(0412)第四章 恒定电流场
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1.9 恒定电流场
E + E -
v v v 电源内部既有非静电力也有静电力 电源内部既有非静电力也有静电力 j = σ (E + K)
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
∫
−
K
物理系：杨友昌 编
五. 恒定电场对电分布的调节作用 稳恒时，电力线和电流线必须与导体表面平行； 1. 稳恒时，电力线和电流线必须与导体表面平行； 稳恒时，静电场与非静电场共同使电流闭合； 2. 稳恒时，静电场与非静电场共同使电流闭合； 电场决定了电流的分布。 3. 电场决定了电流的分布。
§9
恒定电流场
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
r 一. 电流密度矢量 j 及电流的连续性方程 1. 定义 r dI r ： 大小 ⊥ 电流单位面积的电流强度 j= n r ，电流的方向 ： dS 方向 n
r r dI = j ⋅ dS = j cosθ dS
导体界面两侧电流线与法线夹角的正切之比等于两侧电导率之比
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌 编
四. 非静电力与电动势
v v ∫ E ⋅ dl = 0
在有电阻的回路中维持恒定电流，不能只靠静电力。 在有电阻的回路中维持恒定电流，不能只靠静电力。 必须有非静电力的存在才能维持恒定电流
பைடு நூலகம்
v v 电动势的定义 的定义： 电动势的定义： ε = ∫ K ⋅ dl
电源： 电源：提供非静电力的装置 电源电动势的定义： 电源电动势的定义：把单位正电荷从 的定义 负极通过电源内部移到正极时， 负极通过电源内部移到正极时，非静 v v 电力所作的功 ε = + K ⋅ dl
v v v 电源内部既有非静电力也有静电力 电源内部既有非静电力也有静电力 j = σ (E + K)
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
∫
−
K
物理系：杨友昌 编
五. 恒定电场对电分布的调节作用 稳恒时，电力线和电流线必须与导体表面平行； 1. 稳恒时，电力线和电流线必须与导体表面平行； 稳恒时，静电场与非静电场共同使电流闭合； 2. 稳恒时，静电场与非静电场共同使电流闭合； 电场决定了电流的分布。 3. 电场决定了电流的分布。
§9
恒定电流场
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
r 一. 电流密度矢量 j 及电流的连续性方程 1. 定义 r dI r ： 大小 ⊥ 电流单位面积的电流强度 j= n r ，电流的方向 ： dS 方向 n
r r dI = j ⋅ dS = j cosθ dS
导体界面两侧电流线与法线夹角的正切之比等于两侧电导率之比
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌 编
四. 非静电力与电动势
v v ∫ E ⋅ dl = 0
在有电阻的回路中维持恒定电流，不能只靠静电力。 在有电阻的回路中维持恒定电流，不能只靠静电力。 必须有非静电力的存在才能维持恒定电流
பைடு நூலகம்
v v 电动势的定义 的定义： 电动势的定义： ε = ∫ K ⋅ dl
电源： 电源：提供非静电力的装置 电源电动势的定义： 电源电动势的定义：把单位正电荷从 的定义 负极通过电源内部移到正极时， 负极通过电源内部移到正极时，非静 v v 电力所作的功 ε = + K ⋅ dl
恒定电流
微观解释
如图1所示，AD表示粗细均匀的一段导体，长为L，两端加一定的电压，导体中的自由电荷沿导体定向移动的 速率v，设导体的横截面积为s，导体每单位体积内的自由电荷数n，每个自由电荷的电荷量为q 。
AD导体中的自由电荷总数：N=nLs， 总电荷Q=Nq=nLSq， 图1所有这些电荷都通过横截面D所需的时间：t=L/V 计算导体AD中的电流∵I=Q/t、t=L/V；∴I=nqsv。 由此可见，从微观上看，电流与导体中单位体积内的自由电荷数、每个自由电荷量、电荷定向移动的速率、 导体的横截面积有关 。
恒定电场
恒定电场产生恒定电流，同时，也产生恒定磁场，但恒定电场与恒定磁场的场量是相互独立 的。
由于恒定电场的作用，导体中的自由电荷定向运动的速率增加；而运动过程中会与导体内部不动的粒子碰撞 从而减速，因此自由电荷的平均速率不随时间变化。
基本特性
1、电流强度： 定义式：I=q/t 其中，I：电流强度（A），q：在时间t内通过导体横截面的电量（C），t：时间（s） 金属导体中电流的计算式：I=nqSv 其中，n：自由电子数目，q：每个自由电子的电荷量（C），S：导体的横截面积（m2），v：自由电子在导 线内定向移动的速率（m/s) 。 2、电动势： E=W/q 其中，E：电动势(V)，W：非静电力所做的功（J），q：电荷量（C） 电源的参数： ①电动势：它取决于电池的正负极材料及电解液的化学性质，与电池的大小无关。
概念
1、电源的作用：提供持续的电压。 2、形成电流的条件： （1）存在自由电荷 （2）导体两端存在电压 3、恒定电流的概念：大小、方向都不随时间变化的电流。 4、电流有方向，但它是标量；规定：正电荷定向移动的方向是电流的方向。 注：在电源外部，电流从电源的正极流向负极；在电源的内部，电流从负极流向正极。
恒定电流场
无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方 程：
r r ∂ρ ∫SJ ⋅ dS = − ∫ V ∂t dV = 0 （流入＝流出）
r ∇×J = 0
r r ∫ J ⋅ dl = 0
l
r ∂ρ ∇⋅J = − =0 ∂t
（无散）
电流连续性原理
（无旋） （保守场）
恒定电流场与静电场的比拟
已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方 程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：
Ane e= q
电动势
用场的概念，可以把各种非静电力的作用看 作是等效的各种“非静电场”的作用。以Ene表 示非静电场的强度，则它对电荷q的非静电力 就是Fne＝qEne，在电源内，电荷q由负极移到 正极时非静电力做的功为 r P r Ane = ∫ qEne ⋅ dl
N
达到动态平衡时，在电源内部 r r E ne = − E
P = pl dV = UI
基本方程
电流连续性方程：通过封闭面流出的电量等 于封闭面内电荷的减少，即
r r dq ∫SJ ⋅ dS = − dt
由于
r r r ∂ρ J ⋅ dS = ∫ V ∇ ⋅ JdV = − ∫ V dV ∫S ∂t
其微分形式为
r ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
恒定电流场方程
电动势
有电动势（外源）的电路 r r J ⋅ dl = I ( r + R) ∫
l
σ
无电动势（外源）的电路
∫
r r J ⋅ dl
l
σ
=0
几点理解
1.电路理论与场的理论（物理本质）
电路 欧姆定律：
U = IR
恒定电流场 r r J = σE
r r ∫ SJ • dS = 0 r r ∫ F • dl = 0I =常数∂ρ Nhomakorabea0 ∂t
r r ∂ρ ∫SJ ⋅ dS = − ∫ V ∂t dV = 0 （流入＝流出）
r ∇×J = 0
r r ∫ J ⋅ dl = 0
l
r ∂ρ ∇⋅J = − =0 ∂t
（无散）
电流连续性原理
（无旋） （保守场）
恒定电流场与静电场的比拟
已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方 程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：
Ane e= q
电动势
用场的概念，可以把各种非静电力的作用看 作是等效的各种“非静电场”的作用。以Ene表 示非静电场的强度，则它对电荷q的非静电力 就是Fne＝qEne，在电源内，电荷q由负极移到 正极时非静电力做的功为 r P r Ane = ∫ qEne ⋅ dl
N
达到动态平衡时，在电源内部 r r E ne = − E
P = pl dV = UI
基本方程
电流连续性方程：通过封闭面流出的电量等 于封闭面内电荷的减少，即
r r dq ∫SJ ⋅ dS = − dt
由于
r r r ∂ρ J ⋅ dS = ∫ V ∇ ⋅ JdV = − ∫ V dV ∫S ∂t
其微分形式为
r ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
恒定电流场方程
电动势
有电动势（外源）的电路 r r J ⋅ dl = I ( r + R) ∫
l
σ
无电动势（外源）的电路
∫
r r J ⋅ dl
l
σ
=0
几点理解
1.电路理论与场的理论（物理本质）
电路 欧姆定律：
U = IR
恒定电流场 r r J = σE
r r ∫ SJ • dS = 0 r r ∫ F • dl = 0I =常数∂ρ Nhomakorabea0 ∂t
第4章 恒定电流场(谭老师)
工程电磁场基础
第 4 章 恒定电场
主讲人：谭萍/陈德智
dzhchen@ 华中科技大学 电气与电子工程学院
2013年4月
0 引言
（1） 恒定电场(恒定电流场)
• 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。
• 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。 主角是 J 和 E 。
密度为描述电流各点在单位面积上的大小和方向
J (A / m 2 ):
⎪⎧大小： ⎨
J＝ lim ΔS →0
ΔI ΔS
⎪⎩方向：正电荷运动方向
∵ ΔI
=
Δq Δt
=
ρ v Δτ
Δt
=
ρ v ΔSΔl
Δt
=
ρ v ΔSV
V
Δl ΔS
∴面积元ΔS处的 J = ρvV
电流密度的定义与电荷分布及电荷运动速度的关系
3）J=γE 仅适用于传导电流，而J=ρV 均使用
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。单位体积 内的热功率为：
p = E ⋅J = γ E2
导体中消耗的总功率为
P = ∫V E ⋅JdV
P = UI = El ⋅ JS = EJ ⋅V = p ⋅V
§3-11 焦耳定律
¾ 导体有电流时，必伴随功率损耗
⇒ xdx = ydy ⇒ x 2 − y 2 = K
∫ ( ) ∴ I = n ⋅ dl × J s l ∫ [ ( )] = ez ⋅ exdx × ex y + e y x l ∫= ez ⋅ [ez xdx] l 5 ∫= xdx = 10.5A x=2
xy平面上的面电流
表面外法线方向 n = ez
第 4 章 恒定电场
主讲人：谭萍/陈德智
dzhchen@ 华中科技大学 电气与电子工程学院
2013年4月
0 引言
（1） 恒定电场(恒定电流场)
• 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。
• 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。 主角是 J 和 E 。
密度为描述电流各点在单位面积上的大小和方向
J (A / m 2 ):
⎪⎧大小： ⎨
J＝ lim ΔS →0
ΔI ΔS
⎪⎩方向：正电荷运动方向
∵ ΔI
=
Δq Δt
=
ρ v Δτ
Δt
=
ρ v ΔSΔl
Δt
=
ρ v ΔSV
V
Δl ΔS
∴面积元ΔS处的 J = ρvV
电流密度的定义与电荷分布及电荷运动速度的关系
3）J=γE 仅适用于传导电流，而J=ρV 均使用
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。单位体积 内的热功率为：
p = E ⋅J = γ E2
导体中消耗的总功率为
P = ∫V E ⋅JdV
P = UI = El ⋅ JS = EJ ⋅V = p ⋅V
§3-11 焦耳定律
¾ 导体有电流时，必伴随功率损耗
⇒ xdx = ydy ⇒ x 2 − y 2 = K
∫ ( ) ∴ I = n ⋅ dl × J s l ∫ [ ( )] = ez ⋅ exdx × ex y + e y x l ∫= ez ⋅ [ez xdx] l 5 ∫= xdx = 10.5A x=2
xy平面上的面电流
表面外法线方向 n = ez
4恒定电流及其电场14
讨论:
J 1n
σ1
−ε2
J 2n
σ2
⎛ ε1 ε 2 ⎞ ⎛ σ1 ⎞ = J1n ⎜ ⎜σ − σ ⎟ ⎜ ε1 − ε 2 σ ⎟ ⎟ = E1n ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝
ρS = 0
ε1 σ 1 = ε 2 σ 2
σ 2 >> σ 1
ρ S = ε1 E1n = D1n
2014-10-21
b v v U 0 ab b dr U 0 ab ⎛ 1 1 ⎞ v ψ ( r ) = ∫ E ⋅ dr = = ⎜ − ⎟ 2 ∫ b−a r r b−a ⎝r b⎠ r
两球壳之间的电导为
G ab
4πσ ab I 1 = = = U0 b−a Rab
∑ V
v v ∂B ∇×E = − ∂t v v v ∂D ∇×H = J + ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
∫∫∫ ρdV
V
v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
考虑不随时间变化，可以推出恒定电场的基本方程。
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
v 微分形式： ∇ × E = 0 v ∇⋅ J = 0
Copy right By Dr. Fang
12
§4-2 恒定电场和静电场的相似性（续） 三、两种场的相似性 恒定电场基本方程与静电场基本方程具有相同的数学形式。 恒定电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
静电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
2014-10-21
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J 1n
σ1
−ε2
J 2n
σ2
⎛ ε1 ε 2 ⎞ ⎛ σ1 ⎞ = J1n ⎜ ⎜σ − σ ⎟ ⎜ ε1 − ε 2 σ ⎟ ⎟ = E1n ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝
ρS = 0
ε1 σ 1 = ε 2 σ 2
σ 2 >> σ 1
ρ S = ε1 E1n = D1n
2014-10-21
b v v U 0 ab b dr U 0 ab ⎛ 1 1 ⎞ v ψ ( r ) = ∫ E ⋅ dr = = ⎜ − ⎟ 2 ∫ b−a r r b−a ⎝r b⎠ r
两球壳之间的电导为
G ab
4πσ ab I 1 = = = U0 b−a Rab
∑ V
v v ∂B ∇×E = − ∂t v v v ∂D ∇×H = J + ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
∫∫∫ ρdV
V
v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
考虑不随时间变化，可以推出恒定电场的基本方程。
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
v 微分形式： ∇ × E = 0 v ∇⋅ J = 0
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12
§4-2 恒定电场和静电场的相似性（续） 三、两种场的相似性 恒定电场基本方程与静电场基本方程具有相同的数学形式。 恒定电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
静电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
2014-10-21
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第04章 恒定电流场(2)
那么由
I J d S e e r) td ( S S π r 2 U t bd r 2 U t b ln a π r π a
的端面流进该导电媒质的电流 I 为 2 2 U
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
p J l E
此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的 电场强度与电流密度的标积。 设圆柱体两端的电位差为U，则 E 单位体积中的功率损失可表示为
pl UI UI dSdl dV
P pd U I l V
U I ，又知 J ，那么 dl dS
可见，圆柱体中的总功率损失为
1 2 w E , e 1 1 1 2
2 p E , l 1 1 1
1 2 w E e 2 2 2 2
2 p E l 2 2 2
两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：
U ， 当 1 时， 。 0 E 1， E2 ， 0 w pl 2 0 e2 0 d1 U 当 2 时， ， ， ， 。 0 w 0 E 0 p 0 E e1 1 l1 2 d2
4-5 导电介质的损耗
在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产 生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不断
补给，以维持恒定的电流。
dl
设在恒定电流场中，沿电流方向取
J dS
U
一个长度为 dl，端面为 dS 的小圆柱体，
如图所示。
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，dt 时间内 有 dq电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为
又知单位长度内同轴线的电容 C1
EM04恒定电流场概述
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
1、电流
2、电动势
3、恒定电流场 4、恒定电流场的边界条件 5、导电介质的能量损耗 6、恒定电流场与静电场的比拟 7、恒定电流场的应用
2
1、电流 恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定 向移动，并具有恒定的电场强度。
J E
1、电流
有些金属具有很大的σ数值，导电性很好， 被称为良导体。在很多情况下良导体中的电场 强度非常小，可以近似被看作是理想导体。 某些绝缘体的σ数值非常小，它们的导电性 能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。
9
1、电流
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能 不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速 度v的关系为
b
b
U
0
R
I
2 L
13
2、电动势 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极 板P，负电荷不断地移向负极板N。 极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极 板指向负极板。 极板上电荷产生的电场力阻止 电荷移动，一直到该电场力等于非 静电力时，电荷运动方才停止，极 板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为 对于电荷的作用力，因此，这种非 静电力是由外电场产生的，以 E′ 当 E =-E′ 时 ， 表示。
恒定电流场中的电场强度由外加电压产生， 可以存在于导体中。
静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以 存在于导体中。
3
1、电流 电流的分类：
第四章 恒定电流场
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
1、电流
2、电动势
3、恒定电流场 4、恒定电流场的边界条件 5、导电介质的能量损耗 6、恒定电流场与静电场的比拟 7、恒定电流场的应用
2
1、电流 恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定 向移动，并具有恒定的电场强度。
J E
1、电流
有些金属具有很大的σ数值，导电性很好， 被称为良导体。在很多情况下良导体中的电场 强度非常小，可以近似被看作是理想导体。 某些绝缘体的σ数值非常小，它们的导电性 能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。
9
1、电流
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能 不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速 度v的关系为
b
b
U
0
R
I
2 L
13
2、电动势 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极 板P，负电荷不断地移向负极板N。 极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极 板指向负极板。 极板上电荷产生的电场力阻止 电荷移动，一直到该电场力等于非 静电力时，电荷运动方才停止，极 板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为 对于电荷的作用力，因此，这种非 静电力是由外电场产生的，以 E′ 当 E =-E′ 时 ， 表示。
恒定电流场中的电场强度由外加电压产生， 可以存在于导体中。
静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以 存在于导体中。
3
1、电流 电流的分类：
第4章 恒定电流场
求得
E1
=
2γ γ1 +
2
γ
2
U d
E2
=
2γ 1 γ1 +γ
2
U d
交界面上面电荷密度为
σ
=
D2n
− D1n
= ε2E2
− ε1E1
=
2(ε2γ1 − ε1γ 2 ) U γ1 +γ2 d
只有当 ε2γ1 = ε1γ 2
，即
ε2 = γ2 ε1 γ1
时，媒质分解面上
无集聚电荷。
例2 设平行双输电线间距 d=50cm，电压U=100V，
折射定律
tanα1 = γ 1 tanα2 γ 2
电流线的折射
这一章介绍了太多的定律，如果感到增加了学习的难 度，就忘掉它们。物理本质才是最重要的东西！
基本方程
• 良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 γ1 远大
于 γ2，则
E1n
=
γ2 γ1
E2n
~
0
⇒
J1n
~
0
材料
γ/S·m-1
∫V
ρdV
或
v∫ S
J
⋅ dS
=
−
dq dt
物理意义：穿出闭合面的电流等于单位时间内该体
积中电荷的减少量。电荷守恒定律。
电荷守恒定律
v∫ S
J
⋅ dS
=
−
dq dt
当所有场量的分布都不随时间变化（即直流问题）， 有
v∫S J ⋅ dS = 0
或
∇⋅J ห้องสมุดไป่ตู้0
——恒定电场之散度方程，电流连续性原理。
第四章恒定电流
第四章
恒定电场
基本概念: 电介质中的静电场 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场 基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方 程 边值问题
E 的旋度边界条件电位一般解法电导与接地电阻
图 4.0.2
恒定电场的知识结构框图
特殊解(静电比拟 )
4.1 导电媒质中的电流 4.1.1电流强度
例4.3.1 两种特殊情况分界面上的电场分布.
γ 2 = γ = 10 2 s / m . 解:a ) 媒质1是良导体,γ 1 = 5 × 10 s / m ,媒质2是不良导体, 土壤
7
由折射定理得
tan α tan α
1 2
=
γ γ
1 2
→ ∞ ,则 α 2 ≈ 0
它表明,只要 α1 ≠
π
2
,电流线垂直于良导体表面穿出,良导体表面近似为等位面.
恒定电场是无源无旋场.
4.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ E dl = 0 ∫ J dS = 0
L S
E1t = E2t J1n = J2n
说明分界面上电场强度的切向分量是连续的, 电流密度法向分量是连续的. 折射定律为
tanα1 γ 1 = tanα2 γ 2
图4.3.1
电流线的折射
1 2 = 2 2 =0 ρ φ
2
φ =0 = 0 , φ =θ = U0
方程通解为
= C1φ + C2 ,代入边界条件,可得
U0
电位函数 = (
图4.5.2 弧形导电片
θ
)φ ,
E = =
U eφ = 0 eφ ρφ ρθ
恒定电场
基本概念: 电介质中的静电场 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场 基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方 程 边值问题
E 的旋度边界条件电位一般解法电导与接地电阻
图 4.0.2
恒定电场的知识结构框图
特殊解(静电比拟 )
4.1 导电媒质中的电流 4.1.1电流强度
例4.3.1 两种特殊情况分界面上的电场分布.
γ 2 = γ = 10 2 s / m . 解:a ) 媒质1是良导体,γ 1 = 5 × 10 s / m ,媒质2是不良导体, 土壤
7
由折射定理得
tan α tan α
1 2
=
γ γ
1 2
→ ∞ ,则 α 2 ≈ 0
它表明,只要 α1 ≠
π
2
,电流线垂直于良导体表面穿出,良导体表面近似为等位面.
恒定电场是无源无旋场.
4.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ E dl = 0 ∫ J dS = 0
L S
E1t = E2t J1n = J2n
说明分界面上电场强度的切向分量是连续的, 电流密度法向分量是连续的. 折射定律为
tanα1 γ 1 = tanα2 γ 2
图4.3.1
电流线的折射
1 2 = 2 2 =0 ρ φ
2
φ =0 = 0 , φ =θ = U0
方程通解为
= C1φ + C2 ,代入边界条件,可得
U0
电位函数 = (
图4.5.2 弧形导电片
θ
)φ ,
E = =
U eφ = 0 eφ ρφ ρθ
恒定电流场
17
U 由欧姆定律 I R ΔI为流过ΔS的电流 I jS ΔU为Δl两端的电压 U El l R S
j E
电流密度和微观自由电子的关系：
热运动 自由电子 在电场下的定向运动 漂移速度 同一种载流子，带电量均为q,速度均为同一 ｑ 方向的v。单位体积内载流子的数目为n。
3
3.电流强度 I 单位时间内通过导体任一横截面的电量叫做电流 强度，用I 来描述。单位：安培，简称安，用A表示。 如果在一段时间 Δt 内，通过导体任一横截面的电量 是Δq，那么电流强度就是 I=Δq/Δt
4.电流密度矢量 current density 电流密度是一个矢量，这矢量在导体中各点的方向 代表该点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直 截面的电流强度。
稳恒电场对运动电荷作功，稳恒电场的存在总伴 随着能量的转移。 维持静电场不需要能量转换。
10
由恒定电流条件可得出几个结论
导体界面处电流密度矢量法向分量连续 j1n j 2 n
对一段无分支的稳恒电路，其各横截面的电流强度 相等；恒定电流的电路必须闭合。
在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流 出节点的电流强度之和。即
间变化的电流。这要求电荷分布不随时间变化，因而电
荷产生的电场是恒定电场。
2.恒定电流的性质
有源无旋场
区别于静电场
通过任意闭合曲面的恒定电流密度通量为零。
j dS 0
S
电流的恒定条件
恒定场中处处没有电荷分布变化，电流线不仅连续， 而且闭合。因此，恒定电路必须是闭合回路。
8
恒定电场和静电场的比较
相同之处 电场不随时间改变 满足高斯定理
满足环路定理
是保守场
U 由欧姆定律 I R ΔI为流过ΔS的电流 I jS ΔU为Δl两端的电压 U El l R S
j E
电流密度和微观自由电子的关系：
热运动 自由电子 在电场下的定向运动 漂移速度 同一种载流子，带电量均为q,速度均为同一 ｑ 方向的v。单位体积内载流子的数目为n。
3
3.电流强度 I 单位时间内通过导体任一横截面的电量叫做电流 强度，用I 来描述。单位：安培，简称安，用A表示。 如果在一段时间 Δt 内，通过导体任一横截面的电量 是Δq，那么电流强度就是 I=Δq/Δt
4.电流密度矢量 current density 电流密度是一个矢量，这矢量在导体中各点的方向 代表该点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直 截面的电流强度。
稳恒电场对运动电荷作功，稳恒电场的存在总伴 随着能量的转移。 维持静电场不需要能量转换。
10
由恒定电流条件可得出几个结论
导体界面处电流密度矢量法向分量连续 j1n j 2 n
对一段无分支的稳恒电路，其各横截面的电流强度 相等；恒定电流的电路必须闭合。
在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流 出节点的电流强度之和。即
间变化的电流。这要求电荷分布不随时间变化，因而电
荷产生的电场是恒定电场。
2.恒定电流的性质
有源无旋场
区别于静电场
通过任意闭合曲面的恒定电流密度通量为零。
j dS 0
S
电流的恒定条件
恒定场中处处没有电荷分布变化，电流线不仅连续， 而且闭合。因此，恒定电路必须是闭合回路。
8
恒定电场和静电场的比较
相同之处 电场不随时间改变 满足高斯定理
满足环路定理
是保守场
恒定电流场
J = σE
恒定电场的两个基本量:E J
∫
e
E ⋅ dl = 0
• 恒定电场是无源无旋场。
静电场与恒定电场的对比： 恒定电场是在稳恒电流情况下，由分布不随时间变化但做恒定流动的电荷引起 的电场。 • 恒定电场中，导体内部场强不为零。不再是等位体，表面不是等位面，电 场强度不垂直于表面。这是与静电场的根本区别之一。 • 导体内电荷分布未知，不能用 ∇ ⋅ D = ρ 来求电场分布电流密度Ｊ容易确定， 故将Ｊ的散度方程和Ｅ的旋度方程作为恒定电场基本方程．金属的介电常数为 ε0。
② 媒质1是导体， (σ 1 ≠ 0) 媒质2是理想介质 (σ 2 = 0)
∵ σ2 = 0 J2 = 0 ∴ J2n = J1n = 0 ① 表明 1 导体表面是一条电流线,理想介质中无 传导电流。
②
图2.3.2 导体与理想介质分界面
∵ E 1n =
J 1n
σ1
= 0
E2n =
J 2n
σ2
≠0
∴ D 2n − D1n = ε 2 E 2 n= ρ s
欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明 (微分式)
J =σE
σ=
1
ρ
式中 σ 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。ρ的单位 ·m 恒定电流与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。 • 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即
(积分式) (微分式) (积分式)
U = IR
p =J⋅E
§4.3 分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件 推导方法与静电场相同
∫ E ⋅ dl = 0 ∫ J ⋅ dS = 0
L S
⇒ E1t = E2t ⇒ J1n = J2n
恒定电流场
1 d = 0.05m. 并以 r 代替 ε 0 2
2πrl 2π × 10 −2 × 2 0.04π g= = = 2× 2 4 ln 80 − 1 ln −1 ln −1 0.05 0.05
而接地电阻应该为上述电导一半的倒数。即
r0 =
2 2(ln 80 − 1) 2 × (4.38 − 1) 3.38 = = = 50 = 53.8Ω 0.04π 0.04π g π
在计算本题电导时应把地极对地面取镜，因此需用 2l代替上式，r代替ε0并被 2 除。 即g =
1 2
4πγ (2l ) ln 2l + D 2 + (2l ) 2 4l D D − 1 + ln ) + − ( )2 +1 2l 2l R0 D
ln
4l 4×3 = ln = ln 240 = 5.48 R0 0.5 × 10 − 2
Vmzx = ∫
a+ R
R
RV0 ⎛ 1 RV0 a aV0 RV0 1 ⎞ = dx = ⎟= ⎜ − 2 2 ⎝ R a + R ⎠ 2(a + R) R 2(a + R) 2x
5．如管状地极位置如图 3 所示，并且l>>R，h>>R，求接地电阻的式子，如l=10m，R0=5cm， h=50cm，γ=10-2 1/Ω·m，计算此时接地电阻。
= 265[0.56 + 2.71] = 265 × 3.27 = 870 伏
又A2点x=1.55，故
2.3 1 2.3 − 1 ⎤ ⎡ 2.3 1 ⎤ ⎡ 2.3 + ln V A2 = 265⎢ ∫ dx + ∫ dx ⎥ = 265⎢ln 1.55 x 1.55 x − 1 1.55 − 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1.55 ⎦
第4章恒定电流场
i lim
t 0
t
dt
V S l
流动方向
体电流密度
I dI J lim S 0 S dS
假定体电荷密度为 ρV 的电荷以速度 v 沿某方向运动， 如左图所示。设在 垂直于电荷流动的 方向上取一面积元 ΔS ， 若 流 过 ΔS 的 电流为ΔI，则定义 矢量 J的大小为
S
l
面电流密度
如果电流只分布于导 电媒质的表面，可以 用面电流密度来描述， 如右图所示。在垂直 于电荷流动的方向上 取 一 线 元 Δl ， 若 流 过 线 元 Δl 的 电 流 为 ΔI ， 则定义面电流密度矢 量 （ Current Areal Density Vector）JS的大 小为
I dI J S lim l 0 l dl
设在恒定电流场中，沿电
dl
U
J
流方向取一个长度为 dl，端面
dS
为 dS 的小圆柱体，如图所示。
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用
下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面， 那么电场力作的功为
vv d W d q E d l E d q d l
电场损失的功率 P 为
2 p E , l 1 1 1
1 2 w E e 2 2 2 2
2 p E l 2 2 2
两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：
当1 0 时， E1
U ，E2 0 ， we2 0，pl 2 0。 d1 U 。 当 2 0 时，E1 0 ， we1 0 ， pl1 0， E2 d2
方向规定为正电荷的运动方向，单位为A/m2。 矢量J称为电流密度矢量(Current Density Vector)。 因为它描述电流在体积空间中流动的情况，一般 称之为体电流密度。显然，电荷流动的空间是一 个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流 量为 v v
t 0
t
dt
V S l
流动方向
体电流密度
I dI J lim S 0 S dS
假定体电荷密度为 ρV 的电荷以速度 v 沿某方向运动， 如左图所示。设在 垂直于电荷流动的 方向上取一面积元 ΔS ， 若 流 过 ΔS 的 电流为ΔI，则定义 矢量 J的大小为
S
l
面电流密度
如果电流只分布于导 电媒质的表面，可以 用面电流密度来描述， 如右图所示。在垂直 于电荷流动的方向上 取 一 线 元 Δl ， 若 流 过 线 元 Δl 的 电 流 为 ΔI ， 则定义面电流密度矢 量 （ Current Areal Density Vector）JS的大 小为
I dI J S lim l 0 l dl
设在恒定电流场中，沿电
dl
U
J
流方向取一个长度为 dl，端面
dS
为 dS 的小圆柱体，如图所示。
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用
下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面， 那么电场力作的功为
vv d W d q E d l E d q d l
电场损失的功率 P 为
2 p E , l 1 1 1
1 2 w E e 2 2 2 2
2 p E l 2 2 2
两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：
当1 0 时， E1
U ，E2 0 ， we2 0，pl 2 0。 d1 U 。 当 2 0 时，E1 0 ， we1 0 ， pl1 0， E2 d2
方向规定为正电荷的运动方向，单位为A/m2。 矢量J称为电流密度矢量(Current Density Vector)。 因为它描述电流在体积空间中流动的情况，一般 称之为体电流密度。显然，电荷流动的空间是一 个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流 量为 v v
恒定电流
第四章 恒定电流和电路
本章讨论电荷定向运动时引起的有关现象。
§4.1 恒定电流
一 电流、电流强度、电流密度 1、电流 （1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观 的定向运动便形成电流（叫做电流）。 本章只讨论导体内部的电流。 （2）电流的方向 正电荷运动的方向为电流的方向。
推论 导体中电流的方向总。 描述 电流的大小 2、电流强度 （1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电 荷量，叫做该截面的电流强度。（这里的截面可以推 广到任意曲面） q
I lim t 0
t
（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征 的标量。 3、电流密度 J
（1）定义：导体中每一点的 J 的方向是该点正电 荷运动方向（电场方向），J 的大小等于过该点并与
导体中各点 J 有确定的数值和方向，即使在导体 的外部（真空），J 0 ，也有确定的值。
讨论矢量 J 对任一闭合曲面的通量。
二 连续性方程
在 J 场中（导体中）任选
一闭合曲面S，由通量定义知 J 对曲面S的通量就是由面 内向外流出的电流强度。（由 ˆ 方向） 内向外是 n
S dS1
（2）在x≥0的半球面 上（用yoz面来分割球面 成x≥0的半球面和x≤0的 半球面）
I1 dI
S1
dS=RsinθdφxRdθ
O φ x
θR
y
JR 2 sin 2 d 2 cos d J R 2
o 2
同理，在x≤0的半球面上
I 2 dI JR
（2）J 线的性质
对恒定电流
S
J dS 0
S
说明穿进S的 J 线条数必然等于穿出的 J 线条数， 即 J 线不中断，无间断点。 性质：恒定电流场中的 J 线是既无起点又无终点
本章讨论电荷定向运动时引起的有关现象。
§4.1 恒定电流
一 电流、电流强度、电流密度 1、电流 （1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观 的定向运动便形成电流（叫做电流）。 本章只讨论导体内部的电流。 （2）电流的方向 正电荷运动的方向为电流的方向。
推论 导体中电流的方向总。 描述 电流的大小 2、电流强度 （1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电 荷量，叫做该截面的电流强度。（这里的截面可以推 广到任意曲面） q
I lim t 0
t
（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征 的标量。 3、电流密度 J
（1）定义：导体中每一点的 J 的方向是该点正电 荷运动方向（电场方向），J 的大小等于过该点并与
导体中各点 J 有确定的数值和方向，即使在导体 的外部（真空），J 0 ，也有确定的值。
讨论矢量 J 对任一闭合曲面的通量。
二 连续性方程
在 J 场中（导体中）任选
一闭合曲面S，由通量定义知 J 对曲面S的通量就是由面 内向外流出的电流强度。（由 ˆ 方向） 内向外是 n
S dS1
（2）在x≥0的半球面 上（用yoz面来分割球面 成x≥0的半球面和x≤0的 半球面）
I1 dI
S1
dS=RsinθdφxRdθ
O φ x
θR
y
JR 2 sin 2 d 2 cos d J R 2
o 2
同理，在x≤0的半球面上
I 2 dI JR
（2）J 线的性质
对恒定电流
S
J dS 0
S
说明穿进S的 J 线条数必然等于穿出的 J 线条数， 即 J 线不中断，无间断点。 性质：恒定电流场中的 J 线是既无起点又无终点
《恒定电流场》课件
恒定电流场
目录
Contents
• 恒定电流场的基本概念 • 恒定电流场的物理性质 • 恒定电流场的应用 • 恒定电流场的实验研究 • 恒定电流场的发展前景
01 恒定电流场的基本概念
电流场的中运动所 产生的电场，其特征是电荷在电 场中受到电场力的作用而产生运 动。
02
维持电流场的持续需要保持电源与负载之间的能量平衡，以保持电荷的运动状态。
电流场的产生与维持涉及到电路中的电阻、电容和电感等元件的作用，以及电源的 特性和负载的性质。
02 恒定电流场的物理性质
电场与电流的关系
电流产生电场
电流在空间中流动时，会激发电场，电场的方向与电流的方 向垂直。
电场对电流的作用
电流场的测量技术
1 2
电流测量
使用电流表或高精度测量仪器来测量电流的大小 和方向，以获取电流场的详细信息。
电位测量
通过测量电位差来了解电流场中的电场强度和电 势分布，有助于分析电流场的特点和规律。
3
磁场测量
在某些情况下，可能需要测量磁场强度和方向， 以进一步了解电流场对周围物体的影响。
实验结果的分析与解释
磁场力
电流在磁场中受到磁场力的作用，磁 场力的大小与电流的大小和磁场的强 度有关。
03 恒定电流场的应用
电子设备中的电流场
集成电路
在集成电路中，恒定电流场用于驱动电子设备，实现信号的传输和处理。
电子元件
在电子元件中，恒定电流场用于产生磁场和电场，实现电子元件的功能。
电流场在电磁学中的应用
电磁感应
数据处理
01
对实验数据进行处理和分析，包括数据整理、图表绘制等，以
便更好地理解和解释实验结果。
结果解释
目录
Contents
• 恒定电流场的基本概念 • 恒定电流场的物理性质 • 恒定电流场的应用 • 恒定电流场的实验研究 • 恒定电流场的发展前景
01 恒定电流场的基本概念
电流场的中运动所 产生的电场，其特征是电荷在电 场中受到电场力的作用而产生运 动。
02
维持电流场的持续需要保持电源与负载之间的能量平衡，以保持电荷的运动状态。
电流场的产生与维持涉及到电路中的电阻、电容和电感等元件的作用，以及电源的 特性和负载的性质。
02 恒定电流场的物理性质
电场与电流的关系
电流产生电场
电流在空间中流动时，会激发电场，电场的方向与电流的方 向垂直。
电场对电流的作用
电流场的测量技术
1 2
电流测量
使用电流表或高精度测量仪器来测量电流的大小 和方向，以获取电流场的详细信息。
电位测量
通过测量电位差来了解电流场中的电场强度和电 势分布，有助于分析电流场的特点和规律。
3
磁场测量
在某些情况下，可能需要测量磁场强度和方向， 以进一步了解电流场对周围物体的影响。
实验结果的分析与解释
磁场力
电流在磁场中受到磁场力的作用，磁 场力的大小与电流的大小和磁场的强 度有关。
03 恒定电流场的应用
电子设备中的电流场
集成电路
在集成电路中，恒定电流场用于驱动电子设备，实现信号的传输和处理。
电子元件
在电子元件中，恒定电流场用于产生磁场和电场，实现电子元件的功能。
电流场在电磁学中的应用
电磁感应
数据处理
01
对实验数据进行处理和分析，包括数据整理、图表绘制等，以
便更好地理解和解释实验结果。
结果解释
第04章 恒定电流的磁场
B Be
半径为ρ的闭合回路所包围的总电流的代数和为NI， 由安培环路定理得到
(l )
B dl Be e d 2 B NI
0 0
2
因此，得到
0 NI B e 2
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
0 4.4 矢量磁位 JV (r) B(r ) R dV 4 一、矢量磁位 (V ) 由式（4-14）可知，磁场的散度处处为零。利 用矢量恒等式（4-13），则磁通密度矢量B可表示 为某一矢量A的旋度，即 B=∇×A (4-27)
该矢量称之为矢量磁位。在国际单位制中，A 的单位为韦伯/米（Wb/m）。
但是由例1.11可知，对于任意标量场，梯度的 旋度恒为零。所以式（4-27）并不能唯一的确定矢 量磁位A。原因如下，假设矢量A’是标量场φ的梯 度和矢量A之和，即：
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
A' A
(S )
式中S为张在有向闭合曲线l上的 开曲面，如图4-5所示。如果选择 曲面S为闭合面，则穿过闭合面的 磁通量为 B dS （4-16）
(S )
B
(S )
(l )
图4-5 磁通量的计算
应用高斯散度定理，并利用公式 （4-14），有
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
该式称之为毕奥-萨伐尔定 律。式中B、dl′和 aR ，遵 循右手关系，见图4-2所示。
I
X
r
O
r
Y
图4-2 电流回路在空间产生的场
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
如果电流分布不是线电流，而是体电流分布JV(r') 和面电流分布JS(r')，则有
半径为ρ的闭合回路所包围的总电流的代数和为NI， 由安培环路定理得到
(l )
B dl Be e d 2 B NI
0 0
2
因此，得到
0 NI B e 2
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
0 4.4 矢量磁位 JV (r) B(r ) R dV 4 一、矢量磁位 (V ) 由式（4-14）可知，磁场的散度处处为零。利 用矢量恒等式（4-13），则磁通密度矢量B可表示 为某一矢量A的旋度，即 B=∇×A (4-27)
该矢量称之为矢量磁位。在国际单位制中，A 的单位为韦伯/米（Wb/m）。
但是由例1.11可知，对于任意标量场，梯度的 旋度恒为零。所以式（4-27）并不能唯一的确定矢 量磁位A。原因如下，假设矢量A’是标量场φ的梯 度和矢量A之和，即：
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
A' A
(S )
式中S为张在有向闭合曲线l上的 开曲面，如图4-5所示。如果选择 曲面S为闭合面，则穿过闭合面的 磁通量为 B dS （4-16）
(S )
B
(S )
(l )
图4-5 磁通量的计算
应用高斯散度定理，并利用公式 （4-14），有
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
该式称之为毕奥-萨伐尔定 律。式中B、dl′和 aR ，遵 循右手关系，见图4-2所示。
I
X
r
O
r
Y
图4-2 电流回路在空间产生的场
第四章 恒定电流的磁场
电磁场与电磁波理论基础
如果电流分布不是线电流，而是体电流分布JV(r') 和面电流分布JS(r')，则有
第4章 恒定电流场(一)
J1n ~ 0 E2t E1t J1t / 1 ~ 0
良导体表面内侧，电流法 向分量很小，电流近似平 行于良导体表面流动。
E1t E1n E2t E2 n
良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导 体表面。 恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对 于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不 大，其表面可以近似视为等位面。
电位 的媒质交界面条件
E1t E2t
J1n J 2 n
1 2
1 2 1 2 n n
恒定电场中，电位函数 的边值问题与静电场中 的边值
问题完全相似，揭示了相同的物理规律,因此可以使用相同的
方法进行研究。这就是下节介绍的应用广泛的静电比拟。
第 4 章 恒定电场
求得
2 2 U E1 1 2 d
2 1 U E2 1 2 d
交界面上面电荷密度为
2 2 只有当 2 1 1 2 ，即 时，媒质分解面上 1 1
无集聚电荷。
2( 2 1 1 2 ) U D2 n D1n 2 E2 1E1 1 2 d
E2t E1t
折射定律
J E
E /J tan 1 J1t / J1n 1 1t 1n 1 tan 2 J 2t / J 2n 2 E2t / J 2n 2
良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大 于 2，则
2 E1n E2 n ~ 0 J1n ~ 0 1
• 静电场便于计算—— 通过静电比拟计算恒定电场
•
恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场模拟
良导体表面内侧，电流法 向分量很小，电流近似平 行于良导体表面流动。
E1t E1n E2t E2 n
良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导 体表面。 恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对 于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不 大，其表面可以近似视为等位面。
电位 的媒质交界面条件
E1t E2t
J1n J 2 n
1 2
1 2 1 2 n n
恒定电场中，电位函数 的边值问题与静电场中 的边值
问题完全相似，揭示了相同的物理规律,因此可以使用相同的
方法进行研究。这就是下节介绍的应用广泛的静电比拟。
第 4 章 恒定电场
求得
2 2 U E1 1 2 d
2 1 U E2 1 2 d
交界面上面电荷密度为
2 2 只有当 2 1 1 2 ，即 时，媒质分解面上 1 1
无集聚电荷。
2( 2 1 1 2 ) U D2 n D1n 2 E2 1E1 1 2 d
E2t E1t
折射定律
J E
E /J tan 1 J1t / J1n 1 1t 1n 1 tan 2 J 2t / J 2n 2 E2t / J 2n 2
良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大 于 2，则
2 E1n E2 n ~ 0 J1n ~ 0 1
• 静电场便于计算—— 通过静电比拟计算恒定电场
•
恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场模拟
第4章 恒定电流场
分布的电荷，以速则产生电流，电流密度
正比于电场强度：
J E
（欧姆定律的微分形式）
I U / R GU
注意：传导电流写成 J v 的形式 时， 指电子的电荷密度。导体内部 净电荷密度为0。
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。单位体积 内的热功率为：
p E J E2
导体中消耗的总功率为
P E JdV
V
P UI El JS EJ V p V
带电粒子在自由空间中运动形成的电流称为运流电 流，它不服从欧姆定律，也不产生焦耳热。本课程 主要研究传导电流。
工程电磁场基础
第 4 章 恒定电场
主讲人：陈德智
dzhchen@ /hkdq/ 华中科技大学 电气与电子工程学院 2016年4月
0 引言
（1） 恒定电场(恒定电流场)
• 静电场研究在绝缘介质中静止电 荷产生的电场， E 和 D。 • 恒定电场研究在导体中稳恒 流动的电流，即直流问题。 研究 J 和 E 。 • 遵循同样的路线：基本 方程－位函数－边值问 题－电路参数：电阻。
运流电流
（3） 电源与电动势
恒定电流场要消耗能 量。该能量依靠外加电 源补充。 从物理机制上看，电 源的作用在于源源不断地向导体的两端提供正负电荷，以 便补充被电流运走的电荷，维持导体内电场的恒定。电荷 在该电场的作用下定向运动形成电流。 因此导体内的电场仍然是电荷产生的，场的所有分布性 质均与静电场相同： ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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✓ 电路理论中的欧姆定律由它积分 而得，即 U=RI
14
3.3 焦耳定律
焦尔定律
✓ 导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。
P J E E2
——焦耳定律的微分形式
✓ 电路中的焦耳定律，可由它的积分而得
电源电势
P UI I 2R
——焦耳定律的积分形式
要想在导线中维持恒定电流，必须依 靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。
电气工程本科专业必修课—电磁场
第四章 恒定电流场
主讲人：张亚东 副研究员 博士生导师
武汉大学 电气工程学院
2019年4月
本章课程大纲
1 导引
目录
Contents
2 电流的发现 3 欧姆定律 4 导体中的电流场
055 电阻的计算及测量
2
1.1 工程问题
电力系统中的接地电阻是什么?如何测量? 两根铜排压接时的接触电阻是什么?如何测量?
讨论与引申
✓ 不同导电媒质交界面 ✓ 非理想介质交界面（具有漏电流）
✓ 导电媒质与理想电介质
19
4.2 分界面的衔接条件
两种媒质导电率相差很大
由折射定理得
tan 1 tan 2
1 2
， 2 0
电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。
具有漏电流的两非理想介质交界面
同时考虑介质的导电性和介质特性
2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2 z 2
1 r2
2 2
0
直接积分得: C1 C2
由边界条件 0 时, U0； / 2 时, 0；
可确定出待定常数为:
C1
-
2U0
C2 U0
24
4.5 恒定电场的边值问题
所以得到电位函数: 电场强度为:
E
-
2U0
U0
grad
媒质1是导体(1≠0)，媒质2是理想介质(2=0)情况。
2 0 J2 0 J2n J1n 0
表明1 导体表面是一条电流线。
E2n 0
E1n
J1n 1
0
s D2n D1n 2E 2n
表明2 导体与理想介质分界面上必有恒定 （动态平衡下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明3 电场切向分量不为零，导体非等位体， 导体表面非等位面。
电压U，则可求得极板间恒定电场的场量E 、 、J 与I。
d
U 0 E dl Ed
E U /d
J E U / d
d
x E dl
I s J dS JS
US
d
平板电容器电介质中的电场
28
4.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
静电场与恒定电场的对应关系
两种场满足的基本方程和重要关系式
22
4.4 恒定电场的边值问题
由基本方程出发
J 0
( E) E 0
2 0
J E
E
为常数，得
2 0
——拉普拉斯方程
分界面衔接条件
1 2
1
1
n
2
2
n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯 方程的解答（边值问题）。无旋无源的场又称之为调和场。
讨论与引申
1 r
ev
式中
ev
为
1 r
2U
0
的方向单位矢量。
U
0
e
2U 0 r
ev
电流密度为:
J
E
2U0 r
ev
通过薄钢片截面的电流:
I
v J dS
R2 2U0 dzdr
R2 2U0 hdr 2U0h ln R2
S
R1 r
R1 r
R1
电极之间的电阻:
R U0 I
2 h ln R2
E1t J1n
E2t J2n
s =D2n D1n
Dn
En
Jn
s
2 2
J 2n
1 1
J1n
J1n J2n
s
2 2
1 1
J1n
媒质分界面上一般存在自由电荷，该电荷是 建立恒定电流场过程中积累在分界面处的。
交界面处无自由电荷时： 2 1 2 1
20
4.2 分界面的衔接条件
J
I
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过 对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。
29
4.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
静电比拟的条件
✓ 两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相似）；
✓ 相应电极的电压相同；
✓ 若两种场中媒质分片均匀， 只要分界面具有相似的几何形状，且
1.13104
R1
25
本节小结和作业
【知识点】恒定电场，欧姆定律， 焦耳定律，体电流密度，面 电流密度，调和场 【作业1】思考题 P 116页 3-1， 3-2。 【作业2】习题 3-10 ，3-11（p116）
26
4.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
静电比拟
一面积为S 的平板电容器，如果两板间电压为U，就能够求得其中的
B
A E0 dl
蓄电池内的电场
10
3.2 欧姆定律
电流强度－概念回顾
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 I dq A dt
I 是通量，并不反映电流在每一点的流动情况。
恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 它与电场强度方向一致。
11
3.2 欧姆定律
满足条件
1 1 2 2
时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，
相似关系仍成立。
静电比拟的应用
——用静电比拟方法计算恒定电场
I 1 2 I , I 2 2 I
1 2
1 2
若1为土壤(1≠0),2为空气(2=0), 则I=I, I=0。
ÑS J dS 0 J 0 J E
✓ 恒定电场是无源无旋场。
Ñl E dl 的衔接条件
E dl
L
0
E1t
E2t
J
S
dS
0
J1n
J 2n
分界面上电场强度的切向分量是连续的，
电流密度法向分量是连续的
电流线的折射
折射定律 tan1 1 tan2 2
恒定电场中是否存在泊松方程？ 考虑局外电场存在的情况。
23
4.5 恒定电场的边值问题
例：厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位如图3-8
所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求电极之间的电阻。
解：通过电位函数满足拉普拉斯方程来求解。若
选用圆柱坐标系，可以看出仅与坐标有关， 而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普拉斯方 程不含对r、z的偏导数项，简化为 ：
主要成就 发现不同金属接触才是电流产生的真正原因
建立不同金属带电次序——伏特序列 发明伏特电池
发明静电起电机和静电计
欧姆定律
伏特电池是人类最早的电池 能以低电压释放稳定的大电流 标志电学的第二电源时代的开始 从此电学研究进入了一个飞速发展的时期——
电流和电磁效应
7
本章课程大纲
1 导引
目录
Contents
2 电流的发现 3 欧姆定律 4 导体中的电流场
055 电阻的计算及测量
8
3.1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
与静电场的不同
✓ 电荷有相对运动 ✓ 场域中各处电流密度的分布不随时间而改变
恒定电场产生的原理
✓ 电解溶液中存在着一种局外电场，将正电荷 从负极板推向正极板。
✓ 两极板间还存在库仑电场，是由两极板上的 电荷激发的。
R1
R2
L
介质内电流密度
J E U0 R0 R ln R2 R`1
介质单位长度 消耗的功率
I J ds 2 JRd 2U0
0
ln R2
R`1
16
本章课程大纲
1 导引
目录
Contents
2 电流的发现 3 欧姆定律 4 导体中的电流场
055 电阻的计算
17
4.1 电流场的基本特征
J 的散度
电荷守恒定律
ÑS J
dS
q t
恒定电场中
q t
0
ÑS J dS 0 散度定理
V JdV 0
J 0
✓ 电流连续性原理:恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
E的旋度
取积分路径不经过电源
Ñl E dl 0
Ñ ( E) dl 0
斯托克斯定理 l
✓ 恒定电场是无旋场。
恒定电场(电源外)的基本方程
s
恒定电流的形成
15
3.4 工程计算例题
圆柱形电容器内导体的半径为R1，外导体的半径为R2，其间电介质并非理想的绝 缘介质，其电容率为，电导率为，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0。求单 位长度上流过介质的电流及功率消耗。
解：设内导体上单位长度的电荷为t
E t 2 R
E
U0 R ln R2
R`1
若 1 (理想导体)，导体内部电场为零，
电流分布在导体表面，导体不损耗能量。
导体周围介质中的电场
E2 E2tex E2ney
载流导体表面的电场 21
4.3 例题
例：同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两种非理想电介质，介质分界面的半径
为R2，它们的电容率分别为ε1和ε2 ，电导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。设内 外导体间加电压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷密度。
14
3.3 焦耳定律
焦尔定律
✓ 导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。
P J E E2
——焦耳定律的微分形式
✓ 电路中的焦耳定律，可由它的积分而得
电源电势
P UI I 2R
——焦耳定律的积分形式
要想在导线中维持恒定电流，必须依 靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。
电气工程本科专业必修课—电磁场
第四章 恒定电流场
主讲人：张亚东 副研究员 博士生导师
武汉大学 电气工程学院
2019年4月
本章课程大纲
1 导引
目录
Contents
2 电流的发现 3 欧姆定律 4 导体中的电流场
055 电阻的计算及测量
2
1.1 工程问题
电力系统中的接地电阻是什么?如何测量? 两根铜排压接时的接触电阻是什么?如何测量?
讨论与引申
✓ 不同导电媒质交界面 ✓ 非理想介质交界面（具有漏电流）
✓ 导电媒质与理想电介质
19
4.2 分界面的衔接条件
两种媒质导电率相差很大
由折射定理得
tan 1 tan 2
1 2
， 2 0
电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。
具有漏电流的两非理想介质交界面
同时考虑介质的导电性和介质特性
2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2 z 2
1 r2
2 2
0
直接积分得: C1 C2
由边界条件 0 时, U0； / 2 时, 0；
可确定出待定常数为:
C1
-
2U0
C2 U0
24
4.5 恒定电场的边值问题
所以得到电位函数: 电场强度为:
E
-
2U0
U0
grad
媒质1是导体(1≠0)，媒质2是理想介质(2=0)情况。
2 0 J2 0 J2n J1n 0
表明1 导体表面是一条电流线。
E2n 0
E1n
J1n 1
0
s D2n D1n 2E 2n
表明2 导体与理想介质分界面上必有恒定 （动态平衡下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明3 电场切向分量不为零，导体非等位体， 导体表面非等位面。
电压U，则可求得极板间恒定电场的场量E 、 、J 与I。
d
U 0 E dl Ed
E U /d
J E U / d
d
x E dl
I s J dS JS
US
d
平板电容器电介质中的电场
28
4.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
静电场与恒定电场的对应关系
两种场满足的基本方程和重要关系式
22
4.4 恒定电场的边值问题
由基本方程出发
J 0
( E) E 0
2 0
J E
E
为常数，得
2 0
——拉普拉斯方程
分界面衔接条件
1 2
1
1
n
2
2
n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯 方程的解答（边值问题）。无旋无源的场又称之为调和场。
讨论与引申
1 r
ev
式中
ev
为
1 r
2U
0
的方向单位矢量。
U
0
e
2U 0 r
ev
电流密度为:
J
E
2U0 r
ev
通过薄钢片截面的电流:
I
v J dS
R2 2U0 dzdr
R2 2U0 hdr 2U0h ln R2
S
R1 r
R1 r
R1
电极之间的电阻:
R U0 I
2 h ln R2
E1t J1n
E2t J2n
s =D2n D1n
Dn
En
Jn
s
2 2
J 2n
1 1
J1n
J1n J2n
s
2 2
1 1
J1n
媒质分界面上一般存在自由电荷，该电荷是 建立恒定电流场过程中积累在分界面处的。
交界面处无自由电荷时： 2 1 2 1
20
4.2 分界面的衔接条件
J
I
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过 对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。
29
4.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
静电比拟的条件
✓ 两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相似）；
✓ 相应电极的电压相同；
✓ 若两种场中媒质分片均匀， 只要分界面具有相似的几何形状，且
1.13104
R1
25
本节小结和作业
【知识点】恒定电场，欧姆定律， 焦耳定律，体电流密度，面 电流密度，调和场 【作业1】思考题 P 116页 3-1， 3-2。 【作业2】习题 3-10 ，3-11（p116）
26
4.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
静电比拟
一面积为S 的平板电容器，如果两板间电压为U，就能够求得其中的
B
A E0 dl
蓄电池内的电场
10
3.2 欧姆定律
电流强度－概念回顾
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 I dq A dt
I 是通量，并不反映电流在每一点的流动情况。
恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 它与电场强度方向一致。
11
3.2 欧姆定律
满足条件
1 1 2 2
时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，
相似关系仍成立。
静电比拟的应用
——用静电比拟方法计算恒定电场
I 1 2 I , I 2 2 I
1 2
1 2
若1为土壤(1≠0),2为空气(2=0), 则I=I, I=0。
ÑS J dS 0 J 0 J E
✓ 恒定电场是无源无旋场。
Ñl E dl 的衔接条件
E dl
L
0
E1t
E2t
J
S
dS
0
J1n
J 2n
分界面上电场强度的切向分量是连续的，
电流密度法向分量是连续的
电流线的折射
折射定律 tan1 1 tan2 2
恒定电场中是否存在泊松方程？ 考虑局外电场存在的情况。
23
4.5 恒定电场的边值问题
例：厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位如图3-8
所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求电极之间的电阻。
解：通过电位函数满足拉普拉斯方程来求解。若
选用圆柱坐标系，可以看出仅与坐标有关， 而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普拉斯方 程不含对r、z的偏导数项，简化为 ：
主要成就 发现不同金属接触才是电流产生的真正原因
建立不同金属带电次序——伏特序列 发明伏特电池
发明静电起电机和静电计
欧姆定律
伏特电池是人类最早的电池 能以低电压释放稳定的大电流 标志电学的第二电源时代的开始 从此电学研究进入了一个飞速发展的时期——
电流和电磁效应
7
本章课程大纲
1 导引
目录
Contents
2 电流的发现 3 欧姆定律 4 导体中的电流场
055 电阻的计算及测量
8
3.1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
与静电场的不同
✓ 电荷有相对运动 ✓ 场域中各处电流密度的分布不随时间而改变
恒定电场产生的原理
✓ 电解溶液中存在着一种局外电场，将正电荷 从负极板推向正极板。
✓ 两极板间还存在库仑电场，是由两极板上的 电荷激发的。
R1
R2
L
介质内电流密度
J E U0 R0 R ln R2 R`1
介质单位长度 消耗的功率
I J ds 2 JRd 2U0
0
ln R2
R`1
16
本章课程大纲
1 导引
目录
Contents
2 电流的发现 3 欧姆定律 4 导体中的电流场
055 电阻的计算
17
4.1 电流场的基本特征
J 的散度
电荷守恒定律
ÑS J
dS
q t
恒定电场中
q t
0
ÑS J dS 0 散度定理
V JdV 0
J 0
✓ 电流连续性原理:恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
E的旋度
取积分路径不经过电源
Ñl E dl 0
Ñ ( E) dl 0
斯托克斯定理 l
✓ 恒定电场是无旋场。
恒定电场(电源外)的基本方程
s
恒定电流的形成
15
3.4 工程计算例题
圆柱形电容器内导体的半径为R1，外导体的半径为R2，其间电介质并非理想的绝 缘介质，其电容率为，电导率为，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0。求单 位长度上流过介质的电流及功率消耗。
解：设内导体上单位长度的电荷为t
E t 2 R
E
U0 R ln R2
R`1
若 1 (理想导体)，导体内部电场为零，
电流分布在导体表面，导体不损耗能量。
导体周围介质中的电场
E2 E2tex E2ney
载流导体表面的电场 21
4.3 例题
例：同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两种非理想电介质，介质分界面的半径
为R2，它们的电容率分别为ε1和ε2 ，电导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。设内 外导体间加电压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷密度。