8-2-常见非线性特性及其对系统运动的影响资料
第8章 非线性系统分析
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
第8章非线性系统分析
t
稳定的。初始条件不同，系统的运动可能趋
于不同的平衡状态，运动的稳定性就不同。
所以说，非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与运 动的初始条件、输入信号有直接关系。
2：时间响应
y(t)
线性系统 非线性系统
R2
R1
0
t
3：自持振荡
4：对正弦信号的响应
Ac
线性系统当输入某一恒定幅值和不同
相轨迹AD段，可以用x轴上的P、Q、
x
R点为圆心，以|PA|、|QB|、|RC|
RQ P
为半径的小圆弧AB、BC、CD来近似。
0
经过每段小圆弧所需的时间，可以
B A
x
很方便地计算出来。 以tAB为例，在A点有：
DC
AB B MA
x PA sin A x PA cos A OP
解： x dx x 0
dx
令： dx
dx
x 1 x
上式即为等倾线方程。显然，等倾线为 通过相平面坐标原点的直线，其斜率为 -1/α，而α是相轨迹通过等倾线时切 线的斜率。
1.0 2.0
x 0.5 0 0.5
1.0 2.0
(x0 , 0)
y
x
K,
y
处于系统前向通路最前面的测量元件，其死区所造成的影响最大，而放 大元件和执行元件死区的不良影响可以通过提高该元件前级的传递系数 来减小。
2：饱和
•大 信 号 作 用 之 下 的 等 效 增 益 降 低 ， 使 系 统超调量下降，振荡性减弱，稳态误差增 大。
y
S K 0S x
•处于深度饱和的控制器对误差信号的变化失去反应，从而使系统丧失 闭环控制作用。
第八章非线性系统分析一二节
图8—17 齿轮传动中的间隙
21
间隙特性的典型形 式如图8-18所示
•数学表达式为
间隙非线性特性
x 2 bsignx | x 2 K x 1 1 1 |b x K x 2 0 x | 2 x b 1| K
（8-6）
22
四、摩擦
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个 很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看， 相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统 的静差，这一点和死区的影响相类似。
④ 对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析 表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。
3
⑤
对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分 区域相轨迹的方程式。
⑥ 对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选 取相坐标作出相轨迹图。
⑦ 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。
⑧ 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线 性特性负倒描述函数曲线的特点。
图8－12 非线性系统
当系统输入端加上一个幅 值较大的阶跃信号时，若 放大器无饱和限制，系统 的时间响应曲线如图813中的曲线1；放大器有 饱和限制时的时间响应曲 线如图8-13中的曲线2。
图8-13 图8-12系统的响应
20
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是 控制系统中的一种常见的非线性因素。
式中
1 x 1 0 signx 1 1 x 1 0
15
图8-8 斜坡输入时 的系统输出量
图8-7 包含死区的非线性系统
16
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种 非线性特性。
图8-9 部件的饱和现象
17
粗略地看，饱和特性的存在相当于 大信号作用时，增益下降。
自动控制原理(8-2)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。
A1，B1按下式计算：
1 2π 2 π A1 = ∫ y (t ) cos ωt dωt = ∫y (t ) cos ωt dωt π 0 π 0
1 2π 2 π B1 = ∫ y (t ) sin ωt dωt = ∫y (t ) sin ωt dωt π 0 π 0
二、典型非线性特性的描述函数
1.理想继电器特性
x(t ) A sin t
M y(t ) M (0 t ) ( t 2 )
傅氏展开
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
斜对称、奇函数→A0=A1=0
若非线性环节特性为输入的奇函数，则直流分量为
零。 当 f ( x) =－f ( －x) 时，则有
π π y (t + ) = f [ A sin ω(t + )] = f [ A sin (π + ωt )] ω ω = f( －A sin ωt ) = f ( －x) =－f ( x) =－y (t )
函数N也为零，故死区特性描述函数为：
2k k N 0
2 a a a arcsin 1 X X X
( X a) (X a )
4.死区饱和特性
0,
0 ≤ ωt ≤ ψ1 π ψ 2 ≤ ωt ≤ 2
y (t ) = K ( A sin ωt－Δ), ψ1 ≤ ωt ≤ ψ 2 K (a－Δ)，
Δ ψ1 = arcsin A
ψ 2 = arcsin a A
由于y(t)为奇函数，所以A0=0，A1=0，而y(t)又为半
自动控制原理第八章
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
非线性系统分析
3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。
第八章 非线性控制系统分析
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
8-2常见非线性特性及其对系统运动的影响
常见非线性因素对系统运动的影响
饱和 * 等效
振荡性↓ 振荡性↓，σ%↓ 限制跟踪速度 晶体管特性
对系统的 影响 举 例
滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑ 电动机， 电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
8-2 常见非线性特性 及其对系统运动的影响
非线性特性的等效增益
y f ( x) k= = x x
（1）继电特性 继电器、 继电器、接触器和可控硅
（2）死区特性
测量元件、 测量元件、放大元件 及执行机构的不灵敏区
（3）饱和特性 放大器、 放大器、执行机构
（4）间隙特性 齿轮、 齿轮、磁滞效应
（5）摩擦特性 机械传动机构
8-2-常见非线性特性及其对系统运动的影响
1. 死区特性
死区又称不灵敏区, 通常以阈值、分辨率等指标 衡量。 死区特性如图 所示。
y
－a 0 a x
常见于测量、放大元件中 , 一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。其特点是当输入信 号在零值附近的某一小范围之内时 , 没有输出。只有 当输入信号大于此范围时, 才有输出。 执行机构中的
y
－a 0 a x
在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主动齿轮方向 改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙消除后才改 变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环 特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它 将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增 大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双片弹性齿轮 (无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。
静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制系统中存
在死区特性 , 将导致系统产生稳态误差 , 其中测量元
件的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系
统的低速不均匀, 甚至使随动系统不能准确跟踪目标。
2. 饱和特性
饱和也是一种常见的非线性 , 在铁磁元件及各种
放大器中都存在, 其特点是当输入信号超过某一范围
4. 继电器特性
由于继电器吸合电压与释放电压不等, 使其特性中
包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。
y M －a －ma 0 ma －M a x
0<i<a时，触头不动；
i
i > m时，触头吸合；
i <ma时，触头释放。
当a＝0时的特性称为理想继电器特性。继电器的 切换特性使用得当可改善系统的性能。 如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关 系划分, 非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函 数非线性两类。 例如死区特性、饱和特性及理想继电
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
第8章 非线性控制系统
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
传动机构的间隙和铁磁元件中的磁滞现象都是很常见的非 线性特性。
在齿轮传动中，由于间隙的存在，当主动轮方向改变时， 从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向。铁磁元 件中的磁滞现象是一种回环特性，又称磁滞特性。
2)非线性特性的存在，并不总是对系统产生不 良影响。
2 非线性系统的特点
1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分 方程，故可以采用叠加原理。而非线性系统，其数 学模型为非线性微分方程，不能采用叠加原理，必 须研究不同输入所引起的输出响应。
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本 身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。 而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取 决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始 状态有关。
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的放 大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放 大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
§8.3 相平面法
1 相平面的基本概念
相平面、相轨迹和相轨迹图
相平面：
由系统某变量及其导数(如 c, c )
构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
具滞环的继电特性
具磁滞回环和死区的继电特性
M x(t) 0 M
•
•
e 0, e e0; e(t) 0, e me0
•
非线性系统
４.逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并 以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究 非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系 统控制研究的一个发展方向。
三、常见非线性特性及其对系统运动的 影响
• 死区特性一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区所 造成的。死区特性如图７-１所示。
• １.描述函数的定义 • 若含有非线性环节的控制系统经过适当的变换，简化成一 个非线性环节Ｎ（Ａ）和线性部分Ｇ（ｓ）串联连接的典 型结构形式，如图７-５所示
• ２.描述函数的求取步骤
• １）取输入信号为ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ，根据 非线性环节的静态特性绘制出输出非正弦周期信号 的曲线形式，根据曲线形式写出输出ｙ（ｔ）在一 周期内的数学表达式 • ２）据非线性环节的静态特性及输出ｙ（ｔ）的 数学表达式，求相关系数Ａ１、Ｂ１。 • ３）用式（７-８）计算描述函数。
2 2 2M m h h 1- ＝ 1- A A
• 3） 死区滞环继电特性的描述函数为
2 2 2M mh 2Mh h 1- N ( A)＝ 1 - j 2 (m - 1) A A A A≥h A • 取h=0可得理想继电特性的描述函数为
A1
1
2 0
y (t )costdωt
2பைடு நூலகம்
2
1
Mcostd t
2Mh (sin 2 sin 1 ) (m-1) A
2M
B1
2
0
y (t )sintdt
2M
2
非线性系统分析方法
非线性系统分析方法8-1 概述一、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。
二、重点内容非线性概念，常见非线性特性。
三、教学内容：1 非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。
（1）非线性系统特征—不满足迭加原理1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。
2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。
3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。
（2）非线性系统研究方法1)小扰动线性化处理（第二章介绍）2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。
2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ssσ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等)3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性减小间隙的因素的方法：(1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。
5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性6)继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）8-2 相平面法一、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。
自控第8章 非线性系统
6. 非线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会 很容易畸变。
11
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法
时域分析法中的一种图解分析法。不适用于高阶系统。 2、描述函数法 结合频域分析法和非线性的谐波线性化的一综合图解分
析法。分析非线性系统稳定性和自激振荡比较有效。
二、继电特性
1、特性曲线
M y
来源：继电器是继电
特性的典型元件。
0
-M
x
继电特性 具有图示性质的继电特性称理想继电器。
15
2、数学表达式
y
M y M
x0
M
x 0
0
-M
x
造成的影响:
继电特性
（1）改善系统性能，简化系统结构。
（2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。
16
旋线，这种奇点称为稳定
焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹
51
4、稳定节点
1
x(t ) A1e
q1t
这时方程的解为
A2e
q2t
其中
A1
x0 x0 2
1 2
A2
x0 x0 1
1 2
(t ) A1q1e q1t A2q2e q2t x
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。
35
例1 弹簧—质量块运动系统如图。
m 是物体质量；
k 是弹性系数； x 是偏离平衡点的位移。
为方便计算令 m=k=1 ；
已知初始条件
x(0) x0 x(0) x0
机械系统的非线性特性分析与控制
机械系统的非线性特性分析与控制一、引言机械系统的非线性特性是指在机械系统的运动过程中出现的不符合线性关系的现象。
非线性特性普遍存在于许多实际的机械系统中，如摆钟、弹簧系统、车辆悬挂系统等。
非线性特性对机械系统的性能和运动稳定性具有重要影响，因此，对非线性特性进行分析和控制具有重要意义。
二、机械系统的非线性特性1. 非线性振动现象在机械系统的振动过程中，非线性现象经常出现。
比如，当弹簧系统受到较大振幅的激励时，弹簧的硬度可能发生变化，从而导致系统产生非线性振动。
非线性振动现象的存在使得系统的频率响应发生非线性变化，可能引起系统失稳甚至破坏。
2. 非线性摩擦摩擦是机械系统中常见的非线性因素之一。
在机械系统的运动过程中，摩擦力的大小和方向通常与速度和位移有关，呈非线性变化。
非线性摩擦力的存在会导致系统的运动速度发生改变，引起系统的摩擦磨损、能量损失和运动不稳定等问题。
3. 非线性刚度刚度是机械系统的重要参数之一，用于描述系统在受力作用下的变形程度。
在一些复杂的机械系统中，刚度的变化可能是非线性的。
比如，在某些材料的变形过程中，由于材料的非线性特性，刚度会随着变形程度的增加而发生变化。
非线性刚度的存在会影响系统的运动性能和稳定性。
三、非线性特性的分析方法对机械系统的非线性特性进行分析是理解系统行为的关键。
目前，有许多方法用于研究和描述机械系统的非线性行为。
1. 非线性模型为了描述机械系统的非线性特性，可以采用非线性数学模型。
非线性模型通过引入非线性函数来描述系统的动力学特性。
这些非线性函数可以基于数学理论或实验数据得出，如多项式、指数函数、对数函数等。
非线性模型可以通过数值计算或实验验证来进行验证。
2. 傅里叶分析傅里叶分析是一种常用的频域分析方法，用于将时域信号转化为频域信号。
对于非线性系统，可以通过傅里叶分析方法分析系统的频率响应特性。
这种方法可以帮助研究人员了解系统在不同频率下的行为。
3. 相图法相图法是一种用于描述非线性动力系统行为的可视化方法。
自动控制原理--非线性特性对系统的影响
2、死区
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同 的影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面 有时人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
3、滞环（非单值特性）
x2
kx2(mx1sgnaxs1gn
非线性特性对系统的影响
• 如果一个控制系统包含一个或一个以上 具有非线性特性的元件或环节,则此系统 即为非线性系统。
• 实际的物理系统，由于其组成元件在不 同程度上具有非线性特性，严格地讲， 都是非线性系统。
一、本质非线性系统特点：
1）初始条件与输入量对非线性系统的影响
非线性系统可能 会出现某一初始 条件下的响应过 程为单调衰减， 而在另一初始条 件下则为衰减振 荡，如图所示。
包含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
4）混沌 非线性系统出现了一种非周期的运动， 其轨迹是永不闭合的非周期曲线。
• 非线性系统分析方法：
1）非线性系统的运动比线性系统复杂得 多；
2）分析线性系统的分析方法不能用于分析 非线性系统；
线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程 为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下 该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。
x 0.5x 2x x2 u
x0, x0 0,1
x0, x0 0,3
初始条件不同时非线性系统不同的响应特性
精品文档-自动控制原理(李素玲)-第8章
x c xc
x c
(8-5)
28
在输入信号|x|＜c时，该环节是放大倍数为k的比例环 节，当|x|＞c时出现了饱和，随着|x|的不断增大，其等效 放大倍数逐步降低，如图8-6所示。
因此，饱和的存在使系统在大信号作用下的等效增益 下降，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。另外， 饱和会使系统产生自振荡。但在控制系统中也可以人为地利 用饱和特性作限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的 工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值限制电机 的最大电枢电流，以保护电动机不致因电枢电流过大而烧坏。
16
非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这 些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们， 以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还 可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更 为优异的性能。
17
8.1.2 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以
26 图8-4 包含多个死区的非线性系统
27
8.2.2 饱和特性 饱和特性也是控制系统中常见的一种非线性，几乎所有
的放大器都存在饱和现象。由于采用了铁磁材料，在电机、 变压器中存在磁饱和。系统中加入的各种限幅装置也属饱和 非线性。
典型的饱和特性如图8-5所示，其数学表达式为
kx, y kc,
kc,
29 图8-5 饱和非线性特性
30 图8-6 饱和非线性特性的等效增益
31
8.2.3 间隙(回环)特性 在各种传动机构中，由于加工精度及运动部件的动作需
要，总会存在一些间隙。如图87所示的齿轮传动系统，为了 保证转动灵活，不至于卡死，必须留有少量的间隙。
由于间隙的存在，当主动轮的转向改变时，从动轮开始 保持原有的位置，直到主动轮转过了2c的间隙，在相反方向 与从动轮啮合后，从动轮才开始转动。典型的间隙非线性特 性如图8-8所示。
自控理论 8-1非线性系统概述 8-2典型非线性环节及其对系统的影响
它的存在能减小系统超 调量, 提高响应速度 , 抑制高频噪声 .
继电器的返回电流 i2 与动作 电流 i1 之比称为返回系数 m
Um
- i1 - i2
0
i2
i1
若m=1，则无滞环，其特性称为具有死区 的单值继电器特性，如图8-13(a)所示。
U
U
U
Ua
- i1
0
Ua
- i1
i1
i t
Ua
i1
ti
0
0
i t
- Ua
- Ua- Ua源自(a)(a)(b)
(b)
(c)
(c)
图8-13几种常见的继电器特性
若返回系数 m= -1，则继电器的正向返回电 流等于反向动作电流时，其特性称为具有滞环 的继电器特性，如图8-13(b)所示。
U
U
U
Ua
- i1
0
Ua
- i1
i1
i t
Ua
i1
ti
0
0
i t
- Ua
- Ua
- Ua
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)
(c)
图8-13几种常见的继电器特性
图8-2所示：
三、自持振荡：
对于非线性系统，在没有外作用时，系统完 全有可能产生频率和振幅一定的稳定的周期运动， 这个周期运动是物理上可以实现并可以保持的， 故通常将其称为自持振荡或自振荡, 如图8-3所示。
如果自振荡的幅值 a 是 在允许的范围之内，按李亚 普诺夫关于稳定性的定义， 系统是稳定的。
在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统
的结构和参数，而与输入信号及初始条件无关
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
器特性都属于输出与输入间为单值函数关系的非线性
特性。 间隙特性和继电器特性则属于输出与输入之间
为多值函数关系的非线性特性。
1.
死区又称不灵敏区, 通常以阈值、分辨率等指标 衡量。 死区特性如图 所示。
y
－a 0 a x
常见于测量、放大元件中 , 一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。其特点是当输入信 号在零值附近的某一小范围之内时 , 没有输出。只有 当输入信号大于此范围时, 才有输出。 执行机构中的
静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制系统中存
8.2 常见非线性特性及其对 系统运动的影响
非线性特性种类很多 , 且对非线性系统尚 不存在统一的分析方法 , 所以将非线性特性分 类, 然后根据各个非线性的类型进行分析得到 具体的结论, 才能用于实际。 按非线性环节的物理性能及非线性特性的
形状划分 , 非线性特性有死区特性、饱和特性、
间隙特性和继电器特性等。
4.
由于继电器吸合电压与释放电压不等, 使其特性中
包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。
y M －a －ma 0 ma －M a x
0<i<a时，触头不动；
i
i > m时，触头吸合；
i <ma时，触头释放。
当a＝0时的特性称为理想继电器特性。继电器的 切换特性使用得当可改善系统的性能。 如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关 系划分, 非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函 数非线性两类。 例如死区特性、饱和特性及理想继电
y
－a 0 a x
饱和特性将使系统在大信号作用之下的等效增
益降低, 深度饱和情况下 , 甚至使系统丧失闭环控制
作用。还有些系统中有意地利用饱和特性作信号限
幅, 限制某些物理参量, 保证系统安全合理地工作。
3.
间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的 回环非线性特性，如图所示。
y
－a 0 a x
在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主动齿轮方向 改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙消除后才改 变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环 特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它 将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增 大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双片弹性齿轮 (无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。
在死区特性 , 将导致系统产生稳态误差 , 其中测量元
件的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系
统的低速不均匀, 甚至使随动系统不能准确跟踪目标。
Байду номын сангаас
2.
饱和也是一种常见的非线性 , 在铁磁元件及各种
放大器中都存在, 其特点是当输入信号超过某一范围
后, 输出信号不再随输入信号变化而保持某一常值,如
图所示。