大学物理第11章

弹簧振子系统中轻弹簧的一端固定，另一端系一个质量为m的物体.
将弹簧振子置于光滑的水平面上，取平衡位置O点为坐标原点，向右为x
轴正向.现在让物体离开平衡位置一段微小位移，由于弹簧被拉长或被压
缩，物体受到指向平衡位置的回复力F，迫使物体返回平衡位置.该物体将
在O点两侧做往复运动.在这个运动过程中，物体离开平衡位置的位移x将
位矢、速度和加速度来描述的.式（11- 1）就是弹簧振子的坐标x
随时间t周期变化的规律，下面就从弹簧振子的速度和加速度角度
讨论简谐振动的规律.
根据简谐振动的运动方程，可求出任意时刻物体运动的速度
和加速度分别为
(11- 2)
式中，vm=ω A，称为速度振幅.
(11- 3)
式中，am=ω 2A，称为加速度振幅.
按余弦函数的规律随时间t做周期性变化，即
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x=Acos(ωt+φ )
(11- 1)
这就是简谐振动的运动方程.在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅
度振动是简谐振动.进一步推广，任何一个物理量，如果是时间的余弦（
或正弦）函数，那么该物理量按简谐振动规律变化.
第一节 简谐振动的运动学描述
弹簧振子系统中的物体可视为质点.质点的运动，第一章是用
第一节 简谐振动的运动学描述
一、 简谐振动的运动方程
下面以弹簧振子为例讨 论简谐振动的规律.弹簧振子 是理想模型，实际并不存在. 只有满足不考虑物体的形变 和可忽略弹簧的质量的条件 时，弹簧和物体组成的系统 才可以称为弹簧振子，如图 11-1所示.
图11- 1 弹簧振子
第一节 简谐振动的运动学描述
(ωt+φ 1) (ωt+φ 2)
Δφ =(ωt+φ 2)－(ω t+φ 1)=φ 2－φ 1
第一节 简谐振动的运动学描述
可见，它们在任意时刻的相位差都等于其初相位之差而与时间 无关.当Δφ =2kπ时，两振动物体将同时到达各自同方向的最大位移 处，并且同时越过平衡位置向同方向运动，其步调完全一致，称为 两者同相；当Δφ =2k+1π时，两振动物体同时到达各自相反方向的 最大位移处，也同时通过平衡位置但向相反方向运动，其步调完全 相反，称为两者反相.
在角频率ω和振幅A已知的简谐振动中，根据式（11- 1)可知， 振动物体在任意时刻t的位移和速度，即振子的运动状态都由ω t+φ 决定.ωt+φ 是决定简谐振动状态的物理量.
物体的简谐振动，在一个周期之内，每时刻的运动状态都有与 之相对应的相位，因此，描述简谐振动时，常常不去分别指出物体 的位置和速度，而直接用相位表示物体的某一运动状态.
第一节 简谐振动的运动学描述
单位时间内振动往复（或完成全振动）的次数称为振 动频率，用ν表示，它的单位是赫兹（Hz），显然有
(11- 6) 由式（11- 5)和式（11- 6) 可知，角频率ω与简谐振 动的周期相联系.ω 越大，则振动频率越快，而振动周期越 短.所以角频率ω 描述了振动的快慢.这几个物理量描述了 简谐振动的时间周期性.
第一节 简谐振动的运动学描述
比较式（11- 1)和式（11- 3)，可得 (11- 4)
式(11- 4)说明，简谐振动的加速度与位移成正 比且反向.
第一节 简谐振动的运动学描述
二、 简谐振动的特征量
从式（11- 1)~式（11- 3)可以看 出，简谐振动的位移、速度和加速度都 表现出周期性，方程中都出现A、ω 和 φ .只要知道了A、ω和φ ，就可以全面 描述简谐振动的周期性特征.
第一节 简谐振动的运动学描述
通常把A、ω和φ 三个量称为描述简谐振动的三个特征量，
因为只要这三个量确定了，就可以写出简谐振动的运动方程，
得到简谐振动的全面信息.A和φ 由初始条件确定，而ω取决于振
动系统自身的动力学性质.
通过相位可以方便地比较两个同频率的简谐振动的步调.设
两个简谐振动分别为
x1=A1cos x2=A2cos 则它们的相位之差为
第一节 简谐振动的运动学描述
1. 周期 频率 角频率
式（11- 1)中的ω称为角频率，也称圆频率.简谐振动物体位 置的变化具有时间周期性，以T表示周期，即振动往复一次所经 历的时间，则应有
x=Acos(ωt+φ )=Acos ω(t+T)+φ 由于余弦函数的周期是2π，因而角频率与周期的关系为
(11- 5) 在国际单位制中，角频率ω 的单位是弧度/秒（rad/s）.
目录
第四篇 波动学
第11章 机 械 振 动 第12章 机 械 波 第13章 波 动 光 学
目录
第十一章 机 械 振 动
第一节
简谐振动的运动学描述
第二节
简谐振动的动力学描述
第三节
旋转矢量法
第四节
简谐振动的合成
第五节
阻尼振动
第六节
受迫振动 共振
第十一章 机 械 振 动
前面讨论了物质的平动和转动，本章讨论另外一种运动 形式——振动.实际上，物体的平动、转动和振动是物质粒子 性的表现.物体在某一位置附近来回往复的周期运动称为机械 振动，这种周期运动现象在自然界中非常常见.例如，钟摆的 摆动、气缸活塞的往复运动、心脏的跳动等，都是机械振动. 振动这种运动形式不仅在力学中存在，在其他物理学领域也 是存在的.广义的振动是指任何一个物理量随时间做周期性变 化的过程.
第十一章 机 械 振 动
例如，电路中的电流和电压、电磁场中的电场强度和 磁场强度也都可能随时间做周期性变化，这种变化称为电 磁振动或电磁振荡.不同的振动现象尽管存在的本质不同， 但它们随时间的周期性变化在形式上都遵从相似的规律.本 章以机械振动为例讨论周期振动的普遍规律.
最基本、最简单的周期振动是简谐振动.一切复杂的振 动都可以看作若干简谐振动的叠加.因此，本章首先讨论简 谐振动的周期性特征，进而讨论振动的叠加，最后简单介 绍阻尼振动、受迫振动和共振现象等.
第一节 简谐振动的运动学描述
由此可见，当物体做简谐振动时，只不过振幅和振动的步调不 一致.图11-2给出了某简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关 系.我们通常把表示x- t关系的曲线、v- t关系的曲线和a- t关系的曲 线分别称为振动曲线、速度振动曲线和加速度振动曲线.
图11- 2 位移、速度、加速度与时间的关系
第一节 简谐振动的运动学描述
2. 振幅
式（11- 1)中的A称为振幅，表示 简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位 移的绝对值.它给出了物体的振动范围为 -A~+A，反映了振动的强弱，描述了 简谐振动的空间周期性.
第一节 简谐振动的运动学描述
3. 相位 初相
在简谐振动的运动方程中，ωt+φ 称为简谐振动的相位，初始 时刻t=0的相位φ 称为简谐振动的初相.