2.3等差数列的前n项和(二)

3
2
程思想和 前n项和 公式相结 合 a1 4
一 题 多 解
例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310， 前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差 数列的前n项和的公式吗？
另解：S10 10(a1 a10 ) 310 a1 a10 62 ① 2
S20
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
S n An Bn
上页
9
下页
2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
②-①得：a20 a10 60,10d 60; d 6,
（ n n 1 ） 2 Sn a1n d 3n n 2
20(a1 a20 ) 1220 a1 a20 122② 2
a1 4
上页
4
下页
一 题 变 式
例2变式、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和 是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这 个等差数列的前30项和的公式吗？ 【另解】由等差数列的性质，可推得： a1 a 2 a10 a11 a12 a20 a21 a22 a30 成等差数列
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
上页
10
下页
例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
19( a1 a19 ) 19( a10 a10 ) S19 19 a10 19 10 190 2 2
上页
6
下页
例 题 讲 解 1 2 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn n n, 求这个数列 2 的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的 首项与公差分别是什么？
上页
S n 1 a1 a 2 a n 1 ( n 1)
下页
变 式 训 练
1 2 n n 1, 求这个数列 2
已知数列{an}的前n项和为Sn
当n >1时：
的通项公式.
1 1 2 1 an sn sn1 n n 1 [(n 1) (n 1) 1] 2n ① 2 2 2 分 1 5 2 当n=1时：a1 s1 1 1 1 不满足①式. 类 2 5 2 讨
5 5 40 另解：an a1 (n 1)d 5 (n 1) ( ) n . 7 7 7 5 40 an n 0, 解得n 8,即a8 0, a9 0. 7 7 从等差数 和是从第9项开始减小，而第8项为0， 列的通项 前7项和前8项和最大. 公式出发 来分析
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
1
知 识 复习
1．等差数列前n项和的公式； （两个）
n(a1 an ) Sn 2
— 倒序相加法
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法—
3.公式的应用 (知三求一) ；
2
例 题 讲 解
例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310， 前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差 分析：方 数列的前n项和的公式吗？
12
1.课本P45页练习
2
2.课本P46页习题2.3A组 4，5 3.做好下面方面：
13
Байду номын сангаас
2
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
2（s20 s10 ) s10 (s30 s20 )
解得：前30项的和为2730 .
上述方法没有列出方程求出具体的个别量， 点评： 而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出， 要注意体会这种思想在数学中的运用.
上页
整 体 思 想
5
下页
变 式 提 高
在一个等差数列中，已知a10 10, 求S19.
解 ： S n a1 a 2 a n 1 a n
2
1 1 1 2 an sn sn1 n n [(n 1) (n 1)] 2n ① 当n >1时： 2 3 2 2 1 2 a s 1 1 当n=1时： 1 也满足①式. 1 2 2 1 数列{an }的通项公式为an 2n . 3 2 由此可知：数列{an}是以 为首项，公差 为2的等差数列. 7 2
解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将 它们代入公式 S na n(n 1) d
n 1
10a1 45d 310 得到 解方程得 20a1 190d 1220 d 6 n(n 1) Sn n 4 6＝3n2 n 还有其它 2 方法吗？