南理工工程电磁场考试题库之静电场

静电场

1．图示真空中有两个半径分别为R 1和R 2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净

电荷Q 1和Q 2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E 的表达式； (2）内导体球壳()r R =1的电位ϕ。

题1图

2．真空中有一个半径为3cm 的无限长圆柱形区域内，有体密度ρ=10

mC m 3

均匀分布的电荷。求：r r r ===234cm, cm, cm

处的电场强度E 。

3．内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数

ε=2

r

F m 的电介质。设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的ε值。

4．图示平行板电容器，设给定了两极板上的总电荷量分别为

+Q 与-Q ，两种不同介质的介电常数分别为ε1与ε2，其介质

分界面垂直于极板，ε1与ε2介质相对应极板的面积分别为S 1与

S 2，试求：

(1)极板上电荷面密度σ1与σ2的值； (2)平行板电容器内电场强度E 的分布。

题4图 5．一同轴线内圆柱导体半径为a ，外圆柱导体半径为b ，其间填充相对介电常数ερr =a

的介质，当外加电压为U (外导体接地）时，试求：

(1)介质中的电通密度（电位移）D 和电场强度E 的分布； (2)介质中电位ϕ的分布；

6．证明均匀介质分布的静电场中，电位ϕ满足拉普拉斯方程或泊松方程。

O

x

S 1

S 2

ε1

ε2

σ2

-Q

+Q

σ1

7．如图所示，两根长为a 2的带电细导线，每根所带电荷量均为

Q

2

，且均匀带电，相距为a ，求图示O 点处的电场强度。

题7图

8．图示一无限长同轴电缆，其内、外圆柱导体的半径分别为a 和b ，内、外导体间的介质

为空气，且内导体的外表面和外导体的内表面的电荷面密度分别为σ和-σ，外导体接

部的电场强度E 的分布。

题8图

9．图示真空中有一半径为a 的长直圆柱导体，其轴线离地面的高度为h ，圆柱导体与地面

之间接有恒定电压源U 0。若忽略端部的边缘效应，并以地面为电位参考点，试求：

(1)圆柱导体与地面之间区域的电场强度E 和电位ϕ的表达式； (2)

题9图

10．图示空气中一输电线距地面的高度3h m =，输电线的半径为5a mm =，输电线

的轴线与地面平行，旦对地的电压为3000U V =，试求地面上感应电荷分布的规律。(.)ε012

88510

=⨯-F m

a

O

x y

Q 2a 2

a 2Q 2

o

题10图

11．要使总电荷量为Q 的电荷在均匀分布于球面或均匀分布于球体内时的静电能量相 等，试确定球面的半径R 1与球体半径R 2之比。

12．长直圆柱形电容器内、外导体的半径分别为R 1、R 2。其间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质，它们分别占据一半空间，如图所示，若内外导体之间电压为U 0，且外导体接地。请写出两种介质内电位函数所满足的微分方程和边界条件。

题12图

13．图示一无限长同轴电缆，其内圆柱导体的半径为a ，外圆柱导体的半径为b

，两层介质ε1与ε2分界面的圆柱半径为R ，试求同轴电缆单位长度电容C 0。

题13图

14．内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数

ε=2

r

F m 的电介质。设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位

为内导体电位的一半时，该处的ε值。

15．已知真空中静电场的电位2

()x U

x xV d

ϕε=+

，求电场强度的分布及电荷体密度ρ。

16．自由空间有三块尺寸相同的薄金属板平行放置，1、2板和2、3板之间的距离均为

d

2

，

已知：1、3板间电压为U 0，金属板2带的电荷面密度为σ，如图5所示。用电位函数的边值问题求金属板间电位分布，以及1板和3板上的电荷面密度，(设1板接地，且忽略端部的边缘效应)。

U 0

13

2d

2

d

2

题16图

17．一个半径为R 介质球，介电常数为ε，球内的极化强度K

P e r

γ=

，其中K 为常数。计算:

1）束缚电荷体密度和面密度； 2）自由电荷密度；

3）球内、外的电场和电位分布。

18．空气中有一内外半径分别为a 和b 的带电介质球壳，介质的介电常数为ε，介质内有电

荷密度为2

A

ργ=

的电荷分布，其中系数A 为常数，求总电荷及空间电场强度、电位的

分布。若b a →，结果如何？

19．半径为R 的空心球金属薄壳内，有一点电荷q ，离球心距离为b ，b R <。设球壳为中

性，即壳内外表面总电荷为零，求壳内外的电场。

20．半径为a 的球形导体薄壳内、外分别充满着介电常数为ε、ε0的均匀介质，

已知离球心r 远处的电场强度E 的分布为

42

r r Ar e r a

E Ar e r a -⎧<=⎨>⎩ 式中A 为常数。求: [1] 导体球壳内、外介质中的电荷体密度ρ()r [2] 导体球壳表面上的电荷面密度σ。 提示：22111()(sin )sin sin r A A r A A r r r r φ

θ

θθθθφ

∂∂∂∇⋅=

-+∂∂∂

题21图

21．如图1示真空中有一个半径为a 的介质球，其相对介电常数为εr =3，介质

球内分布着体密度为ρ的均匀自由电荷。已知球心处的电位01000V ϕ=(以无

穷远处为电位参考点)，球表面上介质一侧的电场强度E =10

4

V m 试求： [1] 介质球的半径a ； [2] 介质球内的电荷体密度ρ；

[3] 定性画出空间E f r =1()和ϕ=f r 2()的大致变化的曲线。

题22图

22．在半径分别为a 和b 的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体

密度20(/)C m ρρ=。已知外球壳接地，内球壳的电位为0U ，求两导体球壳间的电场和电位分布。