分块矩阵的初等变换及应用_百度文库.
分块矩阵的初等变换及其若干应用
4
Em O
O⎞ .对上述分块 En ⎟ ⎠
矩阵进行分块矩阵的初等行变换，将“ T ”的部分变为单位矩阵:
⎛A O ⎜C D ⎝
第1块行左乘A−1
Em O O
O ⎞ 第1块行左乘-CA−1加到第2块行 ⎛ A O Em ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ ⎟ −1 En ⎠ ⎝ O D −CA A−1
⎛E （1） 交换分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m
用此矩阵左乘 T ，有
3
⎛ 0t × m ⎜ ⎝ Em
Et ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ C D ⎞ ⎟ ⎟=⎜ ⎟, 0m×t ⎠ ⎜ ⎝C D⎠ ⎝ A B ⎠
这正是交换 T 的两块行得到的矩阵.
⎛E （2） 用 P 乘分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟ 的第一块行，得分块初等矩阵 Et ⎠ ⎛ P ⎜ ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟. Et ⎠
⎛ En1 ⎜O ⎜ ⎜O ⎜ ⎜O ⎝ O En2 O O O ⎞ O O ⎟ ⎟ % O ⎟ ⎟ O E ns ⎟ ⎠ O
1
的分块矩阵称为分块单位矩阵. 定义 分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换后得到分块矩阵就叫 做分块初等矩阵.因为分块矩阵的初等变换有三种形式，因此分块初等矩阵也相 应的有以下三种类型： （1）交换分块单位矩阵的第 i , j 块行（或块列）得到的分块矩阵.例如,
T 的左边乘上相应的 2×2 分块初等矩阵.同理可证对一个 2×2 分块矩阵
⎛A B⎞ T =⎜ ⎟ 作一分块矩阵的初等列变换就相当于在 T 的右边乘上相应的 2×2 分 ⎝C D⎠ 块初等矩阵. 2．分块矩阵初等变换的应用 ⎛ A O⎞ 例 求T = ⎜ ⎟ 的逆,其中 A 是 m 阶可逆矩阵, B 是 n 阶可逆矩阵. ⎝C D⎠
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵是指将一个大矩阵分成若干小块，并按照一定规则排列起来。
分块矩阵初等变换是对分块矩阵进行的相应变换，其妙用体现在以下几个方面。
1. 更高效地求解线性方程组
对于一个线性方程组 Ax = b，其中 A 为一个n×n 的矩阵，常用的求解方法是高斯消元法。
但当矩阵 A 非常大时，直接进行高斯消元会非常耗时。
此时可以采用分块矩阵初等变换，将 A 矩阵分成若干小块，并按照一定规则排列，在进行高斯消元时只需要对每个小块分别进行操作，大大缩短了计算时间。
2. 更便捷地求解特定问题
分块矩阵初等变换可以使得对于特定问题的求解更加直观。
例如对于一个由 n 个质点构成的系统，可以将质点按照位置坐标划分成若干小块，构造出分块矩阵来表示其相互作用力，进而通过分块矩阵初等变换来解决系统的稳定性问题。
3. 更便捷地处理图像与信号
图像和信号处理中经常需要对大矩阵进行相应的操作，例如滤波、降噪等。
采用分块矩阵初等变换可以将大矩阵分解成若干小块，方便采用各种算法对其进行处理。
4. 更灵活地构造矩阵
在某些问题中，需要构造出非常大的矩阵，但由于数据结构复杂等原因无法一次性构造完成。
此时可以采用分块矩阵的方式逐步构造，利用分块矩阵初等变换对各个小块进行操作。
总的来说，分块矩阵初等变换是线性代数中的一种重要工具，在某些问题中有着不可替代的作用。
熟练掌握分块矩阵初等变换的方法和技巧，对于解决科学和工程中的实际问题具有重要的意义。
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换及其应用一、引言分块矩阵作为矩阵的一种特殊形式，具有重要的数学应用。
在线性代数中，我们学习到了矩阵的初等变换，它们是一类重要的矩阵操作，可以通过一系列的行变换和列变换来改变矩阵的形态。
而分块矩阵的初等变换则是在分块矩阵中进行的一种特殊的操作，本文将详细介绍分块矩阵的初等变换及其应用。
二、分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换是指对分块矩阵进行一系列的操作，包括交换分块的位置、对某个分块进行乘法变换和加法变换等。
这些操作可以通过矩阵的行变换和列变换来实现。
1. 交换分块的位置交换分块的位置是指将分块矩阵中的两个分块进行位置交换。
这种操作可以通过交换两个分块所在的行或列来实现。
2. 对某个分块进行乘法变换对某个分块进行乘法变换是指对分块矩阵中的某个分块进行乘以一个非零标量的操作。
这种操作可以通过将分块矩阵中对应的行或列乘以一个非零标量来实现。
3. 对某个分块进行加法变换对某个分块进行加法变换是指对分块矩阵中的某个分块进行加上另一个分块的操作。
这种操作可以通过将分块矩阵中对应的行或列加上另一个分块所在的行或列来实现。
三、分块矩阵的应用分块矩阵的初等变换在数学和工程领域中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用场景。
1. 线性代数中的矩阵运算在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行运算，如求逆矩阵、求特征值等。
分块矩阵的初等变换可以简化这些运算的过程，使得计算更加简便和高效。
2. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数学中的一个重要问题。
分块矩阵的初等变换可以通过行变换和列变换将线性方程组转化为简化的形式，从而更容易求解。
3. 矩阵的相似性在矩阵的相似性中，我们经常需要对矩阵进行相似变换。
分块矩阵的初等变换可以通过对分块矩阵进行相似变换，从而得到相似的简化矩阵。
4. 矩阵的分解矩阵的分解是数学中的一个重要问题，可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
分块矩阵的初等变换可以通过对分块矩阵进行分解，从而得到更简化的形式。
分块矩阵的初等变换及其若干应用.
第1块行左乘-D C加到第 2 块行⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → −1 ⎛ Em ⎜⎝O 故M −1 O En (A − BD −1C −1 − D −1C(A − BD −1C −1 ⎞ −(A − BD −1C −1 BD −1 . −1 −1 −1 −1 −1 ⎟ D C(A − BD C BD + D ⎠⎛ ( A − BD −1C −1 =⎜ −1 −1 −1 ⎝ − D C ( A − BD C ⎞⎟. D −1C ( A − BD −1C −1 BD −1 + D −1 ⎠−( A − BD −1C −1 BD −1 例设 A, B 是 n 阶方阵.用分块矩阵理论证明 | AB |=| A || B | . ⎛ A O⎞证明考虑分块矩阵⎜⎟ . 对该分块矩阵进行分块矩阵的初等变换：⎝ −E B ⎠⎛ A O ⎞第 2块行左乘A加到第1块行⎛ O →⎜⎜ − E B ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎝⎠⎝ −E ⎛E 于是⎜⎝O A⎞⎛ A O ⎞⎛ O ⎟⎜ −E B ⎟ = ⎜ −E E⎠⎝⎠⎝ AB ⎞⎛E . 记 Pij = ⎜⎟ B ⎠⎝O AB ⎞ . B ⎟⎠ Fij ⎞ , 其中 Fij 是 (i, j 元素为 aij , E⎟⎠⎛ A O⎞而其余元素均为零的 n 阶方阵.则 Pij 是初等矩阵,且用 Pij 左乘矩阵⎜⎟就相⎝ −E B ⎠⎛ A O⎞⎛E 当于将⎜的第 n + j 行乘上 aij 加到第 i 行.容易验证 P 11 P 12 " P nn = ⎜⎟⎝ −E B ⎠⎝O 于是⎛E ⎜O ⎝ A⎞⎛ A O ⎞ A O ⎛ A O⎞ = = P =| A || B | . 11 P 12 " P nn ⎜⎟⎜⎟⎟ E ⎠⎝ −E B ⎠⎝ −E B ⎠ −E B A⎞ . E⎟⎠另一方面, 有O −E 故结论成立. a11 " a1k 例设A = (aij n×n ,且对任意1 ≤ k ≤ n, 有# # ≠ 0. 则存在 n 阶下三角形矩 ak 1 " akk AB O 2 AB 2 2 =( − n = ( −1 n | AB || − E |= ( −1 n + n | AB | = | AB | . B B −E 阵 B 使得 BA 为上三角形矩阵. 证明对 n 用数学归纳法. 当 n = 1 时结论显然成立. 设命题对于n − 1 阶矩阵成立. 考虑 n 阶矩阵 A = (aij n×n 的情形. 记 6⎛a11 " a1,n −1 ⎞⎜⎟ # ⎟. A1 = ⎜ # ⎜a ⎟⎝ n −1,1 " an −1,n −1 ⎠由归纳假设,存在n − 1 阶下三角矩阵 B1 使得 B1 A1 为上三角形矩阵. 对 A 作如下⎛A 分块 A = ⎜ 1 ⎝α ⎟并对其进行初等行变换: ann ⎠⎛ A1 ⎜α ⎝ −1 ⎛A 第1块行左乘-α A1 加到第 2 块行⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ 1 ⎟ ann ⎠⎝O β ⎞ β ⎞ β ⎞ . −α A β + ann ⎟⎠ −1 1 O ⎞⎛ A1 ⎛ E 这表明⎜⎜ −1 1⎟⎝ −α A1 ⎠⎝ α ⎛A =⎜ 1 ⎟ ann ⎠⎝ O β ⎞ β ⎞ . 于是−α A β + ann ⎟⎠ −1 1 O ⎞⎛ A1 ⎛ B1 O ⎞⎛ E ⎜ O 1 ⎟⎜ −α A−1 1 ⎟⎜ α ⎝⎠⎝⎠⎝ 1 ⎛ B O ⎞⎛ A1 =⎜ 1 ⎟⎜⎝ O 1 ⎠⎝ O −1 1 ann ⎟⎠ β ⎞ β B1 β ⎞⎛ B1 A1 ⎞ =⎜⎟ −1 −α A β + ann ⎠⎝ O −α A1 β + ann ⎟⎠是上三角形矩阵.记 O ⎞⎛ B1O⎞⎛B O⎞⎛ E B=⎜ 1 . =⎜⎜⎟⎟ −1 −1 1 ⎠⎝ −α A1 1⎟⎝ O 1 ⎠⎝ −α A1 ⎠则 B 是下三角形矩阵且 BA 为上三角形矩阵. 7。
分块矩阵初等行变换
分块矩阵初等行变换1. 什么是分块矩阵分块矩阵是将一个大的矩阵划分为多个较小的矩阵块，每个块可以是一个数或者是一个矩阵。
分块矩阵的形式可以使得矩阵的结构更加清晰，且能够简化计算和分析过程。
2. 什么是初等行变换初等行变换是对矩阵进行的一系列基本操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数再加到另一行上。
初等行变换可以改变矩阵的行阶梯形，从而能够用于求解线性方程组、计算矩阵的秩等。
3. 分块矩阵的初等行变换有什么特点分块矩阵的初等行变换可以通过对每个块进行相应的初等行变换来实现。
具体而言，对于分块矩阵中的每个块，我们可以对其进行行交换、行乘以一个非零常数、行加上另一行的行变换操作。
这些操作能够保持分块矩阵的整体结构，并且不会产生新的块。
4. 如何进行分块矩阵的初等行变换对于分块矩阵，我们可以分别对每个块进行初等行变换。
其中，对于交换两行的操作，我们只需要在对应的块内进行交换即可；对于将某一行乘以一个非零常数的操作，我们只需要在对应的块内进行相应的数乘；对于将某一行乘以一个非零常数再加到另一行上的操作，我们需要在对应的块内进行相应的数乘和数加的操作。
5. 分块矩阵的初等行变换的应用有哪些分块矩阵的初等行变换可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以简化计算的过程，并且能够更好地理解和分析问题。
总结：分块矩阵是将大矩阵划分为多个小矩阵块的形式，初等行变换是对矩阵进行的基本操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数再加到另一行上。
分块矩阵的初等行变换可以通过对每个块进行相应的初等行变换来实现，并且不会产生新的块。
分块矩阵的初等行变换可以应用于求解线性方程组、计算矩阵的秩、求矩阵的逆等问题，能够简化计算过程并且有助于理解和分析问题。
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵初等变换的妙用分块矩阵初等变换是线性代数中的一个重要概念，在数学和工程领域都有着广泛的应用。
它通过将矩阵分成若干块，对每个块进行初等变换，从而对整个矩阵进行操作和分析。
分块矩阵初等变换的妙用不仅可以简化矩阵运算，还可以方便地对矩阵进行性质分析和求解。
本文将通过详细的介绍和实例分析，展示分块矩阵初等变换在实际应用中的重要性和妙用之处。
一、分块矩阵初等变换的基本概念分块矩阵初等变换是指将一个矩阵按照一定规则分成若干个子矩阵，并对每个子矩阵进行初等变换。
常见的分块方式包括按行分块和按列分块，每种分块方式都有其特定的应用场景和操作规则。
按行分块是指将一个矩阵按照行进行分割，形成若干个子矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，可以按行分块为r行和s行两部分，分别记为A = [A11 A12; A21 A22]，其中A11是r×s 的子矩阵，A12是r×(n-s)的子矩阵，A21是(m-r)×s的子矩阵，A22是(m-r)×(n-s)的子矩阵。
分块矩阵初等变换的基本操作包括矩阵加减法、数乘、转置和乘法等，通过这些操作可以对子矩阵进行初等变换，从而实现对整个矩阵的变换和分析。
1. 简化矩阵运算分块矩阵初等变换可以显著简化矩阵的运算和求解过程。
通过将大矩阵分成若干个小块，可以分别对每个小块进行操作，然后将结果整合在一起，从而减少了计算量和复杂度。
尤其是在大规模矩阵的运算中，分块矩阵初等变换可以大大提高计算效率。
2. 方便性质分析和求解分块矩阵初等变换还可以方便地对矩阵的性质进行分析和求解。
通过分块的方式，可以更加清晰地观察矩阵的结构和特点，从而更容易得出结论和推断。
对角块矩阵的分块初等变换可以方便地求出特征值和特征向量，从而分析矩阵的性质和行为。
3. 实际应用分块矩阵初等变换在工程和科学领域有着广泛的应用。
在控制系统中，经常需要对大规模矩阵进行运算和分析，而分块矩阵初等变换可以使得控制系统的设计和分析更加简洁和高效；在信号处理领域，分块矩阵初等变换可以方便地处理多维信号和图像数据，从而实现对图像的分析和处理。
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十．研究创新题解：1.分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指:（1）交换两行(列的位置;（2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行.定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指:（1）=或=（2）=或=其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子；(1 =(2 或=初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵；(2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵；(3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘.定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为,其中h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l],l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l],施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: ,显然成立.下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故;同理.所以有==(-1或==（-1）==或=====定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1,相当于对进行若干次行(列的交换,故命题成立;对于(2,根据定义1,显然成立;对于(3,相当于进行若干次把行(列乘以一个倍数后加到另一行(列,故命题成立.定理4 (1设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当(Ａ= (Ａ,Ｂ=ｍ时有唯一解,当(Ａ= (Ａ,Ｂ<ｍ时有无穷多解,当(Ａ< (Ａ,Ｂ时无解;(2设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当(Ａ= =ｎ时有唯一解,当(Ａ= <ｎ有无穷多解,当(Ａ< 时无解.证明: (1设(Ａ= (Ａ,Ｂ<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，其中为ｒ阶单位矩阵, 为ｒ阶方阵,设,则有: == =B所以为ＡＸ=Ｂ的解,其中, 是任意的.当(Ａ= (Ａ,Ｂ=ｍ时,Ａ=Ｐ(ＯＱ,Ｂ=( ,显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: ;当(Ａ< (Ａ,Ｂ时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2成立(当(Ａ= ( , <ｎ时,X=P定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果( = ( ,= (,,则称为极大元.定理5 分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是: 它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置.由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，,令Ｋ=-Ｐ,其中, 为适当阶数的任意矩阵.则K+ =，所以第一行左乘Ｋ加到第二行,得.同理,令Ｋ＇=-, 则Ｋ′+ =0,所以的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得.(如先进行列变换,再进行行变换,得,因为=+=+,故两种运算顺序结果相同必要性.反证法,不妨设(≠(,或(,(,则由定理4, =-或=-无解,从而不存在Ｋ,使对角化.同理,当(≠(,或(,≠(时,不存在使-A K=A或-=成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理6 矩阵的一种分块方法可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;设ｓ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为.显然为极大元,根据定理4, 可以化成对角形: ,又,它的每行、列都有极大,故由假设可以对角化,从而可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块进一步化简的方法.设,与.根据定理1, ,为的左(右保秩因子,显然也是所在行(列的左(右保秩因子,故对角化后的分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘,右乘后, 可以化成讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式.设I为S×S分块单位阵:I=其中I r为r阶单位阵(1≤i≤S,对I施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理分块初等阵的行列式有以下性质:(1|I(i,j|= ,其中τ=r (r+1+…+r+ r (r+1+…+ r-1(i特别地,若j=i+1,则| I(i,j|=(-1 r r;(2|I(i(K|=|k|,其中K是r阶可逆阵;(3|I(j(K,i|=1,其中K是r×r矩阵.证(1不难验证,将I(i,j的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j变成I,由行列式的性质,|I(i,j|= |I|=.(2,(3由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.由于对分块方阵A施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质.定理7 设A是一个分块方阵.(1交换|A|的i,j两行(列,行列式变为(-1τ|A|,其中τ= r (r+1+…+ r+ r (r+1+…+ r-1;特别地,交换|A|的相邻两行(列(i行和i+1行,行列式变为(-1 r r+1|A|;(2用一个r阶可逆阵K左(右乘|A|的第i行(列的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|;(3用一个矩阵左(右乘|A|的某一行(列的所有矩阵再加到另一行(列的对应元素上,行列式不变.由定理7的(2可得推论分块行列式|A|的某一行(列的所有矩阵的可逆左(右因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2．分块矩阵初等变换的应用一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到例1: 已知其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并求.分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等变换span,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普拉斯展开,有≠0,故Ｐ可逆.求C有三种办法:解法一:利用广义初等行变换法.B r,C r(B D+r故P=本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩阵相同.作初等行(列变换时,对矩阵Ｐ应左(右乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下:解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求=有=即：==E故有P===例2：已知A=，求A.分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分块矩阵初等变换法求.利用分块矩阵初等变换法先A化分成分块矩阵，即A==其中B=，C=，D=从而求得B=，C=然后对A进行广义初等变换，即：B r,C r(B D r+rA==如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵》一文中提到例3设P=是一个分块方阵,其中A是r阶可逆阵,求|P|.解: 由推论及定理7的(3:====若A与D可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A与C可交换(即AC=CA,则|P|=|AD-CB|.例例4 设D=, 其中a≠0,求|A|解： D==由于A,C可交换,所以D=== =|(ad-bcI|=(ad-bc例5 设A,B,C和D是n阶方阵,试证明=证两次利用定理4的(1,得=（-1）=（-1）（-1）=三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到：矩阵的秩有以下初等性质:设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒ≥ｒ(Ａ+ｒ(Ｂ并且当Ａ(或Ｂ是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立.例6. 设Ａ是ｍ×ｎ阵的非异顺序主子阵,则r=ｒ(Ａ+ｒ(Ｄ-ＣＡＢ证：=而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ=≥ｒ(Ａ+ｒ(Ｄ考情解读B例7. 设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑ为反对称矩阵,证明:ｒ2必为偶数(1: 对ｎ用归纳法ｎ=1,2是命题显然成立设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成Ａ=,其中Ａ=不妨设(30.=∴ｒ(Ａ=ｒ=ｒ=ｒ(Ａ+ｒ作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．Ｃ4=2+ｒ(Ｄ-ＢＡＣ但Ｄ-ＢAＣ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡＣ为偶数,故ｒ(Ａ为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例8. 设Ａ=(ａ是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零,证明: 存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ证: 对ｎ用归纳法ｎ=1时显然成立设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ=由归纳假设对Ａ=有Ａ=ＢＣ其中ＢＣ分别是ｎ-1阶非异下三角形与上三角形矩阵,其中b=-上式两端取行列式有：=b,b0=于是得：A==BC其中B===,C==0,=bB与C分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.。
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵初等变换的妙用分块矩阵是线性代数中常用的重要工具之一，它在矩阵运算和变换中有广泛的应用。
在实际应用中，我们经常遇到大规模矩阵的运算和变换，而分块矩阵可以通过对矩阵进行分块处理，使得复杂的运算变得简单直观。
本文将介绍分块矩阵初等变换的妙用，探讨其在线性代数中的重要作用。
一、分块矩阵初等变换的基本概念分块矩阵是将一个矩阵按照行或列进行划分，每个小块可以是一个数、一个向量、一个行/列向量，也可以是一个矩阵。
分块矩阵初等变换是指对分块矩阵进行的行/列交换、数乘、行/列加减操作。
在分块矩阵初等变换中，我们通常有以下三种基本操作：1. 行/列交换：即将两行/列进行互换。
2. 数乘：即将矩阵的某一行/列中的元素乘以一个非零数。
3. 行/列加减：即将矩阵的某一行/列加上或减去另一行/列的若干倍。
通过这些基本操作，我们可以对分块矩阵进行各种变换，从而达到简化运算、求解方程组、矩阵的相似变换等目的。
1. 矩阵的分块运算分块矩阵初等变换可以简化矩阵的运算。
对于一个大规模矩阵进行求逆运算时，可以将其分块为多个小规模的矩阵，然后对每个小矩阵进行求逆运算，最后组合起来，避免了对整个大矩阵进行求逆的复杂运算。
这样一来，不仅简化了运算，还提高了计算效率。
2. 方程组的求解分块矩阵初等变换也常用于解决方程组。
对于形如AX=B的线性方程组，其中A是一个大规模矩阵，B是一个向量，X是未知向量。
我们可以将矩阵A根据其特点进行分块处理，比如按照系数矩阵的形式进行分块，然后通过初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵，从而简化了方程组的求解过程。
3. 矩阵的相似变换在线性代数中，矩阵的相似变换是一个重要的概念。
而分块矩阵初等变换可以帮助我们更直观地理解矩阵的相似性。
通过对分块矩阵进行初等变换，我们可以将一个矩阵化为对角阵或者标准型，从而得到矩阵的一些特征信息，如特征值、秩等，为矩阵的进一步研究提供了便利。
4. 线性变换的表示在线性代数中，我们经常需要研究线性变换的性质和特点。
分块矩阵的初等变换及应用举例
由初等矩阵与初等变换的关系 , 得
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
En 0 P11 L P1n L Pn1 L Pnn 0 En
1 L L O 1 = a11 L a1n M an1 L ann = En A , 0 En 1 O 1
0 Em ; E 0 n
Em 0 ; 0 P Em 0 . P E n
Em P , 0 E n
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
且有
( ) ( ) P 0 A B = PA PB , 0 E ( C D) ( C D ) A B E 0 A B = P E ( C D ) ( C + PA D + PB ) .
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
( )
二、分块矩阵的应用
•
A，B 为同阶方阵 ， A 0 = A B = AB 0 B A为m阶方阵，B为n阶方阵，C的阶数视分块而定 为 阶方阵 阶方阵， 为 阶方阵 阶方阵， 的阶数视分块而定
•
A C = A B, 0 B
A 0 = A B C B
C A = −1 mn A B B 0 ( )
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
1 A = 1 例2． ． 1 1
1 −1 1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 ，求 A − 1 ． −1 1
解： 把A分块成 A = A1 A1 , A1 = 1 1 , 分块成 A −A 1 −1 1 1 则 又
分块矩阵初等变换及应用
分块矩阵的初等变换及应用唐佳丞（电子科技大学英才实验学院2014级3班）摘要 初等变换和分块矩阵是线性代数研究中两个重要的概念，本文主要研究分块矩阵中的初等变换问题，简化并较为全面的总结了前人的研究。
关键词 初等变换 分块矩阵 初等矩阵 一、引言我们在研究大型矩阵时常会将其简化为分块矩阵，分块矩阵在计算上比原矩阵更加简洁。
而初等变换也是对矩阵进行简化的一项重要举措。
然而，由于分块矩阵中的项为矩阵而不是数，其在进行初等变换时无法像一般矩阵那样运算，因此，本文的目的就是讨论如何对分块矩阵进行初等变换及其应用。
二、分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵定义1 设A 是一个n 阶分块矩阵：A=11111n i iiji jjn nn A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其三种初等行变换为：（1） 交换i 、j 两行（(,)I i j ）；（2） 第i 行左乘一个可逆矩阵K （(())I i K ）； （3） 第i 行左乘一个矩阵P 加到第j 行（((),)I i P j ）。
定义2 将单位矩阵I 分块：1000000n r r I I I ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，其中ir I 是i r 阶单位矩阵 （1i n <<） 则称I 为分块单位矩阵。
定义3 设I 是一个n 阶分块单位矩阵100n i I i ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭其对应三种分块初等矩阵分别为：（1）其交换i 、j 两行：1100(,)00jj iinn i i I i j i i ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； （2）其第i 行左乘一个可逆矩阵K ：110(())0nn i I i K ki ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； （3）其第i 行左乘一个矩阵P 加到第j 行：110((),)0ii jjnn i i I i P j Pi i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
分块初等矩阵有如下性质：性质 1 分块初等矩阵皆为可逆矩阵且逆分别为：（1） 1110000jjii nn i i i i -⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭=110000jj ii nn i i i i ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； （2） 11100nn i ki -⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭=11100nn i k i -⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 11100ii jjnn i i Pi i -⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭=1100ii jjnn i i Pi i ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（证明略）性质 2 对于要进行初等行变换的分块矩阵A ，其对应的分块初等矩阵I的行数等于A 的列数，I 中第i 行的矩阵的行数等于A 中第i 列矩阵的列数。
分块矩阵的初等变换研究
分块矩阵的初等变换研究分块矩阵是一种特殊的矩阵形式，将一个大的矩阵划分为若干个小的子矩阵。
在线性代数中，分块矩阵的初等变换是一种对分块矩阵进行操作的方法，用于简化矩阵的计算和求解问题。
分块矩阵的初等变换包括行变换和列变换两种操作。
通过对分块矩阵进行初等变换，可以改变矩阵的形式和性质，从而更方便地进行矩阵计算和分析。
在实际应用中，分块矩阵的初等变换被广泛应用于线性代数、矩阵分析、数值计算等领域。
1.行交换：将分块矩阵中的两行进行交换，可以用于改变矩阵的次序和性质。
2.行相加：将一个行向量乘以一个非零标量，然后加到另一个行向量上，可以用于改变矩阵的行之间的关系。
3.行乘法：将一个行向量乘以一个非零标量，可以用于改变矩阵中每一行的系数。
4.列交换：将分块矩阵中的两列进行交换，可以用于改变矩阵的次序和性质。
5.列相加：将一个列向量乘以一个非零标量，然后加到另一个列向量上，可以用于改变矩阵的列之间的关系。
6.列乘法：将一个列向量乘以一个非零标量，可以用于改变矩阵中每一列的系数。
通过这些初等变换，可以将分块矩阵化简为更简单的形式，从而更容易进行矩阵运算、求解和分析。
下面我们将通过一个具体的例子来说明分块矩阵的初等变换。
假设有一个3×3的分块矩阵A，如下所示：A=\begin{bmatrix}A11&A12&A13\\A21&A22&A23\\A31&A32&A33\\\end{bmatrix}其中，A11、A12、A13分别代表矩阵A的子矩阵。
我们可以对矩阵A进行初等变换，将其变换为一个简化的分块矩阵。
例如，我们可以通过行交换、行相加、行乘法等操作，将矩阵A变换为一个上三角矩阵。
再通过列交换、列相加、列乘法等操作，将上三角矩阵变换为一个对角矩阵。
下面是一个具体的例子：假设矩阵A为：A=\begin{bmatrix}1&2&3\\7&8&9\\\end{bmatrix}我们可以通过以下初等变换，将矩阵A变换为一个对角矩阵：1.将第一行乘以2，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\4&5&6\\7&8&9\\\end{bmatrix}2.将第二行减去2倍第一行，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\0&-3&-6\\7&8&9\\\end{bmatrix}3.将第三行减去3倍第一行，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\1&-4&-15\\\end{bmatrix}4.将第三行加上第二行，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\0&-3&-6\\1&-7&-21\\\end{bmatrix}通过这些初等变换，我们将矩阵A变换为了一个对角矩阵，更方便进行矩阵运算和分析。
分块矩阵的初等变换及其应用(1)
1 2
P- 1 - P
- 1
又 P- 1 =
1 ab + bc
= | D| ・ | A - BD - 1 C|
=
A C
B D
- 1
d
- 1
- b
d
- b
( A - BD - 1 C)
- ( A - BD - 1 C) D - 1 C (A - BD - 1 C) A C B D Ir 0
-1
BD - 1
得| W| = | A| ・ | D - CA B| 。显然 ,此时如果再有 D - 1 - CA B 可逆 ,则 W 可逆 ,且由 ( a) 两边取逆得 W- 1 = - 1 - 1 Ir 0 Ir - A B A 0
0 In r
→
0 Ir 0 0 D
- 1
( D - CA - BD In r - 1
分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
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设计（20 届）分块矩阵的初等变换及其应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。
并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。
关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用Elementary block matrix transform and its applicationAbstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra.Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application目录1 绪论 (1)1.1问题的背景 (1)1.2问题的意义 (1)2 矩阵的介绍 (2)2.1矩阵的概念 (2)2.2矩阵的运算 (4)2.3矩阵的行列式与秩 (6)2.4矩阵的逆 (8)2.5初等矩阵 (8)3 分块矩阵的介绍 (10)3.1分块矩阵的定义 (10)3.2分块矩阵的分类 (10)3.3分块矩阵的运算 (11)3.4分块矩阵的初等变换和分块初等阵 (12)3.5分块方阵的行列式 (15)4 分块矩阵初等变换的相关应用 (18)4.1利用分块矩阵的初等变换计算行列式 (18)4.2利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆 (20)4.3分块矩阵的初等变换在秩问题中的应用 (23)分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性 (25)4.4用224.5分块矩阵的初等变换在相似问题中的应用 (26)结论 (27)致谢 (28)参考文献 (29)1 绪论1.1 问题的背景在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
分块矩阵的初等变换及其在行列式、逆和秩中的应用
ｆ ？
１
ｆ ００ ／＼ １ ＼ ２
单 位 矩 阵Ｉ 过 一 次 初 等 变换 得 到 的矩 阵 叫 初 等矩 阵． 经 初 等矩 阵有 以下 三 种 ： （ ） Ｉ 以第 １ 初 等 变 换 得 到 １对 施 种
则＝ ？ Ｍ １
如 能 捕 捉 生活 点 滴 ， 生 写 作 素 材 是 丰 富 的 ， 作 文 时 学 生 就 学 写 会 少 些 无 奈 。 学 中 要努 力培 养 学 生 广 泛 的 阅 读 兴趣 ， 导 学 教 引 生 积 累 丰 富 的 写作 素材 ， 展 各 种 有 趣 的活 动 ， 发 学 生 写 作 开 激 的欲 望 ． 学 生 感 受 写 作 文 如 同说 话 一 般 ， 吐 不 快 。在 习作 使 不 指 导 的过 程 中 ， 师 的 职 责 不 是 传 授 技 法 和 知 识 ， 是 激 励 、 教 而 唤 醒 、 舞 ， 学 生 学 会 生活 、 会 积 累 、 会 运 用 。每 一 天 都 鼓 让 学 学 带 着 健康 的情 感 生 活 ， 着 友 爱 的 情 态 关 注 身 边 的人 和事 ， 带 每 次 都 带 着 积 极 的 情 绪 动 笔 ，就 一 定 能 写 出富 有 个 性 和 真情
摘 要 ： 文 把 矩 阵 的 初 等 变 换 推 广 到 分 块 矩 阵 ． 用 本 并 分 块 矩 阵 的初 等 变换 解 决 了许 多有 关 分块 矩 阵的 问题． 关 键 词 ： 等 变换 分 块矩 阵 分 块 初 等 矩 阵 初
一
定 理 １ 设 Ａ ＝ ａ） （ …
，
一
的文 章
４ ４
初 等矩 阵记 为 ＩｉＫ） ； （（ ）
（ ） 矩 阵Ｋ 乘 Ｉ ３用 左 的第ｊ 加 到第 ｉ 所 得 到 的 分 块 初 等 矩 行 行 阵 记 为Ｉｊｋ ， ， 时 表 示 用 矩 阵 Ｋ 乘 Ｉ 第 ｉ 加 到第ｊ 所 （（ ）ｉ 同 ） 右 的 列 列 得 到 的分 块 初 等 矩 阵 ． 与定 理 １ 类似 ， 们 有 ： 我 定 理 ２ 对 分 块 矩 阵Ｍ做 一 次 分 块 初 等 行 （ ） 换 相 当 列 变 于 在Ｍ的左 边 （ ） 乘 以 一个 相 应 的分 块 初 等 矩 阵 ． 右 边
专题 分块矩阵的初等变换
1 A1 0 E E E 0 4 E E 1 0 E 0 A1 2
2016/5/31
1 0 4 A1 E E 1 1 0 E A1 A1 2 4 1 1 4 A1 4 A1 1 1 A1 A1 4 4
B1 B1 A1 B1 0 A1 0 1 0 a A 1 0 a A 1 nn 1 nn 1
为上三角形．
0 B1 B1 0 E 0 B 1 A 1 0 1 1 A11 1
C D A B C D C A B 行变换 A PC B PD C D C D
D
二.分块初等矩阵
将分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换 得到的矩阵，称为分块初等矩阵.
Em 若 E O
则 又
1 1 1 1 A . A 1 1 1 2 2
1 1
E E A1 A1 E 0 E E 0 E A A 1 1
1
2 A1 A 1
2016/5/31
0 E 0 2A 0 A E E
r2 C ( A BD1C )1 r1
A BD 1C O Em BD 1 1 1 1 1 1 C ( A BD C ) ( BD ) En O D C ( A BD C )
2016/5/31
续
Em O ( A BD 1C ) 1 ( A BD 1C ) 1 BD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 O E D C ( A BD C ) BD D n D C ( A BD C )
2.2分块矩阵的初等变换
r ( P1 ) r ( A) , r ( P2 ) r ( B )
P1 A O 初等行变换 O O B O
即
O P2 O
A O r r ( A) r ( B ) O B A O 中至少有一个 （2）由Laplace 定理 C B
1
两边取行列式即得 | M | | A | | D CA B |
1
例 3 证明下列几个关系式：
(1)
A O r r ( A) r ( B ) O B
A O ( 2) r r ( A) r ( B ) C B P P 初等行变换 1 初等行变换 2 证（1） A , B O O 其中 P1 ，P2 为阶梯形矩阵，且
§2.2* 分块矩阵的初等变换 定义 对分块矩阵的行(列)施行下列 3 种 操作之一, 称为对分块矩阵施行了 一次初等变换: 1°交换分块矩阵的两行(列) , 记为
Ri R j (Ci C j )
2°用一个可逆矩阵 P （ Q ）左(右) 乘分块 矩阵的某行(列) 的各子块, 记为
PRi Ri (CiQ Ci )
k
i 行
j 行
i 列
j 列
P 为可逆矩阵
El
1
El
i El
k
i 行
i 列
Ai 的列数 = El的行数
i
Ai 的行数 = El的行数
j
El
k
行
行
i 列
j 列
El
1
El
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵初等变换的妙用分块矩阵是将一个矩阵按照若干个较小的矩阵分割而成的一种表示方法。
分块矩阵在线性代数中有广泛的应用，特别是在矩阵初等变换中。
矩阵初等变换是对矩阵进行一系列基本的操作，包括交换两行、交换两列、某一行或列乘以一个非零常数、某一行或列乘以一个非零常数再加到另一行或列。
这些操作可以改变矩阵的行列式、秩和解集等性质。
通过分块矩阵初等变换，可以方便地对一个大矩阵进行分解和合并操作。
这对于求解线性方程组、矩阵求逆和矩阵的特征值等问题非常有用。
考虑线性方程组的求解问题。
对于一个n阶线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
如果矩阵A可以分解为分块矩阵的形式，即A={A11, A12, A21, A22}，其中A11是一个k×k的矩阵，A12是一个k×(n-k)的矩阵，A21是一个(n-k)×k的矩阵，A22是一个(n-k)×(n-k)的矩阵，那么可以将线性方程组分解为四个子方程组：A11x1 + A12x2 = b1A21x1 + A22x2 = b2其中x1和x2分别是k维和(n-k)维的列向量，b1和b2分别是k维和(n-k)维的列向量。
通过分块矩阵初等变换，可以将原线性方程组转化为这四个子方程组的形式。
进一步，对于A11的维数不大的情况，可以通过直接求逆或LU分解等方法求解x1，然后将x1的值代入b2和A22的方程组中求解x2，从而得到原线性方程组的解x。
A^-1 = {A11^-1 + A11^-1A12B(A22-A21A11^-1A12)A11^-1, -A11^-1A12B}其中B=(A22-A21A11^-1A12)^-1。
通过分块矩阵初等变换，可以将原矩阵的逆矩阵的计算问题转化为四个子矩阵的逆矩阵的计算问题，进而简化计算过程。
|A - λI| = |A11 - λI| |A22 - λI - A12A21|其中|A|表示矩阵A的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
分块矩阵初等变换的妙用
分块矩阵初等变换的妙用分块矩阵是指一个大的矩阵由多个小的矩阵组成的一种特殊形式。
在线性代数中，学习如何进行矩阵的初等变换是非常重要的一部分，它可以帮助我们求解矩阵的行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等问题。
在实际应用中，常常需要对分块矩阵进行初等变换，以便达到我们所需要的目的。
分块矩阵初等变换有着许多妙用，其中比较常见的包括以下几种：1. 求分块矩阵的逆矩阵在分块矩阵中，如果将每个小矩阵看作一个元素，那么整个矩阵就可以看作是一个大的元素，我们可以利用初等变换来求出它的逆矩阵。
以一个 $n\times n$ 的分块矩阵为例，假设每个小矩阵都是一个 $m\times m$ 的矩阵，那么整个矩阵可以表示为如下形式：$$\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}$$我们需要先将它转化为一个上三角矩阵，具体的步骤为：(1) 对 $A_{11}$ 进行初等行变换，将其变为单位矩阵。
(2) 对 $A_{21}$ 进行初等行变换，让 $A_{21}$ 的第一列为 0，这需要利用矩阵$A_{11}$ 的逆矩阵。
(7) 重复上述步骤，一直进行到最后一个小矩阵 $A_{nn}$，最终得到一个上三角矩阵 $U$。
接下来，我们只需要将 $U$ 进行反向初等变换即可求得整个分块矩阵的逆矩阵。
2. 求解具有块状系数矩阵的线性方程组在某些实际问题中，往往遇到的是块状系数矩阵的线性方程组，即方程组中的系数矩阵是一个分块矩阵。
这时，我们可以通过初等变换来将该方程组转化为容易求解的形式。
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十．研究创新题解：1.分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指:（1）交换两行(列的位置;（2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行.定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指:（1）=或=（2）=或=其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子；(1 =(2 或=初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵；(2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵；(3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘.定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为,其中h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l],l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l],施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: ,显然成立.下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故;同理.所以有==(-1或==（-1）==或=====定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1,相当于对进行若干次行(列的交换,故命题成立;对于(2,根据定义1,显然成立;对于(3,相当于进行若干次把行(列乘以一个倍数后加到另一行(列,故命题成立.定理4 (1设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当(Ａ= (Ａ,Ｂ=ｍ时有唯一解,当(Ａ= (Ａ,Ｂ<ｍ时有无穷多解,当(Ａ< (Ａ,Ｂ时无解;(2设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当(Ａ= =ｎ时有唯一解,当(Ａ= <ｎ有无穷多解,当(Ａ< 时无解.证明: (1设(Ａ= (Ａ,Ｂ<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，其中为ｒ阶单位矩阵, 为ｒ阶方阵,设,则有: == =B所以为ＡＸ=Ｂ的解,其中, 是任意的.当(Ａ= (Ａ,Ｂ=ｍ时,Ａ=Ｐ(ＯＱ,Ｂ=( ,显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: ;当(Ａ< (Ａ,Ｂ时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2成立(当(Ａ= ( , <ｎ时,X=P定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果( = ( ,= (,,则称为极大元.定理5 分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是: 它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置.由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，,令Ｋ=-Ｐ,其中, 为适当阶数的任意矩阵.则K+ =，所以第一行左乘Ｋ加到第二行,得.同理,令Ｋ＇=-, 则Ｋ′+ =0,所以的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得.(如先进行列变换,再进行行变换,得,因为=+=+,故两种运算顺序结果相同必要性.反证法,不妨设(≠(,或(,(,则由定理4, =-或=-无解,从而不存在Ｋ,使对角化.同理,当(≠(,或(,≠(时,不存在使-A K=A或-=成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理6 矩阵的一种分块方法可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;设ｓ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为.显然为极大元,根据定理4, 可以化成对角形: ,又,它的每行、列都有极大,故由假设可以对角化,从而可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块进一步化简的方法.设,与.根据定理1, ,为的左(右保秩因子,显然也是所在行(列的左(右保秩因子,故对角化后的分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘,右乘后, 可以化成讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式.设I为S×S分块单位阵:I=其中I r为r阶单位阵(1≤i≤S,对I施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理分块初等阵的行列式有以下性质:(1|I(i,j|= ,其中τ=r (r+1+…+r+ r (r+1+…+ r-1(i特别地,若j=i+1,则| I(i,j|=(-1 r r;(2|I(i(K|=|k|,其中K是r阶可逆阵;(3|I(j(K,i|=1,其中K是r×r矩阵.证(1不难验证,将I(i,j的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j变成I,由行列式的性质,|I(i,j|= |I|=.(2,(3由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.由于对分块方阵A施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质.定理7 设A是一个分块方阵.(1交换|A|的i,j两行(列,行列式变为(-1τ|A|,其中τ= r (r+1+…+ r+ r (r+1+…+ r-1;特别地,交换|A|的相邻两行(列(i行和i+1行,行列式变为(-1 r r+1|A|;(2用一个r阶可逆阵K左(右乘|A|的第i行(列的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|;(3用一个矩阵左(右乘|A|的某一行(列的所有矩阵再加到另一行(列的对应元素上,行列式不变.由定理7的(2可得推论分块行列式|A|的某一行(列的所有矩阵的可逆左(右因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2．分块矩阵初等变换的应用一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到例1: 已知其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并求.分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等变换span,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普拉斯展开,有≠0,故Ｐ可逆.求C有三种办法:解法一:利用广义初等行变换法.B r,C r(B D+r故P=本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩阵相同.作初等行(列变换时,对矩阵Ｐ应左(右乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下:解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求=有=即：==E故有P===例2：已知A=，求A.分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分块矩阵初等变换法求.利用分块矩阵初等变换法先A化分成分块矩阵，即A==其中B=，C=，D=从而求得B=，C=然后对A进行广义初等变换，即：B r,C r(B D r+rA==如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵》一文中提到例3设P=是一个分块方阵,其中A是r阶可逆阵,求|P|.解: 由推论及定理7的(3:====若A与D可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A与C可交换(即AC=CA,则|P|=|AD-CB|.例例4 设D=, 其中a≠0,求|A|解： D==由于A,C可交换,所以D=== =|(ad-bcI|=(ad-bc例5 设A,B,C和D是n阶方阵,试证明=证两次利用定理4的(1,得=（-1）=（-1）（-1）=三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到：矩阵的秩有以下初等性质:设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒ≥ｒ(Ａ+ｒ(Ｂ并且当Ａ(或Ｂ是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立.例6. 设Ａ是ｍ×ｎ阵的非异顺序主子阵,则r=ｒ(Ａ+ｒ(Ｄ-ＣＡＢ证：=而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ=≥ｒ(Ａ+ｒ(Ｄ考情解读B例7. 设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑ为反对称矩阵,证明:ｒ2必为偶数(1: 对ｎ用归纳法ｎ=1,2是命题显然成立设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成Ａ=,其中Ａ=不妨设(30.=∴ｒ(Ａ=ｒ=ｒ=ｒ(Ａ+ｒ作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．Ｃ4=2+ｒ(Ｄ-ＢＡＣ但Ｄ-ＢAＣ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡＣ为偶数,故ｒ(Ａ为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例8. 设Ａ=(ａ是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零,证明: 存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ证: 对ｎ用归纳法ｎ=1时显然成立设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ=由归纳假设对Ａ=有Ａ=ＢＣ其中ＢＣ分别是ｎ-1阶非异下三角形与上三角形矩阵,其中b=-上式两端取行列式有：=b,b0=于是得：A==BC其中B===,C==0,=bB与C分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.。