南理工工程电磁场考试题库之静电场

静电场
1．图示真空中有两个半径分别为R 1和R 2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净
电荷Q 1和Q 2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E 的表达式； (2）内导体球壳()r R =1的电位ϕ。

题1图
2．真空中有一个半径为3cm 的无限长圆柱形区域内，有体密度ρ=10
mC m 3
均匀分布的电荷。

求：r r r ===234cm, cm, cm
处的电场强度E 。

3．内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数
ε=2
r
F m 的电介质。

设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的ε值。

4．图示平行板电容器，设给定了两极板上的总电荷量分别为
+Q 与-Q ，两种不同介质的介电常数分别为ε1与ε2，其介质
分界面垂直于极板，ε1与ε2介质相对应极板的面积分别为S 1与
S 2，试求：
(1)极板上电荷面密度σ1与σ2的值； (2)平行板电容器内电场强度E 的分布。

题4图 5．一同轴线内圆柱导体半径为a ，外圆柱导体半径为b ，其间填充相对介电常数ερr =a
的介质，当外加电压为U (外导体接地）时，试求：
(1)介质中的电通密度（电位移）D 和电场强度E 的分布； (2)介质中电位ϕ的分布；
6．证明均匀介质分布的静电场中，电位ϕ满足拉普拉斯方程或泊松方程。

O
x
S 1
S 2
ε1
ε2
σ2
-Q
+Q
σ1
7．如图所示，两根长为a 2的带电细导线，每根所带电荷量均为
Q
2
，且均匀带电，相距为a ，求图示O 点处的电场强度。

题7图
8．图示一无限长同轴电缆，其内、外圆柱导体的半径分别为a 和b ，内、外导体间的介质
为空气，且内导体的外表面和外导体的内表面的电荷面密度分别为σ和-σ，外导体接
部的电场强度E 的分布。

题8图
9．图示真空中有一半径为a 的长直圆柱导体，其轴线离地面的高度为h ，圆柱导体与地面
之间接有恒定电压源U 0。

若忽略端部的边缘效应，并以地面为电位参考点，试求：
(1)圆柱导体与地面之间区域的电场强度E 和电位ϕ的表达式； (2)
题9图
10．图示空气中一输电线距地面的高度3h m =，输电线的半径为5a mm =，输电线
的轴线与地面平行，旦对地的电压为3000U V =，试求地面上感应电荷分布的规律。

(.)ε012
88510
=⨯-F m
a
O
x y
Q 2a 2
a 2Q 2
o
题10图
11．要使总电荷量为Q 的电荷在均匀分布于球面或均匀分布于球体内时的静电能量相 等，试确定球面的半径R 1与球体半径R 2之比。

12．长直圆柱形电容器内、外导体的半径分别为R 1、R 2。

其间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质，它们分别占据一半空间，如图所示，若内外导体之间电压为U 0，且外导体接地。

请写出两种介质内电位函数所满足的微分方程和边界条件。

题12图
13．图示一无限长同轴电缆，其内圆柱导体的半径为a ，外圆柱导体的半径为b
，两层介质ε1与ε2分界面的圆柱半径为R ，试求同轴电缆单位长度电容C 0。

题13图
14．内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数
ε=2
r
F m 的电介质。

设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位
为内导体电位的一半时，该处的ε值。

15．已知真空中静电场的电位2
()x U
x xV d
ϕε=+
，求电场强度的分布及电荷体密度ρ。

16．自由空间有三块尺寸相同的薄金属板平行放置，1、2板和2、3板之间的距离均为
d
2
，
已知：1、3板间电压为U 0，金属板2带的电荷面密度为σ，如图5所示。

用电位函数的边值问题求金属板间电位分布，以及1板和3板上的电荷面密度，(设1板接地，且忽略端部的边缘效应)。

U 0
13
2d
2
d
2
题16图
17．一个半径为R 介质球，介电常数为ε，球内的极化强度K
P e r
γ=
，其中K 为常数。

计算:
1）束缚电荷体密度和面密度； 2）自由电荷密度；
3）球内、外的电场和电位分布。

18．空气中有一内外半径分别为a 和b 的带电介质球壳，介质的介电常数为ε，介质内有电
荷密度为2
A
ργ=
的电荷分布，其中系数A 为常数，求总电荷及空间电场强度、电位的
分布。

若b a →，结果如何？
19．半径为R 的空心球金属薄壳内，有一点电荷q ，离球心距离为b ，b R <。

设球壳为中
性，即壳内外表面总电荷为零，求壳内外的电场。

20．半径为a 的球形导体薄壳内、外分别充满着介电常数为ε、ε0的均匀介质，
已知离球心r 远处的电场强度E 的分布为
42
r r Ar e r a
E Ar e r a -⎧<=⎨>⎩ 式中A 为常数。

求: [1] 导体球壳内、外介质中的电荷体密度ρ()r [2] 导体球壳表面上的电荷面密度σ。

提示：22111()(sin )sin sin r A A r A A r r r r φ
θ
θθθθφ
∂∂∂∇⋅=
-+∂∂∂
题21图
21．如图1示真空中有一个半径为a 的介质球，其相对介电常数为εr =3，介质
球内分布着体密度为ρ的均匀自由电荷。

已知球心处的电位01000V ϕ=(以无
穷远处为电位参考点)，球表面上介质一侧的电场强度E =10
4
V m 试求： [1] 介质球的半径a ； [2] 介质球内的电荷体密度ρ；
[3] 定性画出空间E f r =1()和ϕ=f r 2()的大致变化的曲线。

题22图
22．在半径分别为a 和b 的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体
密度20(/)C m ρρ=。

已知外球壳接地，内球壳的电位为0U ，求两导体球壳间的电场和电位分布。

23．平行板空气电容器(板的尺度远大于板间距离)中，有体密度为ρ的电荷均匀分布，已知
两板间电压值为U 0，且有一板接地，忽略端部的边缘效应，试用电位函数的边值问题求两板间电场的电位和电场强度。

24.已知半径为R 的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为σ0，则在其轴线上产生的电场强度为0
y y E e σπε=-。

一个带有均匀分布的电荷体密度为ρ0的半圆柱，半径也为R ，问它在轴线上产生的电场强度是多少？
25图示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为τ，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质()εε204=相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d ，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。

题25图
26两个半无限大平面夹角为β，但并未相交，其间有一无穷小的间隙，一块板电位为零，
另一块板电位为U 0，如图所示。

求两板以外空间中电位和电场强度的分布。

提示：圆柱坐标系
∇=
++2
2222211h h h h z
ρ∂
∂ρρ∂∂ρρ∂∂φ∂∂() 题26图
1 z h h h h e e e z
ρφρρφ∂∂∂∇=
++∂∂∂ 27.真空中两个同号的点电荷Q Q 1=、Q Q 23=，相距为d ，以Q 1为原点，Q 1、Q 2的连线为
x 轴，如图所示。

求：
（1） 则在两电荷的连线上，当x 为何值时该点的电场强度为零
半
无U 0
β
（2） 则在两电荷的连线上，当x 为何值时该点由两个点电荷所产生的电场强度量值相
等、方向相同。

题27图
28两个金属小球半径为R =1cm ，相距d =20cm 处于空气中。

（1） 若已知电位ϕ1，ϕ2，求电荷量Q Q 12, ；(2)若已知ϕ1, 2Q ，求Q 1, ϕ2； （2） 欲使小球1带电荷量Q 18
10＝-C ，小球2不带电()Q 20=，应该采用什么方法？
29.有一截面为正方形的长直同轴电缆，如图所示，设内导体的电位为U 0，外导体接地。

1)写出内、外导体之间电位函数所满足的微分方程和边界条件。

2)利用场域的对称性，写出第一象限(即全域14/)场域中电位函数所满足的微分方程和边
界条件。

2b
题29图
30. 两块无限大接地导体平面分别置于0x =和x a =处，其间在00(0)x x x a =<<处有一
面密度为2
0/C m σ的均匀电荷分布。

（1）写出边值问题；（2）利用边值问题求两导体板之间的电场和电位。

31.两块平行导体板间距离为d ,两板接恒压源U 0，设一板接地，平行板间充有电
荷体密度x αρρe 0=，如图所示，试用电位函数的边值问题，求板间电位和电场强度的分布。

(忽略端部的边缘效应)。

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Q 1Q 2
O d
x
题31图。