土木工程制图讲义点线面投影篇7

m
k 2a
直则平K面G，即则为该所直求线。 必定与另一平面垂
实长
直。
△kg
4— 已知三直线AB、CD、EF，求作一
直线MN与CD、EF相交且与AB平行。
e' b'
分析：所求的直线MN
2' m' p'
d'
分ABB析，平于：EM与行所NAA求一BB的平，定直行属M线N的于一M与平N定A面平B属P行 平， 行的M平N面与P交，叉M两MN直与线交C叉D两、
a
s
作图：1）在 △ABC内任作一条正平线ⅠC和一条水平线ⅡC。
2）自点S作SD △ABC。
3）过点S任作一直线SE，与SD构成一平面即为所求。
例：过点S作一平面垂直于平面△ABC。
a'
c'
空间及投影分析
平面ABC是一般位置
b' s'
b
平面，过点s'作正平
线垂直于平面内一般 位置直线AC的 投影
a'c'，再过点s作水平
a'
5' m'
3（' 4'）
1'
k'
2'
c'
n'
X
b'
m
O
c
作图
a
（2）5
4k
13
PH n
b
① 过mn作铅垂面 ② 求铅垂面与ABC交线
③求交线与MN交点K ④判别可见性
利用重影点
根据重影点Ⅲ、Ⅳ可判别出正面投影的可见性；
根据重影点Ⅱ、Ⅴ可判别出水平投影的可见性。
可见性判断
a'
5' m
3（' 4'）
b'
e'
a' d'
X
a
d
分析：视平面 f' △DEF 的 两 边
c' DE、DF为空间
e
O一般位置直线，
分别求出它们
f 与 △ABC 的 交
b
c
点K、M，连接 KM即为所求。
（1）线面交点法
b'
e'
2'
PV
a' d'
X
a
k' 1'
1
m' 4'
f' RV
3'
c'
e
O
3
f
k
m
d
b
2
c
4
作图： • 利用辅助面法求DE与△ABC的交点K • 利用辅助面法求DF与△ABC的交点M • 连接KM，即△ABC与△DEF的交线
垂直问题
包 括
⒈ 直线与直线垂直
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
直角投影定理：
空间垂直的二直线，其中有一条 直线平行与某一个投影面时，则两直 线在该投影面上的投影仍保持垂直。
2. 直线与平面垂直
几何条件：
若一直线垂直于属于某平面的 任意两条相交直线，则此直线垂直于 该平面。反之，如果在某平面内过任 意点，均能作出两相交直线与空间已 知直线垂直，则此平面与该直线垂直。
综合作图举例
3、 投影作图——根据解题思路及解题步 骤，找出相应的各种基本作图原理和 作图方法进行投影作图；
4 、题解讨论——必要时，还应对题解进 行讨论，证明答案确能满足题目要求 的几何条件或解答的存在性，是唯一 解还是多解等。
二 举例
1 — 已知矩形ABCD的一边两投影和
其邻边一投影，完成矩形投影图。
2
1c
e m
a
MA
C
B
L
d'
E0
L
e'
c' m' 2'
A0 ad
a'
2c
a
e d
4 已知三角形ABC和距该平面为L 的
一点 M的正面投影m'，求作点M的
水平投影m。
1'
分作析图：： 符合条件
b' 的1）点过的点轨A迹作是平距
三面角AB形CA垂B线C；为 L
的一个平面，设
为2）Q 在，垂可线先上将任此
1'
k'
' 2' c'
a'
n' X
b'
m
O c
n'
a
（2）5 4k
a
13
PH n
b
n
m'
k'
c'
b' mc
5 4k
b
• 交点是线与平面投影重叠部分可见与不可见的分界点。 • 在每个投影上分别选一对重影点判断。
2.两一般位置平面相交
（1）线面交点法
在一平面内任取两条直线，作出它们与另一平 面的交点，将所得交点连成直线即为所求。
的 平M行作线直与线CADB的（平或行EF线） 相 交与于C点D （N ，或即EF为）所相求交的 直线于M点N。N ， 即 为 所 求 的
直线MN。
5—已知直角三角形ABC的直角边AB，其斜 边BC属于直线BM，求作此直角三角形。
2' d' m' c'
e' 1'
d
a'
b' b
分析：由于直角三角 形 ABC 的 BAC 是 直 角，所以与AB边垂直 的另一直角边AC必在 过 点 A且 与 AB垂 直 的 平面P内，而点C即为 P与BM的交点。
（1）线面交点法
b'
e'
2'
PV
k'
a'(1') 5' d'
X
a1
m' 6' 4' 3' 7'
e
f' RV
c'
O
k
3 6 (7)
f
5
m
d
b 2 4c
注①②意作所辅：图做助：的面辅所••• 助包利连利面含用接用为的辅K辅M垂直助，助直线面即面面是法△法任求A求B选DCDF与E的与与△△△DAEABFBC的C的的交交交线点点MK ③ 交线在两• 平利面用图重形影的点公判有断区可内见性 ④ 若所做的• 辅完助成面△与AB交C与线△平D行EF，各交边点的在轮无廓穷远处，应重选辅助面
c
线垂直于ac，则两相
交直线所示平面即为
a
s
所求。
综合作图举例
一 解题的一般步骤 1、 题意分析——主要分析题中给出的已
知条件，判断题中所给或要求的几何 元素是否处于特殊位置，明确题目要 求求解的几何元素或几何量；
2、 空间分析——分析题示已知条件与待求 几何元素、几何量之间有何几何关系， 以明确解题思路，确定解题方法及方案。
轨取迹点平D；面 作 出 ，
所3）求求点出MA一D实定长属；
1
b 于从作作投4取 投 点 L）影；该 点属出L影 距在m，平 的性点长 平。实求，面 方M度 面长出A；的法， 按上所B即水便根面C量对E为可据 平内
4 — 已知三角形ABC和距该平面为L 的一点 M的正面投影m'， 求作点M的水平投影m。
反之，若两平面互相垂直，则由属
于第一个平面的任一点向第二个平面 作垂线，此垂线必属于第一个平面。
A
RQ
B
P
QA
KP
例：过点S作一平面垂直于平面△ABC。
有多少解？
a' 2' 1'
1 2
d' c'
b' s'
b
d
c
有无分数析解： 根 据 两
平面垂直的几
何条件，首先
e ' 过 点 S 作 △ABC
的 垂 线 SD ， 再 任作一条直线 SE 与 SD 相 交 ， 所组成的平面 e 即为所求。
二．相交问题
相交问题的核心－求共有点 1．利用投影积聚性
2．辅助平面法 线面交点、三面共点
小结
三．垂直问题
1.直线与平面垂直
直线与平面上任意两条（N条）直线垂直 直线 与平面垂直
2.平面与平面垂直
直线垂直于平面，则过该直线的任何平面都与该 平面垂直
作业：
T3-43(5 6),44,45,46,47
例：求△ABC与□ DEFG的交线。
1'
e'
g'
2'
k1'
5'
k2'
f'
1
g
e
2 k1
c'
a' 3'
4' P1V
c a
3
P2V
6' d' b'
4 6
d
5
b
作图：
f
k2
• 利用辅助面法求水平面Pv1与△及□ 的交线ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ
• 交线ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ的交点K1即为共有点 • 同理求出K2，连线即可。
3—7 垂直问题
二、辅助平面法
1.一般位置直线与一般位置平面相交
Ⅱ
K
Ⅰ
• 引入辅助平面P 过已知直线作投影面
的垂直面，则转化为垂 直面与一般位置平面相 交问题。
作图步骤： ① 包含直线MN作辅助平面P。 ② 辅助平面P与平面△ABC的交线ⅠⅡ。
③ 求交线ⅠⅡ与直线MN的交点 即为直线 与平面的交点。
例1：求平面ABC与直线MN的交点。
a'
1' c' n'
f' A直面P线E包应FC含包相D P、其含交E其中，F中则一相DN一平直交直面，线线P则C应CDF平D
（ 或（E或F ）ECF，）平，面平P面与P另与一
b e2 mp
直 线另E一F （直或线CEDF （）或相 C交D，） 交点相为交M，，交过点M为作M直，线过AB
a
cn
1
f d
L
f' c'
d' h' m' g'
E0 L
e'
k'
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A0 ad
a'
c
5）过E点作面 EFG平行与ABC；
b' 6）M属于平面 EFG，面上求 点M。
a
f
e
h m
k
b
d
g
小结
一．平行问题
1.直线与平面平行
直线与平面上任一直线平行
直线与平面平行
2.平面与平面平行
两平面上的两相交直线对应平行
二平面互相平行
2—求点S到直线AB的距离。
a' s' s s'k'
a
c' 投题影意作分图析：：由S作
1）直s线dAaBb，的s垂'd线'//，OX垂，
k' b'
d'
s'c足'为a'bAK' ，，则scS/K/实OX长。 2）为所求求P平。面空与间A分B析：
b
交A点BK为S 。一般K位置p 直线，
c 3）过直点角S作三P角面形垂法直求
k
SKA实B长（。作平行B线），
求出垂足K，再求
d 垂线SK实长。
3 — 求两平面的距离。
m'
n' X
n
2' f'a'
b' g' 1' k'
b1 f g
1分）析过：k'两作平k'f行'k平'm面'， cO'过间的只2平）k的公要作面求距垂过kMf直离线一Kk线为平。Nn，。两面因KF则平上此与k面任，f c 一△A点B，C作交一点直G线，垂
c a
ad
b 根据直线与平面垂直的
投影规律，过点S作水
s
平 线 SC ， 使 其 水 平 投 影scab；再过点S作正
平 线 SD ， 使 其 正 面 投
s
影s d a b ，则相 交 两 直 线 SCSD 所 确
定的平面即为所求。
c
b
3.平面与平面垂直
几何条件：
若一直线垂直于某平面，则包含 这条直线的一切平面都垂直于该平面。
可见性判断
a'
d'
X
a
b'
e'
m'm' 5'
n'n6'' 4'
e
f'
c'
O
mm 3 6 (7)
f
nn
d
b2
c
•交线是两相交平面投影重叠部分可见与不可见的分界线。
•在每个投影上分别选则一对重影点判断。 •同面的异侧，异面的同侧可见性相反。
（2）三面共点法
ⅠⅡ
Ⅳ Ⅲ
Ⅴ
Ⅵ
求两面交线时， 作一辅助平面P1，该 辅助平面与两已知平 面产生交线，两条交 线的交点即为三面共 有点。即两已知平面 共有点。
例：过点S作直线垂直于平面△ABC。
s' l'
a'
a l
b'
1' 2' c'
b1 2 c
作图：
根据直线垂直平面 的投影规律,作属于 △ABC的正平线AⅠ、 水平线AⅡ。然后由 点S（s，s）作l a 1 ，l a2，则 直线L（l ，l）即为 所求。
s
例：过点S作平面垂直于直线AB。
d
作图：
1分）析过：B作矩平形面相B邻Ⅰ两Ⅱ边
a'
相 交垂成直于90A 角B。。 所 以
b'
2'
3'
c'
X 1'
2c
b
3
1
a
d'
2B）C必b'c属'交于1'2过'于B3点'求并出垂3。 直于AB的平面P。因
O 此3），连只b要3并作延出长该，平据面c' P，求因cb。'c'已知，问题
d 转 后 的 形4）的化 根性ac'd作d投为据质/'//ac/影面对，bb'd'。c'。上边即/'/；a取互可'ba'；d线相完//平成b，c；行矩然