信号与系统基础-第10章

h1m (t) f1(t)
h2
m
(t
)
f2
(t
)
hkm
(t
)
fn
(t
)
y(t) h(t) f (t)
（10-5） （10-6）
16
10.2 系统的状态方程
f1 (t ) f2 (t)
fm (t)
MIMO 连续系统
h(t)
y1(t) f1(t) y2 (t) f2 (t)
yk (t) fm (t)
9
10.1 系统的状态空间描述
(3) 状态向量：状态变量x1(t), x2 (t),, xn (t) 的列向量形式就是状态向量，x用(t) 表示，
x1(t)
x(t)
x2
(t)
x1(t)
x2 (t)
xn
(t
)
xn (t)T
具有n 个状态变量的状态向量被称n为维状态变量。
10
10.1 系统的状态空间描述
【解】根据KCL和电感、电容的特性列出方程
RiL
(t
)
L
diL (t dt
)
uC
(t
)
uS
(t
)
（10-1）
R uS (t)
L iL (t) uC (t) C
C
duC (t) dt
iL (t)
（10-2）
图10-2 例题10-1图
则将式（10-2）代入式（10-1），可得 式（10-3）正是我们熟悉的外部
需要指出：一个系统中状态变量的选取通常不唯一，但是状态变量的数目是唯 一的，也就是说，构成状态方程组的一阶微分方程个数是唯一的。
状态变量虽然可以有不同的选择，但也不能随便选取，要求状态变量必须满足 独立性与完备性条件。所谓独立性指各状态变量之间必须线性无关，即任何一个 状态变量不能由其他状态变量的线性组合表示。而完备性则是指在已确定的状态 变量之外不可能再找到一个。
10.3 状态模型建立方法
【例题10-3】试建立图10-5所示三阶系统的状态方程和输 出方程。
F(s)
1
x3
1
s
s
b1 x2 1 x1
s
a2 a1 a0
图10-5 例题10-3图
b0
Y (s)
【解】选取三个积分器的输出为状态x变1,量x2 , x3 。围绕第一个加法器列状态方程
26
10.3 状态模型建立方法
d 22
d
2m
an1
an2
ann
bn1
bn 2
bnm
ck1
ck 2
ckn
d k1
dk2
d
km
20
10.2 系统的状态方程
则可得到状态方程和输出方程的矩阵表达形式
简记为
x•
(t)
Ax
(t)
Bf
(t)
y (t) Cx(t) Df (t)
x• Ax Bf y Cx Df
（10-9）
MIMO 连续系统
x(t)
（a）外部法描述
（b）状态空间法描述
图10-3 一个MIMO连续系统的端口法及状态空间描述示意图
y1 (t ) y2 (t) yk (t)
17
10.2 系统的状态方程
在状态空间描述法中可，用一组一阶微分方（程状态方程）和一组代数方程（输出方程） 加以描述，即
•
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1m fm
10.3.2 模拟图建立法
假设积分器输出为xo ，输入为xi ，则有
•
xo xi
(10-10)
显然，积分器的输出可以作为状态变量，这是建立状态方程的关键。
由模拟图建立状态方程比电路图法更直观、更简单。其一般步骤如下：
（1）选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量。
（2）围绕加法器列出状态方程和输出方程。 25
5
10.1 系统的状态空间描述
1．输入～输出描述 本章将介绍不仅与系统输出和输入信号有关，还涉及系统内部参数的“状态空 间”描述法。图10-1是一个SISO系统的两种描述法示意图。
f (t) f [n]
LTI系统 微分/差分方程
y(t)
f (t)
y[n]
f [n]
LTI系统
状态方程 输出方程
（a）外部法
y2
c21x1
c22 x2
c2n xn
d 21 f1
d 22 f2
d2m fm
（10-8）
yk ck1x1 ck 2 x2 ckn xn d k1 f1 d k 2 f2 d km fm
19
10.2 系统的状态方程
如果我们记
x1(t)
x
(t)
x2
(t
)
1
1
1
Cx2 x1 R2 ( f2 x2 ) x1 R2 x2 R2 f2
x1 (t) L
f1 (t ) R1
y1 (t) C
y2 (t)
R2
x2 (t)
f2 (t)
写成状态方程矩阵形式
图10-4 例题10-2系统
23
10.3 状态模型建立方法
x1 x2
R1 L 1
显然，状态变量是连接激励与响应的纽带。式（10-9）即为为系统的状态模型 标准式，可大概地用图10-3（b）描述。
21
10.3 状态模型建立方法
10.3.1 电路图建立法 （1）选取电路中所有电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
（2）利用KCL写出每一个电容电iCi流 Ci
duCi dt
与其他状态变量和输入量之间的关系式。
LC
d2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
uC
(t
)
uS
(t)
（10-3）
法系统模型。求解该方程即可得 到给定激励下的系统响应。
14
10.2 系统的状态方程
现在的问题是，不但要知u道C (t) 与 uS (t) 的关系，还想了解iL (t) 随 uS(t)
的变化规律，那么就需要将式（10-1）和式（10-2）联立求解，则有
(0
)
x2 (0 )
xn (0 ) T
xn
(0
)
11
10.1 系统的状态空间描述
(5) 状态空间：放置状态向量x(t) 的空间就是状态空间。状态向量在n 个坐标轴上的投影
即为相应的n 个状态变量。
(6) 状态方程：状态方程指的是一组可以描述n一阶个系统的激励向量f (t) 、起始状态向量
x(0 ) 和状态向量 x(t) 三者关系的一阶微分方程。
•
x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2m fm （10-7）
•
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnm fm
18
10.2 系统的状态方程
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1m fm
27
10.3 状态模型建立方法
【例题10-4】图10-6是一个系统流图。试建立系统的状态方程和
（（43））若利第用2K、VL3写步出所每得一到个的电KC感L和电uK压LiVL方Li d程ditLi 中与含其有他非状状态态变变量量和，输则入应量利用之适间当的关的系节点式K。CL方
程和回路KVL
方程将非状态变量消去。
（5）将第2、3步（第4步）所得到的关系式整理成标准形式即得到电路的状态方程。
（6）由KCL和KVL写出状态变量和输入量与输出量之间的关系，即得到电路的输出方程。 22
x1 x2 x2 x3 x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 f
围绕第二个加法器列输出方程
y b0 x1 b1x2
将上述各式用矩阵表示即可。
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
f
x3 a0 a1 a2 x3 1
x1
y b0
b1
0
x2
x3
xn
(t
)
f1(t)
f
(t)
f2 (t)
f
n
(t
)
y1(t)
y
(t)
y2 (t)
yn
(t
)
a11 a12 a1n
b11 b12 b1m
c11 c12 c1n
d11 d12 d1m
A
a21
a22
a2n
B
b21
b22
b2m
C
c21
c22
c2n
D
d 21
10.3 状态模型建立方法
【例题10-2】写出图10-4所示电路的状态方程和输出方程。
y1(t) 和 y2 (t) 为输出，f1(t) 为电流源，f2 (t) 为电压源。
【解】选电感电流为状态变x量1(t) ，电容电压为状态变量x2 (t) 。根据KCL和KVL可得
Lx1 y1 x2 R1( f1 x1) x2 R1x1 x2 R1 f1
C
1 L
1 R2C
x1 x2
R1 L
0
0 1
f1 f2
R2C
输出方程为
y1 R1( f1 x1) R1x1 R1 f1 y2 x2 f2
写成输出方程矩阵形式
y1 y2
R1
0
0 1
x1 x2
R1 0
0 f1
1
f
2
24
10.3 状态模型建立方法
d dt
iL
(t)
R L
iL
(t)
1 L
uC
(t)
1 L
uS
(t)
d dt
uC
(t
)
1 C
iL
(t)
（10-4）
式（10-4）是以iL (t) 和 uC (t) 作为变量的一阶联立微分方程组。 式（10-4）就是该系统的状态方iL程(t)，和uC (t) 就是所谓的状态变量。
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10.2 系统的状态方程
（b）状态空间法
图10-1 SISO系统的两种描述法示意图
y(t) y[n]
6
10.1 系统的状态空间描述
2．状态变量描述
在状态空间描述法中，不是直接给出系统 输出和输入之间满足的微分（差分）方程，而 是首先在系统内部适当地选择一组辅助变量— 响应 —状态变量，然后找出这组状态变量与系统输 入之间满足的关系式——状态方程，再找出系 统输出和这组状态变量以及输入之间满足的代 数方程——输出方程，从而完成系统输入、状
讲授 张卫钢 信号与系统基础
选用教材 2
第10章 系统的状态空间分析
第10章|主要内容
10.1 系统的状态空间描述 10.2 系统的状态方程 10.3 状态模型建立方法 10.4 状态模型求解方法 10.5 稳定性的判别
问题引入：前面介绍的系统分析方法都是基于激励和响应之间的数学模型，讨论给 定系统对信号的变换特性。而系统内部参数或结构的变化对系统响应是否有影响？ 若有，其影响又是怎样的？另外，对多输入多输出的复杂系统又该如何分析？ 解决思路：在系统内部寻找一些能够反映系统内部特性的参数，然后将激励和响应 分别与这些参数联系起来。同时，引入矩阵工具解决上述问题。 研究结果：状态空间分析法。 核心内容：系统的状态模型。
输入）之间满足的是代数方程（输出方程），
所以，只要解出状态变量，则每一个响应都
注意可：通上过述状概态念变稍量加和变激化励（的比线t如性变组为合n ，求微出分。方程变为差分方程）即可适用于离散系统。
(3) 容易推广到时变系统和非线性系统中去。
13
10.2 系统的状态方程
【例10-1】试写出图10-2所示系统的状态方程。
状态变量
激励
7
10.1 系统的状态空间描述
用“状态方程”和“输出方程”描述系统的方法就是状态空间描述法。 系统的状态方程和输出方程可以统称为系统的状态模型。 根据状态模型分析系统特性的方法就是状态空间分析法。
下面，先介绍系统状态空间分析法中常用的几个术语。需要说明的是，这 里“状态”和“起始状态”等概念都是第2章和第3章相关概念的延续与补充 。
(4) 状态与起始状态：状态变量在某一时t0 刻的值就是系统在t0 时刻的状态。向量形式为
x1(t0 )
x(t0
)
x2
(t0
)
x1
(t0
)
xn
(t0
)
x2 (t0 )
xn (t0 ) T
状态变量在起始时刻0 的值称为系统的起始状态。向量形式为
x1(0 )
x(0
)
x2
(0
)
x1
8
10.1 系统的状态空间描述
(1)系统状态：当所有外部输入已知时，为确定系统未来运动规律而必须知道的一组数 目最少的
(2)状信态息变数量据：就能是够系表统示状系态统。状态且随时间变化的变量就是状态变x1量(t),,用x2 (t), , xn (t)
表示。系统在任意时刻t 的响应值，都可以由该时刻系统的状态变量和激励信号共同确定
m k 通常，对于一个如图10-3（a）所示具有个输入 f1, f2 ,, fm 和 个输出
y1, y2 ,, yk 的MIMO连续系统，当起始松弛时，其外部法描述的矩阵方程为
可简记为
y1(t) h11(t)
y2
(t)
h21(t)
yn
(t
)
hk1(t)
h12 (t) h22 (t)
hk 2 (t)
(7) 输出方程：一组可以描述激励向f (量t) 、状态向量x(t) 和响应向量 y(t)
三者关系的代数方程称为系统的输出方程。 12
10.1 系统的状态空间描述
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采用状态空间分析法研究系统特性主要有以下特
点：
(1) 一阶微分方程组便于求解，尤其便于计算机
处理。
(2) 由于系统响应（输出）与状态变量和激励（