立体几何8个定理

立体几何定理

1、直线与平面平行的判定定理:

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭

2、直线与平面平行的性质定理:

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。

l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭

如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .

3、直线与平面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭

4、直线与平面垂直的性质定理:

如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。

a a

b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭

证明过程：书本P37

5、两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

a b a b A a b β

βαβαα⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭ 6、两个平面平行的性质定理:

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。

a a

b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭

7、平面与平面垂直的判定定理:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭

8、平面与平面垂直的性质定理:

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥⎫

⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC

求证：BC ⊥AB

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 定理：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。