切线长定理PPT课件11 北师大版
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北师大版九年级下册数学：7切线长定理(共17张PPT)
直线 OOPP交 交 ⊙O 于点 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 CD. 、E，交 AB 于 C.
由3-X+4-X=5，得：
（1）写出图中所有的垂直关系； PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
∴(1∠)判OA断（P直=∠线2OCB）EP与=9⊙写0O°的出位置图关系中， 所有的全等三角形. （1）写（出图3中）所有如的垂果直关系PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的A长.
根据图形判断：猜想PA=PB？∠1=∠2？
B
继续添线，可以连接AB，与OP交于点C 在本图中，你又有什么发现呢？ OP垂直与AB，OP平分AB
A
O CM
P
B
轴对称图形
PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交
⊙O于点D、E，交AB于C。 E O C H
P
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
做⊙O的切线EF，切点为C，则⊙O是△PEF的内切圆,如果
在图中添加适当的直线、射线、线段，在组成的新图形中你有什么发现?
几 三、学以致用 自我检验
OP垂直与AB，OP∵平分PABA、PB分别切⊙O于点A、B
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
何 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 表 ∴PA = 四、总结反思 自我升华
（2）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线（d=r）（数量法）
由3-X+4-X=5，得：
O P = PA + PB
已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求 △PEF的周长.
九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理教学课件 (
﹡7 切线长定理
【基础梳理】 1.切线长定义 过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的_线__段__长__叫做 这点到圆的切线长.
2.切线长定理
切线长定理 文字叙述 过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长_相__等__.
如图,∵AB,AC都是圆O的切线,切点 符号语言 分别是点B、点C.
∴AB=_A_C_
∴由勾股定理得,2OA2=OP2, 即OA2=8,∴OA=2 2 .即半径长为2 2 .
【微点拨】 切线长定理中的一二三 如图,PA,PB与☉O相切,切点分别是A,B,则此 图中包含信息有: 1.一条角平分线:即PO平分∠APB且平分∠AOB. 2.两个等腰三角形:△PAB,△AOB是等腰三角形. 3.三个垂直:即OA⊥PA,OB⊥PB,PO⊥AB.
知识点二 切线长定理的应用 【示范题2】如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O 的直径,CF是☉O的切线,E为切点,F点在AD上,BE是☉O 的弦,求△CDF的面积.
【备选例题】如图,PA,PB是☉O的切线,A, B为切点,AC是☉O的直径,∠P=60°. (1)求∠BAC的度数. (2)当OA=2时,求AB的长.
知识点一 切线长定理 【示范题1】如图,PA切☉O于A,PB切☉O于B,∠APB= 90°,OP=4,求☉O的半径.
【思路点拨】先判断四边形OAPB为正方形,再由勾股定 理求得圆的半径. 【自主解答】∵PA切☉O于B=90°,OA=OB,∴四边形OAPB为正方形, ∴AO=AP,∵OP=4,
【解析】(1)∵PA,PB是☉O的切线, ∴AP=BP. ∵∠P=60°, ∴∠PAB=60°, ∵AC是☉O的直径, ∴∠PAC=90°, ∴∠BAC=90°-60°=30°.
(2)连接OP,则在Rt△AOP中,OA=2,∠APO=30°, ∴OP=4. 由勾股定理得:AP=2 3 . ∵AP=BP,∠APB=60°, ∴△APB是等边三角形, ∴AB=AP=2 3 .
【基础梳理】 1.切线长定义 过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的_线__段__长__叫做 这点到圆的切线长.
2.切线长定理
切线长定理 文字叙述 过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长_相__等__.
如图,∵AB,AC都是圆O的切线,切点 符号语言 分别是点B、点C.
∴AB=_A_C_
∴由勾股定理得,2OA2=OP2, 即OA2=8,∴OA=2 2 .即半径长为2 2 .
【微点拨】 切线长定理中的一二三 如图,PA,PB与☉O相切,切点分别是A,B,则此 图中包含信息有: 1.一条角平分线:即PO平分∠APB且平分∠AOB. 2.两个等腰三角形:△PAB,△AOB是等腰三角形. 3.三个垂直:即OA⊥PA,OB⊥PB,PO⊥AB.
知识点二 切线长定理的应用 【示范题2】如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O 的直径,CF是☉O的切线,E为切点,F点在AD上,BE是☉O 的弦,求△CDF的面积.
【备选例题】如图,PA,PB是☉O的切线,A, B为切点,AC是☉O的直径,∠P=60°. (1)求∠BAC的度数. (2)当OA=2时,求AB的长.
知识点一 切线长定理 【示范题1】如图,PA切☉O于A,PB切☉O于B,∠APB= 90°,OP=4,求☉O的半径.
【思路点拨】先判断四边形OAPB为正方形,再由勾股定 理求得圆的半径. 【自主解答】∵PA切☉O于B=90°,OA=OB,∴四边形OAPB为正方形, ∴AO=AP,∵OP=4,
【解析】(1)∵PA,PB是☉O的切线, ∴AP=BP. ∵∠P=60°, ∴∠PAB=60°, ∵AC是☉O的直径, ∴∠PAC=90°, ∴∠BAC=90°-60°=30°.
(2)连接OP,则在Rt△AOP中,OA=2,∠APO=30°, ∴OP=4. 由勾股定理得:AP=2 3 . ∵AP=BP,∠APB=60°, ∴△APB是等边三角形, ∴AB=AP=2 3 .
初三下数学课件(北师大)-切线长定理
︵ 过劣弧DE (不包括端点 D、E)上任一点作⊙O 的切线 MN 与 AB、BC 分别 交于点 M、N.若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周长为 2r .
12．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB＝2，AD 和 BE 是圆 O 的两条切线，
A、B 为切点，过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF，分别交 AD、BE 于点 M、 3
解：(1)△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分 别相切于点 D、E、F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边
︵︵ 形内角和为 360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵EF＝DE， ∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形；
切线长定理的综合运用． 【例 2】如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点 P 在 AC 上，AP＝2，若⊙O 的圆心在线段 BP 上，且⊙O 与 AB、AC 都相切，则⊙ O 的半径是( A )
A．1 C．172
B．45 D．94
【思路分析】如图所示，过点 O 作 OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分 别为 D、E、F，CP＝AC－AP＝8－2＝6，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6. ∴CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP＝45°，设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OE＝DP ＝r，BF＝OF＝6－r，AD＝AE＝r＋2，BE＝8－r，在 Rt△BOE 中，由勾 股定理，得 BE2＋OE2＝BO2，而 BO2＝BF2＋OF2，即(8－r)2＋r2＝2(6－r)2， ∴r＝1.
⊙O 的切线条数为( C )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
12．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB＝2，AD 和 BE 是圆 O 的两条切线，
A、B 为切点，过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF，分别交 AD、BE 于点 M、 3
解：(1)△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分 别相切于点 D、E、F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边
︵︵ 形内角和为 360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵EF＝DE， ∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形；
切线长定理的综合运用． 【例 2】如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点 P 在 AC 上，AP＝2，若⊙O 的圆心在线段 BP 上，且⊙O 与 AB、AC 都相切，则⊙ O 的半径是( A )
A．1 C．172
B．45 D．94
【思路分析】如图所示，过点 O 作 OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分 别为 D、E、F，CP＝AC－AP＝8－2＝6，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6. ∴CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP＝45°，设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OE＝DP ＝r，BF＝OF＝6－r，AD＝AE＝r＋2，BE＝8－r，在 Rt△BOE 中，由勾 股定理，得 BE2＋OE2＝BO2，而 BO2＝BF2＋OF2，即(8－r)2＋r2＝2(6－r)2， ∴r＝1.
⊙O 的切线条数为( C )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
《切线长定理》示范公开课PPT教学课件【九年级数学下册北师大版】
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
例 如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径.
分析：
A
O
设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF
由切线的性质及切线长定理可得四边形OECF为正方形.
从而CF=CE=OE=OF=r，所以AF=10-r，BE=24-r，
再由切线长定理可得，AD=AF=10-r，BD=BE=24-r，
∠BIC
2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA = PB =5 cm，求△PDE的周长.
O
P
A
B
C
D
E
解：∵PA，PB，DE是圆的切线∴PA=PB，DC=DA，CE=BE，
例 如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径.
分析：
A
O
设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF
由切线的性质及切线长定理可得四边形OECF为正方形.
从而CF=CE=OE=OF=r，所以AF=10-r，BE=24-r，
再由切线长定理可得，AD=AF=10-r，BD=BE=24-r，
∠BIC
2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA = PB =5 cm，求△PDE的周长.
O
P
A
B
C
D
E
解：∵PA，PB，DE是圆的切线∴PA=PB，DC=DA，CE=BE，
北师大版九级数学下册课件：3.7 切线长定理 (共27张PPT)
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=20 ° ,PB= 4 . A P
O B
第1题
初中数学
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
A
O
B
C
初中数学
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点 C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是 ___2_0____度．
C
D
B
初中数学
A
F
由 BD+CD=BC，可得
E O
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4.
C
D
B
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
初中数学
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
初中数学
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，
求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
F
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
E
O
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
初中数学
练一练
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
O B
第1题
初中数学
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
A
O
B
C
初中数学
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点 C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是 ___2_0____度．
C
D
B
初中数学
A
F
由 BD+CD=BC，可得
E O
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4.
C
D
B
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
初中数学
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
初中数学
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，
求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
F
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
E
O
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
初中数学
练一练
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
北师大版九年级数学下册3.7切线长定理课件
定圆理的1外：切经四过边半形径：外边端的点关且系垂直于这条半
切作线过长 切是点指的切半线径上是的常一用条辅线助段线的之长一，. 可以度量。
用定几理何 1：语经言过描半述径切外线端长点定且理垂. 直于这条半
∵用C几D何与语⊙言O相描切述与切点线A长,且定O理A.是半径∴CD⊥OA.
O P 北如师图大 ，版⊙九O是年四级边数形学A下B册CD的内切圆，AB＝16，CD＝10，求四边形ABCD的周长．
（2）你得出什么结论了？
A
（3）请证明你的结论？
O
1
2
p
B
21
8
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
O
p
B 符号语言：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
21
9
练习
1、判断
1).过任意一点总可以作圆的两条切线 (
P例B 、如P图C，长A叫B切为线⊙长O的直径， C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，且 AD⊥CD. ⑴（2△）P你D得E的出周什长么是结论了；？
小PB结、：P切C线长是叫直切线，长不可以度量；
∵定P理A、圆P的B分切别线切垂⊙直O于于过A切、点B,的连半结径PO.
B 线如段图转 ：化PA集，中PB到切某圆条于边A上，，B两点，
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？
设AF=x,则AE=
.
∴CE= CD =
，
BF= BD =
.
方法小结：关键是熟练
运用切线长定理，将相等
线段转化集中到某条边上，
从而建立方程.
21
A
切作线过长 切是点指的切半线径上是的常一用条辅线助段线的之长一，. 可以度量。
用定几理何 1：语经言过描半述径切外线端长点定且理垂. 直于这条半
∵用C几D何与语⊙言O相描切述与切点线A长,且定O理A.是半径∴CD⊥OA.
O P 北如师图大 ，版⊙九O是年四级边数形学A下B册CD的内切圆，AB＝16，CD＝10，求四边形ABCD的周长．
（2）你得出什么结论了？
A
（3）请证明你的结论？
O
1
2
p
B
21
8
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
O
p
B 符号语言：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
21
9
练习
1、判断
1).过任意一点总可以作圆的两条切线 (
P例B 、如P图C，长A叫B切为线⊙长O的直径， C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，且 AD⊥CD. ⑴（2△）P你D得E的出周什长么是结论了；？
小PB结、：P切C线长是叫直切线，长不可以度量；
∵定P理A、圆P的B分切别线切垂⊙直O于于过A切、点B,的连半结径PO.
B 线如段图转 ：化PA集，中PB到切某圆条于边A上，，B两点，
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？
设AF=x,则AE=
.
∴CE= CD =
，
BF= BD =
.
方法小结：关键是熟练
运用切线长定理，将相等
线段转化集中到某条边上，
从而建立方程.
21
A
北师大版九年级下册数学：3.7切线长定理课件(共30张PPT)
AD+BC（>,<,=)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
根据切线长定理说出图中可以得到的结论。 如图，PA、AB与⊙O相切于点A、B，
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
O
CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D、 E、F，图中有切线长定理的基本图形吗？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
① 分别连接圆心和切点；
辅助线 OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 圆的内接四边形：角的关系
猜想：PA、PB有怎样的数量关系？如何证明？ 猜想：PA、PB有怎样的数量关系？如何证明？
② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
x A x F 9﹣x
E
B
O
13﹣x
D 9﹣x
13﹣x
C
例 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
+3.7切线长定理++课件+-2023-2024学年北师大版数学九年级下册
A E
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm (2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
PD
O
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，
B，D．若PA＝15 cm，
（1）PB= cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO= .
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO. ∴∠FEO＝60°.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O
于点A，B，D．若PA＝15 cm，
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
FB
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O 于点A，B，D．若PA＝15 cm， （3）△PEF的周长是 30 cm. （4）若∠P＝50°，则∠EOF= 65° .
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm (2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
PD
O
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，
B，D．若PA＝15 cm，
（1）PB= cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO= .
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO. ∴∠FEO＝60°.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O
于点A，B，D．若PA＝15 cm，
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
FB
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O 于点A，B，D．若PA＝15 cm， （3）△PEF的周长是 30 cm. （4）若∠P＝50°，则∠EOF= 65° .
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
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复习
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
2、切线的性质归纳
O A B
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O
A B
思考
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
P
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
A O P
B
几何语言:
PA = PB
PA、PB与⊙O分别相切于点A、B
证一证
A 若从⊙O外的一点引两条 切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP， O 你还能发现什么结论？ ∠OPA=∠OPB B 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴PA=PB
A O P· · P
·
· O
P· B
· O
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 如右图，线段PA， PB叫做点P到⊙O的 切线长。
A
B
基本概念
A
O
经过圆外一点作圆的 切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 P 如图，P是⊙O外一点，
P
B
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A O. P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
方法二：尺规作图
尺规作图：过⊙O外一点作⊙O 的切线
A
O O ·
P
B
总结
课堂小结
1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理拓展
若PA、PB是⊙O的两条切 E 线，A、B为切点，直线OP 交于⊙O于点D、E，交AB 于 C。 （ 1）写出图中所有相等的线段 O
A
C D B
P
AO=BO=DO=EO，AP=BP，AC=BC （2）写出图中所有相等的弧 AD=BD，AE=BE，DAE=DBE （3）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
思考
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
A P· · O P · · O P· B · O
问题2: 经过圆外一点P，如何做已知⊙O 的切线？
画一画
如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
方法一：借助三角板 这样的切线能画出几条？
如果∠P=50°,求∠AOB的度数
A
两条
O
130° 50°
归纳反思
反思：在解决有关圆 的切线长问题时，往 往需要我们构建基本 图形，添加辅助线。
O
。
A
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
练习
一、判ห้องสมุดไป่ตู้：
过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
二、选 择：
如图所示，PA、PB、DE分 别切⊙O于A、B、C，DE分 别交PA，PB于D、E，已知P 到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
M
A
O
B N
O
B
P
N
课内练习
1、已知⊙O的半径为5，P是⊙O外一点，PO=10， 求点P到⊙O的切线长和两切点间的劣弧长。
2、已知：在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON,过点A、 B的切线相交于点M，求证△ABM为等边三角形。
M N A O B
作业题
1、已知：在⊙O中，PA、PB分别为⊙O的切线，A、 B为切点，已知⊙O的半径为1 ，OP=2.4，求切线长。 （精确到0.1)和∠APB的度数。
PA，PB是⊙O的两条切 线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长。
B
想一想：切线和切线长有什么区别？
• • • 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量。
证一证
A 若从⊙O外的一点引两条 切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP， O 你能发现什么结论？并证明 你所发现的结论。 B PA = PB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
A 16cm B 14cm
A D O
P
E B
C12cm
D 8cm
例题1
已知：在⊙O中，AC、BC分别为⊙O的切线，A、B 为切点，已知∠ACB=800，OC=100cm，求C到⊙O的 切线长。（结果精确到1cm)
A
O
B
C
例题2
如图：⊙O表示皮带转动装置的一个轮子，传动皮 带MA、NB分别为⊙O的切线，A、B为切点，延长MA、 NB相交于点P，已知∠APB=600，AP=24cm，求两切 点间的距离和弧AB的长（结果精确到1cm) M A P
牛刀再试 见作业题4 2.若延长PO交⊙O 于点C，连结AC、 C BC，你又能得出什 么新的结论?并给出 AC=BC 证明 . ， ∠OCA=∠OCB
A
。
O
B
P
证明：连结OA、OB ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 PA=PB ∴△AOP≌△BOP(SSS) ∴ ∠OPA=∠OPB 又∵ PA = PB， PC=PC ∴△PCA ≌ △PCB ∴AC=BC，∠OCA=∠OCB
A
O
B
完成作业题2、3、5
P
课堂小结
A
。
O
1.切线长定理 从圆外一 点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心 P 和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
P
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(SSS)
∠OPA=∠OPB
牛刀小试
1.若连结两切点A、B， AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论？并给 出证明. OP垂直平分AB
∴PA = PB
B
O
M
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
2、切线的性质归纳
O A B
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O
A B
思考
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
P
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
A O P
B
几何语言:
PA = PB
PA、PB与⊙O分别相切于点A、B
证一证
A 若从⊙O外的一点引两条 切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP， O 你还能发现什么结论？ ∠OPA=∠OPB B 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴PA=PB
A O P· · P
·
· O
P· B
· O
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 如右图，线段PA， PB叫做点P到⊙O的 切线长。
A
B
基本概念
A
O
经过圆外一点作圆的 切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 P 如图，P是⊙O外一点，
P
B
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A O. P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
方法二：尺规作图
尺规作图：过⊙O外一点作⊙O 的切线
A
O O ·
P
B
总结
课堂小结
1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理拓展
若PA、PB是⊙O的两条切 E 线，A、B为切点，直线OP 交于⊙O于点D、E，交AB 于 C。 （ 1）写出图中所有相等的线段 O
A
C D B
P
AO=BO=DO=EO，AP=BP，AC=BC （2）写出图中所有相等的弧 AD=BD，AE=BE，DAE=DBE （3）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
思考
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
A P· · O P · · O P· B · O
问题2: 经过圆外一点P，如何做已知⊙O 的切线？
画一画
如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
方法一：借助三角板 这样的切线能画出几条？
如果∠P=50°,求∠AOB的度数
A
两条
O
130° 50°
归纳反思
反思：在解决有关圆 的切线长问题时，往 往需要我们构建基本 图形，添加辅助线。
O
。
A
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
练习
一、判ห้องสมุดไป่ตู้：
过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
二、选 择：
如图所示，PA、PB、DE分 别切⊙O于A、B、C，DE分 别交PA，PB于D、E，已知P 到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
M
A
O
B N
O
B
P
N
课内练习
1、已知⊙O的半径为5，P是⊙O外一点，PO=10， 求点P到⊙O的切线长和两切点间的劣弧长。
2、已知：在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON,过点A、 B的切线相交于点M，求证△ABM为等边三角形。
M N A O B
作业题
1、已知：在⊙O中，PA、PB分别为⊙O的切线，A、 B为切点，已知⊙O的半径为1 ，OP=2.4，求切线长。 （精确到0.1)和∠APB的度数。
PA，PB是⊙O的两条切 线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长。
B
想一想：切线和切线长有什么区别？
• • • 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量。
证一证
A 若从⊙O外的一点引两条 切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP， O 你能发现什么结论？并证明 你所发现的结论。 B PA = PB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
A 16cm B 14cm
A D O
P
E B
C12cm
D 8cm
例题1
已知：在⊙O中，AC、BC分别为⊙O的切线，A、B 为切点，已知∠ACB=800，OC=100cm，求C到⊙O的 切线长。（结果精确到1cm)
A
O
B
C
例题2
如图：⊙O表示皮带转动装置的一个轮子，传动皮 带MA、NB分别为⊙O的切线，A、B为切点，延长MA、 NB相交于点P，已知∠APB=600，AP=24cm，求两切 点间的距离和弧AB的长（结果精确到1cm) M A P
牛刀再试 见作业题4 2.若延长PO交⊙O 于点C，连结AC、 C BC，你又能得出什 么新的结论?并给出 AC=BC 证明 . ， ∠OCA=∠OCB
A
。
O
B
P
证明：连结OA、OB ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 PA=PB ∴△AOP≌△BOP(SSS) ∴ ∠OPA=∠OPB 又∵ PA = PB， PC=PC ∴△PCA ≌ △PCB ∴AC=BC，∠OCA=∠OCB
A
O
B
完成作业题2、3、5
P
课堂小结
A
。
O
1.切线长定理 从圆外一 点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心 P 和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
P
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(SSS)
∠OPA=∠OPB
牛刀小试
1.若连结两切点A、B， AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论？并给 出证明. OP垂直平分AB
∴PA = PB
B
O
M
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB