线宽和线型

第五章 局域中心光跃迁中的电声子耦合问题 我们在讨论理想晶体的带间间接跃迁时，已经遇到过声子协助的光跃迁。这种跃迁是由光-电子和电子-声子相互作用共同引起的。在与杂质或缺陷相联系的局域中心的光跃迁中，同样会有声子协助的跃迁。与理想晶体情形不同,这种局域中心的电子能态，不再能用确定的波矢来标记，准动量守恒这一跃迁选择定则自然不再有效。这种电子态的能量，不像晶体中电子能带那样准连续地分布在一定允许范围内，而是呈分立的分布。这些分立能级间的跃迁本该给出窄的光谱线，但电-声子相互作用使光跃迁过程可以有声子参与,导致谱线变宽，或者，出现所谓的声子伴线和声子边带。而且，由于相互作用的大小与晶格振动的强弱（声子数的多少）有关，也即与温度有关，因而与之相关的光跃迁过程往往表现出明显的温度依赖关系。

5.1 线宽和线型

5.1.1 能级寿命与光谱线的线型和线宽

局域中心分立能级间跃迁发出的光，并非一系列理想的单色光（线谱），每条谱线都有一定的光谱分布（称之为线型）。相应的，每条光谱线都有一定的光谱宽度，简称为线宽，它是线型的一个特征参数。谱线的线宽可以由多种原因造成。我们已经看到，与外界没有其它（除了辐射场）相互作用的孤立中心，如果处在激发态，都会通过自发辐射回到基态。也即，中心处于激发电子态的时间不是无限长，而是有一有限长的寿命。由测不准关系E t ∆∆可知，这样的状态的能量不是完全确定的，或说能级有一定的宽度。可以用能级寿命τ作为时间不确定程度t ∆的估计，即t

τ∆。于是，能级的能量不确定程度（宽度）就为E τ∆，相应跃迁的光谱线也就有一定的宽度1ωτ∆。

考虑一个由同类孤立中心组成的系统。为简单起见，假定中心只有基态和激发态两个能级。假定时刻0t =时，处于激发态的中心数为0N ，且在0t >时，没有外界对该系统的激发。由于存在到基态的自发辐射过程，处在激发态的中心数()N t 将随时间减少。设一个处于激发态的中心的自发辐射速率为W ，

激发中心数()N t 随时间的变化（衰减）由下列速率方程描述：

()()dN t dt N t W =- （5.1-1） 不难解得激发中心数随时间衰减遵循简单的e 指数规律：

0()exp()N t N Wt =- （5.1-2） 由此可以得到一个中心处在激发态的平均寿命为：

000

0111()()t t dN N t dt N N W τ∞∞==-==⎰⎰ （5.1-3） 对允许跃迁，8110W s -，相应的10ns τ。

寿命与谱线宽度和线型的关系，可以在经典物理的框架下予以说明。考虑激发态到基态的光跃迁。荧光强度正比于跃迁速率和激发态中心数：

00()()exp()exp()J t N t W N W t J t ττ==-≡- （5.1-4） 它随时间指数衰减，意味着此光波是减幅电磁振荡：(光强正比于场振幅平方)

200()e cos t A t A t τω-=， （5.1-5） 这一减幅振荡可以展开为等幅振荡的线性叠加（傅立叶展开）：

0()()i t A t E e d ωωω∞=⎰， （5.1-6） 其中，()E ω为光场()A t 所包含的频率ω的电磁波分量的振幅：

2000000()()(cos )11()12()12i t t i t E A t e dt A e t e dt i i ωτωωωωωτωωτ∞∞---==⎛⎫=+⎪-+++⎭⎰⎰ （5.1-7）

在0ω附近，00«ωωω-的范围里，002ωωω+≈。对光波，141010s ω->，通常都满足条件01»

ωτ。因此，()E ω表达式中的第二项比第一项小得多，可以略去。于是谱线强度的光谱分布为：

0022

0()()(12)J J ωωωωτ-=-+ （5.1-8）

或表示成归一化的光谱线线型0()g ωω-（它满足00()1g d ωωω∞-=⎰

）：

02201

1()2()(12)g ωωπτωωτ-=-+ （5.1-9）

这种线型常称为罗伦兹（Lorentzian ）线型。 上面的讨论表明：由寿命决定的谱线线型（光谱分布）为罗伦兹线型。

谱线线型的一个重要参数是谱线的宽度，常用线型中强度为峰值之半的两个频率的间距δω，称为半高全宽（Full Width at Half Maximum -- FWHM ），来衡量谱线的宽度。对罗伦兹线型， 00001()()122

g g ωωωωωωτ-=-⇒-=，于是得谱线宽度： 1W δωτ== （5.1-10） 上式 正是 测不准关系的结果。

上面考虑的是激发态到基态的跃迁。一般来说，处于激发态中心可以跃迁到若干个较低的激发态，总的跃迁速率是各个跃迁速率之和 i

i

W W =∑，它决定激发态寿命和荧光寿命，以及与寿命相联系的线宽。如果跃迁的下能级不是基态，其寿命也是有限的，因而能级也有一定的宽度，这时，相应谱线的宽度就包含来自跃迁初末态能级宽度的贡献：11f i i f E E ωττ∆∆∆≈

+=+，其中的下标

,i f 分别代表跃迁的初态和末态。 最后要说明的是，上面关于寿命与线型的关系，是就自发辐射的情形讨论的，这种由自发辐射决定的谱线宽度称之为自然线宽。这样的线宽是很窄的，即使对允许跃迁，811=10W s δωτ-≈=，也比光频波的141010s ω->小得多。此外，上面关于寿命和光谱线宽的讨论不光适用于自发辐射情形，对无辐射退激发（或消布居）的贡献同样适用。

5.1.2 谱线的宽化：均匀宽化与非均匀宽化

由自发辐射决定的自然线宽是谱线宽度的下限。这一宽度相当小，已到了目前实验测量技术能分辨的极限了。我们实际观测到的线宽，多半比这大得多。使谱线变宽或宽化的原因有多种，可分为均匀宽化与非均匀宽化两类典型的情形。

粗略地说，一个由同类中心组成的体系，每个中心所处的物理

环境不同，发射的光子能量也会有小的差异，而所观测到的是大量中心的发射的叠加，因而所发射光子能量有个分布，呈现为宽化的光谱，这称为非均匀宽化。

另一种情形是所有中心都因同样的物理原因发射同样的宽化的光谱，是为均匀宽化。

1. 均匀宽化：

晶体中局域中心谱线均匀宽化的原因是电子与晶格振动（声子）间的相互作用，也常称之为电子-声子碰撞。由于这一相互作用，电子与声子系的状态将会发生改变，但总能量是守恒的。电声子相互作用可以使所考察激发电子态的布居数减小，消布居（depopulation）过程变快，能级寿命变短，相应的谱线宽度就变大。也可以不影响能级的布居数，但使发射的电磁波位相发生变化，称之为失相（dephasing）过程，它也使谱线变宽。对晶体中处于等价格位的同类发射中心，都处在相同的晶格环境中，与晶格振动的相互作用相同，各中心的宽化也就相同，也即所导致的宽化是均匀宽化。这两种机制造成的宽化，谱线的线型为罗伦兹线型。下面对这两种过程做些说明。