2015年清华大学自主招生数学试题(领军计划)

2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划）

说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。

1、设复数22cos sin 33z i π

π

=+，则211

11z z +=--（ ）

A.0

B.1

C.1

2 D.3

2

2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ）

A.||||2OA OB ⋅≥

B.||||OA OB +≥

C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点

D.O 到直线AB 的距离小于等于1

4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y

f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ）

A.奇函数

B.偶函数

C.减函数

D.有界函数

5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =

相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）

A.2个极大值点

B.3个极大值点

C.2个极小值点

D.3个极小值点

6、ABC ∆的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π

=∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（

）

A.2b a =

B.ABC ∆的周长为2+

C.ABC ∆

D.ABC ∆7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ）

A.()f x 有极小值，但无最小值

B.()f x 有极大值，但无最大值

C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36

b e >

D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36

0b e <<

8、已知222{(,)|}P x y x y r =+=，222

{(,)|()()}Q x y x a y b r =-+-=，已知1122{(,),(,)}P Q x y x y =，则（ ABD ）

A ．1212()()0a x x b y y -+-=

B ．22

1122ax by a b +=+

C ．22202a b r <+<

D ．1212,x x a y y b +=+= 9、非负实数,,x y z 满足2224423x y z z +++=，则543x y z ++的最小值为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

引申：改求543x y z ++的最大值呢？

3

10、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则（ ）

A.{}n a 可能为等差数列

B.{}n a 可能为等比数列

C.{}n a 的任意一项均可写成{}n a 的两项之差

D.对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m a S =

11、运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能获得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

12、长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）

A.1

3 B.23

D.13、设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩

所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ） A.若4S =，则k 的值唯一 B.若12S =

，则k 的值有2个 C.若D 为三角形，则203

k <≤ D.若D 为五边形，则4k > 14、ABC ∆的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ）

A.0

B.15-

C.212-

D.292

- 15、设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5,()0.2P B P A B =-=，则（ ）

A.()0.4P A =

B.()0.3P B A -=

C.()0.2P AB =

D.()0.9P A B +=

16、过ABC ∆的重心作直线将ABC ∆分成两部分，则这两部分的面积之比为（ ）

A.最小值为34

B.最小值为45

C.最大值为43

D.最大值为54

17、从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ C ）

A.105种

B.225种

C.315种

D.420种

提示：正2k +1边形对应的钝角三角形个数为

12k (k −1)(2k +1)． 18、已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ACD ）

A.4

B.6

C.8

D.12

提示：r =．

19、设复数z 满足2|||1|z z ≤-，则（ ）

A.||z 的最大值为1

B.||z 的最小值为13

C.z 的虚部的最大值为23

D.z 的实部的最大值为13

20、设,m n 是大于零的实数，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a m m b n n ααββ==，其中,[0,2)αβπ∈。

定义12(cos )22a m αα=，12(cos )22b n ββ=，记θαβ=-，则（ ） A.1

122a a a ⋅= B.11222a b mn θ⋅= C.112222||44a b mn θ-≥ D.112222||44

a b mn θ+≥ 21、设数列{}n a 满足：1136,n n n a a a n ++==

，则（ ） A.*3,(1)n n N a n ∀∈<+ B.*,2015n n N a ∀∈≠

C.*,n n N a ∃∈为完全平方数

D.*,n n N a ∃∈为完全立方数

22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）

A.1cos sin ρθθ=+

B.12sin ρθ=+

C.12cos ρθ=-

D.112sin ρθ=+ 23、设函数2sin ()1x f x x x π=

-+，则（ ） A.4()3

f x ≤ B.|()||5|f x x ≤ C.曲线()y f x =存在对称轴 D.曲线()y f x =存在对称中心

24、ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，则（ ）

A.sin cos A B >

B.tan cot A B >

C.222a b c +>

D.333a b c +>