四点共圆的条件ppt课件
《四点共圆的条件》课件
如何证明四点共圆
01
02
03
塞瓦定理证明法
利用塞瓦定理的逆定理， 通过证明三点共线，进而 证明四点共圆。
反证法
假设四点不共圆，然后通 过一系列逻辑推理，最终 得出矛盾，从而证明四点 必定共圆。
相似三角形法
通过构建相似三角形，利 用相似三角形的性质来证 明四点共圆。
四点共圆的性质与实际应用
性质总结
要点一
总结词
要点二
详细描述
实际应用中的四点共圆问题主要涉及到几何图形在生活中 的实际应用，如建筑、机械等领域。
在建筑设计中，经常需要用到四点共圆的知识来确定建筑 物的位置和角度。在机械设计中，四点共圆的知识也被广 泛应用，例如在齿轮的设计中，需要用到四点共圆的知识 来确定齿轮的位置和角度。此外，在电路板的设计中，也 需要用到四点共圆的知识来确定元件的位置和角度。
02
四点共圆的条件
圆上三点确定一个圆的定理
总结词
三点确定一个圆的定理
详细描述
在平面几何中，任意三个不共线的点可以确定一个唯一的圆，该圆通过这三个点 。这个定理是几何学中一个基本且重要的定理，是研究圆和点关系的基础。
圆内接四边形的性质
总结词
内接四边形的性质
详细描述
圆内接四边形具有一系列重要的性质，如相对边相等、对角互补等。这些性质在证明四点共圆时常常用到，也是 几何学中的重要知识点。
VS
详细描述
如果一个四边形的对角线互相平分，则该 四边形的四个顶点共圆。这个性质可以通 过三角形三边的平方关系来证明。具体来 说，如果一个四边形的对角线互相平分， 则可以将该四边形划分为两个三角形，利 用三角形三边的平方关系，可以证明这两 个三角形的三个顶点与四边形的中心点共 圆。
四点共圆条件
B
同理
D
· O C
所以圆内接四边形的相对两角之和为180°.
探究
如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其两个 相对的内角之间有上面的关系吗？
A
D
O·
A
D
O·
B
C
B
F
E
C
其相对的两个内角之和不等于180°.
试结合图说明其中的道理？
说明
连接AC并延长交⊙O与点C´，连接BC´和DC´
有 所以
D
A
D
A
D
A
B
C
B
C
B
C
测量
分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一 个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？证明你的发现.
D
A
DAB来自CBC
∠A＋∠C=180°
∠B＋∠D=180°
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其 相对的两个内角之和为180°.
证明
四边形ABCD是⊙O的内接四边形 的圆心角的和是周角
A
D
O·
C B
C´
所以 ∠A+∠BCD＞∠BC/D+∠A
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
连接AC交⊙O与点C´，连接BC´和DC´
有 A
所以
B
所以∠A+∠BC/D＞∠BCD + ∠A.
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
D O·
C´ F E
C
由上面的探究，试归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
四边形相对的两个内角互补,四点共圆.
探究:四点共圆的条件
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过四边形的 四个顶点能作一个圆吗？
四点共圆条件 课件
已知点A（$- 1$，$- 1$），B（$- 2$，$- 3$），C（$- 3$ ，$- 2$），以点D（$- 1$，$- 2$）为圆心作圆，下列结论 正确的是( )
提高习题
题目：已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$和直线l ：$ax + by - ab = 0(a > 0,b > 0)$，则( )
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点，然后证明所得线段的两端分别平行于相对 两边的中点连线，最后证明该线段等于相对两边的中点连线的一半，从而证明 了四点共圆。
利用角平分线定理证明
总结词
通过角平分线定理，我们可以证明四 点共圆。
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点， 然后证明相对两边的中点连线将相对 的两个角平分，最后证明相对两边的 中点连线与相对的两边垂直，从而证 明了四点共圆。
A.直角三角形 B.等腰 三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
提高习题
题目
在直角坐标系中，$bigtriangleup ABC$三个顶点的坐标分 别是A（$- 3$，$0$），B（$- 1$，$- 2$），C（$- 2$，$1$），则$bigtriangleup ABC$外接圆的方程为____．
圆心是三个不共线点确定的三角形的 外心，而半径等于从圆心到圆上任一 点的距离。
圆的基本性质
圆的对称性
圆是中心对称和轴对称图形，对 称中心是圆心，任何经过圆心的 直线都可以将圆分成两个对称的 部分。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半。
02
四点共圆的条件
证明几何定理
四点共圆判定定理ppt课件
了毕生精力.
姜立. 夫
9
.
3
巩固练习
练1. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．连 接OP和OQ分别交AB、CD于M、N. 求证：M 、N、P、Q四点共圆.
.
4
提高练习
练2. 在锐角△ABC中，以BC为直径作圆与BC
边上的高AD及其延长线交于M，N.以AB为直
径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P，
Q.求证：M，P，N，Q四点共圆.
.5Leabharlann 挑战自己练3. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．求
证：OK⊥PQ.
.
6
回味无穷
.
7
课后作业
自选四道与四点共圆判定定理有关的题 （最好选择与判定定理4~5有关的，可以选 择本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
4. 若两线段AB、CD交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B 、C、D四点共圆；
5. 相交线段PA、PB上分别有异于P、A、B的点C、D， 且PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆.
.
2
经典例题
例.在△ABC中，AB= AC，D为BC中点，且 BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP=3，PE=1，求 PA的值.
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.24 四点共圆判定定理（2）
.
1
知识链接
常见四点共圆的判定定理： 1. 若干个点与定点的距离相等，则这些点在同一圆周
上；
2. 点C、D在线段AB的异侧，且∠ACB+∠ADB=180° ，则A、B、C、D四点共圆；
第13讲 四点共圆(教师版)
第13讲 四点共圆知识导航定义如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”性质⑴同弧所对的圆周角相等⑵圆内接四边形的对角互补⑶圆内接四边形的外角等于内对角如图，若四点共圆，则，，.常用判定⑴若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆⑵若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆⑶共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆经典例题如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，．求证：、、、四点共圆．一、四点共圆的判定方法例题1答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用证明见解析连接、、、、、、分别是、、、的中点，，，又，四边形是矩形，、、、四点共圆．如图，，，且、相交于．为延长线上的一点，．求证：、、、四点共圆．例题2答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用证明见解析． ∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴、、、四点共圆．答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用如图，在正中，点，分别在边，上，且，，相交于点．求证：，，，四点共圆．证明见解析．∵在正中，，又∵，，∴≌，∴，∴，，，四点共圆．例题3经典例题答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：圆内接四边形综合、是以为直径的半圆上的两点，，在直径上，且，求．连接，，、、、四点共圆，，，，，，，．如图，、分别是正方形的边、的中点，、相交于，求证：．二、四点共圆的应用例题4例题5证明见解析．方法一：连接，、是、的中点，，，，即，、、、四点共圆，，，很明显，，．≌方法二：连接，∵、是、的中点，∴≌，∴，∴，即，∴、、、四点共圆，标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用∴，，很明显，∴，∴．答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用如图，是正方形的边上的一点，过点作的垂线交的外角平分线于点，求证：．证明见解析．连接、．∵，，∴．又∵，∴、、、四点共圆，∴，∴．例题6例题7答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆幂定理 > 题型：相交弦定理如图，在等腰中，，．若，求．．以为圆心，长为半径作，则点在上，延长交于，∵，∴点在上，∴，∵，，∴，，∴，∴．古希腊人在争论、证明和创新方面的成就和埃及、美索不达米亚、印度、中国相比，希腊形成国家要晚一些。
第二十四章+圆数学活动+活动2+探究四点共圆的条件课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
A D
判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆
ABE D ABCD 四点共圆
E B
A
D
E
B
C C
探究新知
三.四点共圆的判定
A D
B
C
判定4：张角相等，四点共圆
ACB ADB ABCD 四点共圆
A D
B
C
探究新知
三.四点共圆的判定
C D
B
A
判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
探究新知
三.四点共圆的判定
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆
OA OB OC OD ABCD 四点共圆
A
D B
O
A
D B
O
C C
探究新知
三.四点共圆的共圆
A C 180 ，B D 180 ABCD 四点共圆
A
D B
B
C
探究新知
典例分析
例5：如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是 CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG， 求AG长的最小值．
课堂小结
1.四点共圆的性质 2.四点共圆的判定
性质1：四点共圆，对角互补
性质2：四点共圆，张角相等
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆 判定2：对角互补的四边形四点共圆 判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆 判定4：张角相等，四点共圆 判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
典例分析
例3：如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、 DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点， 求PA+PG的最小值.
第18讲四点共圆
C D F G O E
C D T F
B
.GF∥OA�证求�心外为 O�点中的 CB、DE 为别分 G、F �高为 EC、DB�中 CBA △在�图如�题赛竞学数中初滨尔哈年 0891� �5 例 .BKC∠�AMD∠∴�AKB∠�BMA∠证已但 B A · · .CKD∠�DMC∠是于�圆共点四 M�K�D�C 故 .°081�CDK∠+KMC∠∴ M K �°081�CDA∠+BAD∠故�CD∥BA∵ .KMC∠�BAD∠有�MK 接连 D C .圆共点四 K�M�B�A∴�KBC∠=MAD∠∵ 明证 .BKC∠�AMD∠�证求.KBC∠=MAD∠�上 CB�DA 在别分 M�K�DC�BA �CD∥BA�中 DCBA 形梯在�题试赛竞学数中初”杯之冲袓“届二第� �4 例 .圆共点四 3O�2O�1O�O 明证可也�补互角对用利 注评 .圆共 3O�2O�1O�O � 1O3OO∠=1O2OO∠由 2 .ACO∠=A3OO∠ =1O3OO∠得立�圆接外其及 ACO△察观 1 C B A 2 .BCO∠=B2OO∠ =1O2OO∠ 1 3O 2O 得立�圆接外其及 CBO△察观 � � .AO 分平直垂 3O1O�BO 分平直垂 2O1O 证易.3OB 1O �2OA 接连并�连相两两 3O�2O�1O�O 将 明证 O .圆共点四 3O�2O�1O�O�证求 .心外的 ACO△�CBO△�BAO△为别分 3O�2O�1O �外线直在点 O�线共点三 C、B、A)克匹林奥学数科斯莫届 72 第(�3 例 ,DF�′DF�CF∴ ,H′DF∠�HCF∠∴ ,′DF�DF ,H′DF∠�HDF∠∴�点称对的 FE 的线直于关 D 是′D∵ .CA�BA 故 ,
描扫法方识知
第九章 圆 模型——四点共圆模型
第九章.圆模型（三十六）——四点共圆模型模型讲解四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆一、四点共圆的性质【结论1】如图，A、B、C、D四点共圆，①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等）∠ACB＝∠ADB，AB为底；∠BAC＝∠BDC，BC为底；∠CAD＝∠CBD，CD为底；∠ABD＝∠ACD，AD为底；②圆内接四边形的对角互补∠ABC＋∠ADC＝180º；∠BCD＋∠BAD＝180º③圆内接四边形的外角等于内对角二、四点共圆的判定①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆）【证明】【共斜边直角三角形】：取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半AO＝BO＝CO＝DO，A、B、C、D四点共圆.②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.若∠A＋∠C＝180º,则A、B、C、D四点共圆【证明】（反正法）以B、C、D三点作⊙O，现证明A在⊙O上，假设点A不在圆上③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆若∠BCD＝∠A，则A、B、C、D四点共圆【本质：对角互补】④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆若∠BAC＝∠BDC，则A、B、C、D四点共圆典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，已知 OA＝OB＝OC＝2，且∠ACB＝45°，则 AB 的长为（）A.2B.C.2D.2【答案】C【解析】OA＝OB＝OC，根据四点共圆的判定知，A，B，C在以O为圆心，OA长为半径的圆上，∴∠ACB ＝∠AOB,∴∠AOB＝2∠ACB＝90°,∴AB ＝＝2.故选C.典例2 ☆☆☆☆☆如图所示，矩形 ABCD 的边 AB＝3，Rt△BEF的直角顶点E在对角线AC上，另一顶点F在边CD上，若△BEF的一个锐角为 30°,则 BC的长是（）.A. B.3D.6【答案】C【解析】∵∠BEF＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BCD＋∠BEF＝180°，∴根据四点共圆的判定知，B，C，F，E四点共圆，∴∠BFE＝∠ACB,①当∠BFE＝30°时，∠ACB＝30°，此时BC＝AB=3②当∠EBF＝30°时，∠ACB＝∠BFE＝60°，此时 BC＝＝＝综上所述，BC 的长为 .故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆如图，四边形 ABCD是正方形，M 是 BC 上一点，ME⊥AM交∠BCD 的外角平分线于E，求证∶AM＝EM.【解析】如图，连接 AC，AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°∵CE是∠BCD的外角平分线，∴∠DCE=45°，∠ACE＝90°，∵∠AME＝90°，∴A，M，C，E四点共圆，∴∠AEM＝∠ACB=45°，∴∠EAM＝45°，∴AM＝EM.1.（★★☆☆☆）如图所示，四边形 ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD 的长为（）A.2.（★★★☆☆）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，小试牛刀∠AOC＝40°,P在直径AB上，且∠OCP＝∠ODP＝10°，则∠BOD的度数为（）.A.20°B.30°C.25°D.15°2.（★★★☆☆）如图，正方形 ABCD的中心为 O，面积为1989 cm²，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA∶PB=5∶14，则PB的长为（）.A.42 cmB.40 cmC.35 cmD.50 cm直击中考1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点 D是BC 边上一动点，过点 B作 BE⊥AD交AD 的延长线于E.若AC＝6，BC＝8，则的最大值为( )A.B . C. D.2.如图，在菱形ABCD中，点P是 BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是（）.A.变大B.先变大后变小C.先变小后变大D.不变中考中经常会利用四点共圆来导角，如果知道某个角的大小，我们就可以说明边与边的大小关系，或者我们就可以利用导角来证明某些三角形是等腰三角形.这样不需繁杂的几何辅助线，也不需要证明全等，就能得到答案，让同学们真正能够做到高效解题第九章.圆模型（三十六）——四点共圆模型答案：小试牛刀1.答案 B解析由题意及四点共圆的判定知点 B，C，D共圆.如图，以 A为圆心，AB长为半径作圆，延长 BA交⊙A于F，连接 DF.∵DC∥AB,∴,∴DF=CB=1，∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB＝90°，又BF=2＋2=4，∴BD＝＝.故选 B.2.答案 A解析如图，连接 CD.∵∠OCP＝∠ODP，∴根据四点共圆的判定知C，D，P，O四点共圆，∴∠CDP＝∠AOC＝40°,∵∠ODP=10°,∴∠CDO=30°∵OC＝OD,∴∠OCD＝30°,∴∠COD＝120°,∴∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝180°－40°－120°＝20°．故选 A.3.答案 A解析如图，连接 OA，OB.∵四边形 ABCD是正方形，∴∠AOB=90°，∴∠OAB=45°又∠OPB＝45°，∴根据四点共圆的判定知 A，B，O，P四点共圆，∴∠APB＝90°．在 Rt△ABP中，PA²＋ PB²＝AB²．设 PA=5k，PB=14k，k＞0，则 25k²＋196k²=1989，解得 k²=9，∴k=3，∴PB＝42（cm）.故选 A.直击中考1.答案 B解析∵∠C=90°，AE⊥BE，∴根据四点共圆的判定知 A，B，E，C 四点共圆.设AB的中点为O，连接OE，交BC于F，当OE⊥BC时，EF有最大值，如图∵OE⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥EF，∴△ACD∽△EFD，∴∵AC＝6,BC＝8,∴AB＝10,∴OE＝5.∵OE⊥BC，∴BF＝CF，∴OF＝AC＝3,∴EF＝2,∴＝＝∴的最大值为，故选 B.2.答案 D解析如图，连接 AC交 BD 于O，连接 EO,AG.∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠AOB=90°∵ EG是 AP的垂直平分线，∴AG＝ PG，∠AEG＝∠AOB＝90°，∠APG＝∠PAG，∴根据四点共圆的判定知 A，E，G，O四点共圆，∴∠PAG = ∠EOB，∴∠EOB =∠APG.∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA= OC.∵AE=PE,∴OE∥BC,∴∠EOB=∠DBC＝∠ABC.∴∠APG= ABC,∴∠APG的度数不变.故选 D.。
新课标人教2013版《数学》九年级上册 第二十四章 数学活动 活动 2 探究四点共圆的条件(共26张PPT)
对角互补的四边形的四个顶点共圆
4．学以致用
1、在四边形ABCD中，如果∠A= 115°，∠B= 30°， 那么当∠C=__6_5_°_时，四边形ABCD能四点共圆。
2、 如图 点A、B、 C、D都是⊙O上的点,则正确的选
项是（ B ）
（A）∠1+∠2＞∠A (B) ∠1+∠2=∠A
(C) ∠1+∠2＜∠A
D
设计意图A：让学生通过本节课的学习，试着 用本节课学习的数学思维和数学思考的方法 解决新的数学问题，让学生学为所用，提高 学生的数学素养。
B
C
五、说教学预期效果
本节课通过教师的启法引导，学生操作，思考 合作探究，预期达到以下效果： 1、学生理解了四点共圆的条件。 2、学生获得了数学探究活动的基本流程，积累数 学活动的经验． 3、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体 会由特殊到一般、转化，分类的数学思想。 4、进一步掌握了用反证法证明数学问题。
3．验证猜想
已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证：过点 A、B、C、D 可作一个圆．
点 D 在圆内的情况，请同学们尝试证明．
A
设计意图：类比第四点不可能在D圆外的情
况，学生独立利用反证法证明第四点不可
能在圆内的这种情况，并让学生用实C物展
结论：
示 样做 就题 只过可程能，在进圆一上步。强化反B 证法，那么这
说教法、学法
教法展示
学生
操作， 猜想
验证
回顾旧知
任务驱动，实践 讲练结合教学法
引导学生画图，分析，类比
学 法 设 计
观察法 类比法 归纳法 转化法
说教学过程
教 学 流 程 图
中学数学 四点共圆巧解 课件
课堂精讲
例 1 (2019·潍坊)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB
为直径，AD＝CD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 AC 交 DE 于
点 F.若 sin∠CAB＝35，DF＝5，则 BC 的长为(
)
A．8
B．10 C．12 D．16
课堂精讲
【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明 ∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算 出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE， 利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC 中利用正弦定义计算出BC的长．
课堂精讲
例2 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对 角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点 C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长．
课堂精讲
【分析】方法一：∵正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是 对角线 AC，BD 的交点．∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD 为 等腰直角三角形，且 AO＝BO＝CO＝DO＝3 2.∵DE＝2CE， ∴CE＝2，DE＝4.∴BE＝2 10(在 Rt△BCE 中用勾股定理求 得)．然后利用△BCF∽△BEC，求得 BF.利用BBFD＝BBEO，易证 △BOF∽△BED，根据比例求解 OF 即可．
数学
考点解读
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据 了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行 综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的 基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求 最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化 为四点共圆问题，使题目能简单求解.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四 个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
7.四点共圆
四点共圆⼀一、四点共圆的定义如果同⼀一平⾯面内的四个点在同⼀一个圆上，则称这四个点共圆，⼀一般简称为“四点共圆”．⼆二、四点共圆的判定定理理：1、若四个点到⼀一定点等距离，则这四个点共圆．如图：OA=OB=OC=OD，即以O为圆⼼心，OA为半径画圆，此时A、B、C、D四点共圆.2、若⼀一个四边形的⼀一组对⻆角的和等于，则这个四边形的四个顶点共圆．如图：∠A与∠C互补，则A、B、C、D四点共圆.（圆的内接四边形对⻆角互补，反过来，则四点共圆）3、若⼀一个四边形的⼀一个外⻆角等于它的内对⻆角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图：∠EDC=∠B，则A、B、C、D四点共圆.（同2）4、若两个点在⼀一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的⻆角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．如图：∠A与∠D在BC上⽅方，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆.（圆中同弧所对的圆周⻆角相等，反过来则四点共圆）5、若、两线段和交于点，且，则、、、四点共圆．（圆幂定理理之相交弦定理理，反过来四点共圆）6、若、两线段延⻓长后相交于P．且，则四点共圆．(圆幂定理理之割线定理理，反过来四点共圆)7、若四边形两组对边乘积的和等于对⻆角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．如图：四边形ABCD中，，则四点共圆．（圆内接四边形的托勒勒密定理理，反过来即是四点共圆.此⽅方法作了了解）判定四点共圆的⽅方法有⼀一个特点，均是圆中学习过的定理理的逆⽤用，在学习的时候可以从圆中定理理出发，这样记忆会更更快。
7个判定定理理的证明⽅方法这⾥里里不不作阐述，有兴趣可以⾃自⼰己证明。
1.如图，为、、、的斜边，求证：四点共圆．2.从的顶点到引垂线，从向、引垂线，垂⾜足为，求证：四点共圆．3.如图，在中，，中，，若三点在同⼀一直线上．连接、，点、、分别为、、的中点．求证．4.在梯形ABCD中，，，，分别在，上，．求证：．5.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对⻆角线AC，BD 交于点E，且DE=2EB，F为AC的中点．求证：（1）∠FBD=30°；（2）AD=DC．6.如图，正⽅方形中，为对⻆角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后⻆角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的⼤大⼩小是否改变，若不不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（不不必证明）；三、四点共圆的性质四点共圆有三个性质：（1）同弧所对的圆周⻆角相等（2）圆内接四边形的对⻆角互补（3）圆内接四边形的外⻆角等于内对⻆角以上性质可以根据圆周⻆角等于它所对弧的度数的⼀一半进⾏行行证明在考试当中，也是由这些性质过度到相似，进⽽而进⾏行行相似的证明和计算.其中，同弧所对的圆周⻆角相等这⼀一条⽤用得最多。
几何模型-四点共圆
1
四点共圆
【专题说明】
圆的定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．
一、四点共圆的判定
1．条件：三边中垂线交于一点 源自：圆的定义
证明：利用中垂线的性质证明即可．
2．条件：BC 同侧βα= 源自：同弦对等角．
证明：反证法． 常见模型：
若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABD ACD ∠=∠=90︒，则A 、B 、C 、D 在以AD 中点E 为圆心、EA 长为半径的圆上（可证EA EB EC ED ===）．
A
B
C D
E
E
D C
B
A
3．条件：0180=+βα或γα= 源自：内对角互补
证明：反证法．
4．条件：DP BP CP AP •=• 源自：相交弦定理
证明：DP BP CP AP •=•，∠APB=∠CPD ，所以△APB ∽△CPD ，所以∠BAC=∠BDC,根据3可得．
5．条件：CP DP BP AP •=• 源自：割线定理
证明：CP DP BP AP •=•,∠APD=∠CPB ．所以△APD ∽△CPB ，所以∠ADP=∠B,根据3可得．
6．条件：BD AC BC AD DC AB •=•+• 源自：托勒密定理
7．条件：P 到三边射影点共线 源自：西姆松定理
西姆松定理：三角形外接圆上其它任意一点到该三角形三
边上的射影点共线．。
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2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC= 100° ，
则∠BAC= 5度0 ，∠BDC= 1度3.0
A
O
B 12 C
3 如图,A、B、 C、D、都是⊙O上的点,则D正确的选项是（ B）
（A）∠1+ ∠2＞∠A (B) ∠1+ ∠2=∠A
分类讨论
过任意四点能作一个圆么？
•四点在同一直线上
不能
•三点在同一条直线上，另一点不在这条
直线上
不能
•四点中任意三点都不在同一直线上
不确定
5
试一试 探究四点共圆的条件
图中给出了一些四边形，能否 过它们的四个顶点作一个圆？试 一试！
A
D
A
D D
A
B
CB
C
B
C
6
思考
探究四点共圆的条件
你能用圆与点的位置关系解释这种现象么？
探究四点共圆的条件
猜想：如果一个四边形 四个顶点位于同一圆上， 那么这个四边形对角互补。
9
证明猜想
猜想：如果一个四边形四个顶点位于同 一圆上，那么这个四边形对角互补。
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证： ∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D
提示：利用圆周角定理证明
A
四边形中任意三个点确定一个圆，则
第四点在圆内 四点不共圆
第四点在圆外 四点不共圆 第四点在圆上 四点共圆
7
量一量
探究四点共圆的条件
分别测量上面各四边形的内角，如果过 某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其 相对的两个内角之间有什么关系？
D
A
D
A
B
C
∠A＋∠C=180°
C B
∠B＋∠D=180°
发现：这两个四边形的对角互补 8
(C) ∠1+ ∠2＜∠A
(D)不能确定
17
18
E
C
D
B
A
另一种D点在圆外的情况证明同理可证.
即当四边形的两对角和是180°时，其四个顶点在同一个 圆上
13
连接AC交⊙O与点C´，连接BC´和DC´ 有 ∠A C´B ＞∠A C B
∠A C´D ＞∠A C D
∠A C´B +∠A C´D ＞ ∠ACB+ ∠ACD 所以 ∠BCD ＞∠B C´D
四边形的对角之和大于180º， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。
四边形的对角之和等于180º （对角互补），四边形的四个顶 点 位于同一圆上。
15
这节课你有什么收获？
一个方法：类比操作的方法。 一个条件：四点共圆的条件。 一种思想：从特殊到一般的思想。
16
我会做
1、已知四边形ABCD四个顶点都在⊙O上，如果∠A= 115°，∠
1
作一个圆需确定 圆心和 半径
2
忆一忆
过一个点可以作 无数个圆
过两个点可以作 无数个圆
过三个点
分类讨论
若三点在同一直线上 不能作圆 若三点不在同一直线上 确定一个圆
3
回顾思考
不在同一直线上的三点确定一个圆的方法：
确定圆心 （垂直平分线的交点） 确定半径 （圆心到任意一点的长）
4
探究四点共圆的条件
所以 ∠A+∠BC/D＞∠BCD + ∠A
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
∴ ∠A + ∠B C´D = 180° ∴∠A+∠BCD＜180°
A
D
O·
B
C´ F
E C
由上面的探究，你能归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一 个圆的条件吗？
对角互补的四边形的：
四边形的对角之和小于180º，四 边形的四个顶点 不在同一圆上。
11
思考
如果过某个四边形的四个顶点不能 作一个圆，那么∠B+∠D与180º有何关 系？
A
D
O·
B
C
F
E
∠B+∠D < 180º
A
D
O·
B
F
E
C
∠B+∠D > 180º
12
证一证
假设D点在圆内 延长AD与圆交于点E，连接CE。 则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∴∠B+∠ADC >180º. 这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故假 设不成立，D点不在圆内.
O
C B
10
证明猜想
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ．
求证：∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D
证明： 连结OB、OD
A
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
O
∴弧BAD和弧BCD所对圆心角之和是360°
C
∴ ∠A+∠C=180º
B
同理可证 B D 180
所以圆内接四边形的两对角互补