导数与不等式综合题型

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导数与不等式综合

导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最

值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨 论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析 总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者 .

1.

利用导数证明不等式

在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些 不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函 数的性质达到证明的目的. 1.1 利用单调性证明不等式

构造函数，利用函数的单调性证明不等式 例 1.已知函数 fx a In x ax 3( a 0).

(I)讨论f x 的单调性;

求出F (x)，得出F(x)的单调区间，从而求得函数的最大值，进而化恒成立问题为最值问题即可;

(n)若 f x a 1 x

0对任意x

e,e 2恒成立，求实数a 的取值范围(e 为自然常数)；

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(m)求证：In 2

1 In

32

In 42

2

In n 1

1 2In n! (n 2，n

).

思路分析：(i )先求导，从而由f

0求得单调区间；(H)令 F(x)

f(x)

(a 1)x

(皿)令a

求出f(1)的值，然后由f(x)的单调性得到 In x x 1对一切x (1,

)成立，则当n 2,n N*

时有

1 In

(飞 1)

n

1 ~~

1 (n 1)n

1

，从而转化为证明In (A

1) In (匚2 1)

n 2

3

解析:

(n) 1) 1 f'(x)

(n 2, n

a(1 x) x (x

0时，f(x)的单调增区间为

令 F(x) aln x ax 3 F(x) x

)即可.

0)， 1,

ax 2

e,e

当a 0时，f (x)的单调增区间为 0,1 ，单调减区间为1,

，单调减区间为

0,1 .

x a

x 4 e aI nxx1e ，F (x)

0，若

是增函数,

F(x)max F(e 2) 2a e 2

0,a

无解.

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g x ，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数

函数h x 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口. 1.2通过求函数的最值证明不等式

在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数， 进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式 成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来

（1）求函数f x 的单调区间;

F(e) 0,a F(e 2)

e 2，F(x) x

综上所述

F(x),

2a

2

e,e

e

，a 是减函数;

e 1

0, a

是减函数， F （x ） max

x a,e ，是增函数,

e 1 e 2 2

F(e) a 1 0,a 1

= m/(l) = -2 ,宙〔I 1 知十工一3

在＜1.代）上单阖遥盾；二当兀亡Q P ”寸艮卩一lnx+x-3^0； 兀E （1,炖成立，m 科E N*,贝恂+1＞弋丄弋二^二厶-丄

n

n （幷一 1）片 n-1 n

要证 1D (，+ 1)+1D (F + 1)+1D (* + 1)+ +MQ?十 1)C + 21口冲"三乙和丘占广》

只需证峽加D+

J ■-

町+1》

+ i)-ln(Jj- + i)+ - +ln{4r +l)

4

n

■+ I )+H 4+D+ -+M^+n<(i-l )+4

4

n 2 1

所以原不等式成立

点评：（1）对于恒成立的问题，常用到两个结论： ①a f x 恒成立

max ，②

a f x

恒成立

a f X min ；（2）利用导数方法证明不等式

f x

g x 在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数

h x

0，其中一个重要的技巧就是找到

例2.已知函数

x 1 ax

ln x a 0

⑵当a 1时，求f x 在区间-,2上的最大值和最小值 0.69 ln2 0.70 ；

2

2

e

（3）求证：in -

x

思路分析：（1）求出导数f '

（X ），解不等式f '（X ） 0得增区间，解不等式f '（X ） 0得减区间，注意要对a 分

类

讨论；（2）由（1）能确定f （x ）的单调区间，最大值与最小值一定在极值点或区间的端点处取得， 计算比较大小即可；（3）

性证明.

1

1

—

解桁：(1) (0. -HD). v /(x) = — -h x /. / M

V

ax

x

故/ （JC ） 函数/（对在区间上■单调逸篠 若囚当茗E

上单调递感 综上‘若xo,迪散才仗）在区问（W ）上单调遥貼若口A0,的数丁（兀）的里

、曲数/（X ）的单调邈同区间为

区间1,2

上的最大值为

f

1

0，而

2

f

1

1

2 in 1

1 in 2, f 2

1 1 1 in 2

in 2

2

2

2

2

1

3

1 £

f 2 f

—

2in 2 1.5 2 0.7

0.1 0，所以f 2

f

，故函数f x 在区间

2 2

2

单调递增，在区间1,

1

上单调递减，故在区间

,1 上单调递增，在区间1,2上单调递减, 2

2

e 不等式in

- x

1 x ，化为

2 in x 1

x

-，即 1 in x x

1 ，这可利用函数

x

in x 的单调

于何"，函數/（对在区闫（＜}£）

—.-Hu 时；在区间

⑵a 1时，f x

x 1 in x 1

x

1

in 乂，由（1）可知，f x

1 - in x 在区间0,1上

x

函数f x 在