工程数学大作业

工程数学报告离散数据的最小二乘曲线拟合

离散数据的最小二乘曲线拟合

一、离散数据拟合的最小二乘法提法：

根据本学期学习的《数值分析》第七章函数逼近：

设已知逼近的函数()[],f x C a b ∈的离散型点：()0,1,2,i x x i m ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅处的函数值()i i y f x =以及相应的权函数()00,i w i m 〉=⋅⋅⋅，我们的任务是在所选的逼近空间

()()(){}[]01,,n span x x x C a b ϕϕϕΦ=⋅⋅⋅∈中找到对()f x 的最佳逼近元()s x *∈Φ使得：

()()

()()()()22

2

0000min m

m

n m n i

i

i

i i j j i i i j j i s i i j i j w y s x w f x c x w f x c x ϕϕ*

*

∈Φ

=====⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑

这就是离散型数据的最小二乘法拟合问题，由于拟合函数()()

n

j j j s x c x ϕ==∑关于系数()0,1,,i c i n =⋅⋅⋅⋅是线性的, 这种问题称为离散型数据的线性拟合。

二、离散型数据最小二乘法的计算原理：

由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线

()00110()()()...()n

j j n n j S x c x c x c x c x ϕϕϕϕ===+++∑

上式可以看成为(,);(0,1,...,)n

i j j j o

c F i n ϕϕ===∑这个方程的解，可写成距阵形式：

GC F =

其中各参数为:

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(10

1110

101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 。

()()()0,()()m

i

j

k

i

k

j

k

k x x x x ϕϕωϕϕ==∑

()()()()()0

,m

j k k j k k f x x w f x x ϕϕ==∑

()1012,,,T

n n C c c c c R +=⋅⋅⋅⋅∈

()()()()()()()()()()

10

1,,,,T

m n F f x x f x x f x x R ϕ

ϕϕ+=

⋅⋅⋅⋅⋅∈

它的平方误差为：.)]()([)(||||20

22i i m i i x f x S x -=

∑=ωδ

三、分析实例：

本题选自薛定宇《高等应用数学问题的MATLAB 求解》中的一个课后练习关于离散型最小二乘法拟合的问题，关于新疆某一个城市2个月晚上6:00左右的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。

下面应用Matlab 编程对上述数据进行最小二乘拟合，分别进行三次多项式，九次多项式，十五次多项式的线性拟合，最后对拟合的曲线误差进行分析。

四、Matlab 编程的程序代码：

x=[1:1:30];

y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1];

a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%

a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%

a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%

b1=polyval(a1,x)

b2=polyval(a2,x)

b3=polyval(a3,x)

r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%

hold on

plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on

plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on

plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%

五、数值结果：

(1)不同次数多项式拟和误差平方和为：

三次多项式误差平方和: r1 = 67.6659

九次多项式误差平方和: r2 = 20.1060

十五次次多项式误差平方和: r3 = 3.7952

(2) 拟和曲线如下图：

上图中*代表原始数据，红色曲线代表三次多项式拟合曲线，绿色曲线代表九次多项式拟合曲线，蓝色o线代表十五次多项式拟合曲线。

六、结论：

（1）从图像上以看到用最小二乘拟合来求解问题时，拟合的次数越小，曲线越光滑，十五次的远远没有三次的光滑，但是次数越高精度越高，拟合的结果更加接近于真实值。因为所求得多项式次数太小时数据点之间差别很大，次数最大时误差最小但是有时后不符合实际情况，所以用最小二乘法时次数要取合适一点。不能太大也不能太小，根据实际情况而定，这样才能得到我们想要的实验结果。

（2）从上面拟合的误差结果中可以看到多项式拟合误差平方和随着拟合多项式次数的增加而逐渐减小，拟合的曲线更靠近实际数据, 拟合更准确。