《物理学基本教程》课后答案_第四章__刚体的转动

第五章 刚体的转动

5-13 如图5-13(a)所示，滑轮转动惯量为0.012m kg ⋅，半径为7 cm ，物体质量为5 kg ，由一绳与倔强系数k=200 N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；(2)物体速度达最大值的位置及最大速率．

分析 下面的5-17题中将证明，如果绕定轴转动的刚体除受到轴的支承力外仅受重力作用，则由刚体和地球组成的系统机械能守恒．如果将滑轮、地球和物体与弹簧组成一个弹性系统和重力系统合成的系统，当无重力和弹性力以外的力作功的情况下，整个系统的机械能守恒，可以应用机械能守恒定律．下面的解则仅应用功能原理和力矩所作的功与刚体转动动能的关系进行计算．

解 (1) 物体由静止而下落到最低点时，速度为零，位移为1x ，在此期间重力所作的功完全转换为弹簧弹性势能的增量，即

2112

1kx mgx = m 0.49m 2008.95221=⨯⨯==k mg x (2)物体与滑轮受力如图5-13(b)所示，设物体的最大速率为0v ，此时的位移

为0x ，加速度00=a ，滑轮的角加速度000==

R a α，分别应用牛顿第二定律和转动定律

T1

a

F ’T1

m m g

(a) (b)

图5-13

ma F mg =-T1

αJ R F F =-)(T2T1

可得此时T1F mg =，F T1= F T2，又因对于轻弹簧有0T2kx F =，则得

m 0.245m 2008.950=⨯==

k mg x 在此过程中，重力所作之功等于弹性势能的增量、物体动能和滑轮转动动能的增量的和，即

20202002

12121ωJ m kx mgx ++=

v 因R 00v =ω，得 m/s 31.1m/s 9.85)07.001.05(2001)(1

22=⨯⨯+⨯=+=mg R J m k v

5-7 如图5-7（a ）所示的系统中，m 1 = 50 kg ，m 2 = 40 kg ，圆盘形滑轮质量m = 16 kg ，半径R = 0.1 m ，若斜面是光滑的，倾角为30°，绳与滑轮间无相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，(1)求绳中张力；(2)运动开始时，m 1距地面高度为1 m ，需多少时间m 1到达地面？

分析 由于存在物体运动和滑轮定轴转动，而且必须考虑圆盘形滑轮的质量，这是一个质点动力学和刚体动力学的综合问题，应该采用隔离物体法，分别

m α

F ’T1 F T1 m 2 m 1 F F T2

a

︒30

m 2g m 1g

（a ） （b ）

图5-7

对运动物体作受力分析，对转动的滑轮作所受力矩的分析，然后分别应用牛顿第二定律和转动定律．

解 (1)各物体与滑轮受力情况如图5-7（b ）所示，其中F T1= F ’T1，F T2= F ’T2，轴对滑轮的支承力F N 不产生力矩，选取物体运动方向为坐标轴正向，分别应用牛顿第二定律和转动定律，可得

22121rad/s 302

1)(30sin =++︒-=g mR R m m m m α N 340)(1T1=-=αR g m F

N 316)30sin (2T2=+︒=αR g m F

2m/s 3==αR a

(2) m 1到达地面的时间为

s 0.816s 3

122=⨯==a h t 、

5-1 一个匀质圆盘由静止开始以恒定角加速度绕过中心而垂直于盘面的定轴转动．在某一时刻，转速为10 r/s ，再转60转后，转速变为15 r/s ，试计算：

(1)角加速度；(2)由静止达到10 r/s 所需时间；(3)由静止到10 r/s 时圆盘所转

的圈数．

分析 绕定轴转动的刚体中所有质点都绕轴线作圆周运动，并具有相同的角位移、角速度和角加速度，因此描述运动状态的物理量与作圆周运动的质点的相似．当角加速度恒定时，绕定轴转动的刚体用角量表示的运动学公式与匀加速直线运动的公式类似．

解 (1) 根据题意，转速由rad/s 1021⨯=πω变为rad/s 1522⨯=πω期间的角位移rad 260πθ⨯=，则角加速度为

222

22122rad/s 54.6rad/s 2602)102()152(2=⨯⨯⨯-⨯=-=π

ππθωωα (2) 从静止到转速为rad/s 1021⨯=πω所需时间为

s 9.61s 54

.61021=⨯==παωt (3) t 时间内转的圈数为

482

61.91022122121=⨯⨯⨯===ππωππθt N 5-2 唱片在转盘上匀速转动，转速为78 r/min ，由开始到结束唱针距转轴分别为15 cm 和7.5 cm ，(1)求这两处的线速度和法向加速度；(2)在电动机断电以后，转盘在15 s 内停止转动，求它的角加速度及转过的圈数．

分析 绕定轴转动的刚体中所有质点具有相同的角位移、角速度和角加速度，但是线速度、切向加速度和法向加速度等线量则与各质点到转轴的距离有关．角量与线量的关系与质点圆周运动的相似．

解 (1) 转盘角速度为rad/s 8.17rad/s 60

278=⨯=πω，唱片上m 15.01=r 和m 075.02=r 处的线速度和法向加速度分别为

m /s 1.23m /s 15.017.811=⨯==r ωv

222121n m /s 10.0m /s 15.017.8=⨯==r ωa

m /s .6130m /s 075.017.822=⨯==r ωv

222222n m /s .015m /s 075.017.8=⨯==r ωa

(2) 电动机断电后，角加速度为

22rad/s 545.0rad/s 15

17.800-=-=-=

t ωα 转的圈数为 75.92

1517.8212212=⨯⨯===πωππθt N 5-3 如图5-3所示，半径r 1 = 30 cm 的A 轮通过皮带被半径为r 2 = 75 cm 的B 轮带动，B 轮以π rad/s 的匀角加速度由静止起动，轮与皮带间无滑动发生，试求A 轮达到

3000 r/min 所需要的时间． 分析 轮与皮带间无滑动，则同一时刻，两轮边缘的线速度相同，均等于皮带的传送速度；两轮边缘的切向加速度也相同，均等于皮带的加

速度．

解 设A 、B 轮的角加速度分别为A α、B α，由于两轮边缘与皮带连动，切向加速度相同，即

2B 1A r r αα=

则 B 1

2A ααr r = A 轮角速度达到rad/s 6030002⨯

=πω所需要的时间为 s 40s 75

.06030.0300022B 1A =⨯⨯⨯⨯===ππαωαωr r t

B A r 1 r 2

图5-3