三角函数的定义域、值域和最值

三角函数的定义域、值域和最值
一 知识点精讲：
1 三角函数的定义域 （1）r y =
αsin 定义域为R. （2）r
x =
αcos 定义域为R.
（3）x
y =
αtan 定义域为 ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
Z k k ,2|ππ
αα. （4）y x =
αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα.
2 三角函数的值域
① )0(,sin ≠+=a b x a y 型
当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0<a 时 ],[b a b a y +-+∈ ② c x b x a y ++=sin sin
2
型
此类型的三角函数可以转化成关于sinx 的二次函数形式。

通过配方，结合sinx 的取值范围，得到函数的值域。

x sin 换为x cos 也可以。

③ x b x a y cos sin +=型 利用公式a
b x b a x b x a =
++=+φφtan ),sin(cos sin 2
2， 可以转化为一个三角函数
的情形。

④x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=型
利用换元法，设x x t cos sin +=, ]2,2[-∈t ，则2
1
2
cos sin -=
t x x ,
转化为关于t 的二次函数2
2
2
12
2
b at t b t b
at y -
+=
-+=.
⑤x x c x b x a y cos sin cos sin 2
2
++=型
这是关于x x cos ,sin 的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，
2
2sin cos sin ,2
2cos 1cos
,2
2cos 1sin
2
2
x x x x
x x
x =
+=
-=
，
可转化为p x n x m y ++=2cos 2sin 的形式。

⑥ d x c b
x a y ++=sin sin 型 可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

⑦b
x a
x y ++=
cos sin 型 可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，
a by x y x -=-cos sin ，11,
1)sin(2
2
≤+-+-=
-y
a by y
a by x φ, 通过解此不等式可得到y
的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x 有具体的角度范围，则再进行限制。

二 典例解析：
例1．求下列函数的定义域
（1）x x y 2cos 2sin 33--=； （2）)
2
1(cos log
sin +
=x y x
. （3）x x y cos lg 252
+-=；
例2．求下列函数的值域
(1) 3sin 2+-=x y （2）4sin 5cos 22-+=x x y ；
（3）x x x x y 22cos 2cos sin 4sin 5+-=； (4)x x x x y cos sin cos sin ++= （5）2
sin 31sin 3++=
x x y ； （6）2
cos 2sin ++=
x x y
（7）x x y
cos )6
sin(π
-
=.
（8）)
4
(
tan 1)
4
(
tan 12
2
x x y
-+--=
π
π
（9）求函数x x
x x y
2sin cos sin 12sin +--=
的值域.
三 课堂练习：
1．若αααα则,11sec csc cos 2-=-⋅所在的象限是 （ ）
A ．第二象限
B ．第四象限
C ．第二象限或第四象限
D ．第一或第三象
限
2．不解等式： （1）2
1sin -<x （2）2
1cos >
x
3．已知)(cos ),2
3,
2
1()(x f x f 则的定义域为-的定义域为____________.
4．求下列函数的定义域 （1）1
tan 1-=x y （2）.251sin 2
x
x y -+
=
5．求下列函数的值域
（1）1cos 2-=x y （2）.sin 1cos sin 22
x
x
x y +=
（3）].,[2sin 21cos sin 1ππ-∈+++=x x
x x y （4）.sin cos
3
x x y -=
（5）x
y sin 21+=
（6） 1cot 4tan
2
2
++=x y
6．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形
的最大面积．。