LDPC码及其与Turbo码的比较

ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｃｓｃｎｔｃｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＭＩＭＯ Ｓｙｓｔｅｍ，Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ．Ｉ．．，删ｃｉｃｃ Ｆｉｌｔｅｒ，Ｌｅａｓｔ Ｓｑｕａｒｅｓ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，
Ｇｒａｄｉｅｎｔ
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＤＦＥ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
单位地址：电子科技大学电子工程学院，成都，６１００５４。
性能。是因为其独特的编码结构和新的译码思想：在子编码器中采用了反馈型的系统卷积码ｔ且在子编
码器间引入交织器，减少了子编码器间信息的相关性．模仿了随机编码的形式；同时在译码中采用了软 输入、软输出的译码算法和信息反馈的译码器形式，引人了迭代译码的思想懈。由于Ｔｕｒｂｏ码优秀的性 能。使其一度成为编码界研究的热点。其理论和技术也逐渐成熟起来，在通信中有着广阔Ａｇ应用前景。 但是Ｔｕｒｂｏ码也有其缺点，它的译码复杂性仍然较大，且在码长较长时，由于交织器的存在具有较大的 时延。
自从Ｓｈａｎｎｏｎ的论文”１发表以来，出现了许多纠错编码的方法，这些方法大致可以分为两大类：分 组码①ｌｏｃｋ Ｃｏｄｅｓ）和格状码ＯＹｃｌｌｉｓ Ｃｏｄｅｓ）。但是格状码受状态数的限制自由距离有限，而传统的分组码 比较适用于短码，因为它们的译码复杂度与码长成指数关系。短码的性能是有限的，难以达到逼近 Ｓｈａｎｎｏｎ限的目标。因此Ｓｈａｎｎｏｎ限的逼近需要长码。Ｇａｌｌａｇｅｒ在１９６２年找到了一种编码唧，现在通常 称为Ｇａｌｌａｇｅｒ码。这种编码由于校验矩阵的稀疏性，使得译码的复杂度只与码长成线性关系，在长码的 时候，仍然可以有效她进行译码。然而当时由于技术条件的限制，导致人们忽视了这种编码的存在，几 十年来这方面的进展甚微。
译码结果ｊ，并检验方程点砖＝０ｍｏｄ２是否成立。若该式成立，译码过程结束，量即为所求的译码结 果；若迭代次数达到某一预先定义的最大迭代次数仍未得到正确的译码，算法结束，并宣告译码失败。
３性能仿真
为了研究ＬＤＰＣ码译码算法的性能，我们对ＢＰ译码算法进行了编程模拟。模拟中采用的信道是二 进制输入的加性白高斯噪声信道。采用的调制方式是基带的ＢＰＳＫ调制。图２所示为码率为１／２的编码 在不同码长时的性能比较，其中标以方框的曲线码长为１０２４，标以圆圈的码长为２０４８，标以三角的码 长为４０９６。图中的竖线为ｌ，２码率编码的Ｓｈａｎｎｏｎ限。从图中我们可以看出码长是影响ＬＤＰＣ码性能的 一个重要因素，编码的性能随着码长的增加而明显变好，码长２０４８的编码较码长１０２４的编码性能上大 约有０．４ｄ８的提高，丽长４０９６的编码较２０４８的编码又大约有０．２ｄＢ的提高，但性能提高的速度随码长
的校验矩阵确定的编码为码长１２的（３，６）正则码：
ｌ １ ｌ ＯＯｌ ｌ ＯＯ Ｏｌ０ ｌ ｌ ｔ １ ｌ ０ ０ＯＯ０Ｏ ｌ ＯＯＯＯＯ ｌ ｌ ｌ Ｏ ｌ ｌ ｌ Ｈ＝ ｌ ＯＯ ｌ ＯＯ Ｏ ｌ １ １ Ｏ １ ０ ｌ ０ ｌ ｌ Ｏ ｌ ｌ １ Ｏ０Ｏ Ｏ０ｌＯ ｌ ｌ ＯＯ １ ｌ ｌ Ｏ
吉华芳１毕光国２张在琛３
东南大学国家重点移动通信实验室２１００９６ ‘ｈｕａｆａｎｇｊｉ＠ｓｅｕ．ｅｄｕ．ｃｎ Ｚｂｉｇｇ＠ｓｅｕ．ｅｄｕ．ｃｎ。ｚｃｚｌｍｎｇ＠ｓｅｕ．ｅｄｕ．ｃｌｌ 摘要：本文研究了一种能有效逼近Ｓｈａｎｎｏｎ极限的线性分组码：低密度奇偶技验（ＬＤＰＣ）码．文中 首先介绍了ＬＤＰＣ码的结构；接着提供了ＬＤＰＣ码的译码算法；最后对ＬＤＰＣ码的性能进行了仿真，并 将其与Ｔｕｒｂｏ码在性能和复杂度等方面进行了比较分析． 关键字：ＬＩ）ＰＣ码，３３】ｒｂｏ码，Ｓｈａｎｎｏｎ极限。
初始化：对每一个满足Ｈｄ＝１的（，。ｒｎ）ｔ变量张和留＿：｜ｆ分别被初始化为ｒ和，＾Ｉ·这里
．一＝ｌｌ（１＋ｅｘｐ（－２ａｙ。／ｏｒ２））。片＝１一爿，Ｙ．是时刻ｎ信道的输出。
·６ｌ·
第一步：对每一校验约束ｍ及相应的每一个ｆ∈￡伽卅算概率测度乏；
，，一！＋（一１）。西★
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其中‰＝旃一元，‰＝１７国。，。
参考文献
ＡｒｄａｖａｎＭａｌｅｋｉ－Ｔｅｈｒａｎｉ－ＢａｂａｋＨａｓｓｉｂｉ。ＪｏｈｎＭ．Ｃｉｏｔ五．Ａｄａｐｔｉｖｅ ｏｑｕａＨｎｔｉｏｎｏｆＭＩＭＯｄ口ｎ跳Ｓｙｓｔｅｍｓ．ａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｌｌ，
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百度文库在获得巨大成功的Ｔｕｒｂｏ码的启发下，另一类具有相似特征和性能的编码复活了。这就是Ｌｏｗ
Ｄｅｎｓｉｔｙ Ｐａｒｉｔｙ Ｃｈｅｃｋ（ＬＤＰＣ）码。ＬＤＰＣ码是Ｇａｌｌａｇｅｒ码的推广。Ｄ．Ｊ．Ｃ．ＭａｃＫａｙ、Ｍ．Ｎｅａｌ和Ｎ．Ｗｉｂｅｒｇ 等人对Ｏａｌｌａｇｃｒ码重新进行了研究，发现Ｇａｌｌａｇｅｒ码虽然性能较Ｔｕｒｂｏ码稍有差距，但是它同样具有逼 近Ｓｈａｎｎｏｎ限的性能圆。本文将对ＬＤＰＣ码进行—个简单的介绍。
ＬＤＰＣ码的译码算法主要是基于编码二分图结构的ＭｅｓｓａｇｅＰａｓｓｉｎｇ算法”，这种算法是一个算法类， 算法的性能随量化阶数的增加而提高，同时复杂度也随之增加．当在译码中采用两阶量化时，这种算法 成为Ｇａｌｌａｇｅｒ最初提出的硬判决译码算法。该算法具有最低的译码复杂度，但是其性能也是Ｍｅｓｓａｇｅ Ｐａｓｓｉｎｇ算法中最差的，适用于对性能要求不高的应用。反之，如果在译码中采甩另—个极端——无穷阶 量化也即连续性的算法时，算法成为ＢｅｌｉｅｆＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ（ＢＰ）算法，这种算法的译码复杂度最高，同时 其性能也是最好的，适用于对性能有较高要求的场合。
ｒＥＬ（ｍ）Ｖ
第二步：利用计算所得值‘更新概率值口二ｆ。对于每一个ｚ计算：
靠＝‰西１－Ｉ盔
其中口“为归一化系数，使得鼋二＋ｑｔ＝ｌ，吖为信息节点ｆ取值为ｘ的后验概率。 试验译码：每次迭代后，依照下式计算比特ｆ取值为０和１的伪后验概率ｇ？和鼋ｋ
酊＝ｃｃ。硝１－Ｉ喝
用Ｅ埘ｆ，）
然后利用这些伪后验概率生成试验译码结果：若ｇｊ＞０．５，令毫＝１，反之令毫＝０，由此生成试验
引言
在通信中．为了抵抗信息传输过程中信道的干扰，纠正因干扰而产生的接收错误．保证通信的可靠
。本文所属往文范围：Ｍ，ＤＳＰ。本文由国家８６３计划项目“超宽带（ＵＷＢ）无线传输技术研究与开发（３）”（项目号 ２００３ＡＡｌ２３２３０）资助．
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性，人们提出了纠错编码的方法。但是这种方法抗干扰的能力怎样，有没有性能上的极限？１９４８年， Ｓｈａｎｎｏｎ建立了信息论，回答了这个问题，并为纠错码的研究指明了方向。由Ｓｈａｎｎｏｎ理论知纠错编码 能够进行有效纠错的最小比特信噪比为Ｓｈａｎｎｏｎ极限．
法国的Ｃ．Ｂｅｎ＇ｏｎ等人于１９９３年提出了—种全新的编码方案：Ｔｕｒｂｏ码…，在信道编码的理论和应 用中取得了突破性的进展。这种编码能够在长码时逼近Ｓｈａｎｎｏｎ限，同时译码复杂度也可以接受，在当 时的硬件水平下可以实际应用。Ｔｕｒｂｏ码采用并行级联递归的编码器结构，其分量码采用系统的卷积码。 其译码算法主要有ＭＡＰ算法、Ｌｏｇ－ＭＡＰ算法、ＳＯＶＡ算法等１４】。Ｔｕｒｂｏ码之所以具有逼近Ｓｈａｎｎｏｎ限的
ｉｎｖｅａｓｅ ｆｉｌｔｅｒ ｃｒｉｔｅｒｉａ．ＩＦ．ＥＥｌＹａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｍ％１９９６，Ｖ０１．４５：６５８—６７２
Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍ Ｉ ＭＯ Ｃｈａｎｎｅｌｓ
Ｄｏｎｇ Ｘｉｎ Ｇｏｎｇ Ｙａｏｈｕａｎ
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１ ＬＤＰＣ码的构造
Ｇａｌｌａｇｅｒ在１９６２年提出了ＬＤＰＣ码。揭示了一种新的具有低密度校验矩阵的分组编码方法，它利用 校验矩阵的稀疏性解决长码的译码问题，可以在线性时间内译码。同时又近似于Ｓｈａｎｎｏｎ提出的随机编 码，获得了优秀的编码性能。
简单的说，ＬＤＰＣ码是一种具有稀疏校验矩阵的线性分组码。由线性分组码的性质，域Ｆ上码字长
度为ｎ，其中信息位长度为ｋ的编码Ｃ可用（ｎ－ｋ）ｘｎ维的校验矩阵日描述： Ｃ（日）车｛ｘｅ Ｆ４：Ｈｘ’＝０ｌ
ＬＤＰＣ码也不例外，可以用校验矩阵描述。
下面是Ｇａｌｌａｇｅｒ最初提出的ＬＤＰＣ码的结构，这种码现在通常称为正则码或ＧａＵａｇｃｒ码。似，，ｄ。）正 则ＬＤＰＣ码是指一个二元域上的线性分组码，该编码的校验矩阵日中每一列有ｄ，个非零元，每一行有ｄ。 个非零元。即编码码字中的每个比特参与ｄ，个校验约束，而每个校验约束涉及ｄ。个比特·例如由下面
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｓ ｄｏｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆＭＩＭＯ ｓｙｓｔｅｍ；蛳ａｌｙ五ｎｇ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ
ＬＭＳ．ＲＬＳ，ＤＦＥ．ｇｒａｄｉｅｎｔ ａｎｄ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ａｄａｐｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｅｑｕａｌｉｚｅｒｓ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ
Ｅ－ｍａｉｌ：ｂｅｎｅｃｉａ＠１６３．ｃｏｍ
电话：１３６５８０１６８９１，０２８－８６７５１３８９（ｈ） 董昕：女，１９７９年生，硕士研究生。主要从事自适应信号处理．空时通信技术的研究。 龚耀寰：男，１９３８年生，教授，博士生导师。目前研究方向为自适应信号处理，智能天线。
ＬＤＰＣ码及其与Ｔｕｒｂｏ码的比较。
图１码率不低于０．５，码长１２的（３，６）正则码．有１２个信息节点．６个校验节点．
每个校验节点的相邻信息节点的横２和为０
２ ＬＤＰＣ码的译码
信道编码的译码算法是决定编码性能和应用前景的—个重要因素。尤其是在长码的条件下，译码算 法的复杂度决定了编码的实际应用价值。但是通常分组码的译码复杂度与码长成指数关系，码长增大到 一定程度后，复杂度的增加将是不可控制的，无法实际应用。ＬＤＰｃ码则由于其校验矩阵的稀疏性，使 它存在高效的译码算法，其译码复杂度与码长成线性关系。克服了分组码在长码时所面Ｉ｜缶的巨大译码计 算复杂度问题，使长编码分组的应用成为可能，从而可以获得好的编码性能。ＬＩｍｃ码的出现使人们终 于获得了～种可以实际应用的分组码。而且由于奇偶校验矩阵的稀疏特性，在长的编码分组时，相距很 远的信息比特参与同一校验，这使得连续的突发差错对译码的影响不大，编码本生就具有抗突发差错的 特性，不需要引入交织器。没有因交织器的存在面带来的时延。令人兴奋的是ＬＤＰｃ码不仅适用于二进 制对称信道，而且适用于任何最佳输入为对称分布的信道。几乎在任何信道上都是“好码”。
张贤达，保铮．通信信号处理．北京：国防工业出版社。２００＂２：２６５—２７０ 龚耀寰．自适应滤波—时域自适应滤波和智能天线（第二版）．北京：电子工业出版杜，２００３：４１２－－４１３
Ｓｈａｈｉｄ Ｕ．Ｈ．Ｑｕｒｅｓｈｉ．Ａｄａｐｔｉｖｅ ＥｑＩｌａｌＪｚａｔｉｏｎ．Ｐｒｏｃ幽阻Ｓｅｐｔ １９８５．ＶｏＬ ７３．Ｎｏ．９：１３４９．１３８７ Ｊ．ｋ＂Ｉ＇ｕｇｎａｉＬＩｄｃｎ吐６ｃａｔｉｏｎ ａｎｄｄｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｍｕｌｄｃｈａｎｎａｌｌｉｎｅａｒｎ∞＿（妇ｕｓｄ鲫优ｏ∞ｓ螂ｕｓｉｎｇｈｉｓｈｅｆｏｒｄｅｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ
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给定（ｄ，，ｄ。）正则码的校验矩阵后，若校验矩阵的行是线性无关的，那么编码的码率为１一生，否
ｄｃ
则ｔ若校验矩阵的行不是线性无关的，那么编码的码率大于１一生。
ｄ。
任一个二进制的线性分组码，都可以简单地用二分图将编码表示出来。一个二分图是—个包括两个 顶点集合的图。若将二分图的两个顶点集合分别称为信息节点集合和校验节点集合，那么信息节点集合 中的节点对应码字中的比特或者说校验矩阵的列；校验节点集合中的节点对应编码的码字所满足的校验 约束方程或者说校验矩阵中的行。若某个校验约束方程中出现了某个码字比特．则在相应的信息节点和 校验节点之间连一条边。上面例子中
这里简单介绍一下ＢＰ译码算法。若编码校验矩阵为抒，参与第ｔｎ个校验约束的信息比特集合记为 Ｌ（ｍ）§【ｚ：日。ｌ＝１１。第１个信息比特参与的校验集合记为Ｍ（１）；【ｍ：日ｗ＝１）。／Ｘｒｎ）、ｌ为Ｌ（ｍ）与第
ｆ个比特的差集。数值ｑ：ｌ，为在已知除第ｍ个校验约束外其他所有校验约束的信息时，工的第１个比特取 值为ｘ（ｏ或Ｉ）的概率ｈ为发送的码字）。数值噶为在已知ｘ的第ｌ比特值为Ｊ（ｏ或Ｉ），其他比特 满足概率分布（口：，．：Ｚ’∈Ｌ（，，１）＼ｆ）时第ｔｎ个校验约束得到满足的概率。