多小波理论分析

4） f (i) ∈Vj ⇔ f (2i) ∈Vj+1, j ∈ Z ；
5）{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}构成V0 空间的一组 Riesz 基；
这样，称φ 为一个二尺度 r 重函数，并称此多分辨率分析为由φ 产生的二尺度 r 重多分
辨率分析。更进一步的，如果φ 满足：
< φl (x − j),φm (x − k) >= δlmδ jk ,
要构造相应的多小波，本质是寻找 B(z) ，使得 H (z)H (z)T = Iar 。而由定理，H (z) 可
ψ (x) = Q0φ(2x) + Q1φ(2x −1) + Q2φ(2x − 2),
(15)
其中，
Q0 = DP0,Q1 = D−1P1,Q2 = DP2, D = diag(
1 ,
21 − 1
1 ,
22 −1
,
1 )
2r −1
上面是讨论的是尺度因子为2 时多小波的构造问题。而对于 a(a > 2, a ∈ Z ) 尺度多小波
生的 a 尺度 r 重多分辨率分析。此种情况下，仍定义Wj 为V j 在V j+1 中的补空间，那么与Wj
对应的多小波函数为ψ = [ψ1 ψ 2 …ψ (a−1)r ]T ，同样，我们可以得到 a 尺度关系：
∑ ⎧φ ( x)
⎪
∑ ⎨⎪⎩ψ (x)
= =
k∈Z k∈Z
Pkφ(ax − k), Qkφ(ax − k),
Pk = 0, for k < 0 and k > M 。
2．多小波函数
对于一个给定的二尺度 r 重多分辨率分析空间{Vj} ，我们定义Wj 为V j 在Vj+1 中的补空
间，即V j+1 是Wj 和V j 的直和：V j+1 = V j ⊕ Wj 。同上理，令ψ = [ψ1 ψ 2 …ψ r ]T 为多小波
函数，其中，ψ ∈ L2 (R) ， r ∈ N ，则可定义空间Wj , j ∈ Z 如下：
Wj = span{2 j /2ψ i (2 j i−k) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(4)
则向量小波函数ψ 是半正交的多小波函数，如果它满足以下条件：
1）Vj ⊥ Wj ；
2）{2 j / 2ψ i (2 j i−k) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z} 构成Wj 空间的一组 Riesz 基；
H
(
z)
=
⎡ ⎢ ⎣
L(Z ) ⎤ B(Z )⎥⎦
,
(20)
于是有
H (z)H (z)T = Iar .
(21)
[定理]如果 H (z) 是一个 n × n ，其元素均为一阶多项式，那么上式（21）成立的充要条件
是
H (z) = H (1) ( I − A + Az),
(22)
其中 A 是一个 n × n 对称阵，且满足 A2 = A, H (1)H (1)T = Iar 。
一、 多小波的定义及原理
正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小 波也是由多分辨率分析着手。
1．多尺度函数：
令φ = [φ1 φ2 …φr ]T ，其中，φ ∈ L2 (R)r ， r ∈ N ，则可定义空间Vj , j ∈ Z 如下：
Vj = span{2 j /2φi (2 j i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
的滤波器 H0 (z) 、 H1(z) 及相应系数 h0 (k) 和 h1(k ) 。不同的是这里的与多小波对应的滤波
器时矢量滤波器，它的系数都是矩阵。
3．a 尺度多小波
一般地，如果上述多分辨率分析中，φ = [φ1 φ2 …φr ]T 的尺度部分是 a j 而非 2 j ，第四 条性质改为 f (i) ∈Vj ⇔ f (ai) ∈Vj+1, j ∈ Z ，那么我们可以得到一个由 a 尺度 r 重函数φ 产
∑ ⎧φ(x) =
⎪ ⎨
2 h0 (k)φ(2x − k),
k∈Z
(13)
∑ ⎪ψ (x) =
⎩
2 h1(k)φ(2x − k),
k∈Z
(14)
h1(k ) 可由共轭正交关系： h1(k ) = (−1)k−1h0 (1 − k ) 直接得到。
尽管许多研究者都在努力寻找多小波的类似单一小波的构造公式,但到目前为止,仍没 有多小波的一般构造公式。对在一些特殊的条件下,一些研究人员给出较简单的构造公式, 如Chui C K和Lian给出了3-系数( P0 , P1 , P2) 的两尺度方程确定的尺度函数所对应的多 小波构造方法，具体地，
小波相对于单小波的优点就是当处理矩阵而非标量系数的时候，自由度会更高，因此，许多 条件可以同时满足，比如：正交性、对称性、短支撑性和高阶消失矩。
正交性：
正交小波的对偶是其本身, 在应用中因为无须构造对偶函数, 节省许多运算。只是除了 Haar 小波外, 纯量小波无法同时满足正交性, 对称性和短支撑性, 应用上不方便。而多小 波可同时满足这四个特征, 在信号处理上比纯量小波更有优势。著名的GHM小波（图4）和 Chui-Lian（图1，图2）小波都属于正交小波。
的构造更没有一般的构造方法，将更加的复杂。下面介绍的是程正兴等[3]研究的方法，采 用矩阵的正交扩充的方法构造出多小波,从而使得a 尺度多小波的构造变得容易。
不失一般性,讨论两尺度矩阵方程的系数矩阵 P0, P1, , P2a−1 可能不为零,其余的皆为零
的情形下相应的正交小波的构造问题。
定义 l0 = (P0 , P1, , Pa−1), l1 = (Pa , Pa+1, , P2a−1) ，则φ( x) 是正交的尺度函数等价于
∑ B(z) =
1 2
1 k =0
bk zk ,
(18)
容易验证φ(x) 是正交的尺度函数，ψ ( x) 是对应于φ(x) 的正交小波的充要条件是
L(z)L(z)T = Ir , L(z)B(z)T = O ,B(z)B(z)T = I(a−1)r .
(19)
下面再定义一个 ar × ar 矩阵 H (z) 为
(7) (8)
⎧⎪φˆ(aω) = P(z)φˆ(ω),
(9)
⎨ ⎪⎩ψˆ
(aω
)
=
Q(
z)φˆ(ω),
(10)
∑ ∑ P(z)
=
1 a
k∈Z
Pk zk , Q(z)
=
1 a
k∈Z
Qk
zk
其中， Pk 是 r × r 阶系数阵， Qk 是 (a − 1)r × r 阶系数阵。
多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，因而主要就是求解系数
同样，多小波函数也满足二尺度关系： 时域形式：
ψ (x) = ∑ Qkφ(2x − k),
(5)
k∈Z
频域形式：
ψˆ (2ω) = Q(z)φˆ(ω),
(6)
∑ 其中， Q(z)
=
1 2
k∈Z
Qk zk
。
这样，我们就得到了多小波的二尺度关系：(2)、(3)、(5)、(6)，对比标量小波的情况，
这里的 P(z) 、Q(z) 其实就是滤波器，矩阵 Pk 、Qk 分别对应为滤波器的系数；对应单小波
波，先构造一个合适的矩阵序列{Pk }k∈Z ∈ l 2 (Z )r×r ，也就是矢量滤波器的系数序列，然后
在此基础上得到由（3）式求得尺度函数φ 将会是个比较简便的方法。基于此种考虑，我们
对二尺度关系的频域形式实现迭代求解，由式（4）得：
φˆ(2ω) = P(e−iω )P(e−iω / 2 ) P(e−iω / 2n )φˆ( ω ),
(1)
（注意这里的定义与胡老师书上的定义略有差别，即 j 的符号为正的，与书上正好相
反），一个多分辨率分析是指由（1）式定义的 L2 (R) 中具有下列性质的子空间序列{Vj}j∈Z ：1）… ຫໍສະໝຸດ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ …；
2） ∪ j∈zV j = L2 (R) ；
3） ∩ j∈zVj = {0} ；
Pk 、Qk ，但是由于他们都是矩阵，因而设计灵活、自由度大的同时求解将更加复杂，而且
将一维信号通过矢量滤波器必然要经过预处理，因为矢量滤波器是多输入多数出系统。因而 可以说，由单小波到多小波，无论自由度还是复杂度都有显著的提高。
二、 多小波的构造
一般来讲，应该由（3）所表的二尺度关系作为构造多尺度函数的起点，但是类比单小
1
∑ lm+nlmT =| δ0,n Ir ,
(16)
m=0
定义 r × ar 矩阵多项式 L(z) 为
∑ L(z) =
1 2
1 k =0
lk zk ,
(17)
类似地，定义
b0 = (Q0,Q1, ,Qa−1), b1 = (Qa ,Qa+1, ,Q2a−1)
定义 (a −1)r × ar 矩阵多项式 B(z) 为
(11)
2n
这里，φˆ 可以看作是 n → ∞ 的极限，即：
n
∏ φˆ(2ω) = lim P(e−iω /2j )φˆ(0).
(12)
n→∞ j=0
这样，由上式得到的向量函数就是多尺度函数，如果满足以下条件：
n
∏ 1） 乘积项 P(e−iω / 2 j ) 当 n → ∞ 时收敛； j=0
2） 族函数{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}是V0 空间的稳定基。
高阶消失矩：
∫ 定义 Lr = trψ (t)dt 为基本小波ψ (t) 的第r阶小波矩,如果对所有的 0 ≤ m ≤ M ,有