第6章章末综合提升-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册课件

向量可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又 可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，正是这种“双重身 份”使它成为知识的交汇点，我们应借助图形来巧妙解题．
[跟进训练] 1．已知非零向量 a，b. (1)若|a|＝ 7＋1，|b|＝ 7－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值； (2)若|a|＝|b|＝1，且|a－b|＝ 2，求|a＋b|. [解] (1)设O→A＝a，O→B＝b，则|B→A|＝|a－b|.以 OA 与 OB 为邻边 作平行四边形 OACB，如图(1)，则|O→C|＝|a＋b|.
[跟进训练] 2．设 e1，e2 是不共线的非零向量，且 a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c＝3e1－e2 的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求 λ，μ 的值．
[解] (1)证明：设 a＝λb(λ∈R)，则 e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由 e1， e2 不共线得
基底向量表示其它向量 一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量 均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的． 【例 2】 如图，设△ABC 的重心为 M，O 为平面上任一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用 a，b，c 表示O→M.
[解] 如图，连接 AM 并延长交 BC 于点 D. ∵M 是△ABC 的重心， ∴D 是 BC 的中点，且 AM＝32AD. ∴A→M＝32A→D＝23(A→B＋B→D) ＝23A→B＋23B→D＝32A→B＋3212B→C
＝23A→B＋13B→C＝32(O→B－O→A)＋13(O→C－O→B) ＝23(b－a)＋13(c－b) ＝－23a＋13b＋31c. ∴O→M＝O→A＋A→M ＝a＋－23a＋13b＋13c＝13(a＋b＋c)．
利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向 量的加、减、数乘运算；平面向量基本定理的引入为其提供了有力 的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当 的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．
【例 1】 设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2 的值是________．
4 [由于 a⊥b，由此画出以 a，b 为邻边的矩形 ABCD，如图，其中A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b.
因为 a＋b＋c＝0，且 a＋b＝A→C， 所以C→A＝c. 因为(a－b)⊥c，所以矩形的两条对角线互相垂直，即四边形 ABCD 为正方形， 所以|a|＝|b|＝1，|c|＝ 2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]
λ＝1， 3λ＝－2
λ＝1， ⇒λ＝－23.
∴λ 不存在，故 a 与 b 不共线，即可以作为一组基底．
(2)设 c＝ma＋nb(m，n∈R) ，得 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴m－＋2mn＝ ＋33，n＝－1， ∴mn＝＝12.， ∴c＝2a＋b.
【例 3】 如图，在△ABC 中，点 M 是 AB 边的 中点，E 是中线 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F， MH∥AF 交 BC 于 H.求证：H→F＝B→H＝F→C.
[思路探究] 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出 H→F，B→H与F→C即可证得．
[证明] 设B→M＝a，M→H＝b， 则B→H＝a＋b， H→F＝H→B＋B→A＋A→F ＝－B→H＋2B→M＋2M→H ＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b， F→C＝F→E＋E→C＝12H→M＋M→E＝－12M→H＋M→A＋A→E
第六章 平面向量初步
章末综合提升
巩 固
层
知
识 整
合
提 升
层Байду номын сангаас
题
型
探
究
构造特殊平面图形整合向量 由于平面向量中涉及的向量的模、平行、垂直，与平面图形中 的边长、平行、垂直有着密切的联系，因此如果用一些特殊的图形(如 平行四边形、矩形、菱形、直角三角形等)来整合向量的有关条件， 可以使向量问题简单化、直观化，从而达到快速解题的目的．
(3)由 4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴λ－＋2μλ＋＝34， μ＝－3， ∴λμ＝＝31，. 故 λ，μ 的值分别为 3 和 1.
平面向量的线性运算 1.向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面． 2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的 核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的 共线问题、共点问题． 3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或 向量的坐标等．
＝－12b＋B→M＋A→F－E→F＝－12b＋a＋2M→H－12M→H ＝－12b＋a＋2b－21b＝a＋b. 综上，得H→F＝B→H＝F→C.
运用向量平行(共线)证明，常用的结论有：(1)向量 a，b(a≠0) 共线，存在唯一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 共线⇔x1y2＝x2y1；(3)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.
由于( 7＋1)2＋( 7－1)2＝42，即|O→A|2＋|O→B|2＝|B→A|2，所以△OAB 是以∠AOB 为直角的直角三角形，从而O→A⊥O→B，所以平行四边形 OACB 是矩形．
根据矩形的对角线相等，有|O→C|＝|B→A|＝4，即|a＋b|＝4.
(1)
(2)
(2)设O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图(2)．因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，又|B→A|＝|a－ b|＝ 2，|a|＝|b|＝1，则O→A⊥O→B，所以菱形 OACB 是正方形，所以|a ＋b|＝|O→C|＝|B→A|，所以|a＋b|＝ 2.