商仆过河问题——数学建模
数学建模—商人们怎样安全过河
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其
实际意义。
提示：
决定商品价格的主要因素：
生产成本、包装成本、其他成本。
•一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
马新生
浙江教育学院数学系 xsma@
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
2.1 模型2-商人们怎样安全过河 2.2 模型3-照明问题 2.3 数学模型介绍
模型2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策 … …
了解程度 白箱
灰箱
数学建模：研究商人过河问题
数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。
二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。
并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。
还应能实现 n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。
从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。
四、实验步骤：第一步：问题分析。
这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
第二步：分析模型的构成。
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。
S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。
允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。
制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。
商人过河问题数学建模
做业1、2：之阳早格格创做商人过河一、问题沉述问题一：4个商人戴着4个随从过河，过河的工具惟有一艘小船，只可共时载二部分过河，包罗划船的人.随从们稀约, 正在河的任一岸, 一朝随从的人数比商人多, 便杀人越货.乘船渡河的规划由商人决断.商人们何如才搞仄安过河?问题二：假若小船不妨容3人，请问最多不妨有几名商人各戴一名随从仄安过河.二、问题分解问题不妨瞅搞一个多步计划历程.每一步由此岸到此岸或者此岸到此岸船上的人员正在仄安的前提下(二岸的随从数没有比商人多),经有限步使部分人员过河.用状态变量表示某一岸的人员情景，计划变量表示船上的人员情况，不妨找出状态随计划变更的顺序.问题便变换为正在状态的允许变更范畴内（即仄安渡河条件），决定每一步的计划，达到仄安渡河的目标.三．问题假设1. 过河途中没有会出现没有成抗力的自然果素.2. 当随从人数大于商人数时，随从们没有会改变杀人的计划.3．船的品量很佳，正在多次谦载的情况下也能仄常运做.4. 随从会听从商人的调动.四、模型形成x(k)~第k 次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k 次渡河前此岸的随从数 k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~历程的状态 S~允许状态集中 S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3} u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~历程的计划 D~允许计划集中 D={u,v|u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态果计划而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态变化律供d(k)ÎD(k=1,2,….n),使s(k)ÎS 并按变化律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数教模型： k+1kS =S +k k D （-1）（1）'4k k x x += （2）'4k k y y +=（3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥（5）模型分解：由（2）（3）（5）可得化简得概括（4）可得k k x y =战 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6） 还要思量{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （7）把（2）（3）戴进（7）可得化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）概括（6）（7）（8）式可得谦脚条件的情况谦脚下式 {}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ====（9） 所以咱们知讲谦脚条件的面如上图所示：面移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）时，不妨认为完毕渡河.果为移动的格数小于等于2，惟有核心面（2，2）到（6）面战（8）面的距离为2，所以核心面（2,2）成为渡河的闭键面.当咱们移动到（2,2）面时，便无法举止下去.故4个商人，4个随从，船容量为2人时，无法仄安渡河. 对付于问题二，咱们不妨修坐模型为：k+1k S =S +k k D （-1）（10）'k k x x M += （11）'k k y y M += （12）k.k x y ≥（13）''k k x y ≥ （14）u(k), v(k)=0,1,2,3; （15）通过类似于问题一的步调不妨知讲：坐标上的闭键面是（3,3），最多不妨五名商人戴五名随从往日.需要决定五名商人戴五名随从的规划可止再决定六名商人戴六名随从的规划没有成止1、五名商人戴五名随从的情况：（1）最先没有成能有三名商人先过河，二名商人一名随从过河，一名商人二名随从过河（2）三个随从先过河（5,2），回去一个随从（5,3），往日二个随从（5,1）回去一个随从（5,2），再往日三个商人（2,2），回去一个商人一个随从（3,3），再往日三个商人（0,3），回去一个随从（0,4），往日三个随从（0,1），回去一个随从（0,2）再往日二个随从（0,0）综上可知：五名商人戴五名随从，小船不妨载三部分不妨过河2、六名商人戴六名随从的情况：（1）最先没有成能有三名商人先过河，二名商人一名随从过河，一名商人二名随从过河（2）三个随从先过河（6,3），回去一个随从（6,4），往日二个随从（6,2）回去一个随从（6,3），往日三个商人（3,3），此时二岸皆是（3,3），由坐标法分解知，那是最交近末面的临界面，然而是如果回去的时间一定是回去一个商人战一个随从，如果那一步可止，后里便举止没有去综上所述，六个商人戴六个随从，小船载三部分的情况下没有克没有及渡河分离1、2知，当小船最多载三部分的时间，最多五名商人各戴一个随从不妨过河.五、模型的考验取评介由少量人的过河问题推广到了更普遍人的过河问题，使得问题变得明白有顺序.六、参照文件[1]章胤，2014年燕山大教世界大教死数教修模竞赛训练ppt，2014年4月17日。
15对商仆过河问题数学建模论文
数学建模题目：商仆过河问题组员：班级：指导老师：目录1.摘要 (3)2.问题的提出 (3)3.问题的分析 (4)4.模型的假设 (5)5.模型的建立与解 (5)6.模型的符号 (6)7.模型的解 (6)8.模型的图解 (8)9.关于C语言的程序算法 (10)10.模型的优缺点 (14)11.参考文献 (15)摘要：本文针对商人安全渡河问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在3(15)对商仆、船最大容量为2（8）人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集合定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随从渡河方案变化的规律。
利用c软件编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
关键词：船载量、允许状态向量、允许决策向量一．问题的提出仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到十五名商人带十五名随从又如何？二．问题的分析1.安全渡河问题可以看成一个多步决策过程，船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策。
2.状态向量：用二维坐标向量表示（商，仆）：0<=H<=3(11),0<=S<=3(11)，例如：（3，3，）（5，0）（6，4）等均成立3.允许向量：由题意可知，仆人数少于商人数被选定为允许向量。
4.运载向量：利用二维向量(m,n)表示船只上的商仆数量。
5.可行的运载向量：满足二维向量(m,n)，0<=n<=m<=3(15)。
枚举所有可能的算法：（1，0）（2，0）（3，0）（4，0）（5，0）（6，0）（7，0）（8，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（2，1）（3，2）（4，3）6.可取用状态向量：利用穷举法表示状态，利用递归算法进行模型的建立与运算7.运载向量：使用二维向量进行表示（商，仆）：0<=商<=3(11),0<=仆<=3(11)8.该模型使用逻辑运算法则进行数学模型的建立三．模型的假设(1)每个商人和他的随从均会划船(2)只有一条船，且船只的承载数量为8人(3)船在划行的状况下不受任何的外力干扰(4)不存在任意几人不能同时坐船的情况四．模型的建立与解由题目可知，3(15)对商仆过河，船载量为2(8)人，现记第K次渡河前的商人数为Xk,仆人数为Yk,k=1,2,…,(2)8,再记一组二维向量Ak=(Xk,Yk)，Ak为给定时的状态量，可记做C的表达式为：C=｛(x,y)|x=0,y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15再记第K次渡河时船上的商人数为uk,仆人数为vk,记二维向量Bk=(uk,vk),可知小船此时的运载为D，D的表达式为;D ={(u,v)|1<=u+v<=2(8),u,v=0,1,…,2(8)}由上题目中的题意可知第K+1次时的情况为E ：E=Ak+(-1)^k*Dk最终直到3(15)对商仆全部过河时完成问题五．模型的符号A 表示起始状态下商仆所在一岸B 表示末状态商仆所在一岸S 表示商仆的对数K 表示船最多的载人数C 渡河时的一侧岸边的商仆数D 小船运载的商仆数量E 第k次渡河是的商仆数量Ak 河岸一边的商人数Bk 河岸一边的仆人数Ck 河岸另一边的商人数Dk 河岸另一边的仆人数六．模型的解（1）利用程序框图来解决过河问题根据题意状态转移必须满足以下规则;(1). Z从1变0或0变1交替进行。
11对商仆过河问题数学建模.
数学建模论文商仆过河问题摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在11名商人、11名随从、船的最大容量为6人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，利用matlab 7.0，win 7软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
一 .问题的提出当今社会每个人都想当王者，谁都想成为富翁，所以就在这个问题中仆人们也想成为商人。
仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，十一名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳六人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？二. 模型假设3 模型假设（1）每个商人和随从都会划船；（2）只有一条船，且每条船上最多只能乘坐六个人；（3）所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现有人不愿意同坐一条船的现象；（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
三．问题符号说明3符号说明A初始状态下，商人和随从所在的一岸；B初始状态下，商人和随从欲到达的一岸；S 商仆对数K 船最多载人的数目四 .问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
数学建模 商人过河
数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。
对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。
对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。
三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。
四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。
用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。
求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
商人过河模型问题的求解
《数学建模实验》课程考试试题----商人安全过河数学建模与求解一．问题提出：4名商人带4名随从乘一条小船过河，小船每次自能承载至多两人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢二．模型假设：商人和随从都会划船，天气很好，无大风大浪，且船的质量很好，可以保证很多次安全的运载商人和随从。
三．问题分析：商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。
对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
四．模型构成：k x ~第k 次渡河前此岸的商人数，k y ~第k 次渡河前此岸的随从数 k x , k y =0,1,2,3,4; k =1,2,… …k S =(k x , k y )~过程的状态,S ~ 允许状态集合，S={(x , y )| x =0, y =0,1,2,3,4; x =4 ,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3} k u ~第k 次渡船上的商人数k v ~第k 次渡船上的随从数k d =(k u , k v )~决策，D={(u , v )| 21≤+≤v u ,k u , k v =0,1,2} ~允许决策集合 k =1,2,… …因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态k S 随决策k d 的变化规律是1+k S =k S +k )1(-k d ~状态转移律求k d ∈D(k =1,2, …n), 使k S ∈S, 并按转移律由1S =(4,4)到达状态1+n S =(0,0)。
多对商人过河数学建模
多对商仆过河问题12对商人过河——（算法中多少对可以改变，此为N=12的时候，稍加修改便可以成为你需要的对数解决方案）摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在12名商人、12名随从、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，最后利用 dijkstra算法，并利用Microsoft Visual C++ 6.0软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
基于此目的，利用了dijkstra算法，得到最短路径的最优解。
但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。
我们通过对程序的改善，使可以运行比较多的将符合条件的情况列出来。
1 问题重述十二名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？2 问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目的。
此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。
但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
数学建模 商人过河
数学建模商人过河(hjh)
问题
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
分析问题
（1）,数据及其关系？（2）如何存储？（3）过程中数据上的操作？
（4）操作过程中需借助什么结构实现？
解答
（1）数据：河两岸的商人数x∈（0，3）和随从人数y∈（0，3）
关系：线性关系
（2）存储：用二维数组来实现。
（3）操作：前进（过河）、后退（返回）
（4）操作过程中需借助栈结构实现
具体分析
此岸商人数与随从人数为C【x】【y】，彼岸商人数与随从人数为B【3-x】【3-y】，C与B数组中x必须大于等于y。
C与B数组中，各个数组中每相邻两个二维数组|x+y|之差不得超过2。
其中过河途中船上人数用数组A表示A【x1】【y1】，返回途中船上人数A【x2】【y2】。
x1，x2，y1，y2=0，1，2。
x1+y1=1或2；y2+x2=1或2。
从此岸来考察，要从最开始的C【3】【3】变到C【0】【0】。
1，C【3】【3】→C【3】【1】，C【3】【1】→C【3】【2】；
2，C【3】【2】→C【3】【0】，C【3】【0】→C【3】【1】；3，C【3】【1】→C【1】【1】，C【1】【1】→C【2】【2】；4，C【2】【2】→C【0】【2】，C【0】【2】→C【0】【3】；5，C【0】【3】→C【0】【1】，C【0】【1】→C【0】【2】；6，C【0】【2】→C【0】【0】。
操作过程中需借助栈结构实现，具体如下图所示：
此岸人数已经全部转移到彼岸，任务圆满完成，商人们安全过河。
数学建模：研究商人过河问题
数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。
二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。
并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。
还应能实现 n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。
从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。
四、实验步骤：第一步：问题分析。
这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
第二步：分析模型的构成。
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。
S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。
允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。
制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。
商人过河问题数学建模
功课1.2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个侍从过河,过河的对象只有一艘划子,只能同时载两小我过河,包含荡舟的人.侍从们密约, 在河的任一岸, 一旦侍从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的筹划由商人决议.商人们如何才干安然过河?问题二：假如划子可以容3人,请问最多可以有几名商人各带一名侍从安然过河.二.问题剖析问题可以看做一个多步决议计划进程.每一步由此岸到此岸或此岸到此岸船上的人员在安然的前提下(两岸的侍从数不比商人多),经有限步使全部人员过河.用状况变量暗示某一岸的人员状况,决议计划变量暗示船上的人员情形,可以找出状况随决议计划变更的纪律.问题就转换为在状况的许可变更规模内（即安然渡河前提）,肯定每一步的决议计划,达到安然渡河的目的.三．问题假设1. 过河途中不会消失不成抗力的天然身分.2. 当侍从人数大于商人数时,侍从们不会转变杀人的筹划.3．船的质量很好,在多次满载的情形下也能正常运作.4. 侍从会服从商人的调剂.四.模子组成x(k)~第k 次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k 次渡河前此岸的侍从数 k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~进程的状况 S~许可状况聚集 S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3} u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2; v(k)~ 第k 次渡船上的侍从数 k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~进程的决议计划 D~许可决议计划聚集D={u,v|u+v=1,2,u,v=0,1,2}状况因决议计划而转变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状况转移律 求d(k)ÎD(k=1,2,….n),使s(k)ÎS 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模子： k+1k S =S +k k D （-1）（1）'4k k x x += （2）'4k k y y +=（3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥（5）模子剖析：由（2）（3）（5）可得化简得分解（4）可得k k x y =和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）还要斟酌{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （7）把（2）（3）带入（7）可得化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）分解（6）（7）（8）式可得知足前提的情形知足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ====（9） 所以我们知道知足前提的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）时,可以以为完成渡河.因为移动的格数小于等于2,只有中间点（2,2）到（6）点和（8）点的距离为2,所以中间点（2,2）成为渡河的症结点.当我们移动到（2,2）点时,就无法进行下去.故4个商人,4个侍从,船容量为2人时,无法安然渡河. 对于问题二,我们可以树立模子为：k+1k S =S +k k D （-1）（10）'k k x x M+= （11） 'k k y y M += （12）k.k x y ≥（13）''k k x y ≥ （14） u(k), v(k)=0,1,2,3; （15）经由过程相似于问题一的步调可以知道：坐标上的症结点是（3,3）,最多可以五名商人带五名侍从曩昔.须要肯定五名商人带五名侍从的筹划可行再肯定六名商人带六名侍从的筹划不成行1.五名商人带五名侍从的情形：（1）起首不成能有三名商人先过河,两名商人一名侍从过河,一名商人两名侍从过河（2）三个侍从先过河（5,2）,回来一个侍从（5,3）,曩昔两个侍从（5,1）回来一个侍从（5,2）,再曩昔三个商人（2,2）,回来一个商人一个侍从（3,3）,再曩昔三个商人（0,3）,回来一个侍从（0,4）,曩昔三个侍从（0,1）,回来一个侍从（0,2）再曩昔两个侍从（0,0）综上可知：五名商人带五名侍从,划子可以载三小我可以过河 2.六名商人带六名侍从的情形：（1）起首不成能有三名商人先过河,两名商人一名侍从过河,一名商人两名侍从过河（2）三个侍从先过河（6,3）,回来一个侍从（6,4）,曩昔两个侍从（6,2）回来一个侍从（6,3）,曩昔三个商人（3,3）,此时两岸都是（3,3）,由坐标法剖析知,这是最接近终点的临界点,但是假如回来的时刻必定是回来一个商人和一个侍从,假如这一步可行,后面就进行不去综上所述,六个商人带六个侍从,划子载三小我的情形下不克不及渡河联合 1.2知,当划子最多载三小我的时刻,最多五名商人各带一个侍从可以过河.五、模子的磨练与评价由少数人的过河问题推广到了更多半人的过河问题,使得问题变得清楚明了有纪律.六、参考文献[1]章胤,2014年燕山大学全国大学生数学建模比赛培训ppt,2014年4月17日。
商人过河问题数学建模c语言
商人过河问题数学建模c语言商人过河问题是一个经典的数学建模问题，通过建立数学模型，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到最优的解决方案。
本文将通过C语言来实现这个问题的数学建模。
一、问题描述假设有n个商人要过河，每艘船只能承载一定数量的货物，而过河需要消耗一定的时间。
为了在最短的时间内完成过河任务，我们需要考虑商人的数量、船只的承载量以及过河的时间等因素，建立相应的数学模型。
二、数学建模1. 变量定义我们需要定义一些变量来描述过河过程中的各种因素，如商人的数量、船只的数量、船只的承载量、过河的时间等。
2. 算法设计算法的核心思想是利用贪心策略，尽可能多地利用船只，以减少过河的时间。
具体步骤如下：(1) 分配船只：根据船只的承载量，将商人分配到不同的船只上；(2) 计算过河时间：根据当前船只的位置和目标河岸的位置，计算每艘船只的过河时间；(3) 更新船只位置：根据过河时间，更新每艘船只的位置；(4) 重复以上步骤，直到所有商人过河。
3. C语言实现以下是一个简单的C语言程序，实现了上述算法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {int n, m, t, i, j, k;scanf("%d%d", &n, &m); // 输入商人数量和船只数量int cargo[n], time[n]; // 定义变量数组，用于存储商人和船只的信息scanf("%d%d", &cargo[0], &time[0]); // 输入第一个商人和他的过河时间for (i = 1; i < n; i++) { // 输入剩余商人和他们的过河时间scanf("%d%d", &cargo[i], &time[i]);}int boat[m]; // 定义船只数组，用于存储船只的承载量和位置信息for (j = 0; j < m; j++) { // 输入船只的承载量和位置信息scanf("%d", &boat[j]);}for (k = 0; k < n; k++) { // 模拟过河过程for (j = 0; j < m; j++) { // 遍历所有船只if (boat[j] >= cargo[k]) { // 如果船只承载量足够承载当前商人time[k] += time[k] / boat[j]; // 根据过河时间和船只速度计算剩余时间boat[j] += cargo[k]; // 将商人转移到指定位置的船只上break; // 如果找到了足够承载商人的船只，跳出当前循环继续下一轮操作}}}printf("%d\n", time[n - 1]); // 输出最后一个商人的过河时间return 0;}```三、总结通过上述C语言程序，我们可以实现商人过河问题的数学建模。
数学建模—商人们怎样安全过河
乙至甲
8:09
8:19
8:00 x 8:10
8:20
8:30
X-8:00=0:09 x=8:09
甲至乙
5 一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和 1 km 且方 向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别 以4 km/h和 2 km/h 的速度步行回家。一小狗以 6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处 奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔 波了多少路程？
•一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
河 小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定.
商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限 步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态
y
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3
允许状态 ~ 10个 点
允许决策 ~ 移动1或2格;
2
s1
d1
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1,
数学建模作业_商仆过河
不难说明，当商仆对数为 4 或 5 时，所需的最小船容量为 3。综上，使问题 有解的商仆对数与船容量之间的关系如下：
表 1 商仆对数与船容量的关系
商仆对数 1、2、3 4、5 ≥6
小船容量 ≥2 ≥3 ≥4
5.模型评价与改进
BFS 算法是最经典也是最简单的图搜索算法之一，对于状态空间规模很大， 但目标状态距离初始状态并不很远的问题有较好的求解能力，且保证求得最优 解。实际使用主流 PC 机测试问题规模为 101 数量级时的求解时间均为 0ms，即 使在 1000 对商仆， 船容量 200 人时的求解时间亦仅为 1592ms，此求解速度是完
6
可行状态
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
图 5
6 对商仆时的状态空间
此时状态中心（3,3）距离边界状态（6,3）的距离为 3，船容量至少为 4 才可
4
避免状态转移沿对角线下行，而船容量为 4 已经是状态转移沿对角线移动的条 件，即当商仆对数大于等于 6 时，船容量至少为 4，问题有解。
图 6 11 对商仆、小船容量为 4 时的求解结果
数学建模作业
班级 姓名
交工 092 班 仙玉印 200900534 李善仕 200900534 姜 璞 200900549
0
摘要
本文将经典的 3 对商仆过河问题推广至商仆对数为任意值、小船容量也为任 意值的一般问题，建立一般化的数学模型，并采用 BFS 算法编程求解，得到了此 问题的一般解法。 本问题实际为一个 NP 的图搜索问题，BFS 算法是经典的图搜索算法，本文 通过对 BFS 算法进行适当改进，合理压缩状态空间，使算法的时间复杂度大幅减 少， 能够在有限的极短时间内求得过河方案，并保证方案所需的船只往返次数为 最少，即求得的方案为最优方案。11 对商仆，船容量为 6 人时的最优方案为： ( 11,11 )->( 11,6 ) ->( 11, 7 ) ->( 6, 6 )->( 7, 7 ) ->( 4, 4 ) ->( 5, 5 ) ->( 2, 2 ) ->( 3, 3 ) ->( 0, 0 ) 括号内数字分别为此岸商人数和此岸仆人数，最少需要行船 9 次。 进一步讨论给出了使商仆过河问题有解的商仆对数与小船容量之间的数量 关系： 商仆对数 1、2、3 4、5 ≥6 小船容量 ≥2 ≥3 ≥4
(完整word版)商人过河问题数学建模
作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。
二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。
每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4. 随从会听从商人的调度。
四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。
数学建模作业(商人过河问题)
数学建模作业（四）——商人过河问题一．问题描述有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。
试为商人制定一个安全过河的方案。
二．解决方案用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include <stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode-> x=a;newnode-> y=b;newnode-> state=n;newnode-> next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2-> next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop()/*弹栈*/{link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer-> next!=PPointer2)pointer=pointer-> next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2-> next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/ {link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer-> x==a&&pointer-> y==b&&pointer-> state==n)return 0;pointer=pointer-> next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n)/*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a> =0&&b> =0&&a <=3&&b <=3&&c> =0&&d> =0&&c <=3&&d <=3&&a+c==3&&b+d==3){switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a> =b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n)/*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ {/*则判断下一个状态，直至问题解决*/ if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)){if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)){if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)){if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)){if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)){if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf( "%d,%d---%d\n ",pointer-> x,pointer-> y,pointer-> state);pointer=pointer-> next;}getch();}。
数学建模论文
数学建模论文题目：13对商仆过河问题姓名：班级：学号：日期：题目：13对商仆过河问题13对商人过河摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在仆人没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在13对商仆、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，最后利用 dijkstra 算法，并利用Microsoft Visual C++ 6.0软件，编译运行程序得到了一种商仆安全渡河的方案。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
基于此目的，利用了dijkstra算法，得到最短路径的最优解。
但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。
我们通过对程序的改善，使可以运行比较多的将符合条件的情况列出来。
1 问题重述13对商仆乘船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，商人就有危险．船一次载多少人商人们才可以安全渡河呢？2 问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商仆各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比仆人数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目的。
此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。
但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
3 模型假设及符号说明3.1 模型假设（1）每对商仆都会划船；（2）只有一条船，且船上最多只能乘坐两个人；（3）所有商仆之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
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一、问题的提出
S个商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳Ｋ人，由他们自己划船。商人们窃听到随从们密谋，在河的任意一岸上，只要随从的人数比商人多，就杀掉商人。但是如何乘船渡河的决策权在商人手中,商人们如何安排渡河计划确保自身安全？
二、问题的关键
ＳK+1=SK+(-1）KDK,k=l，2,⋯，
称之为状态转移律,这样，制定过河方案就归结为如下的多步决策问题:
每一步,船由A岸驶向B岸或B岸驶回A岸,都要对船上的人员(商人UK，随从VK各几人)作出决策,在保证安全的前提下即两岸的商人数XK都不比随从数ＹK少,用有限步使人员全部过河．用状态(变量)SK表示某一岸的人员状况,决策（变量)DＫ表示船上的人员状况，可以找出状态SK随决策DK变化的规律.这样安全过河问题就转化为:
四、 模型假设
记第k次过河前A岸的商人数为XK，随从数为YKk=1，2，⋯XK,YK=0，1，2,3，将二维向量ＳK＝（XK，YＫ）定义为状态.把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。记作S。则
S=｛(ＸK,ＹK)|(XK=０，YK=0,1，2,3),(XK＝３，ＹK=0,1,2,３),(XＫ=ＹＫ=1)(XK=YK=2）}
学习数学建模以来，重新认识了学习数学的乐趣，也重新认识了数学,本以为数学是单调的，枯燥的，学习了之后,发现数学是普遍存在我们生活之中的。解决现实中的问题，很多都需要数学。沉浸在数学的世界里,发现学习是有趣的;相比于机械的认识各个组织器官，建立一个数学模型解决问题是十分有趣的。
参考文献：
(1）傅清祥．《数据结构与算法》.王晓东.北京：电子工业出版社 １998.
这就是三个商人的过河问题模型。
六、模型求解:
穷举法:计算机编程（见附）
先建立编程的基本过程，然后考虑模型,再编写程序。
然后就可以得出结果了。
主程序流程图
图解法：状态s=(x,ｙ）16个格点
允许状态 10个●点
允许决策移动１或2格; k奇，左下移;
ｋ偶,右上移.
总共需要11步
可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。
八、 模型的检验
用2名商人和2名随从的过河问题的解决思路，检验３名商人和3名随从的过河问题。
九、 模型的拓展和延伸
通过三名商人和三名随从的过河问题的解决方案，可以进一步计算四名商人和四名随从的过河问题，通过计算机编程可以设计ｍ名商人和n名随从的过河问题。
十、总结
这是通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题提出、问题假设、问题分析、模型建立、模型求解、模型检验的过程,解决商人过河问题。然后扩展延伸到n个商人的问题。
intlength；
}；
classA
{
ｐuｂｌic:
Ａ(）;
~A(）;
ﻩｖoidTspt()；ﻩ／/过河的动作
ﻩｖｏｉｄｄoＬeft（ｉnt nhead，int ntail,intnｌength);ﻩ
privａte：
ﻩbool isｌegal(intnm,ｉｎｔns);//判断是否满足约束条件，满足为true
商仆过河问题——数学建模
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
商仆过河问题
作者：*学院*＊班*****＊＊**＊*****号
20１4年12月４日
摘要：为了求解3个商人和３个随从的过河问题，用数学分析方法，建立数学模型，并且加以求解，展示动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机编程进行求解，获得过河问题的完整求解过程;有效地求解类似多步决策问题的作用。
(２)姜启瑟．《数学建模》(第二版)．北京：高等教育出版社,2000.
（３)运筹学教材编写组．《运筹学》（修订版).北京:清华大学出版社。2０01．
附：商仆过河的Ｃ程序及运行截屏：
#include＜ｉｏstream＞
usinｇnamespaｃe stｄ;
strucｔNoｄe
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解决的关键集中在商人和随从的数量上，以及小船的容量上,该问题就是考虑过河步骤的安排和数量上。各个步骤对应的状态及决策的表示法也是关键。
三、问题的分析
在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多)，经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制,这需要多步决策过程,必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树.树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。
记第k次过河船上的商人数为UＫ,随从数为ＶK
将二维向量DK＝(ＵK,VK)定义为决策．由小船的容ＶＫ=l,２}={(Ｏ,1);（O，2);(1,O);(１,１);(2，O)｝
五、模型建立：
动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。
用动态规划法分析三名商人的过河问题。可得如下的递归树：
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(注解:当K为奇数时，船在B岸；当Ｋ为偶数时,船在A岸。）
通过分析该递归树,知道求解关键在于正确地写出基本的状态转移关系式和恰当的边界条件。
因为ｋ为奇数时，船是从Ａ岸驶向Ｂ岸,k为偶数时。船是由B岸驶回A岸。所以状态SK随决策DＫ变化的规律是
求决策ＤK∈D(k=1,2，……，ｎ），使得状态SK∈S,按照状态转移律，由初始状态S1＝（3，３),经有限步n到达状态SK+1=(O,Ｏ)。
模型建立:
SＫ+1＝ＳK+(-１）KDK,ｋ=ｌ,2，3，其中DＫ ∈Ｄ={（UK ，ＶＫ）｜ＵK +VK=ｌ，2｝，{其中SK ∈（ＸK ,YＫ)｜(XK=０,YK =1,２，３)；(ＸK =３,ＹＫ=０,1,2,3);(XＫ =YK ＝1,2)}，Sｎ＋1 =(0,0)