线性代数知识点归纳

4. 代数余子式和余子式的关系： Mij (1)i j Aij
第二部分 矩阵
1. 矩阵的运算性质
Aij (1)i j Mij
2. 矩阵求逆
3. 矩阵的秩的性质
4. 矩阵方程的求解
a11 a12
1.
矩阵的定义
由
m
n
个数排成的
m
行
n
列的表
A
a21
a22
am1 am2
记作： A aij mn 或 Amn
☻矩阵的秩的性质：
① A O r(A) ≥1; A O r(A) 0 ; 0 ≤ r( Amn ) ≤ min(m, n)
② r( A) r( AT ) r( AT A)
③ r(kA) r(A) 其中k 0
④
若Amn
,
Bns
,
若r
(
AB)
0
r(A) r(B) n B的列向量全部是Ax
○ ○ 对 A 施行一次初等 行 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ； ○ ○ 对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 右 乘 A .
注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
5. 矩阵的秩 关于 A 矩阵秩的描述： ①、 r(A) r ， A 中有 r 阶子式不为 0， r 1阶子式 (存在的话) 全部为 0； ②、 r(A) r ， A 的 r 阶子式全部为 0； ③、 r(A) r ， A 中存在 r 阶子式不为 0；
初等列变换
B
X
(II)的解法：将等式两边转置化为AT X T BT， 用(I)的方法求出X T，再转置得X
第三部分 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间
5.线性方程组的解的判定
6. 线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）
；
若
r
(
Bns
)
n
r(AB) r(B) B在矩阵乘法中有右消去律.
⑧
若r(
A)
r
A与唯一的
Er O
O O
等价，称
Er O
O O
为矩阵A的
等价标准型.
⑨ r(A B) ≤ r(A) r(B) , maxr(A), r(B) ≤ r(A, B) ≤ r(A) r(B)
⑩
r
A O
ann
②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
ai1 Aj1 ai2 Aj2
ain Ajn
A, 0,
i i
j, j.
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③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
A1, 2,, s A1, A2,, As c1,c2, ,cs
c1, c2 , , cs 可由1,2 ,,n 线性表示.
即： C 的列向量能由 A 的列向量线性表示， B 为系数矩阵.
同理： C 的行向量能由 B 的行向量线性表示， A 为系数矩阵.
a11 a12
即：
a21
a22
2. 设 Amn , Bns , A 的列向量为1,2 ,,n , B 的列向量为 1, 2 ,, s ，
b11 b12
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则
AB
Cms
1,
2
,
,
n
b21
b22
bn1 bn2
Ai ci ， (i 1,2, , s)
b1s
b2
s
c1
,
c2
,
, cs
bns
i 为 Ax ci 的解
其中
cij (ai1, ai2 ,
b1 j
,
ais
)
b2
j
ai1b1 j
ai2b2 j
bsj
aisbsj
注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式 AB BA
不成立.
AB 0 A 0或B=0
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a.
分块对角阵相乘：
A
A11
A22
,
B
B11
由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：
a11 x1 a12 x2
①、 a21 x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1
a2n xn b2 有解
anm xn bn
a11 a12
②、
a21
a22
am1 am2
③、 a1 a2
b11 * *
0 A
b22
*
0
* * * b11b22 bnn
0
0 bnn
A ④ 若 A与B 都是方阵（不必同阶）,则 O
O B
OA =
BO A
= OB
AO
AB
B B
A (1)mn A B O
⑤ 关于副对角线：
a2n1
a1n O
a1n
a2n1
(1) n(n1) 2
a1n a2 n
an1
an1
O B
O B
A O
r(
A)
r(B)
,
r
A O
C B
r ( A)
r(B)
☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法
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6 矩阵方程的解法( A 0 )：设法化成(I)AX B 或 (II)XA B
A
E
(I)的解法：构造(A B)初等行变换(E
X)
(II)的解法：构造
线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
1. 行列式的计算：
a11 a12 ① (定义法) Dn a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ambm1
a1b12 a2b22
ambm2
a1b1n
a2b2n
ambmn
○ ○ c. 用对角矩阵 右 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 列 向量.
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n a1 0
b2n
0
a2
bmn
0
0
0 a1b11
0
a1b21
B22
AB
A11B11
A22 B22
,
An
A1n1
A2n2
○ ○ b. 用对角矩阵 左 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 行 向量；
a1 0
B
0
a2
0
0
0 b11 b12
0
b21
b22
am
bm1
bm2
b1n a1b11
b2n
a2b21
bmn
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
Ax
amn xm bm
x1
b1
an
x2
（全部按列分块，其中
b2
）；
xn
bn
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④、 a1x1 a2 x2 an xn （线性表出） ⑤、有解的充要条件： r(A) r(A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
E(i, j) E (i (k )) E(i, j(k))
E(i, j)1 E(i, j)
E[i(k)]1
E[i(
1 k
)]
E[i, j(k)]1 E[i, j(k)]
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E(i, j) 1 E[i(k)] k E[i, j(k)] 1
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵
A AT .
A 是反对称矩阵
A AT .
b.
分块矩阵的转置矩阵：
A C
B
T
AT
D
BT
CT
DT
A11 A21
⑥ 伴随矩阵：
A*
Aij
T
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
，
Aij 为
A
中各个元素的代数余子式.
Ann
AA* A* A A E , A* A n1 , A1 A 1 .
（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）
1.线性表示：对于给定向量组 ,1,2 , ,n ，若存在一组数 k1, k2 , , kn 使得 k11 k22 knn ，
则称 是1,2 , ,n 的线性组合，或称称 可由1,2 , ,n 的线性表示.
线性表示的判别定理:
可由1,2 , ,n 的线性表示
( AB)1 B1 A1 A1 A 1 ( A1)k ( Ak )1 Ak
伴随矩阵的性质： ( A) A n2 A ( AB) B A
n
r
(
A
)
1
0
若r( A) n 若r( A) n 1 若r( A) n 1
AB A B
2. 逆矩阵的求法 方阵 A 可逆
A 0.
A A n1
( A1)
线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是 0 时，
称为行最简形矩阵
4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
ri rj ( ci c j ) ri k ( ci k ) ri rj k ( ci c j k )
分块对角阵的伴随矩阵：
A
* BA*
B
AB*
B
A*
(1)mn
B A
(1)mn A B
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矩阵转置的性质： ( AT )T A
( AB)T BT AT
AT A
( A1)T ( AT )1
( AT ) ( A )T
矩阵可逆的性质： ( A1)1 A
O
B
O
B
A
1
B1
B
A1
A O 1 A1
O
C
B
B
1CA1
B
a1
④
a2
a3
1
1 a1
1 a2
,
1 a3
a3
a2
a1
1
1 a1
1 a2
1 a3
⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义 AB BA E A1 B ）
3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖
am
a1bm1
a2b12 a2b22
a2bm2
d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
amb1n
amb2n
ambmn
④ 方阵的幂的性质： Am An Amn ， ( Am )n ( A)mn
⑤ 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AT .
使问题简化以例计算.
⑩ (数学归纳法)
n
2. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： E A n (1)k Sknk ，其中 Sk 为 k 阶主子式； k 1
3. 证明 A 0 的方法：
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①、 A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r(A) n ； ⑤、证明 0 是其特征值.
11 x1 x2 ⑥ 范德蒙德行列式： x12 x22
O an1
O
1
xn
xn2
xi x j
1 jin
x x n1
n1
1
2
xn1 n
abb
b
bab ⑦ a b 型公式： b b a
b
n1
b [a (n 1)b](a b)
bbb
a
⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.
( A)1
A A
( Ak ) ( A )k
Ak A k
AA AA A E （无条件恒成立）
①伴随矩阵法 A1 A A
○注 ：
a
c
b 1
1 d
d
ad
bc
c
b
a
主 换位 副 变号
② 初等变换法 ( A E) 初等行变换(E A1)
③
分块矩阵的逆矩阵：
A
1
A1
B
B
1
A C 1 A1 A1CB1
⑨ (递推公式法) 对 n 阶行列式 Dn 找出 Dn 与 Dn1 或 Dn1 , Dn2 之间的一种关系——称为递推公式，其中 Dn , Dn1 , Dn2 等结构相同，再由递推公式求出 Dn 的方法称为递推公式法.
(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.
a1n
a2n
称为
m
n
矩阵.
amn
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.
矩阵运算
a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.
b. 数与矩阵相乘：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 A (aij ) .
c. 矩阵与矩阵相乘：设 A (aij )ms , B (bij )sn ,则 C AB (cij )mn ，
0的解
⑤ r( AB) ≤ minr(A), r(B)
⑥ 若 P 、 Q 可逆，则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ) ； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
Ax 只有零解
⑦
若
r(
Amn
)
n
r(AB) r(B) A在矩阵乘法中有左消去律
AB O B O AB AC B C
an1
an2
a1n 1 c1 a111 a122