与球有关的切接问题(全面)

由性质确定球心：
利用球心O与截面圆圆心E的连线垂直于截 面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性 质，确定球心．
类型六：其他内切球问题
注意：
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线 上，但不重合。
类型三：正四面体
正四面体可构造成正方体求解
常用结论：
1、正四面体外接球的球心在高线上，半径是正
四面体高的
3 4
2、正四面体内切球半径是高的 1
4
；V多

S表

R内切

1 3
结论：
设正四面体的棱长为a,则:正四面体的内
切球、棱切球、外接球半径分别为:
6a
12
、2 a 4.
6
、4
a
。
a
F
6a
2a
用一个平面去截球面， 截线是___圆_
大圆--截面过___球__心__，半径等于球半径； 小圆--截面不过___球__心____
性质2: 球心和截面圆心的连线_垂__直_ 于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球 的半径R及截面的半径r
有下面的关系:
r R2 d2
与球有关的切、接问题
类型：内切球、棱切球、外接球
途径2：
同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、 相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体。
长方体的每个面的对角线构成的三棱锥 途径3：
若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱 锥补成长方体或正方体．
途径4：
若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三 棱锥补成长方体或正方体．
类型五：其他外接球问题
理论基础： 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的 所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是 该简单多面体的外接球的球心．
4、体积分割是求内切球半径的通用做法。
棱锥的内切球（分割法）
方法：
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线， 将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切 球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的 体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥 的体积为V，表面积为S，
则内切球的半径为 R 3V
S
4Biblioteka Baidu
4
6a 12 3a 3
a
a
2
AD 3 a 2
VE VA2 AE 2 6 a 3
OA2 OE 2 AE2 R 6 a
4
VO为外接球半径， OE为内切球的半径， OF为棱切球的半径。
类型四：构造正方体或长方体 （外接球问题）
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线
内切球： 球体在几何体里面，且球体 与几何体每个面均相切。
棱切球： 球体与几何体每条棱均相切。
外接球： 几何体在球体里面，且几何体每顶点均在球体上。
类型一：正方体
一、正方体的内切球
o
2R a
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体棱长。
二、球与正方体的棱相切
结论：
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其 体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面 中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底 面三角形外心（垂直平分线交点）的连线 的中点．（注三角形外接圆半径可用正弦 定理求解）
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上， 具体位置可通过计算找到．
的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正
方体或长方体的途径与方法如．：
1、正三棱锥A—A1BD
途径1：
2、三棱锥A1—ACD 3、三棱锥A1—BCD
三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是
直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形， 则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （也可能是长方体）
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
三、 正方体的外接球
2R 3 a
球直径等于正方体的（体）对角线
结论一：
正方体棱长为a，则：正方体的内切球、
棱切球、外接球的半径分别为：
1a
2
，
2 2
a
，23 a
.
类型二：长方体
7.2.2与球有关的切接问题
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考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做___球_____, 半圆的圆心叫做球的_球__心___， 半圆的半径叫做球的__半_径____ 。
2、 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是__圆__面___ ；
一、长方体的内切球
思考：一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可以 和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
二、 长方体的外接球
图形
度量关系 长方体的（体）对角线等于球直径 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则a2 b2 c2 (2R)2。