Capon 波束形成器推导

Capon 波束形成器推导
()t x 表示阵列接收信号，其中包括有用信号、噪声和干扰， w 表示阵列加权系数，
在不同准则下，其最有加权计算方法不一样。

则空间匹配滤波器的表达式为：
()()y t t =H w x
其中 ()=()()()s I t t t t ++x x x n ，()s t x 为有用信号，有方向，()I t x 为干扰信号，也有方向，
()t n 为噪声，与信号和干扰独立，并且没有方向。

阵列输出信号为：
s ()()=()()i+n y t t t t =+H H H w x w x w x
输出功率为：
{
}2
2s s s s s () ()() =()()()() =()()()() =+out i+n H
i+n i+n H H
i+n i+n s i+n P E y t E t t E t t t t E t t E t t R R ⎡⎤
=⎣⎦
⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦
H H H H H H
H H H H w x w x w x w x w x w x w x x w w x x w w w w w
在最小噪声方差（MNV ）准则下，欲使噪声方差最小，故有：
所以Capon 波束形成器的推导可以转化为如下数学优化问题：
约束条件保证0θ方向的来波增益恒定，解该约束问题通过拉格朗日乘子法（附录介绍）构造目标函数，再对其针对w 进行求导，即可解出让噪声方差最小的w ，如下：
解之得：（注意：1
00()()H n a R a θθ-为一个数）
至此，求得使噪声方差最小的opt w 。

将opt w 带入min out P 的表达式中即可求出最小输出功率。

综上，Capon 波束形成器的方向图形成表达式为：
()()H opt
p w
a θθ=
附录：拉格朗日乘子法介绍。