分成静定结构和超静定结构两类。
F A a B
如图所示，求固定端的约束反力 平面任意力系，通过静力学平衡方 程可以解出全部的三个约束反力。 若在C处增加一个约束 则无法仅通过静力学平衡方程求出 全部的四个未知力。
FN1l l1 E1 A1 cos
4、联解方程
FN1 FN 3
FN3l l3 E3 A3
A*
E 1 A1 c o s 2 F 3 2 E 1 A1 c o s E 3 A 3 E 3 A3 F 3 2 E 1 A1 c o s E 3 A 3
思考：已知长为L、抗压刚度为E1A1的圆杆, 放于同样 长度、抗压刚度为E2A2的圆筒内, 两端固定，承 受如图作用力P，求各部分的内力。
A
4
q
B FB
解法二：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，几何相容条件为：
A
q
B l
A 0
M Al ql 0 3 EI 24 EI ql MA 8
2 3
MA A
q
B
例5 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短 梁CD加固。设二梁EI相同，求 (1) 二梁接触处的作用力； (2)加固前后B点挠度的比值； (3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。
FA 85kN
A
60kN 2.4m 40kN 1.2m
FB 15kN
C
B
1.2m
温度应力：超静定结构中，由于温度变 化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。
温度应力的计算：
B l
温度由 t1 t 2 , t t 2 t1
FA FB
A
A
l
l t
平衡方程 变形相容条件 物理方程