四点共圆的条件ppt课件

E
C
D
B
A
另一种D点在圆外的情况证明同理可证.
即当四边形的两对角和是180°时，其四个顶点在同一个 圆上
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连接AC交⊙O与点C´，连接BC´和DC´ 有 ∠A C´B ＞∠A C B
∠A C´D ＞∠A C D
∠A C´B +∠A C´D ＞ ∠ACB+ ∠ACD 所以 ∠BCD ＞∠B C´D
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思考
如果过某个四边形的四个顶点不能 作一个圆，那么∠B+∠D与180º有何关 系？
A
D
O·
B
C
F
E
∠B+∠D < 180º
A
D
O·
B
F
E
C
∠B+∠D > 180º
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证一证
假设D点在圆内 延长AD与圆交于点E，连接CE。 则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∴∠B+∠ADC >180º. 这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故假 设不成立，D点不在圆内.
所以 ∠A+∠BC/D＞∠BCD + ∠A
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
∴ ∠A + ∠B C´D = 180° ∴∠A+∠BCD＜180°
A
D
O·
B
C´ F
E C
由上面的探究，你能归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一 个圆的条件吗？
对角互补的四边形的四个顶点共圆
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通过我们的证明我们知道：
四边形的对角之和小于180º，四 边形的四个顶点 不在同一圆上。
O
C B
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证明猜想
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ．
求证：∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D
证明： 连结OB、OD
A
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
O
∴弧BAD和弧BCD所对圆心角之和是360°
C
∴ ∠A+∠C=180º
B
同理可证 B D 180
所以圆内接四边形的两对角互补
四边形的对角之和大于180º， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。
四边形的对角之和等于180º （对角互补），四边形的四个顶 点 位于同一圆上。
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这节课你有什么收获？
一个方法：类比操作的方法。 一个条件：四点共圆的条件。 一种思想：从特殊到一般的思想。
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我会做
1、已知四边形ABCD四个顶点都在⊙O上，如果∠A= 115°，∠
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四边形中任意三个点确定一个圆，则
第四点在圆内 四点不共圆
第四点在圆外 四点不共圆 第四点在圆上 四点共圆
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量一量
探究四点共圆的条件
分别测量上面各四边形的内角，如果过 某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其 相对的两个内角之间有什么关系？
D
A
D
A
B
C
∠A＋∠C=180°
C B
∠B＋∠D=180°
发现：这两个四边形的对角互补 8
分类讨论
过任意四点能作一个圆么？
•四点在同一直线上
不能
•三点在同一条直线上，另一点不在这条
直线上
不能
•四点中任意三点都不在同一直线上
不确定
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试一试 探究四点共圆的条件
图中给出了一些四边形，能否 过它们的四个顶点作一个圆？试 一试！
A
D
A
D D
A
B
CB
C
B
C
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思考
探究四点共圆的条件
你能用圆与点的位置关系解释这种现象么？
1
作一个圆需确定 圆心和 半径
2
忆一忆
过一个点可以作 无数个圆
过两个点可以作 无数个圆
过三个点
分类讨论
若三点在同一直线上 不能作圆 若三点不在同一直线上 确定一个圆
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回顾思考
不在同一直线上的三点确定一个圆的方法：
确定圆心 （垂直平分线的交点） 确定半径 （圆心到任意一点的长）
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探究四点共圆的条件
30°，那么∠C=_____, ∠6D5=°______. 150°
2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC= 100° ，
则∠BAC= 5度0 ，∠BDC= 1度3.0
A
O
B 12 C
3 如图,A、B、 C、D、都是⊙O上的点,则D正确的选项是（ B）
（A）∠1+ ∠2＞∠A (B) ∠1+ ∠2=∠A
(C) ∠1+ ∠2＜∠A
(D)不能确定
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探究四点共圆的条件
猜想：如果一个四边形 四个顶点位于同一圆上， 那么这个四边形对角互补。
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证明猜想
猜想：如果一个四边形四个顶点位于同 一圆上，那么这个四边形对角互补。
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证： ∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D
提示：利用圆周角定理证明
A