三角函数基础知识总结

一、 三角函数

1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任

取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=

r

y

，cos α=r x ，

tg α=

x

y

，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin

22

=+αα，αα22sec 1=+tg ，

αα22csc 1=+ctg ；

倒数关系是：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；

相除关系是：αααcos sin =

tg ，α

α

αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)2

3sin(

απ

αcos -，)2

15(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

4、 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是

A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+π

πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该

图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是

[]

πππ+k k 22，)

(Z k ∈，

tgx y =的递增区间是

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±

=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ

=

±)(βαtg β

αβ

αtg tg tg tg ⋅±μ1

7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅

cos2α=αα2

2

sin cos -=1cos 22

-α=α2

sin 21- tg2α=

α

α

2

12tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3

sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43

-

9、半角公式是：sin

2α=2cos 1α-± cos 2

α=2cos 1α+±

tg

2

α

=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

10、升幂公式是：2

cos 2cos 12

α

α=+ 2

sin

2cos 12

α

α=-。

11、降幂公式是：22cos 1sin

2

αα-=

2

2cos 1cos 2

αα+=。 12、万能公式：sin α=

2

12

22α

α

tg

tg

+ cos α=

2

12122

α

α

tg

tg +- tg α=2

12

22α

α

tg

tg -

13、sin(βα+)sin(βα-)=βα2

2

sin sin -，

cos(βα+)cos(βα-)=βα2

2

sin cos -=αβ2

2

sin cos -。 14、)60sin()60sin(sin 400

ααα+-=α3sin ； )60cos()60cos(cos 40

ααα+-=α3cos ； )60()60(0

ααα+-tg tg tg =α3tg 。 15、ααtg ctg -=α22ctg 。

16、sin180=

4

1

5-。

17、特殊角的三角函数值：

18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R C

c

B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式，2

b =B a

c c a cos 22

2

-+

由余弦定理第二形式，cosB=ac

b c a 22

22-+

20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用

p 表示则：

①Λ=⋅=a h a S 21；②Λ==A bc S sin 2

1

； ③C B A R S sin sin sin 22

=；④R

abc S 4=；

⑤))()((c p b p a p p S ---=

；⑥pr S =

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 22、在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，… 23、在△ABC 中：-tgC B)+tg(A -cosC B)+cos(A sinC =B)+sin(A ==

2cos 2sin

C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ 2

2C

ctg B A tg =+ tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ 24、积化和差公式：

①)]sin()[sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=

⋅，