抽象函数常见模型及习题讲解学生版

抽象函数常见模型及习题讲解一、正比例函数kx

y=(k≠0)型

正比例函数型的抽象函数特征式为：

()()()y

f

x

f

y

x

f+

=

+

Eg1、已知()x

f是定义在R上的函数，对任意的x、∈

y R都有()()()y f

x

f

y

x

f+

=

+，且当x>0时，()x f＜0，()2

1-

=

f。问当3

3≤

≤

-x 时，函数()x

f是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

Eg2、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有

f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，

f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

Ex1、已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.

(1)求证: ()f x 是奇函数;

(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.

Ex2、已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=

+且 当x ＞0，.2)1(.0)(-=

(1)判断)(x f 的奇偶性；

(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值；

(3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<

-ax f x f ax f

二、一次函数b kx y +=(k ≠0）型

一次函数型函数特征式为： ()()()f x y f x f y b +=+- Eg1、设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。

（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

（2）试问：当-2003≤x ≤2003时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；

（3）解关于x 的不等式2211()()()()22

f bx f x f b x f b ->

-，其中22b ≥.

Eg2、 已知函数)(x f 满足:对任意的R n m ∈,，都有

1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时,1)(>x f ，又4)3(=f , 解不等式,02)5(2<--+a a f 。

Ex1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0

时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

Ex2、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有

1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02

f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ，

(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈;

(3)判断函数()f x 的单调性,并证明.

Ex3、定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=112

0，， 且x >12时，f （x ）<0。 （1）求(1)f ;

（2）设a fnn N n

=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； （3）判断f （x ）的单调性，并证明。

三、指数函数)1,0(,≠>=a a a y x 型

指数函数型函数特征式为：()()()f x y f x f y +=

Eg1、定义在R 上的函数()()00,≠=f x f y ，当0>x 时，()1>x f 且对任意R b a ∈,都有()()().b f a f b a f =+

（1）求()0f 的值；

（2）判定函数值的正负；

（3）判断()x f 在R 上的单调性；

（4）若()()122>-x x f x f ，求x 的取值范围。

Eg2、设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1, 且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

.1)2()3(21)]([:)2(;

4)3(:)1(22+=++>-f x f x f x x f 、解方程、解不等式

Ex1、设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。

（1）证明f ()01=；

（2）证明：f x ()在R 上是增函数；

（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，

B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若

A B =∅，

求a b c ，，满足的条件

Ex2、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x 和y ，成立。 求：（1）f （0）；

（2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。

Ex3、已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<