矢量和张量
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• 假设 xi 和 xi 是共原点的两个笛卡尔右
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
U (V W ) (U V ) W
• 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。 • 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，
则力F绕原点的力矩为：
M rF
1.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U (V W ) v1 v2 v3 (U V ) W
w1 w2 w3
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W 为边的平行六面体的体积或体积的负值。 可用[U，V，W]来表示。
• 可简洁表示为：
vi ui
• 下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能 下标中的任一个。
• 两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到， 为分量之和：
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2 )e2 (u3 v3 )e3
• 或简洁表示为：
wi ui vi
1.2.2 标量积
• 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。
• 矢量既有大小又有方向，在坐标系中 通常用箭头表示。
• 对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。
• 由单位矢量叠加有：
V v1e1 v2e2 v3e3
• 或简洁写为：
V (v1, v2, v3 )
• 若两矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示为：
vi ui ,i 1,2,3
• 相乘 • 一个张量与一个标量的乘积为一同阶的
张量。
• 张量相乘构成一个新张量，其阶数是原 张量的阶数之和。如
cijk aibjk
cijk aibjk (limam )(l jnlkpbnp ) liml jnlkpcmnp
• 缩并 • 将两个指标赋给相同的字母，则张量进
行缩并。如对三阶张量 aijk ，有
• 三重标量积可写为
U (V W ) ijk uiv jwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关 系式：
ijk ist js kt jt ks
• 可用指标方法证明：
A(B C) (AC)B (A B)C
A(B C) (A B)C
() 0,其中为一标量
1.3.4 坐标变换
• 任何一个二阶张量都可唯一分解成一个 对称张量与一个斜对称张量之和，即
aij
1 2
(aij
a ji )
1 2(aija i )bijcij
各向同性
• 如果一个张量的分量在所有坐标系中都 具有相同的值，则它是各向同性的。
• 张量 ij ,ijk 都是各向同性的。
ij lirl js rs lirl jr ij
• 矢量U和V的标量积定义为： U V |U ||V | cos
• |U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的
夹角。
e1 e2 | e1 || e2 | cos90 0 e1 e1 | e1 || e1 | cos0 1
• 标量积的计算式为：
U V (u1e1 u2e2 u3e3 ) (v1e1 v2e2 v3e3 )
aijk lipl jqlkra pqr
• 缩并后，
aikk lip (lkqlkr )a pqr lip qra pqr lipa prr
• 这是对一阶张量的变换规则。
对称与斜对称
• 对张量 aij ，如果 aij a ji ，则称之为对
称张量；
• 如果aij a ji，则称之为斜对称张量。
1.3.1 指标记法和求和约定
• 矢量V用指标记法为 vi ，指标可以自由
挑选。 • 规则1：如果在一个表达式或方程的一
项中，一种下标只出现一次，称之为 “自由指标”。 • 规则2：如果在一个表达式或方程的一 项中，一种指标正好出现两次，则称之 为“哑标”，它表示从1到3进行求和。
• 规则3：在一个表达式或方程的一项中， 一种指标出现的次数多于两次，则是错 误的。
• 两坐标系中的点的坐标变换为
xi lij x j
•和
xi l ji xj
lij
xi x j
x j xi
• i为新坐标轴，j为旧坐标轴。
1.3.5 笛卡尔张量
• 张量的名称起源于它与应力（张力）有 关的历史。
• 新坐标系中每一个新矢量的分量是原来 分量的一个线性组合，这种变换很规则 方便且有很多用途。
• 三重矢量积：
U (V W ) (U W )V (U V )W
1.2.5 标量场和矢量场
• 函数 (x1, x2, x3) c 称为一个标量场，梯
度
grad
e1
x1
e2
x2
e3
x3
( , , )
x1 x2 x3
• 构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。
• 矢量的散度：
V v1 v2 v3 x1 x2 x3
二、矢量和张量
• 1.1 基本概念 • 1.2 矢量 • 1.3 张量
1.1 基本概念
• 讨论应力、应变和本构方程时，通常采 用矢量和张量符号。具有表达简洁的特 点。
• 坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系， 熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法 为x1 轴、 x2轴、 x3轴。
1.2.1 矢量代数
l22
l23
l31
l32
l33
• 注意 lij 的元素不对称。 • 由 lij 的定义有：
lij ei e j
ei lije j
• 所以 ei ej ij lirer l jk ek lirl jk rk lirl jr
•或
lirl jr ij
• 该式隐含6个等式：
l121 l122 l123 1 l221 l222 l223 1 l321 l322 l323 1 l11l21 l12l22 l13l23 0 l11l31 l12l32 l13l33 0 l21l31 l22l32 l23l33 0
• 矢量的旋度：
e1 V curlV / x1
v1
e2 / x2
v2
e3 / x3
v3
1.3 张量
• 1.3.1 指标记法和求和约定 • 1.3.2 ij 符号（Kronecker符号） • 1.3.3 ijk 符号（交错张量） • 1.3.4 坐标变换 • 1.3.5 笛卡尔张量 • 1.3.6 张量性质
商法则
• 对于aij ，如果在任一坐标系中对任何张
量 bij ，有：
aijbij c
• c是一标量，则 aij 是一个张量。
• 证明： • 由于c是标量
• 由于 • 于是 • 得到
aijbij c c aijbij arsbrs
arsbrs aijbij 0
bij lrilsjbrs
• 所以，将 ij 应用于 只是将j用i置换， 因此 ij 符号通常称为置换算子。
vj
1.3.3 ijk 符号（交错张量）
• ijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1， 0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如 果交换次数为偶数，则元素为1，为奇 数，则为-1，如果下标出现重复，则值 为0。可从图解判断：
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi
i 1
• 两个垂直矢量的点积为零。
• 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。
• 应用：力F作用在一运动速度为V的物体上， 功率由点积（ F V）求出。
1.2.3 矢量积
• 两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右 手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长 度等于 |U ||V | sin 。标记为：
• 叉积
U V ijk u jvk ei
• 证明：对分量1，对于表达式 1 jk u jvk
由于下标1，j，k必须互不相同，所以可 能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2， 因而
1 jk u jvk 123u2v3 132u3v2 u2v3 u3v2
• 同理可对其它分量计算，合并得证。
• 如此可以推广到更高阶张量。
• 虽然所有的矢量都是张量，但并不是所 有的矩阵都必定是张量，如工程应变分 量不构成一个张量。
1.3.6 张量性质
• 相等 • 当两个张量对应的分量相等时，则定义
它们相等。 • 相加 • 两个同阶张量的和（或差）仍是一个同
阶张量，其分量为两个张量对应分量的 和（或差）。
例题
• 如果 是一个标量，试证明
• （a）,i 是一个一阶张量； • （b）,ij 是一个二阶张量； • （c）,kk 是一个标量（零阶张量）；
brs (ars lrilsjaij ) 0 ars lrilsjaij
cik vi
• 对任意矢量 ui有 aiju j vi ， 为一矢量； • 对任意张量bij 有aijbjk cik ， 为一张量；
• 那么 aij 为一张量。
• 对任意矢量 ui、vi、、wi
有 aijkuiv j wk c ， • c为一标量，那么 aijk 为一张量。
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
U (V W ) (U V ) W
• 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。 • 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，
则力F绕原点的力矩为：
M rF
1.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U (V W ) v1 v2 v3 (U V ) W
w1 w2 w3
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W 为边的平行六面体的体积或体积的负值。 可用[U，V，W]来表示。
• 可简洁表示为：
vi ui
• 下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能 下标中的任一个。
• 两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到， 为分量之和：
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2 )e2 (u3 v3 )e3
• 或简洁表示为：
wi ui vi
1.2.2 标量积
• 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。
• 矢量既有大小又有方向，在坐标系中 通常用箭头表示。
• 对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。
• 由单位矢量叠加有：
V v1e1 v2e2 v3e3
• 或简洁写为：
V (v1, v2, v3 )
• 若两矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示为：
vi ui ,i 1,2,3
• 相乘 • 一个张量与一个标量的乘积为一同阶的
张量。
• 张量相乘构成一个新张量，其阶数是原 张量的阶数之和。如
cijk aibjk
cijk aibjk (limam )(l jnlkpbnp ) liml jnlkpcmnp
• 缩并 • 将两个指标赋给相同的字母，则张量进
行缩并。如对三阶张量 aijk ，有
• 三重标量积可写为
U (V W ) ijk uiv jwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关 系式：
ijk ist js kt jt ks
• 可用指标方法证明：
A(B C) (AC)B (A B)C
A(B C) (A B)C
() 0,其中为一标量
1.3.4 坐标变换
• 任何一个二阶张量都可唯一分解成一个 对称张量与一个斜对称张量之和，即
aij
1 2
(aij
a ji )
1 2(aija i )bijcij
各向同性
• 如果一个张量的分量在所有坐标系中都 具有相同的值，则它是各向同性的。
• 张量 ij ,ijk 都是各向同性的。
ij lirl js rs lirl jr ij
• 矢量U和V的标量积定义为： U V |U ||V | cos
• |U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的
夹角。
e1 e2 | e1 || e2 | cos90 0 e1 e1 | e1 || e1 | cos0 1
• 标量积的计算式为：
U V (u1e1 u2e2 u3e3 ) (v1e1 v2e2 v3e3 )
aijk lipl jqlkra pqr
• 缩并后，
aikk lip (lkqlkr )a pqr lip qra pqr lipa prr
• 这是对一阶张量的变换规则。
对称与斜对称
• 对张量 aij ，如果 aij a ji ，则称之为对
称张量；
• 如果aij a ji，则称之为斜对称张量。
1.3.1 指标记法和求和约定
• 矢量V用指标记法为 vi ，指标可以自由
挑选。 • 规则1：如果在一个表达式或方程的一
项中，一种下标只出现一次，称之为 “自由指标”。 • 规则2：如果在一个表达式或方程的一 项中，一种指标正好出现两次，则称之 为“哑标”，它表示从1到3进行求和。
• 规则3：在一个表达式或方程的一项中， 一种指标出现的次数多于两次，则是错 误的。
• 两坐标系中的点的坐标变换为
xi lij x j
•和
xi l ji xj
lij
xi x j
x j xi
• i为新坐标轴，j为旧坐标轴。
1.3.5 笛卡尔张量
• 张量的名称起源于它与应力（张力）有 关的历史。
• 新坐标系中每一个新矢量的分量是原来 分量的一个线性组合，这种变换很规则 方便且有很多用途。
• 三重矢量积：
U (V W ) (U W )V (U V )W
1.2.5 标量场和矢量场
• 函数 (x1, x2, x3) c 称为一个标量场，梯
度
grad
e1
x1
e2
x2
e3
x3
( , , )
x1 x2 x3
• 构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。
• 矢量的散度：
V v1 v2 v3 x1 x2 x3
二、矢量和张量
• 1.1 基本概念 • 1.2 矢量 • 1.3 张量
1.1 基本概念
• 讨论应力、应变和本构方程时，通常采 用矢量和张量符号。具有表达简洁的特 点。
• 坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系， 熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法 为x1 轴、 x2轴、 x3轴。
1.2.1 矢量代数
l22
l23
l31
l32
l33
• 注意 lij 的元素不对称。 • 由 lij 的定义有：
lij ei e j
ei lije j
• 所以 ei ej ij lirer l jk ek lirl jk rk lirl jr
•或
lirl jr ij
• 该式隐含6个等式：
l121 l122 l123 1 l221 l222 l223 1 l321 l322 l323 1 l11l21 l12l22 l13l23 0 l11l31 l12l32 l13l33 0 l21l31 l22l32 l23l33 0
• 矢量的旋度：
e1 V curlV / x1
v1
e2 / x2
v2
e3 / x3
v3
1.3 张量
• 1.3.1 指标记法和求和约定 • 1.3.2 ij 符号（Kronecker符号） • 1.3.3 ijk 符号（交错张量） • 1.3.4 坐标变换 • 1.3.5 笛卡尔张量 • 1.3.6 张量性质
商法则
• 对于aij ，如果在任一坐标系中对任何张
量 bij ，有：
aijbij c
• c是一标量，则 aij 是一个张量。
• 证明： • 由于c是标量
• 由于 • 于是 • 得到
aijbij c c aijbij arsbrs
arsbrs aijbij 0
bij lrilsjbrs
• 所以，将 ij 应用于 只是将j用i置换， 因此 ij 符号通常称为置换算子。
vj
1.3.3 ijk 符号（交错张量）
• ijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1， 0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如 果交换次数为偶数，则元素为1，为奇 数，则为-1，如果下标出现重复，则值 为0。可从图解判断：
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi
i 1
• 两个垂直矢量的点积为零。
• 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。
• 应用：力F作用在一运动速度为V的物体上， 功率由点积（ F V）求出。
1.2.3 矢量积
• 两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右 手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长 度等于 |U ||V | sin 。标记为：
• 叉积
U V ijk u jvk ei
• 证明：对分量1，对于表达式 1 jk u jvk
由于下标1，j，k必须互不相同，所以可 能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2， 因而
1 jk u jvk 123u2v3 132u3v2 u2v3 u3v2
• 同理可对其它分量计算，合并得证。
• 如此可以推广到更高阶张量。
• 虽然所有的矢量都是张量，但并不是所 有的矩阵都必定是张量，如工程应变分 量不构成一个张量。
1.3.6 张量性质
• 相等 • 当两个张量对应的分量相等时，则定义
它们相等。 • 相加 • 两个同阶张量的和（或差）仍是一个同
阶张量，其分量为两个张量对应分量的 和（或差）。
例题
• 如果 是一个标量，试证明
• （a）,i 是一个一阶张量； • （b）,ij 是一个二阶张量； • （c）,kk 是一个标量（零阶张量）；
brs (ars lrilsjaij ) 0 ars lrilsjaij
cik vi
• 对任意矢量 ui有 aiju j vi ， 为一矢量； • 对任意张量bij 有aijbjk cik ， 为一张量；
• 那么 aij 为一张量。
• 对任意矢量 ui、vi、、wi
有 aijkuiv j wk c ， • c为一标量，那么 aijk 为一张量。