高一年级竞赛数学数论专题讲义：7.奇数偶数

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7.奇数偶数

1.求所有的正整数2n ≥使得对于任意的两个整数,(0,)i j i j n ≤≤均有i j +与i j n n C C +同奇偶.

2.在一个国家里,国王要建n 座城市,并且在它们之间建1n -条道路,使得从每座城市可通往任何一座城市(每条道路连接两座城市,道路不相交,也不经过其他城市).国王要求：沿着道路网,两座城市之间的最短距离分别为1公里,2公里,3公里,,(1)2

n n -公里. (1)若6n =；国王的要求能实现？

(2)若2017n =；国王的要求能实现？

3.设111212122212(4)n n n n nn a a a a a a A n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭

中的1(1,)ij a i j n =±≤≤,现将矩阵A 中n 个两两既不同行也不同列的的数的乘积称为一个基本项,例如1122nn a a a 就是一个基本项.

证明：矩阵A 的全部基本项的和总能被4整除.

4.求所有使得212122

x x y +++=的整数对(,).x y

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7.奇数偶数解答

1.求所有的正整数2n ≥使得对于任意的两个整数,(0,)i j i j n ≤≤均有i j +与i j

n n C C +同奇偶. 解：i j +与i j n n C C +同奇偶就是说()i j n n C C i j +-+是偶数,也就是,i j n n C i C j --同奇偶.注意到当0i =时,对任意的正整数2n ≥都有1i n C i -=,所以i n C i -的只能都是奇数.再注意到当i n =时,对任意的正整数2n ≥都有1n n C n n -=-,所以n 一定是偶数.

所以当i 为奇数时,i n C 为偶数,当i 为偶数时,i n C 为奇数,且n 是偶数.

于是111i i i n n n C C C +++=+必为奇数.若111i i i n n n C C C +++=+为奇数,注意到01n C =时奇数,所以i 为奇数时,i n C 为偶数,当i 为偶数时,i n C 为奇数.

从而我们证明了i j +与i j n n C C +同奇偶的充要条件是11i n C ++为奇数.

若11i n C ++为奇数,则2(1,2,

,1)k n C k n +=+都是偶数,因为1212.k k n n n C C k -+++= 由任意性可取11212

s s k n +≤=≤+<,因为2n ≥,所以1s ≥,则221212.2s

s n n s n C C -+++=于是2| 2.s n + 所以1222s s n +<+≤,于是122.s n ++=于是12222(2)s k n k +=-=-≥.

另一方面若22(2)k

n k =-≥,我们证明21(2)k q C k -≥都是奇数. 21(21)(22)(2)12k k k k q

q C q

----=⋅,2k t -与t 所含的2的方幂相同,这是因为2||,u t 则u k <,2|2,u k t - 但因为12u t +Œ,12|2,u k +所以122.u k t +-Œ即2||2.u k t -所以21

(2)k q C k -≥都是奇数. 法2：i j +与i j n n C C +同奇偶就是说()i j n n C C i j +-+是偶数,也就是,i j n n C i C j --同奇偶.注意到当0i =时,

对任意的正整数2n ≥都有1i n C i -=,所以i

n C i -的只能都是奇数.再注意到当i n =时,对任意的正整数2n ≥都有1n n C n n -=-,所以n 一定是偶数.

101022,22k k k k n a a a i b b b =+++=+++,,0,1.i i a b =

因为n 一定是偶数,00.a =

①若i 是奇数,则01,b =由Lucas 定理知道011101

100(mod2).k k k k b b b b b i n a a a a a C C C C C C C ≡=≡ 所以i

n C i -是奇数.满足条件.

②若i 是偶数,则00,b =若存在i i b a >,则0i i b a C =, 于是由Lucas 定理知道01100(mod2).k

i k i b b b b i n a a a a C C C C C ≡≡所以i n C i -是偶数矛盾. 所以对任意的0,1,,i n =都有.i i a b ≥取最大的12120k i =⋅+

+⋅+, 则此时的n 只能是11212022(1)22(2).k k m n k m +=⋅+

+⋅+=-≥=-≥ 此时由Lucas 定理知道01101101101(mod2).k

k b b b i

n a a a C C C C C C C ≡=≡ 所以i n C i -是奇数.满足条件. 若22(2),m n m =-≥则12120.k n =⋅++⋅+由Lucas 定理i n

C i -是奇数. 所以22(2).m n m =-≥

2.在一个国家里,国王要建n 座城市,并且在它们之间建1n -条道路,使得从每座城市可通往任何一座城市(每条道路连接两座城市,道路不相交,也不经过其他城市).国王要求：沿着道路网,两座城市之间的最短距离分别为1公里,2公里,3公里,,(1)2

n n -公里. (1)若6n =；国王的要求能实现？

(2)若2017n =；国王的要求能实现？

解：首先由要建n 座城市,并且在它们之间建1n -条道路知道从任何一座城市到另外一座城市只有唯一的线路,若不然,一定存在某几座城市可以形成环线,不妨设00(2)n n ≥座城市形成环线,这个环线至少需要0n 条道路,每增加一座城市,至少需要建1条道路,所以增加0n n -座城市至少需要建0n n -条道路,从而总共至少要建n 条道路.矛盾.