2012年考研数学二真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2 0 0 1
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
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（10）计算
lim
x→∞
n
1
1 + n2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
= ________。
π
【答案】：
4
【解析= 】：原式
∑ lim
n→∞
1 n
n i=1
1+= 1ni 2
∫= 1 dx
0 1+ x2
arc= tan x 1 0
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
=
P
1
1
0
，则
Q
−1
=
−1
1
0
P
−1
，
0 0 1
2012考研数二真题答案
2012考研数二真题答案第一题：解析：本题考查的是集合的基本概念和运算。
给出的条件是集合A={2,3,4,5,6}，集合B={1,3,5,7,9}，我们需要求出(A∪B)∩(A-B)的结果。
首先，求并集A∪B，即将A和B中的元素合并，并去除重复的元素。
得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}。
其次，求差集A-B，即是在A中去掉与B中重复的元素。
得到A-B={2,4,6}。
最后，求交集(A∪B)∩(A-B)，即将A∪B和A-B的结果中相同的元素找出来。
得到(A∪B)∩(A-B)={2,4,6}。
因此，答案为{2,4,6}。
第二题：解析：本题考查的是概率基本知识。
已知事件A发生的概率P(A)=0.8，事件B发生的概率P(B)=0.5，需要求事件A和B同时发生的概率P(A∩B)。
根据概率的定义，事件A和B同时发生的概率为事件A和B的交集的概率。
即，P(A∩B)=P(A)×P(B)。
代入已知条件，P(A∩B)=0.8×0.5=0.4。
因此，答案为0.4。
第三题：解析：本题考查的是函数的性质和零点的概念。
已知函数f(x)满足f(x+f(x))=1，我们需要求函数f(x)的零点。
零点即是函数在该点的取值为0的点。
即，求解方程f(x)=0。
由已知条件得f(x+f(x))=1，代入f(x)=0，得f(x+0)=1。
因此，f(x+0)=1，即f(x)=1。
所以，函数f(x)的零点为x=1。
第四题：解析：本题考查的是极限的计算。
已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)^2/n^2，需要求该数列的极限lim(n→∞)an。
要求数列的极限lim(n→∞)an，即是当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限值。
计算：lim(n→∞)an=lim(n→∞)((n+1)^2/n^2)=lim(n→∞)(n^2+2n+1)/n^2=lim(n→∞)(1+2/n+1/n^2)=1+0+0=1因此，数列{an}的极限为1。
2012考研数学二真题及参考答案
2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。
正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。
故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。
2012考研数学二答案真题解析
∫ = 16
πθ sin
cos θ
(2 cos 2
θ
− 1) cos8
θ
dθ
022
2
22
π
π
∫ ∫ = 32 2 sin t cos11 tdt − 16 2 sin t cos9 tdt
0
0
=8−8 35
= 16 15
（19）（本题满分 11 分）已知函数 f (x) 满足方程 f '' (x) + f ' (x) − 2 f (x) = 0 及 f ' (x) + f (x) = 2ex
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
第 3 页，共 11 页
梦想不会辜负每一个努力的人
（10）计算ຫໍສະໝຸດ limx→∞∂z ∂x
+
y2
∂z ∂y
= ________。
【答案】： 0 .
【解析】：因为 ∂z = ∂x
f ′ ⋅ 1 , ∂z = x ∂y
f
′
⋅
−
1 y2
，所以
x
∂z ∂x
+
y2
∂z ∂y
= 0.
（12）微分方程 ydx + (x − 3y2 )dy = 0 满足初始条件 y |x=1=1 的解为________。
【答案】： x = y2
【解析】： ydx + (x − 3y2 )dy =0 ⇒ dx =3y − 1 x ⇒ dx + 1 x = 3y 为一阶线性微分方程，
2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
2012数二考研真题答案
2012数二考研真题答案2012数学二考研真题答案本文将对2012年数学二考研真题进行逐题解析，为考生提供详细的答案解析和解题思路，帮助考生更好地备考。
一、选择题部分1. 题目解析：根据题意，设A的期望为E(A) = 1/3 * 1 + 1/3 * 2 + 1/3 * 3 = 2。
答案：2.2. 题目解析：将$f(x)$代入$F'(x)$，则有：$F'(x) = f(x) = a(x - \alpha)$。
由题意知$f(\alpha) = 0$，则有：$a(\alpha - \alpha) = 1$，整理得$a = 1$。
答案：$a = 1$。
3. 题目解析：对$y' = f(x, y)$两边同时求$x$的偏导数，得到：$\frac{{\partial y'}}{{\partial x}} = \frac{{\partial f(x, y)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f(x, y)}}{{\partial y}} \cdot y'$。
由题意得：$\frac{{\partial y'}}{{\partial x}} = \frac{{\partial f(x, y)}}{{\partial x}} + 2xy' = -4xy^3 + 2xy'$。
答案：$-4xy^3 + 2xy'$。
4. 题目解析：对$f(x)$和$g(x)$分别求导得：$f'(x) = \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{1}}{{x}}$，$g'(x) = \frac{{dg}}{{dx}} = \frac{{x'}}{{\sqrt{1 - {x'}^2}}}$。
由链式法则可知：$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{dh}}{{df}} \cdot \frac{{df}}{{dx}} +\frac{{dh}}{{dg}} \cdot \frac{{dg}}{{dx}}$。
2012考研数学二真题及答案解析
dy
，所以
=
2x
dx ey +1
（10）计算
lim
x→∞
n
⎛ ⎜⎝
1
1 +n
2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
⎞ ⎟⎠
= ________。
3
π
【答案】：
4
∑ ∫ 【解析】：原式 = lim 1
n→∞ n
n
1
i=1
1
+
⎛ ⎜⎝
i n
⎞2 ⎟⎠
=
1 dx 0 1+ x2
=
arctan x 1 0
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
已知函数 f (x) = 1+ x − 1 ，记 a = lim f (x)
sin x x,
x→0
（1）求 a 的值
（2）若当 x → 0 时， f (x) − a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
D
∫∫ ∫ ∫ 【解析】：
xydσ = π dθ 1+cosθ r cosθ ⋅ r sin θ ⋅ rdr
0
0
D
∫ = 1 π sin θ ⋅ cosθ ⋅ (1 + cosθ )4 dθ 40
6
∫ = 16
πθ sin
cos θ
(2 cos2
θ
− 1) cos8
θ
dθ
022
2
22
π
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