工程力学之专题物系的平衡、桁架实例及分析

可以首先取杆DEF为研究对象。因 为杆DEF在E处受光滑接触面约束， 所以杆DEF在E处所受约束反力方 向可以确定下来。杆DEF的受力情 况如右边二图所示。
RD
XD YD
F NE
F NE
其后，可以分别以ADB和AEC为研究对象进行分析。关 于二者构建平面一般力系，联合起来，得到6个相互独 立的平衡方程；8个未知量（实际只有6个未知量）。
解：①研究起重机 由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
YG
50510 2
50(kN)
② 再研究梁CD 由mC 0
YD 6 YG' 1 0
YD
50 6
8.33(
kN)
③
再
研
究
整
体
mA 0,YB 3 YD 12 P10 Q6 0 YB 100(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN)
例2：求图示结构中A、D、 E三处的约束反力
XD YD
XE YE
杆DEF的受力图。因为无法预 先确定D、E处的受力方向，
M
所以不能利用“力偶只能被 力偶平衡”的结论。所以不 宜先取DEF为研究对象
首先取整体为研究对象，利 用“力偶只能被力偶”平衡 可以确定固定铰支座B处的 约束反力的方向。
YA YA
例4：图中物体重 1200N，杆件自重及滑 轮摩擦不计，求支座A、 B处的约束反力及杆BC 的内力
例5：各杆自重不计，F ＝40kN，求ABC在A、B、 C三处所受的力。
提示：先分析杆DEF，此时，杆CD和BE均可以视 为二力杆。
平面一般力系平衡条件应用(三) -------桁架
建筑用塔吊
吊臂的杆与节点
YD XB
B
YB
以ADB为研究对象
由MAF 0
X D a X B 2a 0
1 XB 2 XD F
由 X 0
XD XA XB 0
X A XB XD F
由Y 0
YD YA YB 0
YA YB YD F
[例4] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）
X 0 S5 S2' 0 代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
X 0 S4 cos300 S1'cos300 0 Y 0 S3 S1'sin300 S4sin300 0
mA F 2 NB 4 0
YXAA10000 (N ) NB 1000 (N )
S1
A
30°
S2
YA
S3
S2
B
S4
F
再，取铰A为研究对象，进 行受力分析，并假设受力， 得平衡方程：
X S1 cos 30 S2 0
Y S1 sin 30 YA 0
最后，取铰B为研究对象， 进行受力分析，并假设受 力，得平衡方程：
XB 0 4YB 2P 0 2P 4NA 0
X B 0, NA YB 5 kN
取A节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得
平衡方程：
X 0 S2 S1 cos 300 0
Y 0
N A S1 sin 300 0
解得
S1 S2
10kN 8.66kN
(" " 表示杆1受压) (" "表示杆2受拉)
代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0 S5 S2' 0 代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
二、截面法 I
I
[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 解：①研究整体求支反力
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型 ( 基本三角形)
三角形有稳定性
(b) (a)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
方法一：节点法
例：已知桁架结构及尺寸如图所示， P=10kN，求各杆内力？ 解：首先取整体为研究对象，进行受力分析，并假 设受力，得平衡方程：
X 0, mA(F) 0, mB(F) 0,
❖ 平面的情况
❖ 如果取二力杆为研究对象，最多能够得到1个相互独立的平衡方程； 关于这个对象，能够求解1个未知量。
❖ 如果关于研究对象构建的是平面汇交力系，最多能够得到2个相互独 立的平衡方程；关于这个对象，能够求解2个未知量。
❖ 如果关于研究对象构建的是平面力偶系，最多能够得到1个相互独立 的平衡方程；关于这个对象，能够求解1个未知量。
例2：a=12m,h=10m,F=50kN,求杆8、9、10的内力。
例3：已知平面悬臂桁架如图，求1、2、3的内力。
三、特殊杆件的内力判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆
S1 S2 0
③ 四杆节点无载荷、其中两两在
aa
A
D
F
E
F
XB B YB a
XC aYC C
解：以整体为研究对象
YB 2a 0 YB 0
YC YB F 0 YC F XC X B 0 (求不出XB)
aa
A
D
F
E
F
XB B YB a
XC aYC C
(四个未知数)
XA A
YA XD D
YD XB B
YB
(五个未知数)
X’A A Y’A
X 0 XA 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Y 0 YA S5sin P0
S5 0
X 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
S4
Pa h
说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
取C节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得 平衡方程：
X 0 S4 cos 300 S1 'cos 300 0
Y 0 S3 S1 'sin 300 S4 sin 300 0
代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
取D节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得 平衡方程：
一条直线上，同一直线上两杆
内力等值、同性。
S1 S2
S3 S4
且S1 S2
例4：已知平面桁架如图， 求1、2、3的内力。
例5：已知平面桁架尺寸及荷载如图， 求BH、CD、GD的内力。
例6：已知平面桁架尺寸及荷载如图， 求1、2、3的内力。
A
YD D
B YB
M YE
YE
YD
SC
次取杆ADB为对象，因为铰B处约束反力只有铅垂分量，所 以铰A、D处约束反力也只有铅垂分量。 杆ADB、DEF、AEC受力情况如图所示。
例3：求图示结构中杆 AB在A、B、D三处所受 的力
直接取整体为研究对象，构造的是平 面一般力系，但却有四个未知量。这 是整体的受力图。
E
N’E
XC
C YC
(四个未知数)
X’DD Y’D
F
E
NE
F (三个未知数)
以DEF为研究对象
X’DD
E
Y’D
NE
B
F 由 mE F 0 YD a F a 0
F
由 M B F 0 X D a F 2a 0
aa
A
D
F
E
F
XB B
C
YB a XC aYC
A XA
YDA XD
先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力, 与所设方向相反。
1
A
30° 2
2m
D
3 B
5
4
2m
例1：F=200N，求各杆的
C 内力。
F
1
XA
A
30° 2
D
5 3
B4
YA F
首先取整体为研究对象， 进行受力分析，并假设受 C 力，得平衡方程：
NC
X XA 0 Y YA F NB 0
❖ 如果关于研究对象构建的是空间一般力系，最多能够得到6个相互独 立的平衡方程；关于这个对象，能够求解6个未知量。
F
q
例1：图中非连续多跨梁受均
布荷载q和集中力F作用，
C A
E F=2qa，求A、C、E三个支座
B
a
a
D
a
1.5a
处的约束反力。
A XA
YA
A XA
YA
F
C XD D B
NC
YD
在这个问题中，研究对 象可以取外伸梁AD、简 支梁DE以及整体。从受 力图中可以看到，关于 三个研究对象所构建的
均为平面一般力系，但
F
q
未知量的数目分别为5
C
B
D
NC
个、4个和3个。由此可 E 知，在这个问题中，不
宜首先研究外伸梁AD或 NE 者整体。
q
YD
D
E
XD
NE
可以考虑1)先研究DE，在此基础上再取 AD为研究对象或者取整体为研究对象；2) 取DE和AD为研究对象，或者取DE和整体 为研究对象，联立求解。