2020-2021青岛大学附属中学高一数学下期末一模试题附答案

2020-2021青岛大学附属中学高一数学下期末一模试题附答案
一、选择题
1．已知向量a v ，b v 满足4a =v
，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最
小值为（ ）
A ．
B ．10
C
D ．8
2．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
3．已知集合{}
{}2
|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件
A C
B ⊆⊆的集合
C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v
的
最小值是（） A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，
sin B =
，ABC S =△b =（ ）
A ．
B ．
C D 6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．
53 B ．
10
3
C ．
56 D ．
11
6
7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]
1,4-
C ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]
5,5-
8．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
B ．112x x x ⎧⎫<->
⎨⎬⎩⎭
或 C ．{}
21x x -<<
D ．{}
21x x x <->或
9．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，
1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A ．
12
尺 B ．
815
尺 C ．
1629
尺 D ．
1631
尺 11．要得到函数23sin 23y x x =+2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 12．已知0,0a b >>，并且111
,,2a b
成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
二、填空题
13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n
n n S a =-，则n S =__________．
14．函数sin 232y x x =的图象可由函数sin 232y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。

15．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuu v
方向上的投影为________． 16．若
4
2
x π
π
<<
，则函数3
tan 2tan y x x =的最大值为 ．
17．直线l 与圆2
2
240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为
(0,1)，则直线l 的方程为__________．
18．已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则
①棱AB 与PD 所在直线垂直；
②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
19．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，
2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．
20．已知函数()2,01,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．
三、解答题
21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值． 22．在中角所对的边分别是
，
，
，
．
求的值； 求
的面积．
23．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.
24．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10cos A =，2b =5c =
（1）求a ；
（2）求cos()B A -的值．
25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log n
n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；
(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷
中，至少有一份分数在[
)90,100之间的概率．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
b r 在a r
上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求2
2a b -r r 的最小值即可得出结果.
【详解】
因为b r 在a r
上的投影（正射影的数量）为2-，
所以||cos ,2b a b <>=-r r r
， 即2
||cos ,b a b =-
<>r r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ， 所以||2b ≥r
，
因为222222
2(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r
22
=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+r r
所以2
2484464a b -≥+⨯=r r ，即28a b -≥r r ，故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++
⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】
()11a ax y
x y a x y y x
⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .
若0xy <，则0y
x
<，从而
1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则
0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，
(
))
2
11111a ax y x y a a a x y y x
⎛⎫++=+++≥+=+=
⎪⎝⎭，
当且仅当=y 时，等号成立.
所以，
)
2
19≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
故选：C. 【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R
{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u r u u u r u u u r
，
所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+u u u r u u u r u u u r
222[(3)3]x y =+--，
所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r
取得最小值为2(3)6⨯-=-，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由
sin 4
B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC V
中，sin 4B =
，4
ABC S =△
1sin 24ABC S ac B ==V ，
联立521
sin 2sin a c ac B B ⎧
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得：5a =，2c = 由于B
为锐角，且sin 4
B =
，所以3cos 4B ==
所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=
，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，
5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()
51002
a a S a +=
==， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556
d =
， 1355522033
a a d ∴=-=-
=. 故选:A. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】
∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−
1
2
⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，
本题选择C 选项.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得
,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
220ax bx ++>Q 的解集为{}12x x -<<
1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <
1212122
b
a a
⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨
=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：1
12x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
故选：A 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
(1101010)
y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数
据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为
，
,求公差，，解得：
尺，故选C.
考点：等差数列
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简函数223sin 23y x x =+-. 【详解】
依题意2
ππ23sin 232sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位.所以选C. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
12．D
解析：D 【解析】 ∵
111
,,2a b
成等差数列， ()1111441445529a b a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭
，…， 当且仅当a =2b 即3
3,2
a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
二、填空题
13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
解析：*
2()n n S n n N =∈g
【解析】
分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，1
1122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2
n n a 是首项为1公差为
12
的等差数列，从而得到()1
12n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得1
1122a a =-，解得12a = ，
当2n ≥ 时，
由22n n n S a =-），得1
1122n n n S a ---=-，
两式相减得(
)()
1
1122
22
,n
n n n n n n a S S a a
---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且1
1
1,2a = ∴数列{}2n n a
是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22
n n
a n ∴
=+- 可得()1
12,n n a n -=+ 所以()1
2221222.n
n n n
n n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦
点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合
理运用．
14．【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【详解】分别把两个函数解析式化简为：可知只需把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图 解析：3
π
【解析】 【分析】
利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位. 【详解】
分别把两个函数解析式化简为：
sin 222sin(2)3
y x x x π
==+，
sin 23cos 22sin(2)2sin[2()]333
y x x x x πππ
=-=-=-+，
可知只需把函数sin 23cos 2y x x =+的图象向右平移3
π
个单位长度， 得到函数sin 23cos 2y x x =-的图象， 故答案是：3
π. 【点睛】
该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题的过程中，注意正确化简函数解析式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量.
15．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu
r 方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()
1,3C ，
则：()2,0AB =uu u r ，()
1,3BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r
且2AB =u u u r ，10BC =u u u v
，
据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB
⋅-==-u u u v u u u v
u u u
v .
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值
解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,4
2
x
x x π
π
∴∴Q
设2tan t x =
()()()2
22141222
2142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当
2t =时成立
考点：函数单调性与最值
17．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得
解析：10x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】
设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，21
10
op k -=
--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．
18．①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD∴AB⊥PD 故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD 由PB⊥BC 得PB⊥平面ABCD 从而PA∥PB 这是不可能的故②错；S△PCD＝CD·PDS△PAB＝AB·PA 由
解析：①③ 【解析】
由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；
若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，
得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝
1
2
CD ·PD ，S △PAB ＝1
2
AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．
19．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命
解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】
根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或
1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.
【详解】
若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，
若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()2
4420a a ∆=--≥，
解得：2a ≤-或1a ≥，
若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】
解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
20．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值
解析：-3 【解析】 【分析】
先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果. 【详解】
()()()102f a f f a +=⇒=-
当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立 当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3 【点睛】
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
三、解答题
21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】
（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．
（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 22．（1）；（2）
【解析】 【分析】
)利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得
的值；
由
，可得
为锐角，由可得
，利用两角和的正弦函数公式可求
的值，利用三角形面积公
式即可得解． 【详解】
，
，
．
，
由正弦定理可得：
，C 为锐角，
由
可得：
，
，
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 23．(1) 3
C π
=.(2) (23,4].
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 1
22
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
（2
）由正弦定理可知，2sin sin sin 3
a b A B
π===
，即,a A b B ==
∴sin )a b A B +=
+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦
2cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩
，即，
则
23
6
3A π
π
π<+
<
，所以4sin 46A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b
的取值范围为. 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 24．(1) 3a =.
(2) cos()10
B A -=. 【解析】 【分析】
分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =． （2
）由10cosA =-
得10
sinA =
．根据正弦定理得5sinB =，从而
5
cosB =
，
故得()10
cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=． 【详解】
（1）在ABC ∆中，由余弦定理得
2222252910a b c bccosA ⎛⎫
=+-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭
，∴3a =．
（2）在ABC ∆中，由10
cosA =-
得,2A ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
∴10sinA ===，
在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB =sinB =，∴5
sinB =， 又,2A ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴cosB ===
∴()cos B A cosBcosA sinBsinA ⎛-=+== ⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 25．（1）13n n a = （2）21
n
n -+ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由2
3269a a a =，利用等比数列的通项公式化简
后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项
和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为
1
n
b 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{
1
n
b }的前n 项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由2
3a ＝9a 2a 6得2
3a ＝92
4a ,所以q 2＝
19
． 由条件可知q ＞0,故q ＝
13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13
． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3
n ．
（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()2
1n n +．
故
()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭
． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为21n n -+
考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】 【分析】
(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可
求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[
)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[
)80,90间矩形的高；
(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率
计算公式即可求出结果． 【详解】
(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，
由茎叶图知：
分数在[
)50,60之间的频数为2，
∴全班人数为
2
250.08
=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；
频率分布直方图中[
)80,90间的矩形的高为
3
100.01225
÷=．
(3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为
1b ，2b ，
在[
)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：
()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，
其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[
)90,100之间的概率是7
0.710
=． 【点睛】
本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。