log指数与对数函数

第五章

指數與對數函數

5.1指數函數與對數函數的基本性質

5.2L Hopital’s Rule

5.3指數函數與對數函數的應用

5.1指數函數與對數函數的基本性質

在這節當中，我們先定義自然對數函數，再定義自然指數函數，並探討它們的基本性質。但在介紹對數函數之前，我們先介紹反函數的概念。

反函數的定義

給定一函數f ，所謂f 的反函數，顧名思義，即是將原本f 的值域映回定義域；說的更明白點，若x 為定義域上的一點，經由f 映至y ，則f 的反函數即是將y 映回x 。這樣看來，由於反函數也是函數，我們得知，f 有反函數若且唯若f 為1-1。

以實例來說明：若2)(x x f =，則f 將2與2-同時映至4，如果f 有反函數，則必須將4映回f 之定義域，但顯然會出現兩個選擇，故f 無反函數。

若f 有反函數，則我們用1

-f 表示此函數。若f 為11-函數，則如何求得1

-f

呢？由於1

-f

的定義域中的自變數我們仍將用x 代表，故我們可利用公式

)(x f y =解得)(1

y f x -=，再將y 與x 變換，即可求得)(1

x f

y -=。

我們以下例來說明。

例題1.1求32)(+=x x f 的反函數。解：因32+=x y ，

所以

2

3

-=

y x ，故

2

3

)(1-=

-x x f .

由上面反函數的定義可知，對所有x ，()x x f f

=-)(1

，且()x x f f =-)(1。而

這兩個等式亦可做為反函數的定義，亦即g 為f 之反函數若且唯若對所有的x ，

()x x f g =)(且()x x g f =)(.

一具有反函數的函數f ，其有一項很重要的性質是：f 與1

-f 的圖形對稱於

直線x y =，我們用以下的例題來加以說明。

例題1.2求出x x f =)(的反函數，並畫出f 與1-f 的圖形。解：因x y =，所以

21

)(x x f

=-.

但1

-f

的定義域為{∈x R }0≥x │，而f 與1

-f

的圖形如下圖：(粗線為1

-f

)

(圖5.1.1)

自然對數函數(natural logarithmic function)

若一函數f 的定義域為所有的正數，且滿足下列條件：(1)對所有正數1x ,2x ，)()()(2121x f x f x x f +=⋅.(2)對所有正數1x ,2x ，021>-x x ，)()()(

212

1

x f x f x x f -=.(3)對所有正數x 及實數r ，)()(x rf x f r =.則我們稱f 為一對數函數。

有了對數函數的定義，我們想知道究竟有沒有這種函數的存在。在以前我們曾學過函數x y 2log =，但x 為任一正數時，我們其實並不確知x 2log 的值。待會兒我們再來討論函數x y 2log =。現在我們先來介紹自然對數函數。

令⎰

=x

dt t x f 1

1)(，意義為函數

1

t y =之下，區間[]x ,1之上的面積，如圖5.1.2

當1

⎰

=x

dt t x f 1

1)(⎰

-=1

1

x dt t ，而⎰

1

1x dt t 的意義為

1

t y =之下，

區間[]1,x 之上的面積；所以，當1x f 若且唯若1>x 。而利用變數代換可知f 滿足對數函數的三個條件，故f 確為一對數函數。

由f 的定義可知0)1(=f 且由於)(x f 的意義為面積，所以)(x f 的值非常清楚。此外，對任意的實數r ，r x f =)(是有唯一解的(∞=∞

→)(lim x f x )；而當

1)(=x f 時，x 的解是一個特別的數，我們用e 表示，稱作自然常數。為了與以

前所學的對數函數作連接，我們用e log 來取代f ，所以1log =e e ，01log =e ，

2

1

log =

e e ，…。t

其他對數函數的定義

對任意的正數0>a ，x a log 的定義如下：

a

x

x e e a log log log =

.亦即

⎰⎰=

a x

a dt

t dt

t x 1 1 1 1log .由以上的定義可知01log =a ，1log =a a ，且x a log 滿足對數函數的定義，並可證明公式：

a

b

b c c a log log log =

.證明如下：因a

b

b e e a log log log =

，所以c

a c

b a b e e e e

c c log log log log log log =

b a log =.

x e log 的導數

由微積分基本定理知x

x e 1

)(log ='(0>x )，所以函數x g e log =不僅為連續函數且為可微函數。此外

x a a x x e e e a 1

log 1log log )(log ⋅='

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛='

.