特征方程法求数列的通项公式

特征方程法求数列的通项公式

求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通 项公式的一种有效途径•

1.已知数列a n 满足a n 1 a -an ----------------------------

…… ① 其中c O,ad bc,n N

c a n d

定义1 ：方程x ax _b 为①的特征方程，该方程的根称为数列

a n 的特征根，记为

cx d

(a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) (a c )a n [

c (a c

c )]

(a

c )a n

(a c )

a c a

”

上/

a c

证毕

a n

定理2 :若

a 1 且 a d c rnri

1

2c 1

0，则

a

n 1

a d

a n

证明：

* d

2

a 2 c,

b c

1

1

ca n d

ca n d

a n 1

aa n b (aa n

b)

(ca n d) (a

c)a n b

d

ca n d

ca n a 2 c

ca n a 2

c

ca n a 2 c

(a

c)a n ( 2

c a

2 2

c)

(a

c)(a n

) a d /

2

(a

n

)

2ca n 2a 4 c 2ca n

(a 2 c)

d 2c(a n

) (a d)

(a d)(a n ) (a d)(a n ) (a d)(a n )

定理

1：

若 , 印且

证明： x ax b

--- 1

2

cx

cx d

d

a ( )c,b

aa n

b

a n 1 ca n

d

a n 1

aa n b

ca n

d

,则

a

n 1

a n 1

a c a n

a

c

a n

(d a)x b

c

(aa n b) (ca n d) (aa n b) (ca n d) a d b W c

(a c 冋(b d ) (a c )a n

(b d )

1

解：考虑特征方程x 2

故 一

a n 1

2c a d

a n

证毕

例1: (09 •江西•理-22)各项均为正数的数列

a n , a 1 a, a 2

b ,且对满足m n p q

a m a n

a p

a q

的正数m,n, p,q 都有

(1 a m )(1 a n )

(1 a p )(1 a q )

1 4

(1)

当a

2，b

5时，求通项

a n ； (2)

略.

解：由一

(1 a m

a n

a p a q

a 1

a n

得

a m )(1 a n )

(1 a p )(1 為)(1

aj(1 a .)

a 2

a n 1

(1 a 2)(1 a n J

1 -,b 2

4

代入上式化简得a n 5

2a n 1

1

考虑特征方程

2x 1

也」得特征根x

x 2

2a n 所以色1

a n

」1 2 2a n 1 1

a n 1

2

a n 1 - a n 1

a n 1

所以数列

a

n 1

是以

1

a n

1 -为首项，公比为 3

1 1的等比数列

3

故

a n 1

即a n

3n 1 Fl 例2:已知数列

a n

满足

a 1 2, a n 2

1

,n

a n 1

,求通项a n .

a n 1

1 1 (

2 ) 1

a n 1

1

a n 1

a n 1

1 a

1

a n 1 1

所以数列

是以 a n

1

——

1为首项，公差

为

1的等差数列

a n

2.已知数列a n

满足 a n 2

&a n 1 C 2 a n

② 其中C i ,C 2为常数,且

则 a n (bi b 2n)2n

C 2 0,n N •

定义 2:方程x 2

C |X c 2为②的特征方程，该方程的根称为数列

a n 的特征根 ，记为1 定理 3:若1

2,则 a n

D 1n

b 2 2n

,其中b,b 2常数 且满足

a d 1

2

b 2

2 2・

a 2

D 1 b 2 2

定理 4:若1

2

,则

a n

(b 1 b z n) n

，其中b 1,b o 常数,且满足

q (b 1

b 2)

2

a 2 (

b 2b 2)

例3:已知数列

满足3i

1,32

a n ，求通

项

a n a n 1

2cos , a n 2 2cos

a n

.

其中2(3 © 2

八 4(b 1 2b 2) 8

b 1 0 a n b 1 n

n2n

解：考虑特征方程

x 2 2cos x 1得特征根1 cos

i sin ,2 cos i sin 贝U a n bi (cos

n

i sin )

b 2(cos

i sin )n

(b i b 2 )cos n

i(bi

b 2)sin n

其中

1

⑴

b 2)Cos

2cos

i (b i b 2)sin (bi b 2)cos2 i(b

b 2)sin 2

b b 2 o 1 i(b b 2)

sin

a n

sin n sin

例4：已知数列

a n 满足a 1

2, a 2 8,a n 2 4a n 1

4a n ,求通项a n .

解：考虑特征方程x 2 4x

4得特征根