第二章_习题答案

第二章习题答案

一、

1、p。简单命题。

2、p∧q。联言命题。

3、⌝p。负命题。

4、p∨q。不相容选言命题。

5、⌝p∧q。联言命题。

6、p→q。假言命题。

7、⌝r→⌝（p→q）。假言命题。

8、p∧q。联言命题。

二、用真值表的方法验证下述公式是否重言式（略）1．⌝（A ∧⌝A）是

2．（A →⌝A）→⌝A 是

3．⌝A →（A →（B→C））是

4．（A →（B→C）→（（A →B）→（⌝C →⌝A∨D））是5．A ↔ A∨（A→C）否

6．（A ↔ B）→（（C↔D）→（（A↔C）→（B↔D）））是三、用归谬赋值法判定下述公式是否重言式：

1．（⌝ A → A）→ A 是

1 0 0

2．（A →B）→（（A ∨ C）→（B ∨ D））是

1 0 0 1 0 0 0 0 0

3．（A →B）→（（C →D）→（A ∧ C → B ∧ D））是

四、用树形图方法判定下述公式是否重言式：

1．A ∧⌝A →（A ∧ B）∨ C）是

⌝（A ∧⌝A →（A ∧ B）∨ C））

A ∧⌝A

⌝（A ∧ B）∨ C））

A

⌝A*

2．（（A →B）→ A）→ A 是

⌝（（（A →B）→ A）→ A）

（A →B）→ A）

⌝A

⌝（A →B）A*

A

⌝B*

3．（A →B）→（A∧C → B ）是

⌝（（A →B）→（A∧C → B ））

A →B

⌝（A∧C → B ））

A∧C

⌝B

A

C

⌝A* B*

4．（A → B）→（（A∧C）↔（B∨ C））否

⌝（（A → B）→（（A∧C）↔（B∨ C））

A → B

⌝（（A∧C）↔（B∨ C））

A∧C ⌝（A∧C）

⌝（B∨ C）B∨ C

A ⌝A ⌝C

C

B C*

⌝B

⌝C* ⌝A B

五、在P N中证明，下列公式是P N的定理：

1．A ∨⌝A

[证明]

（1）⌝（A ∨⌝A）假设

（2）A 假设

（3）A ∨⌝A （2）析取引入

（4）⌝（A ∨⌝A）（1）假设引用

（5）⌝A （2）（3）（4）否定引入

（6）A ∨⌝A （5）析取引入

（7）⌝（A ∨⌝A）（1）假设引用

（8）A ∨⌝A （1）（6）（7）否定引入

2．⌝⌝A↔A

[证明]

（1）A 假设

（2）⌝A 假设

（3）A 假设引入

（4）A∧⌝A 合取引入

（5）⌝⌝A （2）（4）否定引入

（6）A→⌝⌝A （1）（5）蕴涵引入

（7）⌝⌝A 假设

（8）⌝A 假设

（9）⌝⌝A 假设引入

（10）⌝A∧⌝⌝A 合取引入

（11）A （8）（10）否定消除

（12）⌝⌝A→A （1）（5）蕴涵引入（13）⌝⌝A↔A （6）（12）↔引入

3、⌝（A∧⌝A）

[证明]

（1）A∧⌝A 假设

（2）A 合取消除

（3）⌝A 合取消除

（4）⌝（A∧⌝A）（1）（2）（3）否定消除

4．（A→B）→（⌝ B→⌝A）

[证明]

（1）A→B

（2）⌝ B

（3）A

（4）B

（5）⌝ B

（6）B∧⌝B

（7）⌝A

（8）⌝ B→⌝A

（9）（A→B）→（⌝ B→⌝A）

5．（A→（B →C））→（⌝C→（B →⌝A））

[证明]

（1）A→（B →C）

（2）⌝C

（3）B

（4）A

（5）B →C

（6）B

（7）C

（8）⌝C

（9）C∧⌝C

（10）⌝A

（11）B →⌝A

（12）⌝C→（B →⌝A）

（13）（A→（B →C））→（⌝C→（B →⌝A））

6．（A→B）→（（B→C）→（A→C））

[证明]

（1）A→B

（2）B→C

（3）A

（4）B

（5）C

（6）A→C

（7）（B→C）→（A→C）

（8）（A→B）→（（B→C）→（A→C））

7．（A∧B→C）→（（⌝C∧A）→⌝B）

[证明]

（1）A∧B→C 假设

（2）⌝C∧A 假设

（3）B 假设

（4）⌝C∧A （2）假设引用（自推规则）（5）⌝C （4）合取消除

（6）A （4）合取消除

（7）A∧B （6）（3）合取引入

（8）A∧B→C （1）假设引用（自推规则）（9）C （7）（8）蕴涵消除

（10）C∧⌝C （9）（5）合取引入

（11）⌝B （3）（10）否定引入

（12）⌝C∧A→⌝B （2）（11）蕴涵引入

（13）（A∧B→C）→（（⌝C∧A）→⌝B）（1）（12）蕴涵引入

8．（A∧B）V（A∧C）→ A∧（B∨C）

[证明]

（1）（A∧B）V（A∧C）假设

（2）A∧B 假设

（3） A （2）合取消除

（4） B （2）合取消除

（5）B∨C （4）析取引入

（6）A∧（B∨C）（3）（5）合取引入（7）（A∧B）→ A∧（B∨C）（2）（6）蕴涵引入

（8）A∧C 假设

（9） A （8）合取消除

（10） C （8）合取消除

（11）B∨C （10）析取引入

（12）A∧（B∨C）（9）（11）合取引入（13）（A∧C）→ A∧（B∨C）（8）（12）蕴涵引入（14）A∧（B∨C）（1）（7）（13）析取消除（15）（A∧B）V（A∧C）→ A∧（B∨C）（1）（14）蕴涵引入