数学建模案例之线性规划设计

简介
线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法，也是 应用最早的一种最优化方法；
线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线 性函数；
线性规划是学习运筹学的首要课程之一； 1947年，丹茨格（Dantzig）提出了单纯形法，使线性规划的 算法趋于成熟； 在数学上讲，线性规划问题就是研究一类条件极值问题，即 在一组线性约束条件（包括等式及不等式约束）下，找出一个线 性函数的最大值或最小值。
最优值，计算结束；否则计算
min { bi/ aik | aik>0 }= bl / ark， 此时主元素为ark，xl 应离基。
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与各自产量无关的常数
可 加
xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关
性 xi对约束条件的“贡
献”与xj取值无关
A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数
连续性
xi取值连续
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
标准形式
min z1 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t
.
2
x1 x1
6
x2 x2
2 x3 3 x3
x4 x5 1 x4 x6 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
LP问题的一般概念
4.单纯形法 G.B.Dantzig的单纯形法（Simplex method）是一个顶点
自由变量 （无）
LP问题的一般概念
化成标准型为：
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t .
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
原始形式
并使目标函数 z 取c得j x最j 大（或最小)值，其中 j1
aij,bi,cj为已知量。
LP问题的一般概念
2.标准形式
min z cT x,
s.t
.
Ax b
,
x0.
其中
A (aij )mn , x ( x1, x2 , ..., xn )T , c (c1, c2 , ..., cn )T , b (b1, b2 , ..., bm )T , 且 b 0 , rank( A) m n .
例1：加工奶制品的生产计划
一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，一桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时 加工且成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能够售出， 每公得斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能够 到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并 且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限 制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大?
LP问题的一般概念
1. LP模型的一般形式
求一组决策变量x1,x2,…,xn的值，使其满足约束条件：
n
(I ) aij x j bi , i 1, 2, ..., l; j 1
n
(II ) aij x j bi , i l 1, ..., t; j1
n
(III ) aij x j bi , i t 1, ..., m. j 1 n
引言
数学规划模型分类:
“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。在许多情况下， 应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴， 成为人们日常的规划工具。”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规 划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、 假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。
并进一步讨论以下三个附加问题： 1）若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投
资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的
工资最多是每小时多少元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否
问题分析
企业内部的生产计划有各种不同的情况。
空间层次
Step 5. 构成数学模型 将目标以及约束放在一起，写成数学表达式。
内容： 如何建立线性规划模型举例 线性规划模型的求解方法
要求： 掌握线性规划模型的建立方法 掌握利用数学软件 LINDO 、Matlab等求解线性规
划模型的方法 理解单纯形法的计算步骤
重点、难点： 重点：线性规划模型的建立与软件求解 难点：线性规划问题的理论求解方法—单纯形法
Step 2. 确定决策变量 第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策 第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构） 其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答）
Step 3. 确定优化目标 用决策变量表示的利润、成本等。
Step 4. 寻找约束条件 决策变量之间、决策变量与常量之间的联系。 第一来源：需求； 第二来源：供给； 其它来源：辅助以及常识。
0
0
系数 基变量
x1
x2↓
x3
x4
0
x3
9
5
1
0
0
x4
4
5
0
1
0
x5
2
5
0
0
检验数rj
-1000 -1500
0
0
0
x5
b
0
350
0
200
1
150
0
0
因min { rj | rj< 0 } =r2=-1500，所以进基变量为x2 。
LP问题的一般概念
Step5.确定主元素和离基向量
若 aik≤ 0，i=1,2,…,m，则 LP 问题的可行域R无界，LP 问题没有优先的
解：转化分为目标函数、大于等于约束、小于等于约束和自由约
束变量几个不同部分。
LP问题的一般概念
目标函数
max z=4x1+5x2+7x3-x4 min z1=-4x1-5x2-7x3+x4
约束条件
大于等于约束
x1+x2+2x3-x4 ≥1 添加剩余变量 x5 ≥0 x1+x2+2x3-x4-x5=1
数学建模案例之线性规划 奶制品的生产与销售
引言
优化问题及其一般模型：
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中 最常遇到的问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使
结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获
利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点
到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票,债券下注,使收益最大,而风险最小 …………
引言
一般地，优化模型可以表述如下：
min z f ( x) s.t. gi ( x) 0，i= 1,2,L ,m
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。 许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条 件个数 m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不 能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
引入决策变量
x1 桶牛奶生产 A1， x2 桶牛奶生产 A2 （每天）
目标函数（每天获利）
生产 A1 获利： 24×3x1 生产 A2 获利： 16×4 x2 每天获利总额：z=72x1+64x2
约束条件
原料供应： x1+x2≤50 劳动时间： 12x1+8x2≤480 加工能力： 3x1≤100 非负约束： x1 , x2 ≥0
引言
建立数学规划模型的步骤:
当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻 求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果 有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最 后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的 检验。
引言
Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。 阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是……
模型构成
数学模型：
max z 72 x1 64 x2
s.t
.
x1 x2 50 12x1 8 x2 480
3x1 100
x1 0, x2 0
LP 模型
线性规划模型具有的三条性质
xi对目标函数的“贡
比 献”与xi取值成正比
例 性
xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数
0
x3
9
5
1
0
0
350
0
x4
4
5
0
1
0
200
0
x5
2
5
0
0
1
150
检验数rj
-1000 -1500
0
0
0
0
检验数中 r1<0，r2<0，上面的结果x(0)不是最优解。
LP问题的一般概念
Step4. 确定进基向量 计算 min { rj | rj < 0 }= rk，则 xk 进基；
cj→
-1000 -1500
LP问题的一般概念
Step3. 判断现行解是否是最优解。若是，计算结束；否则转第4步。 判断方法：
计算检验数 rj=cj-zj，其中zj=cBTaij，j=1,2,…,n.
若所有的 rj≥0，j=1,2,…,n，则现行解为最优解。
cj→
-1000 -1500
0
0
0
系数 基变量
x1
x2
x3
x4
x5
b
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每 天
50桶牛奶
时间480小时
至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划?
模型构成
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t .
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
Fra Baidu bibliotek
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
小于等于约束
2x1-6x2+3x3+x4 ≤-3 添加松弛变量 x6 ≥0 -2x1+6x2-3x3-x4-x6=3
LP问题的一般概念
3.将一般线性规划模型转化为标准形 例题：将下述LP模型转化成标准形式
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t .
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
迭代算法，即从一个顶点出发，沿着凸多面体的棱迭代到另一个 顶点，使目标函数值下降（至少不升），由顶点个数的有限性， 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无 最优解，这就是单纯形法的基本思想。而几何上一个的顶点对应 在代数上的一个基可行解，因此，单纯形法求解线性规划问题只 需要关心基可行解。
LP问题的一般概念
Step2. 建立初始单纯形表，求出初始的基本可行解x(0)及对应的
目标函数值z0
建立初始单纯形表
cj→
-1000 -1500
0
0
0
系数 基变量
x1
x2
x3
x4
x5
b
0
x3
9
5
1
0
0
350
0
x4
4
5
0
1
0
200
0
x5
2
5
0
0
1
150
检验数rj
-1000 -1500
0
0
0
0
求出基本可行解 x(0)=(0,0,350,200,150)T， 求出目标函数值 z0=0
LP问题的一般概念
基本理论参见任何一本运筹学教材上的相关内容，下面仅以 一个例子说明单纯形法的步骤。
利用单纯形法求解下述LP问题。
max w 1000x1 1500x2
s.t
.
9 x1 5 x2 350 4 x1 5 x2 200
2 x1 5 x2 150
x1 , x2 0
LP问题的一般概念
Step1. 将一般的 LP 问题划成标准形式
引入松弛变量x3，x4，x5 将原问题化成标准形式
min z (1000x1 1500x2 )
s.t .
9 x1 5 x2 x3 4 x1 5 x2 x4
350 200
2 x1 5 x2
x5 150
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目 标制订产品生产计划
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本 为目标制订生产批量计划
时间层次
若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计 划，否则应制订多阶段生产计划
问题分析
1桶 牛奶 或
12小时 8小时