[数学]东城区汇文中学2021届高三下开学考试数学试题
东城区一般校3月联考文科数学答案定稿
东城区一般校2021-2021学年第二学期联考试卷高三数学（文科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己依照情形相应地给分）15.（本小题总分值13分） 解：解：（Ⅰ）由A c a sin 2=，sin aA=--------------------2分因此，sin 2C =-----------------------3分 因为,,c a <所以C<A 因此02C π<<--------------------4分得4C π=---------------------5分（Ⅱ）1cos 2cos sin 2)(2-+=x x x x f=sin 2cos2x x + ---------------------7分)4x π+ ---------------------8分因此())4f A A π=+因为344A ππ<< --------------------9分 因此3222A ππ<< ---------------------10分 372+444A πππ<<--------------------11分 因此32+=42A ππ时，()f A的最小值为 ----------13分 16．（本小题总分值14分）解：（Ⅰ）取CE 的中点P ，连结FP 、BP ， ∵F为CD 的中点，∴FP DE FP 12DE AB DE AB .21DE AB FP AB FP ABPF ∴AF BP AF ⊄BCE BP ⊂BCE AF BCE ACD ∆F CD AF CD ∵AB ACD ⊥平面，DE ∥AB ，∴DE ⊥平面ACD又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ⋂DE =D ，∴AF ⊥平面CDE -----------9分 又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE ，又BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE---------10分（Ⅲ）过C 作CM ⊥AD 于M ，易证 CM ⊥平面ABED ,因此CM 为四棱锥C ABED -的高 ∵直角梯形ABED 的面积为12232+⨯=, CM =323⨯=， ∴四棱锥C ABED -的体积为13333V =⨯⨯=． 即多面体C ABED -的体积为3．---------------------14分17．（本小题总分值14分）（Ⅰ）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，因此10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ----------------1分 解得0.03a =． ----------------2分 （II ）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，别离记为A ，B ． 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，别离记为C ，D ，E ，F ．PM-------------------6分假设从成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，那么所有的大体事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D (),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F共15种． ----------------------9分若是两名学生的成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的地理成绩之差的绝对值必然不大于10.-----------------------10分 记“这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包括的大体事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．因此所求概率为()715P M =． --------------------------12分 （Ⅲ）解：依照频率散布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．---------------------------------------13分由于该校高三年级共有学生640人，可估量该校高三年级地理成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． -----------------------------------------14分 18．（本小题总分值13分）的概念域为),,0(+∞---------------------2分 若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，分(Ⅱ) )(x f ≤a 恒成立，即)(x f 在概念域内的最大值小于或等于a 恒成立。
2020-2021学年北京市某校高三(下)开学数学试卷
2020-2021学年北京市某校高三（下）开学数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．【解答】∵A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|4x<4}＝{x∈N|x<2}＝{5, 1}，∴A∩B＝{x∈R|−1≤x≤5}∩{0, 1}＝{4，∴集合A∩B中元素的个数为2．2. 若z(1−i)＝2i，则的虚部为（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】B【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】由z(1−i)＝2i，得z＝＝，∴，则的虚部为−4．3. 在的二项展开式中，x2的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，求出r 的值，即可得解．【解答】的二项展开式的通项公式为T r+1＝•(−3)r ⋅2r−6⋅x 2−r ，令3−r ＝2，求得r ＝42的系数为-•2−5＝-．4. 已知平面向量a →＝(√3,−1)，|b →|＝4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=( )A.2B.3C.4D.5 【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a →⋅b →，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【解答】由平面向量a →＝(√3,−1)，可得|a →|=√3+1=2，由(a →−2b →)⊥a →，可得a →⋅(a →−2b →)=0，即a →2=2a →⋅b →=4，则a →⋅b →=2，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4，5. 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，，则二面角A −BC −P 的大小为（ ）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】C【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6. 已知，则下列说法错误的是（）A.若f(x)在(0, π)内单调，则B.若f(x)在(0, π)内无零点，则C.若y＝|f(x)|的最小正周期为π，则ω＝2D.若ω＝2时，直线是函数f(x)图象的一条对称轴【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 设抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|＝，若以线段PF为直径的圆过点(1, 0)，则C的方程为（）A.x2＝y或x2＝8yB.x2＝2y或x2＝8yC.x2＝y或x2＝16yD.x2＝2y或x2＝16y【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9. 在△ABC中，a＝2，b cos A＝3a sin B，则△ABC面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10. 已知函数f(x)＝sin[cos x]+cos[sin x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于；④f(x)在(0, π)单调递减．其中所有正确结论编号是（）A.①②B.①③C.①④D.②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为________．【答案】36【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4＝16，a6＝32，记b n＝a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为________．【答案】189【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知F是双曲线C:x2−＝1的右焦点，P是双曲线C上的点，．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为________；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为________．【答案】9,11【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为________．【答案】(−e−3, 0)【考点】求函数的值函数的求值函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为________．【答案】95%【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得，整理后得到当x＝0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．【解答】不妨设共有选票100张，投1票的x，投3票的z，则根据题意得，整理可得z−x＝5，即z＝x+3，由题意，若要投票有效率越高，故当x＝0时，z最小为5，此时投票的有效率为95÷100＝95%，三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知△ABC中，b cos A−c>0．(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③a＝2；④．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．【答案】（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，在△ABC中，C＝π−A−B，sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，所以cos B<2，所以B为钝角；(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝，又a>c，所以A>C，sin A＝，所以A＝或A＝π，所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；所以b＝＝＝+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，及sin A＝，sin C＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角；(iii)若满足②③④，由B为钝角，所以C＝，而a>c，这时B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b＝+3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理可得sin A cos B<0，再由A，B的范围可得cos B<0，求出B为钝角；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B为钝角，当①②条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B 为钝角的条件，所以①②不能同时成立；当①③④时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当②③④时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B为钝角的条件故舍弃．【解答】（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，在△ABC中，C＝π−A−B，sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，所以cos B<2，所以B为钝角；(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝，又a>c，所以A>C，sin A＝，所以A＝或A＝π，所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；所以b＝＝＝+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，及sin A＝，sin C＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角；(iii)若满足②③④，由B为钝角，所以C＝，而a>c，这时B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b＝+3．如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD＝∠BCD ＝90∘，，AB＝BD＝2．(Ⅰ)证明：EM // 平面BCD；(Ⅱ)证明：EF⊥平面BCD；(Ⅲ)若直线EC与平面ABC所成的角等于30∘，求二面角A−CE−B的余弦值．【答案】（1）证明：∵E，M分别是线段AD，∴EM // CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM // 平面BCD．（2）证明：∵E，F分别是线段AD，∴EF // AB AB＝8，∵∠ABD＝90∘，即AB⊥BD，∵∠BCD＝90∘，F为BD的中点BD＝6，∵，∴EC2＝EF5+CF2，即EF⊥CF，又BD∩CF＝F，BD，∴EF⊥平面BCD．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，EF⊥平面BCD，∵EF // AB，∴AB⊥平面BCD，∵∠BCD＝90∘，即BC⊥CD，AB，∴CD⊥平面ABC，∵EM // CD，∴EM⊥平面ABC，∴∠ACE为直线EC与平面ABC所成的角，即∠ACE＝30∘，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∵E为AD的中点，∴CE＝，即△ACE是底角为30∘的等腰三角形，∵，∴AC＝＝＝，∵BD＝2，∠BCD＝90∘，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CF⊥BD，以B为原点，BD，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，7，2)，1，4)，1，0)，∴＝(−2，0，＝(1，2，＝(1，1，设平面ACE的法向量为＝(x，y，则，即，令z＝1，则x＝5，∴＝(1，1，同理可得，平面BCE的法向量为，−6，∴cos<，>＝＝＝，由图可知，二面角A−CE−B为锐角，故二面角A−CE−B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直直线与平面平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70, 100])，其质量指标等级如表：品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90, 95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表(1<t<4)：试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．【答案】（1）设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P＝5(8.04+0.02)＝0.5，则P(A)＝1−(0.3)6＝1−0.027＝8.973，（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85, 90)的频率为0.08×5＝3.4，m∈[90, 95)的频率为0.04×5＝0.2，m∈[95, 100]的频率为8.02×5＝0.5，∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，m∈[90, 95)的有2件，100)的有6件，从这7件产品中，任取3件，95)的件数X的所有可能取值为4，1，2，P(X＝6)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为：014E(X)＝0×+1×＝．(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系与表所示(1< t<2)，-e t0.3∴每件产品的利润：y＝−4.5e t+0.4t+0.6t+7.9t+0.5t＝−0.5e t+5.5t，(1<t<5)，则y′＝−0.5e t+7.5，令y′＝−0.7e t+2.5＝2，解得t＝ln5，∴当t∈(1, ln4)时，函数y＝−0.5e t+2.5单调递增，当t∈(ln5, 5)时，函数y＝−0.5e t+7.5t，单调递减，∴当t＝ln5时，y取最大值ln3+2.5×ln5＝1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t＝ln2≈1.6时．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数f(x)=12x2−a ln x−12(a∈R, a≠0)．(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．【答案】（1）a＝2时，f(x)=12x2−21nx−12,f(1)=0f′(x)=x−2,f′(1)=−1曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0（2）f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0①当a<0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−a ln1−12=0所以a<0满足题意；②当0<a≤1时，0<√a≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−a ln1−12=0所以0<a≤1满足题意；③当a>1时，√a>1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数，所以只需f(√a)≥0即可而f(√a)<f(1)=0从而a>1不满足题意；综合①②③实数a的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)当a＝2时，写出f(x)的表达式，对f(x)进行求导，求出x＝1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；(Ⅱ)求出函数的定义域，令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间；(Ⅲ)由题意可知，对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；【解答】（1）a＝2时，f(x)=12x2−21nx−12,f(1)=0f′(x)=x−2,f′(1)=−1曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0（2）f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x ∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x ∈[1, +∞)，f(x)min ≥0 ①当a <0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−a ln 1−12=0所以a <0满足题意；②当0<a ≤1时，0<√a ≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−a ln 1−12=0所以0<a ≤1满足题意；③当a >1时，√a >1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数， 所以只需f(√a)≥0即可 而f(√a)<f(1)=0 从而a >1不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA →⋅AB →＝0，且|AB||OA|＝32，求△OAB 的面积． 【答案】（1）由题意可得{ ca＝√321a2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA →⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(mk 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(mk 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14， 此时m 2=4(k 2+1)2k +4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由椭圆离心率为√32，且经过点(1,√32)，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． (Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4(kx +m)2=4，由△>0，得4k 2+1>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA →⋅AB →＝0，推出OA ⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y =−1kx ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，|OA|2=4(k 2+1)k 2+4，进而可得|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，解得k 2=14，进而可得△OAB 的面积S =12|OA||AB|=34|OA|2，即可得出答案． 【解答】（1）由题意可得{ ca＝√321a2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA →⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(mk 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(m k 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14，此时m 2=4(k 2+1)2k 2+4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517．已知项数为m(m ∈N ∗, m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n ＝∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由．(Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1＝1，a m ＝2021，求m 的最大值． 【答案】(I)1，4，6，10是项数为4的递增等差数列数列，其中a 1＝8，d ＝3，a n ＝1+(n −7)×3＝3n −3，所以a 1+a 2+a 7+a 4＝22，则，故b n＝8−n，3≤n≤4，所以b1＝2，b2＝6，b2＝5，b4＝8，所以数列1，4，2，10存在“关联数列”为7，6，3，4；（2）因为{a n}为递增数列，所以a n+1−a n>2，则-＝，所以b n+7<b n，故数列{b n}具有单调递减性；(Ⅲ)由于b n∈Z，则b n−b n+1≥1，故，所以a n+7−a n≥m−1，又a m−1＝(a m−a m−5)+(a m−1−a m−2)+...+(a2−a1)≥(m−1)+(m−7)+...+(m−1)＝(m−1)4，所以(m−1)2≤2020，解得m≤45n}存在“关联数列”{b n}，所以-＝，因为m−1为2020的正约数，且m≤45，故m−7的最大值为20，所以m的最大值为21．【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
〖含高考模拟卷16套〗北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷含解析
北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．25B ．45C ．3D ．42．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 54．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．105．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．36．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．157．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．728．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种9．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．4511．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京东城区汇文中学高三(上)期中数学试题及答案
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高三年级 数学学科本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分，共40分)1. 已知集合{}260A x x x =--≤，{}||1B y y x ==+，则AB =( )A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3] 2. 下列命题中，正确的是( )A ．12i -的虚部是2B ．|12|i -=C ．12i -的共轭复数是12i --D ．12i -在复平面内对应的点在第二象限3．已知点(6,8)P -是角α终边上一点，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35- C ．45 D ．45-4. 已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//l m ，m α⊂，则//l α B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D ． 若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥5.在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =.则CB =( ) A. 32m n - B. 23m n -+ C. 32m n + D. 23m n +6．函数2()22cos f x x x =-在区间[0,]2π上的最大值为( )A ．12B 1-C ．1D 7. 在数列{}n a 中，已知2n a n n λ=+，*N n ∈，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离为( )图1 图2 图3A.2B.2C.1D.10.设函数2(1)2,1()|2|,1x a x a x f x a x x ⎧-++<=⎨-≥⎩，给出下列四个结论：①当0a <时，函数()f x 有三个极值点； ②当01a <<时，函数()f x 有三个极值点； ③R,2a x ∀∈=是函数()f x 的极小值点； ④1R,2a a x +∀∈=不是函数()f x 的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题(每题5分，共25分)11．首项为1的等比数列{}n a 中，12342,,a a a 成等差数列，则公比q =_______．12.若函数1()2()2x x f x a =-⋅为偶函数，则a =________，()f x 的最小值为_______.13.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长为2 ，体积为3，则这个四棱锥的侧棱长为_______. 14．已知数列{}n a 满足122122111n n n n a a n a a a +-==+=+，，，*N n ∈.则集合{|20}m m a ≤中元素的个数为________.15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,R x y ∈，12010200()()1(,R)b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈，则00x y += ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）△ABC 中，222b c a +=+． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件， 并求△ABC 的面积．条件①：sin 2B =，b =；条件②：cos 3B =，a = 条件③：1a =，b =．注：条件选择错误，第（2）问得0分．在17. （14分）如图，已知PAB ⊥平面平面，四边形是矩形，PA AB =，点，分别是，的中点．（Ⅰ）若点为线段中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC .18. （15分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,]x e e∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围．ABCD ABCD E F BC PB M AD PMAEF19. （14分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F为棱CD 上一点．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11A A C E --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点F ，使1D F //平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由.20. （14分）已知函数()(2)ln x f x x e x x =--+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在区间[1,)+∞上为单调递增函数；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,1]4上的最大值在区间(,1)m m +内，求整数m 的值．21. （15分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.求证：i Ω是等差数列.【参考答案】一、选择题：BBADB CCBAD二、填空题11. 212. -1,214.2415.16.（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，又222b c a+=+，可得2cosbc A=，所以cos2A=，又因为()0,Aπ∈，所以6Aπ=（2）选择条件②由（1）知，6Aπ=，根据条件②中cos3B=，()0,Bπ∈，所以B∠也是唯一确定的，从而可得C∠也是唯一确定的，再由a=,b c也是唯一确定的，故选择条件②.因为cos3B=，()0,Bπ∈，所以1sin3B=．由正弦定理sin sina bA B=，可得1sin31sin32Bb aA===，所以()11sin sin sin cos cos sin23236C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=所以三角形面积1sin29S ab C+==17.（Ⅰ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，A 的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为M 是PB 的中点，所以PM ∥FN ，因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . （Ⅱ）证明：,ABCD BC AB ⊥在矩形中BC AB PAB ABCD PAB ABCD AB BC ABCD ⊥⎧⎪⊥⎪⎨⋂=⎪⎪⊂⎩面面面面面 BC PAB ∴⊥面因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． 因为PA AB =，点M 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BCPB B =，所以AF ⊥平面PBC ．18.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ， 所以f ′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1， f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(e ,+∞)，减区间为(0,1e )．(Ⅲ)当1e⩽x ⩽e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x”恒成立， 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e,e]．当x ∈[1e ,1)时，gˈ(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减．当x ∈(1,e]时，gˈ(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g (e )=1+1e <1.5， 所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e)=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e,e]，都有f(x)≤ax −1． 19.(1) 以 A 为原点， AB,AD,AA 1分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A 1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， C 1(2,2,2)， D 1(0,2,2)，E(2,1,0)1111(2,2,2),(2,2,0),(0,1,2)AC AC EC ===设平面11A C E 的一个法向量为(,,)m x y z =1110m A C m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 不妨设y =2，则x =−2，z =−1, (2,2,1)m =--设直线 AC 1与平面 A 1EC 1所成角为 θ，则111sin |cos ,|3,m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯． (2)由正方体可得，平面 AA 1C 1的一个法向量为 DB →=(2,−2,0)， 则cos ,33DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ . 因为二面角 A −A 1C 1−E 为锐二面角，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2 ⟨DB →,m →⟩=13．（3）存在，设F 点的坐标为(t,2,0),所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,0,2) 平面 A 1EC 1的一个法向量为 m →=(−2,2,−1)， 因为FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m →，所以m ⃗⃗ ∙FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，t =1因为 D 1F ⊄平面 A 1EC 1，所以 D 1F//平面 A 1EC 1．此时DF =120.解：(1)x ∈[1,+∞),f ′(x )=e x +(x −2)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x ) 当x ≥1时x −1≥0,e x ≥e,1x ≤1,e x >1x ∴f ′(x )≥0，f (x )单调递增 (2)f′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x). 令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0，所以ℎ(x)在[14,1]上单调递增，因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ(1)=e −1>0，所以存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，故当x ∈[14,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,1]时，ℎ(x)>0， 又当x ∈[14,1]时，x −1≤0(等号仅在x =1时成立)，所以当x ∈[14,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,1]时，f′(x)≤0(等号仅在x =1时成立)， 所以f(x)在[14,x 0)上单调递增，在(x 0,1]上单调递减， 则f(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)⋅1x 0−x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令G(x)=1−2x −2x ，x ∈(12,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x 2)x2>0(x ∈(12,1))，所以G(x)在(12,1)上单调递增，则G(x)>G(12)=−4，G(x)<G(1)=−3， 所以−4<f(x)max <−3，所以m =−4．21.（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =.由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()iii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列， 所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-. 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。
【高三】北京市东城区2021届高三3月质量调研数学文试题
【高三】北京市东城区2021届高三3月质量调研数学文试题试卷说明：东城区2021-2021学年度第二学期教学检测高三数学（文科）学校_____________班级_________姓名__________考号__________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B..平均数 C.中位数 D.标准差3. 已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为A 1-2i B 2-4i C D 1+2i 4．设是直线，a，β是两个不同的平面, A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β5．函数的最大值与最小值之差为 A B. 4C. 3D.6．“是函数在区间内单调递增”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 8．已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④ C．②③ D．②④ 非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______. 10. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是． 11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为 .12. 在数列，，13. 已知平面向量，．若，则_____________． 14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析
2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a = A ．0B ．1C ．1-D ．±12．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b ⋅=（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．03．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A．B． CD． 4．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 5．已知向量a 与b 的夹角为60，2a =，1b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为( ) A ．1B ．2C ．4D ．86．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B．2CD．7．已知实数a b c 、、满足0a b c ++=且a b c >>，则下列关系中一定正确的是（ ） A ．ab ac <B ．()0ac a c ->C ．22cb ab <D ．()0c b a ->8．已知点()1,2A -，()5,4B 则向量BA =（ ） A ．()6,2B ．()9,4-C ．()9,4-D ．()6,2--9．在中，内角所对的边分别为，若，，则( )A ．B ．C ．D ．10．已知向量23,4a b ==，且12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年高三下学期开学联考 数学 Word版含答案
2021年高三下学期开学联考数学 Word版含答案考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：样本数据的方差，其中；棱锥的体积公式：，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．设集合，，且，则实数的值为▲．2．设是虚数单位，则复数的模为▲．．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为▲.5．已知，则的值为▲.6．以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为▲.7．右图是函数图像的一部分，则的值为▲.8．若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为▲ cm3.9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为x的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不．在．直线下方的概率为 ▲ .10．已知圆C 的圆心C 在直线上，且圆C 经过两点A （0,4），B （2,2），则圆C 的方程为 ▲ . 11．已知函数是奇函数，当时，，则满足不等式的x 的取值范围是 ▲ . 12.已知数列，的通项公式分别为，，若 ，则数列的通项公式为 ▲ .13．已知函数图像上有两点，若曲线分别在点A 、B 处的切线互相垂直，则的最大值是 ▲ .14.设函数，当时，恒成立，则的最小值是 ▲ . 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（14分）如图，在△ABC 中，.（1）若（为实数），求的值；（2）若AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求的值.16.（14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）若CF ⊥AE ，AB ⊥AE ，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.17.（14分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）. （1）设∠ACD=，试将S 表示为的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？18.（16分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求PM ·PF 的取值范围；A B C D E F A BCD 图（1） A B C D 图（2）（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.19.（16分）已知是实数，函数，，其中是自然对数的底数．（1）设时，求的单调区间；（2）设a=0时，试比较与的大小，并给出证明；（3）若关于x的不等式有解，求实数的取值范围.20.（16分）设数列的前n项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.xx 届高三调研测试数学试题 xx.03.02数学Ⅱ(附加题)注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.A.选修4-1【几何证明选讲】（10分）如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于点D . 求证：AC 平分∠BAD.21.B.选修4-2【矩阵与变换】（10分）二阶矩阵A 1,2）变换成点（8,4），求矩阵A.21.C.选修4-4【坐标系与参数方程】（10分）已知直线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线与圆C 相交于点A 、B. （1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求线段AB 的长度.21.D.选修4-5【不等式选讲】（10分）设a 、b 、c>0，求证：.22.（10分）已知抛物线上有四点、，点M （3,0），直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q. （1）求的值； （2）求证：MP=MQ.23.（10分）设，，，（1）当时，试指出．．与的大小关系；（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.xx届高三调研测试数学参考答案与评分标准1、32、3、44、205、36、7、68、9、10、11、12、13、14、15.（1）∵，∴，∴……3分又∵∴………………5分∵与不共线，∴，∴………………7分（2）………………10分……………………12分=………………14分注：也可建立直角坐标系，用坐标运算求解本题.16. （1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，又∵AB⊥AE，∴AE⊥CD……4分又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF…………6分又∵AE平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF………………7分（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD又∵AB平面CDEF，CD平面CDEF，∴AB//平面CDEF…………10分又∵AB 平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF ………12分 又∵EF 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.…………14分 17.（1）△BCD 中， ∴，∴…………4分∴ ，……6分（其中范围1分） （2）…………8分 ………………10分 令，则，∴在区间上单调递增，…………12分 ∴当时取得最大值，此时，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………14分 18.（1）…………2分∴c =1，a =2，∴，∴椭圆方程为…………4分 （2）设，则PM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分 PF=…………8分∴PM ·PF=，∵，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分 （3）法一：①当PM ⊥x 轴时，P ，Q 或， 由解得……………………12分②当PM 不垂直于x 轴时，设，PQ 方程为，即 ∵PQ 与圆O 相切，∴，∴ ∴………………13分又，所以由得…………14分 ∴ =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴……16分法二：设，则直线OQ ：，∴，∵OP ⊥OQ ，∴OP ·OQ=OM ·PQ ∴202002220202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+…………12分 ∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴，∴………………14分∵，∴，∴，∴……………16分 19.（1）的定义域为，. 当时，，在单调递增；………………2分 当时，令，解得，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.…………5分 （2）法一：令，， 在单调递增，，∴=0在有且只有一解t ，且 ………………7分 ∴在单调递减，在单调递增 ∴的最小值为 ∵，∴，∴，∴的最小值，且其在上单调递增 ∴的最小值∴>0，∴……………………10分 法二：（1）令，，∴在单调递增，∴，即…………7分 令，，∴在单调递减，在单调递增，∴，即 ∴，即………………10分（3）由题意：有解，即有解， 因此，有解………………12分 设，，………………14分 ∵，且时，∴，即，故在单调递减， ，故.………………16分 20.（1）∵ ∴又∵是等差数列，设公差为d ，则1])1([21)(2)1(2111--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d n a nd a n d n n na∴1)(21)2()2(11212----+=-+d a n d a dn n d a dn …………4分 ∴ ∴ ………………6分∴…………8分注：由解得，但没有证明原式成立，只给4分. （2）∵①∴②①—②得……………………10分∴)1(0)52()22(12≥=++-+++n a a n a n n n n两式相减得)2(0)42()54()22(112≥=-+++-+-++n a a n a n a n n n n n …………12分 ∴)2(02)22()44()22(1112≥=-+-+++-+-+++n a a a a n a n a n n n n n n n ∴)2(2]2)[22(1112≥+-=+-+-+++n a a a a a a n n n n n n n …………14分 ∵ ∴可得 ∴∴ ∴是等差数列………………16分注：先猜，后用第二数学归纳法证明，只给5分.数学Ⅱ 附加题部分21.A.连接OC∵CD 与圆O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ……3分 又∵AD ⊥CD ，∴OC//AD ……………………6分∴∠OCA=∠DAC ……………………………8分又∠OAC =∠OCA ，∴∠BAC =∠DAC 即AC 平分∠BAD (10)21.B.设所求二阶矩阵A=，则………………4分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++482266d c b a d c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+428266d c b a d c b a ……8分解方程组得A=………………10分21.C.（1）…………4分（2）直线的普通方程为………………6分 又圆心C （0,2），半径，∴C 到的距离为， ∴AB=4.……………10分21.D.∵ a 、b 、c>0， ∴………………3分（当a=b=c 时取“=”）…………6分∴36272193111332=≥+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++abc abc c b ac b a …………9分 （当，即时，取“=”）…………10分22.（1）设直线AB 的方程为，与抛物线联立得：……2分 ∴…………4分（2） 直线AC 的斜率为∴直线AC 的方程为 ∴点P 的纵坐标为…………6分 …………7分同理：点Q 的纵坐标为…………9分∴，又PQ ⊥x 轴∴MP=MQ.………………10分 23.（1）n =1时，； 时，当时，；当时，；当时，……3分 （2）时，①x =0时，………………4分 ②x ≠0时，令 则 =当x >0时，，单调递减；当x <0时，，单调递增 ∴，∴单调递减………………7分 当x >0时，，当x <0时， ∴当x >0时，；当x <0时，………………10分 法二：可用数学归纳法证明当x <0时，，如下：①当n =3时，0]415]25[()1051()1(232533>+--=+---=-x x x x x Q P 成立……5分 ②假设时有， 则当时，22)12)(1()12(1[)1(x k k x k x --+--->又222)12)(1()12(1[)1()12()12(1x k k x k x x k k x k --+----++>+- ……………………6分 ∴时也成立∴当x <0时，………………7分当x >0时，用法一证明…………10分 法三：用二项式定理证明当x <0时，，如下：时，1212121244123312)1(-------+-+-=n n n n n n n n xC x C x C Q P ∴当x <0时，………………7分当x >0时，用法一证明…………10分 37679 932F 錯28833 70A1 炡23029 59F5 姵]35893 8C35 谵33660 837C 荼K834107 853B 蔻32936 80A8 肨403589DA6鶦;>。
2021年高三下学期开学检测数学(理)试卷 含答案
2021年高三下学期开学检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A． B． C． D．2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同 B．，中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为A．B．C．D．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．B．C．D．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于A．B．C．D．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A．处B．段公路旁的任一处C．处D．段公路旁的任一处第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且，∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.2222俯视图侧视图正视图33B其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求及的值.16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为. 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.17．（本小题14 分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.18．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III）当时，证明：19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），证明：（1）；（2）.xx学年度第二学期3月月考高三数学（理）试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A．B．C．D．解：，选B.2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.解：令，得展开式中各项系数之和为. 解方程，得.故该展开式中含项为，其系数为，选A.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同B．，中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，解：D．4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．解：将函数的图象向右平移个单位，得，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得(2)2sin 2(2)2sin 4244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令，得，（）故的最小正值为，选B ．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为 A ． B ． C ． D ． 解法一：设横坐标为，则由，得， ，选A ．解法二：当右顶点时，. 选A ．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类 节目不相邻的排法种数是 A ． B ． C ． D ．解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.（2）小品1，小品2，相声.（3）相声，小品1，小品2.共有种，选B ．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于 A ． B ． C ． D ． 解：C ．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A ．处B ．段公路旁的任一处C ．处D ．段公路旁的任一处解：D ．第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .解：10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且， ∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为 .解：设， 则，. 则由相交弦定理，得， 即，即. 由切割线定理，得，所以.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为 ； 表面积为 .解：体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .解：13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 . 解：由，得，， ，.由的面积为，得，. 故，，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：① ；② ；③ ；④ 数列中的最大项为；⑤ .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）2222俯视图侧视图正视图33B已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求 及 的值.解：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π…2分= ………………………3分最小正周期为 ………………………4分由成等差数列得：， ……………………………………9分由，得， ……………………………………10分………………………………………………11分由余弦定理得，，于是，， ………………………………………………13分16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某 同学在A 处的投中率为0.25，在B 处的投中率为. 该同学选择先在A 处投一球，以后都（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E ；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 解：（Ⅰ）设该同学在A 处投中为事件A, 在B 处投中为事件B.则事件A,B 相互独立，且，，，.根据分布列知：=0时，22()()()()0.75(1)0.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以，. … 2分（Ⅱ） 当=2时，( ). … 4分当=3时， 22()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q == -=. … 6分当= 4时， 22()()()()0.750.48P ABB P A P B P B q ===. … 8分当= 5时，222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=. … 10分∴随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. … 11分（Ⅲ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为. … 13分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为. … 14分由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大. … 14分17．（本小题 14 分）如图，在四棱锥中， 底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.(Ⅰ) 证明：取中点为，连. ……1分∵是的中点∴是的中位线,∴.∵是中点且是菱形，∴, ∴ . ∴∴四边形是平行四边形. 从而 . …… 3分∵平面 ,平面,∴∥平面………………………………4分………………………………8分∵平面∴平面⊥平面 . ………………………………9分说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）也可用向量法证.……10分ACDEFM由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量 …11分 设平面的一个法向量为 由 ,且由在以上二式中令，则得，，∴.……12分设平面与平面所成锐角为故平面与平面所成的锐角为. …………………………………14分18．（本小题13分） 已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III ）当 时，证明：解：（Ⅰ）在上恒成立， … 2分 设 ，令 … 3分得 得 . … 4分 （Ⅱ）（）， .① 当时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 5分② 当时，即时，因在上，；在上，.故在上单调递减，在上单调递增. ，，满足条件. … 7分③ 当时，即时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 8分 综上，存在实数，使得当时有最小值.（III ）令，由（Ⅱ）知，. … 9分令，， … 10分B ACDEPFz xy当时，因，故在上单调递增. … 11分∴ … 12分即 … 13分19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（）， 将点和点代入，得 ，解得.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）圆的标准方程为， 设，， 则直线的方程为，直线的方程为， 再设直线上的动点（），由点在直线和上，得 ，故直线的方程为. 原点到直线的距离，22222424222244t AB r d t t +=-=-=++，显然.设，，则，.CD==)2248tt+==+.ABCD===.设（），则ABCD===设（），则.设，则，故在上为增函数，于是的值域为，的取值范围是.20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），求证：（1）；（2）.（Ⅰ）解：为一个单调递增的“阶非凡数列”；为一个单调递减的“阶非凡数列”.（Ⅱ）解：设公差为，由，得，，，于是. 由，知.（1）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k=+-=-+-⋅=-+++ （，）（2）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k ⎡⎤=+-=+-⋅-=-+⎢⎥+++⎣⎦ （，）（Ⅲ）（1）证明： 当时，，命题成立； 当时，由，得()1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=-+++，于是1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=+++，12122m m m m n S a a a a a a ++=+++++++，故.综上，得（）.（2）证明：321211123ni n n i a S S S S S S S in-=---=++++∑()11111111111112122312223122n n n n n⎡⎤⎛⎫≤+++=-+-++-=-⎢⎥ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎣⎦.406859EED 黭<27097 69D9 槙38091 94CB 铋23972 5DA4 嶤25311 62DF 拟22017 5601 嘁37113 90F9 郹m23525 5BE5 寥21293 532D 匭E33626 835A 荚21739 54EB 哫。
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．5266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 2．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 【答案】C 【解析】【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.4．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据21211p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】因为随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，因为21211p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 5．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】 【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)AB =-+∞ ，故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.8．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题. 9．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D 【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．11．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =则2b OE =由1a b +=代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为2221x y又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三(下)开学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共22小题，共100.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π13.已知集合A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.若z(1−i)=2i，则z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i15.在(√x2−1√x)6的二项展开式中，x2的系数为()A. 1516B. −1516C. 316D. −31616.已知平面向量a⃗=(√3,−1)，|b⃗ |=4，且(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2B. 3C. 4D. 517.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A−BC−P的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°18.已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω>0)，则下列说法错误的是()A. 若f(x)在(0,π)内单调，则0<ω≤23B. 若f(x)在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C. 若y=|f(x)|的最小正周期为π，则ω=2D. 若ω=2时，直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴19.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件20.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=174，若以线段PF 为直径的圆过点(1,0)，则C的方程为()A. x2=y或x2=8yB. x2=2y或x2=8yC. x2=y或x2=16yD. x2=2y或x2=16y21.在△ABC中，a=2√3，√7bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是()A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√722.已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于√2；④f(x)在(0,π)单调递减．其中所有正确结论编号是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共9小题，共45.0分）23.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．24.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．25.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．26.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．27.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为______ ．28.在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为______ ．29.已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0,6√2)．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ．30.已知函数f(x)={3x−1+kx−1,x≤0|lnx|+kx−2,x>0，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为______ ．31.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为______ ．三、解答题（本大题共13小题，共167.0分）32.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前n项和．33.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．34.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)35.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．36.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．37.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．38.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．39.已知△ABC中，bcosA−c>0．(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA =√22；②sinC =√32；③a =2；④c =√2．请证明使得△ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值．40. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =√2，AB =BD =2． (Ⅰ)证明：EM//平面BCD ； (Ⅱ)证明：EF ⊥平面BCD ；(Ⅲ)若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°，求二面角A −CE −B 的余弦值．41. 某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m ∈[70,100])，其质量指标等级如表： 质量指标值m [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好 优秀 良好 合格 废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如表(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y(元)4t9t4t2t−5 3 e t试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．42.已知函数f(x)=12x2−alnx−12(a∈R,a≠0)．(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．43. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AB||OA|=32，求△OAB 的面积．44. 已知项数为m(m ∈N ∗,m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． (Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c >b >a ． 故选C ．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m +4n =(m +n)(1m +4n )=1+4+nm +4m n≥5+2√n m ⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号，则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p 2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)，又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n 1−2)=133×2n ，∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2， 则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y=kx−k的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】B【解析】解：∵A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}={x∈N|x<2}={0,1}，∴A∩B={x∈R|−1≤x≤3}∩{0,1}={0,1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．14.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12=−2+2i2=−1+i，∴z−=−1−i，则z−的虚部为−1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．15.【答案】D【解析】解：(√x2√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅2r−6⋅x3−r，令3−r=2，求得r=1，故x2的系数为−C61⋅2−5=−316．故选：D．求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：由平面向量a⃗=(√3,−1)，可得|a⃗|=√3+1=2，由(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，可得a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=0，即a⃗2=2a⃗⋅b⃗ =4，则a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−2×2+16=4，故选：C．由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a⃗⋅b⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】C【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点， 且AB =2，PA =BC =√3，∴AC ⊥BC ，AC =√AB 2−BC 2=√4−3=1， 以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P(0,0，√3)，B(√3,1，0)，C(0,1，0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， 设平面PBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,√3,1)，平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角A −BC −P 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，∴θ=60°， ∴二面角A −BC −P 的大小为60°， 故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −BC −P 的大小．本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．18.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=√32sinωx +sin 2ωx 2−12=√32sinωx −12cosωx =sin(ωx −π6)，由此依次分析选项：对于A，若f(x)在(0,π)内单调，则有ωπ−π6≤π2，解可得ω≤23，A正确，对于B，当x∈(0,π)时，则ωx−π6∈(−π6,ωπ−π6)若f(x)在(0,π)上无零点，则ωπ−π6≤0，解可得0<ω≤16，B正确，对于C，若y=|f(x)|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f(x)=sin(2x−π6)，当x=−2π3时，2x−π6=−3π2，则直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴，D正确，故选：C．根据题意，将函数的解析式变形可得f(x)=sin(ωx−π6)，据此依次分析选项，综合可得答案．本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．19.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．20.【答案】C【解析】解：由题意可知F(0,p 2)，准线方程为y =−p2， 设点P(m.n)，|PF|=n +p2=174，又线段PF 为直径的圆过点(1,0)，∴圆的半径为178，圆心坐标为(m 2,178)，√(m 2−1)2+(178−0)2=178，∴m =2，即P(2,174−p 2)代入抛物线方程得，4=2p ×(174−p2)，解得p =8或12， 故选：C ．设出点P 坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P 坐标代入即可解出． 本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．21.【答案】A【解析】解：由正弦定理及√7bcosA =3asinB ，得√7sinBcosA =3sinAsinB ， 因为sinB >0，所以√7cosA =3sinA ，A 为锐角， 结合sin 2A +cos 2A =1， 所以sinA =√74，cosA =34，由余弦定理得，cosA =34=b 2+c 2−122bc，整理得，24=2b 2+2c 2−3bc ≥4bc −3bc =bc ，当且仅当b =c 时取等号，即bc ≤24， 则△ABC 面积S =12bcsinA ≤12×24×√74=3√7，故选：A ．由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sin A ，cos A ，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．22.【答案】B【解析】解：①：因为f(x +2π)=sin[cos(x +2π)]+cos[sin(x +2π)]=sin[cosx]+sin[cosx]=f(x)，所以函数的一个周期为2π，故①正确；②：因为f(π4)=sin[cosπ4]+cos[sinπ4]=sin0+cos0=1，f(−π4)=sin[cos(−π4)]+cos[sin(−π4)]=sin0+cos(−1)=cos1，所以f(π4)≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故②错误；③因为f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1>√22+1>√2，故③正确；④：当x∈(0,π2)时，0<sinx<1，0<cosx<1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x∈(0,π2)时，f(x)=1为定值，故④错误；故选：B．①，利用周期定义判断；②，利用f(π4)和f(−π4)的值判断；③利用f(0)的值判断；④判断函数f(x)在(0,π2)的函数值判断即可．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．24.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．25.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．26.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②， 由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．27.【答案】36【解析】解：设老年职工有x 人，则中年职工有2x 人，所以x +2x +160=430， x =90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y 人，则y90=64160， 解得y =36，所以该样本中的老年职工人数为36人．设老年职工有x 人，列方程求出x 的值，再设该样本中的老年职工人数为y 人，列方程求出y 的值即可．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．28.【答案】189【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2⋅a4=16=a32，a n>0，∴a3=4，=q3=8，解得：q=2，又∵a6=32，∴a6a3∴a n=a6q n−6=2n−1，∴b n=2n−1+2n=3×2n−1，=189，∴S6=3(1−26)1−2故答案为：189．先由题设求得a3，进而求得公比q与a n，再求得b n，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果．本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．29.【答案】9 11【解析】解：由题意知，F(3,0)，①|AP|+|PF|≥|AF|=√(0−3)2+(6√2−0)2=9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；②设双曲线的左焦点为F′(−3,0)，由双曲线的定义知，|PF|−|PF′|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF′|+2≥|AF′|+2=√(0+3)2+(6√2−0)2+2=11，当且仅当A，P，F′按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．由题意知，F(3,0)，①当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；②设双曲线的左焦点为F′，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF′|+2，当A，P，F′按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．30.【答案】(−e−3,0)【解析】解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=−kx存在4个不同的交点．绘制函数g(x)的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k<0时，两函数在区间(−∞,0)和区间(0,1)上必然各存在一个交点，则函数g(x)与函数y=−kx在区间(1,+∞)上存在两个交点，临界条件为函数y=−kx与函数ℎ(x)=lnx−2相切，考查函数ℎ(x)=lnx−2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为(x0,lnx0−2)，则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是(−e−3,0)．故答案为：(−e−3,0)．首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．31.【答案】95%【解析】解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46 x+y+z=100x,y,z∈N，整理可得z−x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x,y,z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．32.【答案】解：(1)由数列{a n}是递增的等差数列，设公差为d，d>0，由a1=12，且a4是a2与a8的等比中项，可得a42=a2a8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)，解得d=12(0舍去)，则a n=12+12(n−1)=12n；(2)1a n a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n−1n+1)，则数列{1a n a n+1}的前n项和为4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式； (2)求得1an a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．33.【答案】证明：(1)∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC ，∵DA =AC =1，O 是AB 的中点，△ACO 为等边三角形， ∴OC =12AB ， ∴BC ⊥AC ， ∵DA ∩AC =A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∵BC ⊂平面BCE ， ∴平面ACD ⊥平面BCE ．解：(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ， 在△ACB ，△BCE 中，OR ，PR 分别为中位线， ∴OR//AC ，PR//BE ， ∵AD//BE ， ∴PQ//AD ，∵AC ⊂平面ACD ，PR ⊄平面ACD ， ∴PR//平面ACD ， 同理OR//平面ACD ，∵PR ∩OR =R ，PR ⊂平面OPR ，OR ⊂平面OPR ， ∴平面ACD//平面OPR ， ∵BC ⊥AC ，∴平面ACD 与平面OPR 的距离CR =12BC =√32，∵S △ACD =12×1×1=12，。
北京市汇文中学2023届高三下学期校模数学试题(含答案解析)
北京市汇文中学2023届高三下学期校模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，{}2,1B =--，那么A B ⋃=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}2,1--D ．{}1-2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（）A ．a b<B ．11a b>C ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln a b>3．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是（）．A ．||a b|=|B ．a b ⋅= C ．()a b b-⊥v v vD ．a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n ⊂α，那么“m ⊥n”是“m ⊥α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在等比数列{}n a 中，13a =，1239a a a ++=，则456a a a ++等于（）A ．9B ．72C ．9或72D ．9或-726．下列函数中,定义域为R 的奇函数是A ．21y x =+B ．tan y x=C ．2x y =D ．sin y x x=+7．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体-P ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是()．A ．1]-B ．[1,3]C ．1,2]-D ．1]9．如果函数()sin (0)f x x x ωωω=>的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239f f f f ++++L 的值为（）．A ．1B ．1-C D ．10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是棱AD 、11B C 上的动点，设AE x =，1B F y =.若棱1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是（）A ．[]1,2B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1二、填空题11．复数1i1i+=-____．12．在261()x x-的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．13．若lg 2lg21a -=，则=a ______;14．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3c =，π3C =，sin 2sin B A =，则=a __________．三、双空题15．设函数()3,log ,,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩其中0a >.①若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦______；②若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.四、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD，AB =，CD =cos A =，1cos 3ADB ∠=.（1）求cos BDC ∠；（2）求BC 的长.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．18．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,7070以上使用人数312176420未使用人数314363（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.19．已知函数2()()x kf x x k e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围．20．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．21．设数列()12:,,,2n A a a a n ≥ .如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= ，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质P .对于具有性质P 的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t - ，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞.(1)对():0,1,1T A ，写出所有具有性质P 的数列A ；(2)对数列()121:,,,2n E e e e n -≥ ，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=- ，证明：存在具有性质P 的数列A ，使得()T A 与E 为同一个数列；(3)对具有性质P 的数列A ，若()115n a a n -=≥且数列()T A 满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.参考答案：1．B【分析】求解一元二次不等式从而求解集合A ，再根据并集的定义求解A B ⋃.【详解】由()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，得{}1,0A =-，结合{}2,1B =--，可知{}2,1,0A B =-- .故选：B.2．D【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，再根据指数函数的性质判断C ，根据对数函数的性质判断D ；【详解】解：因为0a b >>，所以0a b >>，故A 错误；因为0a b >>，所以11a b<，故B 错误；因为0a b >>，且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为0a b >>，且ln y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以ln ln a b >，故D 正确；故选：D 3．C【详解】由平面向量(2,0)a = ，(1,1)b =知：在A 中，||2a = ，||b =r∴||||a b ≠，故A 错误；在B 中，2a b ⋅=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()a b b -⊥，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b不平行，故D 错误．综上所述．故选C ．4．B【详解】若m α⊥，则m n ⊥，即必要性成立，当m n ⊥时，m α⊥不一定成立，必须m 垂直平面α内的两条相交直线，即充分性不成立，故“m n ⊥”是“m α⊥”的必要不充分条件，故选：B ．5．D【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵13a =，1239a a a ++=，∴23339q q ++=，解得1q =或2q =-，故()34561239a a a a a a q ++=++=或72-，故选：D.6．D【详解】定义域为R,所以舍去B,又21y x =+为偶函数,=2为非奇非偶函数,故选：D.7．B【分析】求出b 的值即得解.【详解】解：由题得21+4,b b =∴=，所以双曲线的渐近线方程为1y x =±=0y ±=.故选：B 8．A【分析】固定正四面体-P ABC 的位置，原点O 在以AB 为直径的球面上运动,由此根据球的性质可以得到答案.【详解】如图所示，若固定正四面体-P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，设AB 的中点为M ，则PM 所以原点O 到点P 的最近距离等于PM 减去球M 的半径，最大距离是PM 加上球M 的半径，11OP -≤≤，即||OP 的取值范围是1]．故选:A ．9．A【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，由已知求出ω，再结合函数式计算作答.【详解】依题意，π()2sin()3f x x ω=+，函数()f x 的周期4T =，而0ω>，则2ππ2T ω==，ππ()2sin(23f x x =+，5π11π(1)(3)2sin2sin 066f f +=+=，4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=，所以()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin 16f f f f f f f f f f ++++=++++===L .故选：A 10．A【分析】取特殊值1x y ==和0x =，1y =进行验证，结合排除法可得出结论.【详解】由题意，若1x y ==，则棱1DD 与平面BEF 交于点D ，符合题意，此时2x y +=；若1x =，0y =，则棱1DD 与平面BEF 交于线段1DD ，符合题意，此时1x y +=.排除B 、C 、D 选项.故选：A ．【点睛】本题考查线面位置关系，考查特殊值法的运用，属于中档题．11．i【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解．【详解】()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 11++===--++．故答案为：i ．12．15【分析】求出通项()36161 rr r r T C x -+=-，，令3662r r -==，由此求得展开式中常数项．【详解】在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项()()26123166 11 r r r rr r r r T C x x C x （），---+=-=-令3662r r -==，．故展开式中常数项是()2261 15 C -=，，故答案为15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．40【解析】利用对数的运算公式log log na a n M M =，log log log ()a a a M N MN +=，直接求值即可.【详解】lg 2lg 21a -=Q lg 2lg 21lg 4lg10lg 40a ∴=+=+=40a ∴=故答案为：4014【分析】由正弦定理得到2b a =，再由余弦定理求出a 的值.【详解】由正弦定理得：2b a =，再有余弦定理得：22222225591cos 22242a b c a c a C ab a a a +---====⨯⋅，解得：a故答案为：15．[)4,9【解析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与y ＝2的图象，函数()2y f x =-有两个零点，结合图象可得答案．【详解】解：①当3a =时，()33,log ,3,x f x x x ≤≤=>⎪⎩则()39log 92f ==，∴()()92f f f ⎡⎤⎣⎦=②分别画出()y f x =与y ＝2的图象，如图所示，函数()2y f x =-有两个零点，结合图象可得4≤a ＜9，故a 的取值范围是[)4,9.；[)4,9.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．16．（1（2.【分析】（1）计算出sin A 、sin ADB ∠，利用两角和的余弦公式可求得cos cos BDC ABD ∠=∠的值；（2）在ABD △中，利用正弦定理可求出BD 的长，然后在BCD △中利用余弦定理可求得BC 的长.【详解】（1）因为cos 3A =，1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，所以，sin 3A ==，sin 3ADB ∠=，()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADBπ∠=--∠=-+∠=∠-∠133==//AB CD Q ，则BDC ABD ∠=∠，因此，cos cos 9BDC ABD ∠=∠=；（2）在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠，可得sin 3sin 3AB ABD ADB==∠，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅⋅，因此，BC =【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）证明//AB OC 后可证线面平行；（2）以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）由题意BC OA =，又//BC OA ，所以BCOA 是平行四边形，所以//AB OC ，又AB ⊄平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以//AB 平面POC ；（2）,//BC OD BC OD =，所以BCDO 是平行四边形，所以//OB DC ，OB CD =，而CD AD ⊥，所以OB AD ⊥，以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(1,1,0)AB = ，(0,1,1)= AP ，设平面ABP 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，则1,1y z =-=，即(1,1,1)n =- ，易知平面APD 的一个法向量是(1,0,0)m = ，所以cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以二面角B AP D --．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18．17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =．（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===,()214236C C 325C P X ===,()304236C C 135C P X ===.所以X 的分布列为X123P 153515所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=.【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．19．（Ⅰ）当0k >时，()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞：单调递减区间是(,)k k -，当0k <时，()f x 的单调递减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞：单调递减区间是(,)k k -．（Ⅱ）102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．【详解】221()()x k f x x k e k-'=，令()0,f x x k ='=±，当0k >时，(),()f x f x '的情况如下：x (,)k -∞-k -(,)k k -k (,)k +∞()f x '+0-0+()f x 214k e -0所以，()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞：单调递减区间是(,)k k -，当0k <时，()f x 与()f x '的情况如下：x(,)k -∞k (,)k k -k -(,)k -+∞()f x '-0+0-()f x 0214k e -所以，()f x 的单调递减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞：单调递减区间是(,)k k -．（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)k k f k e e++=>，所以不会有1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤当0k <时，由（Ⅰ）知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e-=所以1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤等价于24()k f k e -=1e ≤，解得10.2k -≤<故当1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤时，k 的取值范围是102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．20．(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k k x x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N x x y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++，()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()222216162168414kk k k k k ⎡⎤+-+++⎣⎦+整理得4k =，解得4k =-21．(1)4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列()T A 的定义，得到4n =且12a a >，23a a <，34a a <，确定21a =，按照14a =或44a =分别讨论可得答案；（2）设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，在按照0s =、1s n =-、01s n <<-三种情况分别讨论可证结论；（3）按照n 的奇偶分类讨论，结合数列()T A 的定义可证结论.【详解】（1）因为():0,1,1T A ，所以13-=n ，则4n =因为10t =，21t =，31t =，所以12a a >，23a a <，34a a <，又{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=，所以21a =，14a =或44a =，当14a =时，342,3a a ==，当44a =时，133,2a a ==或132,3a a ==，综上所述：所有具有性质P 的数列A 为：4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4.（2）由于数列E ：121,,,n e e e - ，其中{0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ ，不妨设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，若0s =，则:,1,,1A n n - 符合题意，若1s n =-，则:1,2,,A n 符合题意，若01s n <<-，则设这s 项分别为12,,,s k k k e e e 12()s k k k << ，构造数列12:,,,n A a a a L ，令1211,,1,s k k k a a a +++ 分别为1,2,,n s n s n -+-+ ，数列A 的其余各项12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< 分别为,1,,1n s n s --- ，经检验数列A 符合题意.（3）对于符合题意的数列1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ，①当n 为奇数时，存在数列11:,,,n n A a a a -' 符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以n 为奇数时，这样的数列A 有偶数个，当3n =时，这样的数列A 也有偶数个，②当n 为偶数时，如果,1n n -是数列A 中不相邻的两项，交换n 与n 1-得到数列A '符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以这样的数列A 有偶数个，如果,1n n -是数列A 中相邻的两项，由题设知，必有1n a n -=，1n a n =-，12a n =-，除这三项外，232,,,n a a a - 是一个3n -项的符合题意的数列A ，由①可知，这样的数列A 有偶数个，综上，这样的数列A 有偶数个.【点睛】关键点点睛：正确理解数列()T A 的定义，并利用定义求解是解题关键.。
北京市东城区普通高中示范校2021届高三3月综合练习(二)理科数学试卷
一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{40}A x x =->，1{2}4xB x =<，则AB =（ ）A ．{}2x x > B. {}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2．已知复数2(1)(2)z a a i =-+-(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 3．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程（ ）A ．3sin 2=ρθ B. 3cos 2=ρθ C. 3sin 2=ρθ D.3cos 2=ρθ 4．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A.96B. 120C.144D. 3005．已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16 D ．176．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ． B. C. D.7．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n a n ，若{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫13，12C. ⎝⎛⎭⎫58，1 D. ⎝⎛⎭⎫13，588．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点CA BOD C. ()f x 在(1,0)-上恰有一个零点 D. ()f x 在(1,0)-上恰有两个零点 二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于X1 2 3P12 13m10．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 的取值范围是 .11.如图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，2=OD ，6AB =，则圆O 的半径为 .12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD 的最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线:1(R)l y ax a a =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.(本小题满分13分) 已知函数,2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80, 之间的概率．17. (本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区 间上的最大值.19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求EB AD ⋅的最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ． (1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ； (3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80, 之间的概率．解：(1) 77.5； ………………………………………3分 (2) 所求为：直线72=x 与直线84=x 之间的直方图的面积40⨯，因此，61940040040450503503.)...(=⨯⨯+⨯+⨯ ………………………7分 答：这40名学生的成绩在(]84 72,之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间为事件A ，因为 3.05)02.004.0(=⨯+ ……………………………………10分所以 308701071033225.)(=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P ……………………………………12分 答：这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率为0．3087． ………13分17. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明： 底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,F G PD CBA∴28111a x +-=；28112ax ++=因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设),(),,(4433y x E y x D ，则同理可得 4,44343-=-=+x x k x x ，1,2443243=+=+y y ky y …………………………8分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=•y y y y FBAF EF FD FB AF EF FD FBFD FB AF EF FD EF AF FB EF FD AF EB AD1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分16248)1(484482222=⨯+≥++=++=kk k k ……………………………13分 当且仅当221k k =即1k =±时，AD EB •取最小值16． …………………………14分20．已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由；(2) 求证：n n a n a a a 221=+++ ； (3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．解：(1) 由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． …………………………………………4分(2) {}n a a a A ,,, 21=具有性质P ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A由n a a a <<<≤ 210，有n n n a a a >+，故A a a n n ∉+A a a n n ∈-=∴0，故01=an a a a a <<<<= 3210n k n a a a >+∴，故),,,(n k A a a k n 32=∉+又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ，1a a a n n =-∴，21a a a n n =--，…，12-=-n n a a a ，n n a a a =-1。
北京东城区高三一模数学文科试题及
适用标准文档北京市东城区2021-2021 学年度第二学期高三综合练习〔一〕数学〔文科〕本试卷共 5 页，共 150 分。
考试时长120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷〔选择题共40分〕一、选择题〔共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项〕〔 1〕假定会合A { x R x23x} ， B{ x 1 x 2} ，那么 A B〔 A 〕{ x 1 x 0}〔 B〕{ x 1 x 3}〔 C〕{ x 0 x 2}〔 D 〕{ x 0 x 3}〔 2〕直线ax 3 y 10与直线 3x y+2=0 相互垂直，那么 a〔 A 〕3〔B〕1〔C〕1〔D〕3〔 3〕a log 4 6 ， b log 4 0.2 ， c log 2 3 ，那么三个数的大小关系是〔 A 〕c a b〔 B 〕a c b〔 C〕a b c〔 D 〕b c ax0，〔 4〕假定x , y知足x 2 y30，那么 u2x y 的最大值为2x y30，〔A〕3〔B〕52〔C〕2〔D〕32〔 5〕数列{ a n}的前n项和S n 1 5 913 17 21( 1)n 1 (4 n 3) ，那么S11〔A〕21〔B〕19〔C〕19〔D〕21〔 6 〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么“a b 〞是“ a cosB bcos A 〞的〔 A 〕充足而不用要条件〔 B 〕必需而不充足条件文案大全〔 7〕右侧程序框图的算法思路根源于我国古代数学名著?九章算术? 中的“更相减损术〞．执行该程序框图，假定输入 a , b , i 的值分别为 6 ， 8， 0 ，那么输出a和 i 的值分别为〔A〕0,3〔B〕0,4〔C〕2,3〔D〕2, 4〔 8〕函数f ( x)的定义域为1,1 ，图象如图1所示；函数 g( x) 的定义域为1,2 ，图象如图 2所示．假定会合A x f (g (x )) 0,B x g ( f ( x)) 0，那么A B 中元素的个数为y y11-1O1x-1O1 2x -1图 1图 2〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三(下)开学数学试卷(附解析)
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.若z(1−i)=2i，则z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.在(√x2−1√x)6的二项展开式中，x2的系数为()A. 1516B. −1516C. 316D. −3164.已知平面向量a⃗=(√3,−1)，|b⃗ |=4，且(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A−BC−P的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω>0)，则下列说法错误的是()A. 若f(x)在(0,π)内单调，则0<ω≤23B. 若f(x)在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C. 若y=|f(x)|的最小正周期为π，则ω=2D. 若ω=2时，直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴7.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件8.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=174，若以线段PF 为直径的圆过点(1,0)，则C的方程为()A. x2=y或x2=8yB. x2=2y或x2=8yC. x2=y或x2=16yD. x2=2y或x2=16y9.在△ABC中，a=2√3，√7bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是()A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√710.已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于√2；④f(x)在(0,π)单调递减．其中所有正确结论编号是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为______ ．12.在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为______ ．13.已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0,6√2)．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ．14.已知函数f(x)={3x−1+kx−1,x≤0|lnx|+kx−2,x>0，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为______ ．15.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为______ ．“我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注：1.同意画“〇”，不同意画“×”．2.每张选票“〇”的个数不超过2时才为有效票．甲 乙 丙三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知△ABC 中，bcosA −c >0．(Ⅰ)△ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由． (Ⅱ)若△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①sinA =√22；②sinC =√32；③a =2；④c =√2．请证明使得△ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值．17. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =√2，AB =BD =2． (Ⅰ)证明：EM//平面BCD ； (Ⅱ)证明：EF ⊥平面BCD ；(Ⅲ)若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°，求二面角A −CE −B 的余弦值．18.某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级如表：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如表(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y(元)4t9t4t2t−5 3 e t试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．19. 已知函数f(x)=12x 2−alnx −12(a ∈R,a ≠0)．(Ⅰ)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x ∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a 的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AB||OA|=32，求△OAB 的面积．21. 已知项数为m(m ∈N ∗,m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}，且a1=1，a m=2021，求m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}={x∈N|x<2}={0,1}，∴A∩B={x∈R|−1≤x≤3}∩{0,1}={0,1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12=−2+2i2=−1+i，∴z−=−1−i，则z−的虚部为−1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：(√x2√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅2r−6⋅x3−r，令3−r=2，求得r=1，故x2的系数为−C61⋅2−5=−316．故选：D．求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由平面向量a⃗=(√3,−1)，可得|a⃗|=√3+1=2，由(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，可得a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=0，即2⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√4−2×2+16=4，故选：C ．由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a ⃗ ⋅b ⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点， 且AB =2，PA =BC =√3，∴AC ⊥BC ，AC =√AB 2−BC 2=√4−3=1， 以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P(0,0，√3)，B(√3,1，0)，C(0,1，0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， 设平面PBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,√3,1)，平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角A −BC −P 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，∴θ=60°， ∴二面角A −BC −P 的大小为60°， 故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −BC −P 的大小．本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6)，由此依次分析选项：对于A，若f(x)在(0,π)内单调，则有ωπ−π6≤π2，解可得ω≤23，A正确，对于B，当x∈(0,π)时，则ωx−π6∈(−π6,ωπ−π6)若f(x)在(0,π)上无零点，则ωπ−π6≤0，解可得0<ω≤16，B正确，对于C，若y=|f(x)|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f(x)=sin(2x−π6)，当x=−2π3时，2x−π6=−3π2，则直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴，D正确，故选：C．根据题意，将函数的解析式变形可得f(x)=sin(ωx−π6)，据此依次分析选项，综合可得答案．本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意可知F(0,p 2)，准线方程为y =−p2， 设点P(m.n)，|PF|=n +p2=174，又线段PF 为直径的圆过点(1,0)，∴圆的半径为178，圆心坐标为(m 2,178)，√(m 2−1)2+(178−0)2=178，∴m =2，即P(2,174−p 2)代入抛物线方程得，4=2p ×(174−p2)，解得p =8或12， 故选：C ．设出点P 坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P 坐标代入即可解出． 本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由正弦定理及√7bcosA =3asinB ，得√7sinBcosA =3sinAsinB ， 因为sinB >0，所以√7cosA =3sinA ，A 为锐角， 结合sin 2A +cos 2A =1， 所以sinA =√74，cosA =34，由余弦定理得，cosA =34=b 2+c 2−122bc，整理得，24=2b 2+2c 2−3bc ≥4bc −3bc =bc ，当且仅当b =c 时取等号，即bc ≤24， 则△ABC 面积S =12bcsinA ≤12×24×√74=3√7，故选：A ．由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sin A ，cos A ，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：①：因为f(x +2π)=sin[cos(x +2π)]+cos[sin(x +2π)]=sin[cosx]+sin[cosx]=f(x)，所以函数的一个周期为2π，故①正确；cos[sin(−π4)]=sin0+cos(−1)=cos1，所以f(π4)≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故②错误；③因为f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1>√22+1>√2，故③正确；④：当x∈(0,π2)时，0<sinx<1，0<cosx<1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x∈(0,π2)时，f(x)=1为定值，故④错误；故选：B．①，利用周期定义判断；②，利用f(π4)和f(−π4)的值判断；③利用f(0)的值判断；④判断函数f(x)在(0,π2)的函数值判断即可．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】36【解析】解：设老年职工有x人，则中年职工有2x人，所以x+2x+160=430，x=90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y人，则y90=64160，解得y=36，所以该样本中的老年职工人数为36人．设老年职工有x人，列方程求出x的值，再设该样本中的老年职工人数为y人，列方程求出y的值即可．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12.【答案】189【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2⋅a4=16=a32，a n>0，∴a3=4，又∵a6=32，∴a6a3=q3=8，解得：q=2，∴a n=a6q n−6=2n−1，∴b n=2n−1+2n=3×2n−1，∴S6=3(1−26)=189，1−2故答案为：189．先由题设求得a3，进而求得公比q与a n，再求得b n，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果．本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．13.【答案】9 11【解析】解：由题意知，F(3,0)，①|AP|+|PF|≥|AF|=√(0−3)2+(6√2−0)2=9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；②设双曲线的左焦点为F′(−3,0)，由双曲线的定义知，|PF|−|PF′|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF′|+2≥|AF′|+2=√(0+3)2+(6√2−0)2+2=11，当且仅当A，P，F′按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．由题意知，F(3,0)，①当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；②设双曲线的左焦点为F′，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF′|+2，当A，P，F′按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】(−e−3,0)【解析】解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=−kx存在4个不同的交点．绘制函数g(x)的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k<0时，两函数在区间(−∞,0)和区间(0,1)上必然各存在一个交点，则函数g(x)与函数y=−kx在区间(1,+∞)上存在两个交点，临界条件为函数y=−kx与函数ℎ(x)=lnx−2相切，考查函数ℎ(x)=lnx−2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为(x0,lnx0−2)，则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是(−e−3,0)．故答案为：(−e−3,0)．首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．15.【答案】95%【解析】解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46 x+y+z=100x,y,z∈N，整理可得z−x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x,y,z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为bcosA−c>0，由正弦定理可得sinBcosA−sinC>0，在△ABC中，C=π−A−B，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以不等式整理为sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA，即sinAcosB<0，因为A∈(0,π)，sinA>0，所以cosB<0，所以B为钝角；(Ⅱ)(i)若满足①③④，则正弦定理可得asinA =csinC，即√22=√2sinC，所以sinC=12，又a>c，所以A>C，在三角形中，sinA=√22，所以A=π4或A=34π，而由(Ⅰ)可得A=π4，所以可得C=π6，B=π−A−C=π−π4−π6=712π；所以b=√a2+c2−2accosB=4)=√3+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，C为锐角，及sinA=√22，sinC=√32，可得A=π4，C=π3，所以B=512π不符合B为钝角，故①②不同时成立；(iii)若满足②③④，由B为钝角，sinC=√32，所以C=π3，而a>c，所以A>C，这时B<π3，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b=√3+1．【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理可得sinAcosB<0，再由A，B的范围可得cosB<0，求出B为钝角；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B为钝角，当①②条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B为钝角的条件，所以①②不能同时成立；当①③④时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当②③④时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B为钝角的条件故舍弃．本题考查三角形的性质大边对大角及三角形正余弦定理的应用，属于中档题．17.【答案】(Ⅰ)证明：∵E，M分别是线段AD，AC的中点，∴EM//CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM//平面BCD．(Ⅱ)证明：∵E，F分别是线段AD，BD的中点，∴EF//AB，EF=12AB=1，∵∠ABD=90°，即AB⊥BD，∴EF⊥BD，∵∠BCD=90°，F为BD的中点，∴CF=12BD=1，∵EC=√2，∴EC2=EF2+CF2，即EF⊥CF，又BD∩CF=F，BD、CF⊂平面BCD，∴EF⊥平面BCD．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，EF⊥平面BCD，∵EF//AB，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，且AB∩BC=B，AB、BC⊂平面ABC，∴CD ⊥平面ABC ，∵EM//CD ，∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ACE 为直线EC 与平面ABC 所成的角，即∠ACE =30°， ∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AC ，∵E 为AD 的中点，∴CE =12AD =AE ，即△ACE 是底角为30°的等腰三角形， ∵EC =√2，∴AC =√6，BC =√AC 2−AB 2=√6−4=√2， ∵BD =2，∠BCD =90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CF ⊥BD ，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为y ，z 轴，在平面BCD 内作Bx//CF ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,0，2)，E(0,1，1)，C(1,1，0)， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面ACE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0x +y −2z =0，令z =1，则x =1，y =1，∴m⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 同理可得，平面BCE 的法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×√3=13，由图可知，二面角A −CE −B 为锐角， 故二面角A −CE −B 的余弦值为13．【解析】(Ⅰ)由中位线的性质知EM//CD ，再由线面平行的判定定理，得证； (Ⅱ)由中位线的性质知EF//AB ，EF =1，从而有EF ⊥BD ，再结合直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可得EF ⊥CF ，然后由线面垂直的判定定理，得证；(Ⅲ)由(Ⅱ)中的EF ⊥平面BCD ，推出AB ⊥CD ，再利用线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABC ，从而有EM ⊥平面ABC ，于是∠ACE =30°，然后可证明△BCD 是等腰直角三角形，故以B 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE 和平面BCE 的法向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，由cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，得解． 本题考查空间中线与面的位置关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，理解线面角的定义，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P=5(0.04+0.02)=0.3，则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973，(Ⅱ)由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4，m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2，m∈[95,100]的频率为0.02×5=0.1，∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=C53C73=27，P(X=1)=C21C52C73=47，P(X=2)=C22C51C73=17，∴X的分布列为：E(X)=0×27+1×47+2×17=67．(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系与表所示(1< t<4)，∴每件产品的利润：y=−0.5e t+0.8t+0.6t+0.9t+0.2t=−0.5e t+2.5t，(1<t<4)，则y′=−0.5e t+2.5，令y′=−0.5e t+2.5=0，解得t=ln5，∴当t∈(1,ln5)时，y′>0，函数y=−0.5e t+2.5单调递增，当t∈(ln5,4)时，y′<0，函数y=−0.5e t+2.5t，单调递减，∴当t=ln5时，y取最大值，为−0.5e ln5+2.5×ln5=1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．【解析】(Ⅰ)设事件A的合格率为P(A)，则根据概率分布直方图求出一件产品为合格或合格以上等级的概率，由此能求出事件A发生的概率；(Ⅱ)由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)；(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值k与利润y(元)的关系，从而求出每件产品的利润y=−0.5e t+2.5t，(1<t<4)，则y′=−0.5e t+2.5，利用导数性质能求出生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.5时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、利润最大值的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)a=2时，f(x)=12x2−2lnx−12,f(1)=0f′(x)=x−2x,f′(1)=−1曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x+y−1=0(Ⅱ)f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x∈[1,+∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1,+∞)，f(x)min≥0①当a<0时，f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−aln1−12=0所以a <0满足题意；②当0<a ≤1时，0<√a ≤1，f(x)在[1,+∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−aln1−12=0 所以0<a ≤1满足题意；③当a >1时，√a >1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数， 所以只需f(√a)≥0即可 而f(√a)<f(1)=0 从而a >1不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]．【解析】(Ⅰ)当a =2时，写出f(x)的表达式，对f(x)进行求导，求出x =1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；(Ⅱ)求出函数的定义域，令f′(x)大于0求出x 的范围即为函数的增区间；令f′(x)小于0求出x 的范围即为函数的减区间；(Ⅲ)由题意可知，对任意的x ∈[1,+∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x ∈[1,+∞)，f(x)min ≥0.下面对a 进行分类讨论，从而求出a 的取值范围；考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值和单调性．恒成立的问题，一般都要求函数的最值，此题是一道中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{ ca =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴△=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(m k 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k +4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km 4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(mk +1)2=m 2k +1=4(k 2+1)k +4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14， 此时m 2=4(k 2+1)2k 2+4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517．【解析】(Ⅰ)由椭圆离心率为√32，且经过点(1,√32)，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案．(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4(kx +m)2=4，由△>0，得4k 2+1>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OA ⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，|OA|2=4(k 2+1)k 2+4，进而可得|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，解得k 2=14，进而可得△OAB 的面积S =12|OA||AB|=34|OA|2，即可得出答案． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)1，4，7，10是项数为4的递增等差数列数列，其中a 1=1，d =3，a n =1+(n −1)×3=3n −2，所以a 1+a 2+a 3+a 4=22， 则b n =a 1+a 2+a 3+a 4−a n4−1=22−3n+23，故b n=8−n，1≤n≤4，n∈N∗，所以b1=7，b2=6，b3=5，b4=4，所以数列1，4，7，10存在“关联数列”为7，6，5，4；(Ⅱ)因为{a n}为递增数列，所以a n+1−a n>0，则b n+1−b n=(a1+a2+⋯+a m)−a n+1m−1−(a1+a2+⋯+a m)−a nm−1=a n−a n+1m−1<0，所以b n+1<b n，故数列{b n}具有单调递减性；(Ⅲ)由于b n∈Z，则b n−b n+1≥1，故a n+1−a nm−1≥1，所以a n+1−a n≥m−1，又a m−1=(a m−a m−1)+(a m−1−a m−2)+⋯+(a2−a1)≥(m−1)+(m−1)+⋯+(m−1)=(m−1)2，所以(m−1)2≤2020，解得m≤45，所以{a n}存在“关联数列”{b n}，所以b1−b m=(a1+a2+⋯+a m)−a1m−1−(a1+a2+⋯+a m)−a mm−1=a m−a1m−1=2020m−1∈N∗，因为m−1为2020的正约数，且m≤45，故m−1的最大值为20，所以m的最大值为21．【解析】(Ⅰ)利用等差数列的通项公式求出a1+a2+a3+a4=22，再利用“关联数列”的定义进行分析求解即可；(Ⅱ)利用“关联数列”的定义结合数列单调性的判断方法，即作差法进行判断即可；(Ⅲ)利用已知条件分析得到a n+1−a n≥m−1，然后表示出a m−1≥(m−1)2，从而得到m的取值范围，再利用“关联数列”{b n}，得到b1−b m=2020m−1∈N∗，利用m−1为2020的正约数分析求解即可．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．第21页，共21页。
北京市东城区2021届高三数学下学期二模试题
北京市东城区2021届高三数学下学期二模试题本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合12{|}A x x =<≤，那么R C A =(A) 2),1,()(⋃-∞+∞ (B) ][2),1,(⋃-∞+∞ (C) (),1,)2[-∞⋃+∞(D) 2),1,(](⋃-∞+∞(2)已知()52x a +的展开式中2x 的系数为-40，那么a=(A)-2(B)-1(C)1(D)2(3)已知0.30.30.33,4,3a log b log c ===，那么(A) a b c << (B) c b a << (C) b a c <<(D) b c a <<(4)已知222a b +=，那么a b +的最大值为(A)1(B) 2(C)2(D) 22(5)在平行四边形ABCD 中，已知()()2,2,1,5AB AD ==-，E 为CD 的中点，那么BE =(A)()2,4-(B) ()2.3-(C) ()1,4-(D) ()1,3-(6)已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时， ()f x x =，那么()21f =(A) 102(B) 112(C) 202(D) 212(7)某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(A) 8+32(B) 18+23(C)22(D) 10+65(8)已知双曲线()23:10C mx ny mn -=>，那么“双曲线C 的渐近线为2y x =±”是“4m n =”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)在△ABC 中，已知,223A a c b π∠=-=，那么c a= (A) 38(B) 37(C)715(D)815(10)有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位:℃)、时间(单位:min)催化剂用量(单位:g)，三个因素对产量的影响彼此独立其中温度有三个水平:80、85、90时间有三个水平:90、120、150，催化剂用量有三个水平:5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验在数学上可以证叨:通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.下表给出了这9次实验的结果：(A)85℃ 120min 7g (B)90℃ 120min 6g (C)85℃ 150min 6g (D)90℃ 150min 7g第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。