大学物理第九章复习

- v
动生电动势：
Fm - - A
i
L
b Ek dl (v B) dl
a
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5. 动生电动势过程中的能量转化关系。
如图所示，设电路中感应电流为 Ii ，则感应电动势做功的功率为
Pe I i i I i Blv
解： （1）设螺绕环中通有电流 I 。 螺绕环中的磁感应强度大小为
B 0nI
通过N匝小线圈的磁通链为
ΦN NΦ N0nIS
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两个线圈间的互感为
ΦN M N0nS I 2.5 10 5 H 250 μH
（2）小线圈内产生的互感电动势大小为
dI 21 M 25 μV dt
Ei
Es dl 0
l
无旋场
B Ei dl dS t l S
有旋场
通量
q Es dS
S
0
Ei dS 0
S
有源场
无源场 闭合曲线
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场线
始于正电荷， 止于负电荷
• 感应电场和感生电动势的计算
解：取逆时针的绕行方向为正 方向，并取线圈平面与磁 场方向垂直时t=0。
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线圈转动的角速度为
2πn t 2πnt
由法拉第电磁感应定律
i NBS sin NBl 2πn sin 2 πnt
2
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（1）当 =30°即 2nt =30°时，
i NBl 2πn sin 30 0.66 V
1. 感应电场的计算 对具有对称性的磁场分布，磁场变化时产生的 感应电场可由
B L Ei dl S t dS
计算，方法类似于运用安培环路定理计算磁场，关 键是选取适当的闭合回路L。
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§9-4 自感应和互感应
一、 自感应 由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在 自己回路中激发感应电动势的现象叫做自感现象， 这种感应电动势叫做自感电动势。
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二、在磁场中转动的线圈内的感应电动势
i NBS sin t
令
NBS 0
交变电动势
i 0 sin t
交变电流
I I 0 sin(t )
发电机原理
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交变电动势和交变电流
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例9-7 边长l =5 cm的正方形线圈，在磁感应强度 B=0.84 T的磁场中绕轴转动。已知线圈共10匝，线圈 的转速n=10 r/s。转轴与磁场方向垂直。求：（1）线 圈由其平面与磁场方向垂直而转过30°时线圈内的动 生电动势；（2）线圈转动时的最大电动势及该时刻线 圈的位置；（3）由图示位置开始转过1s时线圈内的的 动生电动势
左手旋
Ei
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二、麦克斯韦方程组
积分形式：
D d S q dV
S V
S
B dS 0
dΨ E B d S LE dl d t t S D j d S d S LH dl I I d t S S
dΦ Bπr 2 i sin t dt 2
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dΦ Bπr i sin t dt 2 1 2 i,max Bπr 2.96 V 2
2
Bπr 2 Ii sin t R 2R
I i, max Bπr 2 2.96 mA 2R
I ( t ) B( t ) Ψ ( t ) i L
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以长为 l 的无铁心长直螺线管为例，截面半径 为R，线圈总匝数为N，通以电流 I。
自感电动势：
dI L L dt
螺线管的自感（系数）：
N 2 L 0 πR l
2
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dΨ L dI
若空间不存在铁磁质
通电导体棒AB在磁场中受到向 左的安培力，大小为： F I lB
m i
导体棒匀速向右运动，外力（ F Fm ）的功率为
P F v I ilBv Pe
外力做正功输入机械能，安培力做负功吸收它， 同时感应电动势(非静电场力)在回路中做正功又以电 能形式输出这个份额的能量。 ——发电机
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i
例9-3 一长直导线通以电流 I I 0 sin t ，旁边有一 个共面的矩形线圈abcd。求：线1 I 0 Φ B dS l2dx s r 2πx 0 I 0l2 r l1 sin t ln 2π r dΦ i dt 0 I 0 r l1 l2 cos t ln 2π r
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§9-6 位移电流 电磁场理论 位移电流（displacement current）假设(麦克斯韦)：
变化的电场本身也是一种电流。
dD dΨ D Id S dt dt
位移电流密度：
1 dΨ D dD jd S dt dt
通过电场中某一截面的位移电流等于通过该截 面的电位移通量的时间变化率。
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磁通链数：
Ψ NΦ i dΨ N d Φ
dt dt
1 d Ψ 感应电流： I i R R dt
感应电荷：

q
t2
t1
1 Ψ2 1 I i dt dΨ (Ψ 2 Ψ1 ) R Ψ1 R
感应电荷与磁通量的变化成正比，与磁通量变 化的快慢无关。在实验中，可以通过测量感应电荷 和电阻来确定磁通量的变化。 磁通计原理
单位： H(亨利)，mH，H L取决于回路线圈自身的性质（回路大小、形状、 周围介质等）。
LΨ I
自感（系数）
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二、互感应
Ψ 21 N 2Φ21 M I1
Ψ12 N1Φ12 MI2
M 称为互感（系数）。 单位： H(亨利) I1
Ψ12 Ψ 21
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1
2
I2
例9-13 一密绕螺绕环，单位长度的匝数为 n =2000 m-1， 环的截面积为S =10 cm2，另一个 N =10匝的小线圈套绕 在环上，如图所示。转轴与磁场方向垂直。（1）求两个 线圈间的互感；（2）当螺绕环中的电流变化率为 dI/dt=10 A/s时，求小线圈内产生的互感电动势的大小。
第九章 电磁感应 电磁场理论
§9-1 电磁感应定律 §9-2 动生电动势 §9-3 感生电动势 感生电场
§9-4 自感应和互感应
§9-5 磁场的能量
§9-6 位移电流 电磁场理论
§9-1 电磁感应定律
一、电磁感应现象：
当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，不管 这种变化是由什么原因的，回路中有电流产生。 称为电磁感应现象。
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§9-5 磁场的能量 自感线圈
1 2 Wm LI 磁场的能量： 2 磁场的能量密度： 1 1 2 wm BH H 2 2
对非匀强磁场，磁场的能量：
1 Wm wm dV B HdV V 2 V
对匀强磁场，磁场的能量：
1 Wm wm V ( B H )V 2
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2
（2）当 sin 2πnt 1 时，即 =90°、270°等时， i 为最大，
max NBl 2 2πn 1.32 V
（3）当 t =1s时，
i NBl 2 2πn sin 2πn 0
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§9-3 感生电动势 感生电场
一、感生电场 导体静止，磁场变化时出现感生电动势。显然 产生感生电动势的非静电力一定不是洛伦兹力。 产生感生电动势的非静电力是什么？ 1861年，麦克斯韦提出了感应电场的假设 变化的磁场在周围空间要激发出电场，称为 感应电场。感生电流的产生就是这一电场作用于 导体中的自由电荷的结果。 感生电动势：
i (v B) d l
L
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解释
运动导体内电子受到洛伦 兹力的作用。
Fm e(v B)
非静电场：
Ii l

B ++ Fe

Fm Ek vB q
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B i L Ei dl S dS t
式中负号表示感应电场与 磁场增量的方向成左手螺 旋关系。
B t
与恒定电流产生的 磁场作类比。
B dl 0 I
L
I
E感
B
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静电场 E s
场源 环流 静电荷
感应电场与静电场的比较 感应电场 变化的磁场
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全电流：传导电流、位移电流的总和。
It I Id
全电流在空间永远是连续的闭合电流。 全电流定律：
D LH dl ( I I d ) S j dS S t dS
电容器充电时：
1
LH dl S j dS jd dS I
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动势 i可表为
如果用 E k 表示等效的非静电性场强，则感应电
i Ek d l
Φ B d S
S
d Bd S Ek d l d t S
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例9-2 导线ab弯成如图形状，半径r =0.10 m， B=0.50 T，转速n=3600 r/min。电路总电阻为1000 。 求：感应电动势和感应电流以及最大感应电动势和最 大感应电流。 2 π n 1 解： 120 π s 60 a r b Φ B S BS cos 2 πr B cos t 2
S2
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全电流定律
D LH dl ( I I d ) S j dS S t dS
D H dl dS t l S
右手旋
D t
若I=0，
H
B t
对比
B Ei dl dS t l S
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二、楞次定律 楞次定律： 感应电动势产生的感应电流方向，总 是使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通 量的变化。
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三、法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 回路中产生的感应电动势的大小与穿过回路的磁通 量对时间的变化率成正比。
dΦ i dt
式中的负号反映了感应电动势的方向，是楞次定律 的数学表示。
i L
E i dl
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由法拉第电磁感应定律：
dΦ d B dS i B dS S t dt dt S
B L Ei dl S t dS
电磁场的基本方程
导体静 止
说明 （1）变化的磁场能够在周围空间(包括无磁场区域) 激发感应电场。（2）感应电场的环流不等于零，表 明感应电场为涡旋场，所以又称为“涡旋电场”。
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§9-2 动生电动势
根据磁通量变化的不同原因，把感应电动势 分为两种情况加以讨论。
动生电动势：在恒定磁场中运动着的导体内产生 的感应电动势。
感生电动势：导体不动，因磁场的变化产生的感 应电动势。
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一、在磁场中运动的导线内的感应电动势
特例：
dΦ i Blv dt
在一般情况下，运动导线内总的动生电动势：