天津市滨海新区塘沽第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
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A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，不等式 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件，
故选A．
考点：充分不必要条件的判定．
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数的运算性质逐一判断即可.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.
2.已知命题 ， ，那么 是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案.
【详解】命题
则 为： ，
故选：D.
【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.
3.设 ，则“ ”是“ ”的（）
（2）因为 是 的充分条件，所以 ，所以 ．
20.函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）用函数的单调性定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论可得 在 上是减函数；（2）应用偶函数的性质 ，与 时 的解析式，可以求出 时 的解析式．
【详解】由 ，得 且 ．
函数 的定义域为： ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．
14.已知 ，则 ___________.
【答案】16
【解析】
【分析】
令 ，解出 ，代入解析式即可得结果.
【详解】由于 ，令 得 ，
所以 ，即 ，
故答案为：16.
15.函数 ( ，且 )的图象一定经过的点是___________
由勾形函数知 在 上递减，在 上递增，
时， ， 时， ，所以 ，
不等式 上有解，则 ．
（3）由题意 ，易知 在 上递减，在 上递增，
， ， ，所以 ，
因为对于任意的 都有 ，所以 ，
所以 的最小值为 ．
【点睛】结论点睛：二次函数 在区间 上 最值问题：
设 ，函数的对称轴 （ ），
当 时， ， 时， ， 时， ，
一是根据不等式的性质直接推理，二是作差后再由不等式的性质推理，三是通过举反例说明不等式不成立．
6.下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
确定两个函数的定义是否相同，定义域相同时再看对应法则是否相同即可得．
【详解】A中 定义域是 ， 定义域是 ，不相同，不是同一函数；
设 ，函数的对称轴 （ ），
当 时， ， 时， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ．
类似讨论．
12.设 ， ，且 ，则 （）
A. 有最小值为4B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 无最小值
【答案】B
【解析】
【分析】
， ，且 ，可得 ．代入 ，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】 ， ，且 ，
【解析】
【分析】
（1）由奇函数把不等式变为 ，再由单调性求解；
（2）由奇函数求得 ，然后由单调性解不等式．
【详解】（1） ，又 是奇函数，所以 ，
因为 是 上的奇函数，
所以 ，解得 ；
（2）因为 是奇函数，所以 ．
即 ，所以 ，
又 是 上的增函数，所以 ，解得 ．
【点睛】方法点睛：本题考查由函数的奇偶性与单调性解不等式，解题方法是：
则 和1是方程 的两根，且 ，
则 ，解得 ，
则不等式 为 ，即 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
（2） ， 不等式 在 上恒成立，
令 ， ，
可知 在 单调递增，则 ，
，即 .
22.已知定义在 上的奇函数 是增函数.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，解不等式 .
【答案】（1） ；（2） ．
若 是奇函数，则一般不等式是 ，由奇函数性质变化为 ，再由单调性求解；
若 是偶函数，则一般不等式是 ，由偶函数性质变化为 ，再由单调性求解；
解题时都要注意函数的定义域，即单调性所在区间．
23.设函数 ，且函数 的图象关于直线 对称.
（1）求函数 在区间 上的最小值；
（2）关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
【详解】由题意 恒成立，
时， 恒成立
时， ，解得 ．
综上 ．
故选：C．
8.已知奇函数 ，且 在 上是增函数.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
确定 的奇偶性，然后由奇偶性和单调性比较大小．
【详解】因为 是奇函数，
所以 ， 是偶函数，
，又 ，所以 ，即 ．
11.若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 ，再计算出最小值为 ，然后求出 的值后可得 的范围．
【详解】 ，
在 上递减，在 上递增，
，又 ，所以 ，
由 解得 或 ，
因此 ．
故选：B．
【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数 在区间 上的最值求法：
【详解】 ，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
5.设 是非零实数，若 ，则一定有（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，作差比较进行判断．
【详解】因为 ，且 ，
， 的正负不确定，不能判断，A错；
，所以 ，B正确；
时，C错误；
时，D错误．Leabharlann Baidu
故选：B．
【点睛】方法点睛：判断不等式是否成立方法如下：
当 时， ，当 时， ．
类似讨论．
故选：D．
10.已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.
【详解】 ，
由 的解析式可知， 在 上是单调递增函数，
再由 ，得 ，
即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】此题重点考查了分段函数 求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.
B中 定义域是 ， 定义域是 ，不相同，不是同一函数；
C中 定义域是 ， 定义域是 ，定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；
D中 定义域是 ， 定义域是 ，不相同，不是同一函数．
故选：C．
7.已知函数 的定义域是一切实数，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
使二次根式非负，分母不 0即可．由此得一不等式恒成立，分类讨论可得．
（3）设 ，若对于任意的 都有 ，求 的最小值.
【答案】（1）1；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）由对称轴得 ，从而可得最小值；
（2）分离参数后，求出函数的最大值，即得．
（3）确定 的单调性，求出最大值 和最小值 ，由 可得．
【详解】（1）因为 是函数的对称轴，所以 ，即 ，
时， ；
（2）不等式 为 ，因为 ，所以 ，
三、解答题(共5个大题，共60分，规范书写解题过程)
19.已知全集 ，若集合 ， ，
（1）当 ，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据集合运算的定义计算；
（2）由充分条件得 是 的子集，由此可得 范围．
【详解】（1） 时， ， ，
所以 ；
【详解】（1）证明：∵ ，任取 ，且 ；
则 ；
∵ ，∴ ， ；
∴ ，即 ；
∴ 在 上是减函数；
（2）当 时， ，
∵ 时， ，∴ ，
又∵ 是 上的偶函数，∴
∴ ；即 时， ．
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性求函数在对称区间内的解析式，利用定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论，最大的难点即为化简（因式分解）判断 的符号，属于基础题．
塘沽一中2020-2021学年度第一学期
高一期中考试数学学科试题
一、选择题：(本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合N，再与M求并集即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
【详解】由题意得： 在 上单调递减，
故 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式 .
18.函数 ， ( )，若对任意的 ，存在 ，使 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出 在 上的值域 ，再求出 在 上的值域 ，由 可得 的范围．
又∵该函数是偶函数，
当 时，函数 是奇函数，
当 时，函数 是偶函数，
即 的值是1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．
17.已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 ，则 的取值范围是___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于 的不等式组，解出即可.
，解得 ．
，当且仅当 ， 时取等号．
有最小值 ．
故选：B．
【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力．
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
故选：C．
9.某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据他行驶速度知距离的变化，速度越快变化越快，反应在图象上越陡峭．由此可得正确选项．
【详解】中间停留了一段时间，中间有一段图象与时间轴平行，排除AC，后来是加速行驶，因此图象越陡峭，排除B，只有D符合．
21.已知 ，若关于 的不等式 的解集是 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知 和1是方程 的两根，即可求出 ，进而解出不等式；
（2）求出 在 的最大值，令 即可解出.
【详解】（1）若关于 的不等式 的解集是 ，
【答案】
【解析】
【分析】
令指数部分为0即可得定点.
【详解】令 ，求得 且 ，
故函数 的图象恒过一定点 ，
故答案为： ．
16.已知函数 是幂函数，且该函数是偶函数，则 的值是____
【答案】1
【解析】
【分析】
由幂函数的定义可得 ，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定 的值.
【详解】∵函数 是幂函数，
∴ ，解得 或 ，
【详解】 ， ，所以 ，
又 ，所以 时， ，
因为对任意的 ，存在 ，使 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 值域是 值域的子集．
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，不等式 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件，
故选A．
考点：充分不必要条件的判定．
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数的运算性质逐一判断即可.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.
2.已知命题 ， ，那么 是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案.
【详解】命题
则 为： ，
故选：D.
【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.
3.设 ，则“ ”是“ ”的（）
（2）因为 是 的充分条件，所以 ，所以 ．
20.函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）用函数的单调性定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论可得 在 上是减函数；（2）应用偶函数的性质 ，与 时 的解析式，可以求出 时 的解析式．
【详解】由 ，得 且 ．
函数 的定义域为： ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．
14.已知 ，则 ___________.
【答案】16
【解析】
【分析】
令 ，解出 ，代入解析式即可得结果.
【详解】由于 ，令 得 ，
所以 ，即 ，
故答案为：16.
15.函数 ( ，且 )的图象一定经过的点是___________
由勾形函数知 在 上递减，在 上递增，
时， ， 时， ，所以 ，
不等式 上有解，则 ．
（3）由题意 ，易知 在 上递减，在 上递增，
， ， ，所以 ，
因为对于任意的 都有 ，所以 ，
所以 的最小值为 ．
【点睛】结论点睛：二次函数 在区间 上 最值问题：
设 ，函数的对称轴 （ ），
当 时， ， 时， ， 时， ，
一是根据不等式的性质直接推理，二是作差后再由不等式的性质推理，三是通过举反例说明不等式不成立．
6.下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
确定两个函数的定义是否相同，定义域相同时再看对应法则是否相同即可得．
【详解】A中 定义域是 ， 定义域是 ，不相同，不是同一函数；
设 ，函数的对称轴 （ ），
当 时， ， 时， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ．
类似讨论．
12.设 ， ，且 ，则 （）
A. 有最小值为4B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 无最小值
【答案】B
【解析】
【分析】
， ，且 ，可得 ．代入 ，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】 ， ，且 ，
【解析】
【分析】
（1）由奇函数把不等式变为 ，再由单调性求解；
（2）由奇函数求得 ，然后由单调性解不等式．
【详解】（1） ，又 是奇函数，所以 ，
因为 是 上的奇函数，
所以 ，解得 ；
（2）因为 是奇函数，所以 ．
即 ，所以 ，
又 是 上的增函数，所以 ，解得 ．
【点睛】方法点睛：本题考查由函数的奇偶性与单调性解不等式，解题方法是：
则 和1是方程 的两根，且 ，
则 ，解得 ，
则不等式 为 ，即 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
（2） ， 不等式 在 上恒成立，
令 ， ，
可知 在 单调递增，则 ，
，即 .
22.已知定义在 上的奇函数 是增函数.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，解不等式 .
【答案】（1） ；（2） ．
若 是奇函数，则一般不等式是 ，由奇函数性质变化为 ，再由单调性求解；
若 是偶函数，则一般不等式是 ，由偶函数性质变化为 ，再由单调性求解；
解题时都要注意函数的定义域，即单调性所在区间．
23.设函数 ，且函数 的图象关于直线 对称.
（1）求函数 在区间 上的最小值；
（2）关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
【详解】由题意 恒成立，
时， 恒成立
时， ，解得 ．
综上 ．
故选：C．
8.已知奇函数 ，且 在 上是增函数.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
确定 的奇偶性，然后由奇偶性和单调性比较大小．
【详解】因为 是奇函数，
所以 ， 是偶函数，
，又 ，所以 ，即 ．
11.若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 ，再计算出最小值为 ，然后求出 的值后可得 的范围．
【详解】 ，
在 上递减，在 上递增，
，又 ，所以 ，
由 解得 或 ，
因此 ．
故选：B．
【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数 在区间 上的最值求法：
【详解】 ，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
5.设 是非零实数，若 ，则一定有（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，作差比较进行判断．
【详解】因为 ，且 ，
， 的正负不确定，不能判断，A错；
，所以 ，B正确；
时，C错误；
时，D错误．Leabharlann Baidu
故选：B．
【点睛】方法点睛：判断不等式是否成立方法如下：
当 时， ，当 时， ．
类似讨论．
故选：D．
10.已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.
【详解】 ，
由 的解析式可知， 在 上是单调递增函数，
再由 ，得 ，
即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】此题重点考查了分段函数 求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.
B中 定义域是 ， 定义域是 ，不相同，不是同一函数；
C中 定义域是 ， 定义域是 ，定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；
D中 定义域是 ， 定义域是 ，不相同，不是同一函数．
故选：C．
7.已知函数 的定义域是一切实数，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
使二次根式非负，分母不 0即可．由此得一不等式恒成立，分类讨论可得．
（3）设 ，若对于任意的 都有 ，求 的最小值.
【答案】（1）1；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）由对称轴得 ，从而可得最小值；
（2）分离参数后，求出函数的最大值，即得．
（3）确定 的单调性，求出最大值 和最小值 ，由 可得．
【详解】（1）因为 是函数的对称轴，所以 ，即 ，
时， ；
（2）不等式 为 ，因为 ，所以 ，
三、解答题(共5个大题，共60分，规范书写解题过程)
19.已知全集 ，若集合 ， ，
（1）当 ，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据集合运算的定义计算；
（2）由充分条件得 是 的子集，由此可得 范围．
【详解】（1） 时， ， ，
所以 ；
【详解】（1）证明：∵ ，任取 ，且 ；
则 ；
∵ ，∴ ， ；
∴ ，即 ；
∴ 在 上是减函数；
（2）当 时， ，
∵ 时， ，∴ ，
又∵ 是 上的偶函数，∴
∴ ；即 时， ．
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性求函数在对称区间内的解析式，利用定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论，最大的难点即为化简（因式分解）判断 的符号，属于基础题．
塘沽一中2020-2021学年度第一学期
高一期中考试数学学科试题
一、选择题：(本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合N，再与M求并集即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
【详解】由题意得： 在 上单调递减，
故 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式 .
18.函数 ， ( )，若对任意的 ，存在 ，使 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出 在 上的值域 ，再求出 在 上的值域 ，由 可得 的范围．
又∵该函数是偶函数，
当 时，函数 是奇函数，
当 时，函数 是偶函数，
即 的值是1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．
17.已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 ，则 的取值范围是___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于 的不等式组，解出即可.
，解得 ．
，当且仅当 ， 时取等号．
有最小值 ．
故选：B．
【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力．
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
故选：C．
9.某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据他行驶速度知距离的变化，速度越快变化越快，反应在图象上越陡峭．由此可得正确选项．
【详解】中间停留了一段时间，中间有一段图象与时间轴平行，排除AC，后来是加速行驶，因此图象越陡峭，排除B，只有D符合．
21.已知 ，若关于 的不等式 的解集是 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知 和1是方程 的两根，即可求出 ，进而解出不等式；
（2）求出 在 的最大值，令 即可解出.
【详解】（1）若关于 的不等式 的解集是 ，
【答案】
【解析】
【分析】
令指数部分为0即可得定点.
【详解】令 ，求得 且 ，
故函数 的图象恒过一定点 ，
故答案为： ．
16.已知函数 是幂函数，且该函数是偶函数，则 的值是____
【答案】1
【解析】
【分析】
由幂函数的定义可得 ，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定 的值.
【详解】∵函数 是幂函数，
∴ ，解得 或 ，
【详解】 ， ，所以 ，
又 ，所以 时， ，
因为对任意的 ，存在 ，使 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 值域是 值域的子集．