乘法公式与因式分解的关系
因式分解与整式乘法的联系和区别
因式分解与整式乘法的联系和区别示例文章篇一：哎呀，亲爱的同学们，今天我想跟你们好好唠唠因式分解和整式乘法这对“双胞胎”！你们说，这俩家伙是不是特别让人头疼？就像一对长得有点像，但性格又不太一样的兄弟！咱们先来说说整式乘法吧。
比如说，(x + 2)(x - 3)，这一乘，就得到了x² - x - 6 。
这就像是把两个小队伍合并成了一个大队伍，力量变得更强大啦！那你们说，这是不是很神奇？再看看因式分解，比如说x² - x - 6 ，能把它变成(x + 2)(x - 3) 。
这就好像是把一个大部队又拆分成了两个小部队，各有各的任务！那它们到底有啥联系呢？咱们想想啊，整式乘法是把几个整式相乘得到一个新的整式，而因式分解呢，是把一个整式变成几个整式的乘积。
这难道不像我们搭积木吗？整式乘法是把几块小积木拼成一个大的造型，而因式分解就是把那个大造型又拆成几块小积木。
这不就是一正一反的过程嘛！那区别又在哪呢？整式乘法是从“局部”到“整体”，是合成的过程。
而因式分解呢，则是从“整体”到“局部”，是分解的过程。
这就好比盖房子，整式乘法是把砖头、水泥啥的组合起来盖成房子，而因式分解就是把房子拆成砖头、水泥这些原材料。
你们说是不是这个理儿？我同桌还跟我说：“哎呀，这也太难区分啦！”我就跟他讲：“你仔细想想呀，乘法是越乘越复杂，分解是越分越简单，这不就好懂多啦？”老师上课讲的时候，我可是听得特别认真。
我发现，只要我们多做几道题，多琢磨琢磨，就能把它们分得清清楚楚啦！所以啊，同学们，咱们可不能被这对“双胞胎”给难住，要把它们的特点和区别都摸透，这样在数学的世界里才能游刃有余！你们说对不对？示例文章篇二：《因式分解与整式乘法的那些事儿》嘿，同学们！今天我要和你们好好聊聊因式分解和整式乘法这对“欢喜冤家”。
先来说说整式乘法吧，这就好比盖房子，我们把各种材料按照一定的规则搭建起来，变成一个完整的大房子。
比如说，(x + 2)(x + 3)，我们通过乘法法则，就能得到x² + 5x + 6 ，这是不是很神奇？那因式分解又是什么呢？它呀，就像是把盖好的房子拆成原来的材料。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和方法。
乘法公式是指计算两个或多个数的乘积的规则，而因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在本文中，我将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用和相关的数学知识。
一、乘法公式乘法公式是数学中常用的计算乘积的方法。
常见的乘法公式包括加法乘法公式、减法乘法公式、平方差公式和立方差公式等。
1. 加法乘法公式加法乘法公式是指将一个数的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
2. 减法乘法公式减法乘法公式是指将一个带有减法的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
3. 平方差公式平方差公式是指将一个数的平方差转化为一个差的平方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的平方差可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
4. 立方差公式立方差公式是指将一个数的立方差转化为一个差的立方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的立方差可以表示为(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3。
这个公式也可以通过展开括号和合并同类项来证明。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在因式分解中，我们要找到多项式中的公因式，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
因式分解在解方程、求极值和简化计算等方面具有重要的应用。
常见的因式分解方法包括公因式提取法、配方法和因式定理等。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式中的公因式提取出来，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
例如，对于多项式4x+8，我们可以提取公因式4，然后将这个多项式分解为4(x+2)。
2. 配方法配方法是指将一个多项式分解为两个因子的乘积的规则。
整式乘法与因式分解
因式分解与整式乘法一、因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．1、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．2、乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．3、因式分解：因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）23.十字相乘法【精典例题】例1、下列运算正确的是（）A．3x3﹣5x3=﹣2x B．6x3÷2x﹣2=3x C．（X3）2= x6D．﹣3（2x﹣4）=﹣6x﹣12考点：整式的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：根据合并同类项的法则、整式的除法法则、幂的乘方法则及去括号的法则分别进行各选项的判断．解答：解：A．3x3﹣5x3=﹣2x3，原式计算错误，故本选项错误；B．6x3÷2x﹣2=3x5，原式计算错误，故本选项错误；C．（X3）2= x6，原式计算正确，故本选项正确；D．﹣3（2x﹣4）=﹣6x+12，原式计算错误，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了整式的除法、同类项的合并及去括号的法则，考察的知识点较多，掌握各部分的运算法则是关键．例2（1）化简：（a﹣1）2+2（a+1）解：（1）原式=a2﹣2a+1+2a+2=a2+3；例3、多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=，n=．∴，∴，【基础诊断】1、计算：23(22)ab a a -+-=_______________.2、下列各式中，与2(1)x -相等的是（ ）A ．21x -B ．221x x -+C ．221x x --D ．2x3、计算;______________)3)(32(=-+y x y x 4、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x+y)(－x －y)B.(2x+3y)(2x －3z)C.(－a －b)(a －b)D.(m －n)(n －m)5.下列计算正确的是( ) A.(2x+3)(2x －3)=2x2－9 B.(x+4)(x －4)=x2－4C.(5+x)(x －6)=x2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b26.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b)(－b+a) B.(xy+z)(xy －z) C.(－2a －b)(2a+b)D.(0.5x －y)(－y －0.5x)7、下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.(a +3)(a —3)=a 2-9B.()2241026x x x ++=++C.()22693x x x -+=-D.()()243223x x x x x -+=-++ 8、下列分解因式正确的是（ ）A ．)1(222--=--y x x x xy xB ．)32(322---=-+-x xy y y xy xy C ． 2)()()(y x y x y y x x -=--- D ． 3)1(32--=--x x x x9、把代数式269mxmx m -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x -10、将整式9－x2分解因式的结果是（ ） A ．(3－x)2 B ．(3＋x)(3－x) C ．(9－x)2 D ．(9＋x)(9－x)11、把多项式x2一4x+4分解因式，所得结果是( ). A ．x(x 一4)+4 B.(x 一2)(x+2) C ．(x 一2)2 D ．(z+2)212、把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A.()()x x y x y +- B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y -13、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()ab a b a b -=+-D ．22(2)()2a b a b aab b +-=+-14、下列多项式中，能用222()2a b a ab b +=++公式法分解因式的是（）A.x2－xyB. x2＋xyC. x2－y2D. x2＋y2 15、下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．B ．C ．D ．解答题： 1、1.03×0.972、(－2x2+5)(－2x2－5)3、a(a －5)－(a+6)(a －6)4、(2x －3y)(3y+2x)－(4y －3x)(3x+4y)5、9982－46、2003×2001－20022；7.先化简，再求值：2(2)(21)(21)4(1)x x x x x +++--+，其中x =8、先化简，再求值：（1+a ）（1﹣a ）+（a ﹣2）2，其中a=﹣3．9、因式分解 （1）2x 4﹣2= ____（2）2a2– 4a + 2= （310、在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解11、给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x-．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．。
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。
2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：（m、n都是正整数）。
当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。
3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。
即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。
本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。
一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。
其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。
2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。
3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。
以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。
二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。
1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。
(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。
(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
代数式的乘法公式与因式分解
代数式的乘法公式与因式分解代数式的乘法公式是数学中常用的工具之一，它们能够帮助我们简化复杂的代数表达式、发现隐藏的模式，以及解决各种与代数有关的问题。
而因式分解则是将一个代数式分解成多个乘积的过程，它在代数运算和方程求解中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨代数式的乘法公式与因式分解，以及它们在数学中的应用。
一、代数式的乘法公式代数式的乘法公式是指在代数表达式相乘时经常使用的规则和公式，它们有助于简化运算过程，并使代数式更具可读性。
下面是一些常见的代数式乘法公式：1. 分配律：对于任意的实数a、b和c，有a(b+c) = ab + ac以及(a+b)c = ac + bc。
分配律可以应用于多项式相乘、带有括号的表达式、以及代数方程的求解等。
2. 平方差公式：对于任意的实数a和b，有(a-b)(a+b) = a^2 - b^2。
平方差公式常用于差的平方的展开，例如(a-b)^2的展开形式即为a^2 -2ab + b^2。
3. 二次展开公式：对于任意的实数a和b，有(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2。
二次展开公式常用于进一步化简平方和的表达式，以及解决与二次方程相关的问题。
4. 三次展开公式：对于任意的实数a和b，有(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3。
三次展开公式可以用于分解和简化立方和的表达式，同时也有其他在数学中应用的场景。
二、因式分解因式分解是将一个代数式分解成多个乘积的过程，它有助于我们理解和简化复杂的代数式，并且在解决方程、求根以及确定函数的性质等方面发挥重要作用。
以下是一些常见的因式分解方法：1. 公因式提取：当一个代数式中存在公因式时，我们可以将其提取出来，从而将代数式分解成一个公因式和一个因式二者的乘积。
例如，在表达式2x^2 + 4x中，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 平方差公式的逆运用：通过逆运用平方差公式，我们可以将一个差的平方形式的代数式因式分解为两个因式的乘积。
多项式的因式分解与乘法公式
多项式的因式分解与乘法公式多项式在代数学中扮演着至关重要的角色。
本文将介绍多项式的因式分解与乘法公式，并探讨它们在解决实际问题中的应用。
一、因子与因式分解多项式的因子是能够整除该多项式以得到一个整数结果的多项式。
例如，2是4的因子，而x-x^2是x^3-x^2的因子。
因式分解是将一个多项式表示成若干个不可再分解的因式相乘的形式。
这种表示有助于我们理解多项式的结构，并在求解方程、简化计算等方面发挥重要作用。
例如，多项式x^2-4可以因式分解为(x+2)(x-2)，其中(x+2)和(x-2)是其因子。
我们可以通过使用因式分解，将一个复杂的多项式转化为简单的乘法运算，从而更容易进行求解和运算。
在进行因式分解时，我们需要了解一些常见的因式分解形式，如下所示：1. 按因式的形式分解- 相加减法公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
例如，x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
例如，x^2+4x+4=(x+2)^2。
- 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。
例如，x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3。
2. 按因式的类型分解- 因式分解为一次因式的乘积。
例如，x^2-4x=x(x-4)。
- 因式分解为二次因式的乘积。
例如，x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 因式分解为三次因式的乘积。
例如，x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
当然，以上仅仅是因式分解的一部分常见形式。
实际问题中，往往需要根据具体情况进行因式分解，并利用分解结果进行后续的计算。
二、乘法公式乘法公式是多项式扩展运算的基础。
通过运用乘法公式，我们可以将多项式相乘的计算简化为更小规模的计算。
下面是常见的乘法公式：1. 二次乘法公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
例如，(x+2)^2=x^2+4x+4。
2. 三次乘法公式：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。
“整式的乘法与因式分解”概念解读
“整式的乘法与因式分解”概念解读作者：尹永洲来源：《初中生世界·七年级》2014年第06期本章的主要内容是整式的乘法运算、因式分解.内容建立在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础.一、整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分.其中之前所学习的幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础.整式乘法具体内容包括单项式乘以单项式，单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式.单项式与单项式相乘把他们的系数相乘，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.依据是.多项式与多项式相乘用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.二 .乘法公式乘法公式是整式乘法的特殊情形.运用乘法公式能迅速而简洁地进行一些整式相乘的运算.平方差公式：注意：平方差公式展开只有两项.公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.完全平方公式：完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.三. 因式分解因式分解是多项式的一种恒等变形.因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的运算，同学们在学习时必须能够弄清两者的区别和联系.分解因式基本概念：※把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.※因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解的思路与解题步骤：（1）看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（4）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.因式分解的基本方法Ⅰ提公因式法概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：方法：（1）找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数----各项系数的最大公约数；②字母----各项含有的相同字母；③指数----相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.（3）注意点①提取公因式后各因式应该是最简形式②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.易错点点评：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉.Ⅱ公式法运用公式法分解因式的实质是：把乘法公式反过来使用.常用的公式：①平方差公式：（应是二项式，且每项（不含符号）都是一个整式的平方；二项是异号.）②完全平方公式：、（应是三项式；其中两项同号，且各为一整式的平方；还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍.）因式分解中需要注意的几个问题1.分解的对象是多项式.而对于的变形过程，是利用了因式分解的方法和形式，而不能叫因式分解.2. 要把结果化为几个因式的积，而不是把部分化为积的形式.有些同学在分解因式时，容易出现这样的错误= ，它不符合因式分解的定义，应分解为 =3.不要分解后又乘回来有些同学对多项式因式分解后，又按整式乘法把它变成一个多项式，这是同学们因式分解时易犯错误.。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式 。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫 做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与 因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相 乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题 解析可以更好地理解各种方法的适用条件 和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因 式之积的过程，下面通过一些例题及解析 来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公 式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基 于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以 将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一 些分式的约分问题。
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：13公式法(3)(共12张PPT)
知识应用
把下列各式进行因式分解： (1)y2－4x(y－x) （2）4(x2 1) x4
（3）m(m 4) 4
（4）x2 3(2x 3)
例6 把（x2 1)2 4x2因式分解.
练习：
（1）(a2＋b2)2－4a2b2 （2）(x2 y2 )2 4x2 y2
因式分解的一般步骤：
2.因式分解的一般步骤：
.
一提，先观察各项是否含有公因式，如果有公因式 ，先提取公因式. 二套，观察多项式的项数，如果是两项且符号相反 ，考虑平方差公式，如果是三项考虑用完全平方公 式. 三彻底.因式分解一定要彻底.
例题引领
例5 把y(y+4)-4(y+1)因式分解.
●温馨提示： 将原式展开，再运用完全平方公
布置作业
课本Ｐ16: 习题1.6 1、Байду номын сангаас题.
八年级数学上册第一章因式分解
教学目标
1.进一步理解提公因式法和公式法分解因式。 2.灵活运用两种方法进行因式分解。
知识铺垫
1、乘法公式与因式分解的关系：
乘法公式：
因式分解：
(a b)(a b) ＝ a2 b2 (a b)2 ＝a2 2ab b2
(a b)(a b) ＝ a2 b2 (a b)2 ＝ a2 2ab b2
因式分解的一般步骤：
.
一提，先观察各项是否含有公因式，如果有公 因式，先提取公因式. 二套，观察多项式的项数，如果是两项且符号 相反，考虑平方差公式，如果是三项考虑用完 全平方公式. 三彻底.因式分解一定要彻底. 提示：公因式的系数是负数时，将公因式提出 后括号里的各项都要变号。
当堂达标
见导学案上的当堂达标.
乘法公式与因式分解
第一單元 乘法公式與因式分解1-1乘法公式我們知道5(72)5752×+=×+×一般而言，對任意數a ，b ，c 恆有()a b c ab ac +=+同樣的，()b c a ba ca +=+於是，想計算()()a b c d ++時，可以先將c d +當成一個數，即()()()()a b c d a c d b c d ac ad bc bd ++=+++=+++這個概念可以再推廣，例如()()a b c d e ad ae bd be cd ce +++=+++++也就是當兩組數各自相加、括號起來，再相乘時，可以將前面括號中的每一項逐一乘 後面括號中的每一項，這些兩兩乘積全部相加即得。
這個性質稱為乘法對加法的分配 律，簡稱分配律。
利用分配律，我們來導出一些乘法公式。
(1) 32()()()a b a b a b +=++22()(2)a b a ab b =+++32222322a a b ab a b ab b =+++++322333a a b ab b =+++和的立方 33223()33a b a a b ab b +=+++(2) 33()[()]a b a b −=+−32233()3()()a a b a b b =+−+−+−322333a a b ab b =−+−差的立方 33223()33a b a a b ab b −=−+−例題1求3(21)x −的展開式。
解3322332(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x −=−⋅+⋅−=−+−立即演練求3(52)x +的展開式。
除了上述乘法公式，還可以用分配律導出一些其他的常用公式：(3)2233()()a b a ab b a b −++=−(4)2233()()a b a ab b a b +−+=+例題2將2(3)(39)x x x −++乘開並化簡。
整式乘法与分解因式的关系
一、整式乘法与分解因式的关系：例1：已知多项式6x2-7x-3分解因式后为（2x-m）(3x+1),求m的值。
练习1：已知二次三项式2x2+ax+b分解因式后为(2x-1)(x+4)，试求a、b的值。
练习2：若（x+1）2是多项式x3-x2+ax+b的一个因式，求a、b的值，并求出多项式的另一个因式。
练习3：已知关于x的多项式2x3+x2-12x+k分解因式后，有一个因式为(2x+1),试求k的值，并将原多项式分解因式。
二、因式分解的方法：1、提公因式法：例1分解因式：x(x-y)+y(y-x)练习1：分解因式①18（a-b）3-12b(b-a)2②x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)③b2(x-3)+b(3-x)④a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b-a+c)练习2⑤(x-5)2-(5-x)(9-x)=12例2：已知m为正整数，那么3m+2-3m一定是24的倍数吗？为什么？练习1：求证：32004-4×32003+10×32002能被7整除。
练习2：已知316-1可被不超过10的两个正整数整除，你能找出这两个整数吗？例3：不解方程组2x-y=4X+3y=1求代数式7x(x+3y)2-(x+3y)3的值2、公式法：①a3-ab2②x2+4x+4 ③2m3-8m④2mx2-4mxy+2my2⑤a3+9ab2-6a2b3、分组分解法：例1：分解因式：①mx-my+nx-ny ②2a+4b-3ma-6mb ③1+x+x(x+1)+x(x+1)2例2：a与b均为实数，且满足a2+b2+5=4a-2b,求(a+b)2011的值.4、十字相乘法: 逆用乘法公式（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab例1：分解因式x2+3x+2练习：①x2+9x+14 ②x2-5x-14 ③2x2+7x+3④3x2+2x-5 ⑤6x2+7x+2 ⑥x2+5x+6⑦x2-5x+6 ⑧x2+5x-6 ⑨x2-5x-6例2：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12练习：① 4x2-9y2+6x+3y+2 ②x2+3xy+2y2+4x+5y+3③3x2+5xy-2y2+x+9y-4测试题一、选择题(每小题2分，共20分)1．观察下列多项式，其中有公因式的是( )①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④2x－2y和2.A．①②B．②③C．①③④ D．②③④2．多项式m2(a－2)＋m(2－a)分解因式的结果是( )A．(a－2)(m2＋m) B．(a－2)(m2－m)C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m＋1)3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )A．x(a－b)＝ax－bxB．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2C．x2－1＝(x＋1)(x－1)D．ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c4．若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2·E，则E是( )A．1－q－p B．q－p C．1＋p－q D．1＋q－p5．(－2)10＋(－2)11的结果是( )A．－210B．－211 C．210 D．－26．若a＋b＝1，则化简a2＋3ab＋b2得( )A．1＋3ab B．1＋ab C．1 D．ab7．已知4m＋n＝90,2m－3n＝10，则(m＋2n)2－(3m－n)2等于( )A．900 B．－900 C．800 D．－8 0008．已知正方形的面积是9a2＋6ab＋b2(a>0，b>0)，那么表示这个正方形边长的代数式是( ) A．2a＋3b B．a＋3bC．3a＋2b D．3a＋b9．9(a－b)2＋12(a2－b2)＋4(a＋b)2因式分解的结果是( )A．(5a－b)2 B．(5a＋b)2C．(3a－2b)(3a＋2b) D．(5a－2b)210．下列多项式中，含有因式(y＋1)的多项式是( )A．y2－2xy－3x2 B．(y＋1)2－(y－1)2C．(y＋1)2－(y2－1) D．(y＋1)2＋2(y＋1)＋1二、填空题(每小题2分，共10分)11．多项式－3x2y3z＋4x3y3z－6x4yz2提取公因式________后，另一个因式________．12．分解因式：x(m－n)(a－b)－y(n－m)(b－a)＝________13．分解因式：(2x－y)－(y－2x)2＝________.14．若mn＝3，a－b＝5，则a2mn－2abmn＋b2mn＝________.15．简便计算：9992＝______________，7.292－2.712＝________.三、解答题(共20分)16．(6分)分解因式：(1)(x＋p)2－(x＋q)2； ( 2)16(a－b)2－9(a＋b)2；(5)25x 4＋10x 2＋1； (6)4(x ＋p )2＋12(x ＋p )(x ＋q )＋9(x ＋q )2；17．(2分)试说明257＋513能被30整除．18．(2分)计算：(10737)2＋(9247)2＋(10737)×(9247)×2.19．(3分)已知实数a 、b 满足a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝0，求a 2＋b 2的值．20．(2分)已知a ＋b ＝4，ab ＝－2，不解方程组，求：(1)(a －b )2；(2)a 3b －2a 2b 2＋ab 3.21．(2分)已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 4－a 2c 2＝b 4－b 2c 2，试判断△ABC 的形状．22．(3分)求证：两个连续整数的积，再加上较大的整数，其和等于较大整数的平方．。
第3讲 乘法公式和因式分解
第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2【考点3 因式分解】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. m m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．﹣6【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x ﹣1）（x +1）＝ x 2﹣1②（x ﹣1）（x 2+x +1）＝ x 3﹣1③（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1④（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 5﹣1⑤（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1…由以上规律（1）填空：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝ ． 2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±8B ．4C ．﹣2D ．±2【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)；(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-712255-25725()()()222244x y x y x y ++---()()x y x y +-、【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．4、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）A ．1B ．7C ．11D ．13故选：A ．5、）把下列各式进行因式分解（1）4（x ﹣2）2﹣1；（2）（x+y ）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三： 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式6、分解因式：（1）（2）【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.()()x y x y +-、,a b ()()222222x x ----()2224420x xx x +---7、（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．课堂测1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-33．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x 2+6xy+9y 2=（x+3y ）2B ．2x 2﹣4xy+9y 2=（2x ﹣3y ）2C ．2x 2﹣8y 2=2（x+4y ）（x ﹣4y ）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x+y ）4．（2019·山东中考模拟）多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）A ．a （4﹣a 2）B ．a （2﹣a ）（2+a ）C ．a （a ﹣2）（a+2）D ．a （2﹣a ）25．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+1利用公式法解决代数式求值问题的方法1．（2018·河南中考模拟）已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．（2017·陕西中考模拟）已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣23．（2019·江苏中考模拟）若x 2+mx -15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A ．-5B ．5C ．-2D ．2课后习题一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A.x 2－xyB. x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 23.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（ ）A ．4a 2B ．4a 2﹣abC ．4a 2+abD ．4a 2﹣ab ﹣2b 2 二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ ．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x 2﹣2x +＝ ．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m+n）＝2m2+3mn+n2（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于（用含m、n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．方法①方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.3、(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21y 1,))(()(2=-=÷+-+-，其中x x y x y x y x5. 已知a +b ＝3，ab ＝﹣10．求：（1）a 2+b 2的值；（2）（a ﹣b ）2的值．6.下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y ，原式＝（y +2）（y +6）+4 （第一步）＝y 2+8y +16 （第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式是数学中的重要概念之一，它与因式分解密切相关。
本文将探讨乘法公式与因式分解的概念、应用以及计算方法。
一、乘法公式的概念乘法公式是指将两个或多个数相互乘积的规则。
常见的乘法公式有两类：整式的乘法公式和分式的乘法公式。
整式的乘法公式指的是多项式之间的乘法规则，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；分式的乘法公式则是指两个分式相乘的规则，如ab/cd=(a/c)(b/d)。
二、乘法公式的应用乘法公式在代数运算中有广泛的应用。
在多项式的乘法运算中，乘法公式可以简化计算步骤，提高计算效率。
例如，将一个多项式与另一个多项式相乘时，可以利用乘法公式将其分解为多个互相独立的项，并将各项的系数相乘得到最终结果。
同样，在分式运算中，乘法公式可以将两个分式相乘，得到一个新的分式，从而简化计算。
三、因式分解的概念因式分解是指将一个复杂的表达式拆解成多个简单因式的过程。
在数学中，因式分解是一种常用的求解问题的方法。
例如，对于一个多项式表达式，通过因式分解可以将其分解为两个或多个乘积形式的简单因式相乘，从而更好地理解和处理该表达式。
四、乘法公式与因式分解的关系乘法公式与因式分解密切相关。
在因式分解过程中，使用乘法公式可以将一个多项式进行拆解，形成由简单因式相乘的形式。
同时，通过乘法公式的合理运用，也可以进行因式分解的计算过程，进一步理解和推导出较为复杂的因式。
五、乘法公式的计算方法乘法公式的计算方法根据具体情况而定。
对于整式的乘法公式，可以根据分配律和结合律，按照一定的顺序进行计算。
需要注意的是，在乘法过程中要对指数和系数进行合理的运算和组合。
而对于分式的乘法公式，可以利用分数的乘法法则，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，从而得到新的分式。
六、因式分解的计算方法因式分解的计算方法具体取决于所要分解的表达式的特点。
一般来说，可以使用因式分解的常见方法，如公因式提取法、配方法、换元法等。