常用的求导和定积分公式
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n nnx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(xx -='，xx 21)(='。
⑶ xxe e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a aa xx。
⑷ xx 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log≠>='a a ax x a。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1）⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+cx dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα；（2） C x dx x+=⎰||ln 1； Cedx e xx+=⎰；)1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a xx；（3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴ ⎰⎰⎰+=+babab adxx g k dx x f k dx x g k x f k)()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab aba x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念 （1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O（2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I(3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij(5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021(6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h gf e d cb aB A⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB7、MATLAB 软件计算题例 6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2xx x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
积分学四大公式
积分学四大公式积分学四大公式是数学中非常重要的一部分，它们是求解积分的基础公式，也是数学中的基础知识。
在本文中，我们将详细介绍积分学四大公式的概念、应用和推导过程。
一、定积分的定义定积分是积分学中最基本的概念之一，它是对函数在一定区间内的面积进行求解。
定积分的定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]上f(x)的定积分为：∫a^b f(x)dx其中，dx表示自变量x的微小增量，f(x)表示函数在x处的函数值。
二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是积分学中最重要的公式之一，它将定积分与原函数联系起来，使得我们可以通过求解原函数来求解定积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式如下：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的原函数。
三、换元积分法换元积分法是积分学中常用的一种方法，它通过变量代换的方式将积分式子转化为更容易求解的形式。
换元积分法的公式如下：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u=g(x)。
四、分部积分法分部积分法是积分学中常用的一种方法，它通过将积分式子分解为两个函数的乘积，然后对其中一个函数求导，对另一个函数求积分，最后将两个结果相乘得到原积分式子的解。
分部积分法的公式如下：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是两个可导函数。
以上就是积分学四大公式的概念、应用和推导过程。
这些公式是积分学中最基本的知识，掌握它们对于学习高等数学和物理学等学科都非常重要。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的公式进行求解，以达到最优的效果。
常用的求导和定积分公式(完美)
(1) (3) (5) (7) (9)
(C ) 0 (sin x) cos x
(2) (4) (6) (8) (10)
( x ) x 1
(cos x) sin x
(tan x) sec 2 x
(sec x) sec x tan x
ax C ， (a 0, 且a 1) ln a
6
（14） shxdx chx C （15） chxdx shx C
1 1 x dx arc tan C 2 a x a a 1 1 xa （17） 2 dx ln | | C 2 x a 2a xa
(14)
(arccos x)
1 1 x2
1 1 x2
(arctan x)
(15)
(arc cot x)
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u ( x) ， v v( x) 都可导，则
（1 ）
(u v) u v
（2）
(Cu ) Cu （ C 是常数）
1 dx tan x C cos 2 x 1 （9） 2 dx cot x C sin x
（8）
（10） sec x tan xdx sec x C （11） csc x cot xdx csc x C （12） e x dx e x C （13） a x dx
2. 3.
f (x
) x 1dx 1
)d ( x )
( 0)
第 一 换 元 积 分 法
f (ln x) x dx f (ln x)d (ln x) 4.. f (e ) e dx f (e ) de 1 5. f (a ) a dx f ( a ) da ln a 6. f (sin x ) cos xdx f (sin x) d sin x 7. f (cosx ) sin xdx f (cosx ) d cos x 8. f (t anx) sec xdx f (t anx )d t an x 9. f (cot x ) csc xdx f (cot x )d cot x 1 10. f (arct anx ) dx f (arct anx) d (arct anx ) 1 x
常用的求导和定积分公式.doc
一．基本初等函数求导公式(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13) (14)(15) (16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或二、基本积分表（ 1） kdx kx C （ k 是常数）（ 2）x dx x 1C , (u1)1（ 3）1dx ln | x | C xdx（ 4）arl tan x C21 x（ 5）dxarcsin x C 1 x2（ 6）cos xdx sin x C （ 7） sin xdx cos x C（ 8）1dx tan x C 2cos x（ 9）12 dx cot x Csin x（10） secx tan xdx secx C（ 11）cscx cot xdx cscx C（ 12）e x dx e x C（ 13）a x dx a x C ， (a 0, 且 a 1)ln a（ 14）shxdx chx C（ 15）chxdx shx C （16）（17）（18）（19）（20）a 21 2 dx1arc tanxCx a ax2 1 2 dx1ln |x a| Ca 2a x a1 dx arc sinxCa2 x2 a1 dx ln( x a2 x2 ) C a2 x2dxa2ln | x x2 a2 | C x2（ 21）tan xdx ln | cosx | C（ 22）cot xdx ln | sin x | C（ 23）secxdx ln | secx tan x | C（ 24）cscxdx ln | cscx cot x | C注： 1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式， (16)-(24)式后几节证。
积分公式和求导公式
积分公式和求导公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分和求导是微积分中的两个基本概念，它们在数学中具有非常重要的地位。
积分是用来计算函数在一个区间内的面积或曲线下面积的工具，求导则是用来求函数在某一点的斜率或变化率的工具。
在实际应用中，积分和求导被广泛运用于物理学、工程学、经济学等领域。
积分公式是积分运算的基本规则，它包括了各种基本函数的积分形式。
在微积分中，常见的积分公式有如下几个：1. 基本积分公式：常数函数的积分、幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分、反三角函数的积分等。
2. 定积分公式：定积分的计算方法有很多，比如换元法、分部积分法、特殊函数积分法等。
3. 微分方程的积分公式：微分方程是微积分中的一个重要应用领域，积分公式在解微分方程中扮演着关键的角色。
4. 曲线积分公式：曲线积分是在曲线上进行积分运算的一种形式，它在物理学、工程学中有广泛的应用。
积分公式的运用可以简化复杂函数的积分运算，帮助我们更快地求解问题。
在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择适合的积分公式，从而更加高效地解决问题。
2. 高阶导数公式：高阶导数是指对函数进行多次求导运算，求导公式可以帮助我们计算任意阶导数。
3. 链式法则：链式法则是求解复合函数导数的基本规则，通过链式法则可以简化复杂函数的导数运算。
4. 隐函数求导：隐函数求导是求解含有隐含变量的函数导数的一种方法，它在实际问题中有着重要的应用价值。
积分公式和求导公式是微积分中的两个基本工具，它们在数学和实际问题中具有极其重要的作用。
通过熟练掌握积分和求导的基本原理和公式，我们可以更好地理解和解决复杂的数学和科学问题，为我们的学习和研究提供强大的支持和帮助。
希望大家能够深入学习和掌握积分和求导，发现其中的美妙和价值，不断拓展自己的数学知识和能力。
【文章结束】。
第二篇示例：积分和求导是微积分中最基础的概念，也是最常用的数学工具之一。
积分公式和求导公式是帮助我们计算函数的积分和导数的重要工具，它们在工程、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式求导和定积分是微积分中的基础概念，求导是一种衡量函数变化率的方法，而定积分是对函数在一定区间上的面积或体积的计算。
在实际问题中，求导和定积分公式的应用非常广泛。
下面是一些常用的求导公式：1.基本导数公式：- 常数函数： $ \frac{d}{dx} (c) = 0$- 幂函数：$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$- 指数函数：$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x$- 对数函数：$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x}$-三角函数：- 正弦函数：$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x)$- 余弦函数：$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x)$- 正切函数：$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x)$2.基本运算法则：- 常数乘以函数：$ \frac{d}{dx} (cf(x)) = cf'(x)$- 函数的和或差：$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$- 乘法法则：$ \frac{d}{dx} (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)$- 除法法则：$ \frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$- 复合函数法则：$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$3. 链式法则：如果函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$4. 高阶导数：将求导的操作应用多次可以得到高阶导数，例如二阶导数表示为 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
常用求导与定积分公式(完美)培训讲学
常用求导与定积分公式(完美)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan ='(6)x x 2csc )(cot -='(7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log =' (12)x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰（5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰ （19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
高数公式大全
高等数学公式总结第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：s i n s i n 2s i n c o s22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
基本求导积分公式
f'(c) = 0f'(x^n) = nx^(x-1)f'(1/x) = -1/x^2f'(√x) = 1/2√xf'(㏑x) = 1/xf'(㏒ax) = 1/x㏑a （a为底）f'(a^x) = a^x * ㏑af'(e^x) = e^xf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)xf'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/√(1-x^2)f'(arccosx) = -1/√(1-x^2)f'(arctanx) = 1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式在微积分中，求导和定积分是两个最基本的运算。
求导用于确定一个函数的导数，而定积分则用于计算一个函数在给定区间上的面积。
下面是一些常用的求导和定积分公式：求导公式：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即：d/dx (c) = 0。
2. 幂法则：若f(x) = x^n，则导数为n*x^(n-1)，即：d/dx (x^n)= n*x^(n-1)。
3. 对数函数法则：若f(x) = ln(x)，则导数为1/x，即：d/dx(ln(x)) = 1/x。
4. 指数函数法则：若f(x) = e^x，则导数为e^x，即：d/dx (e^x)= e^x。
5. 乘法法则：若f(x) = u(x) * v(x)，则导数为u'(x) * v(x) +u(x) * v'(x)，即：d/dx (u(x) * v(x)) = u'(x) * v(x) + u(x) *v'(x)。
6. 除法法则：若f(x) = u(x) / v(x)，则导数为(u'(x) * v(x) -u(x) * v'(x)) / (v(x))^2，即：d/dx (u(x) / v(x)) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^27. 链式法则：若f(x) = g(h(x))，则导数为g'(h(x)) * h'(x)，即：d/dx (g(h(x))) = g'(h(x)) * h'(x)。
8. 反函数法则：若f(x) = g^(-1)(x)，其中g为一个可逆函数，则导数为1 / g'(g^(-1)(x))，即：d/dx (g^(-1)(x)) = 1 / g'(g^(-1)(x))。
定积分公式：1. 基本定积分：∫1 dx = x + C。
2. 幂函数定积分：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C，其中n不等于-13. 指数函数定积分：∫e^x dx = e^x + C。
常用求导与定积分公式
常用求导与定积分公式常用的求导公式有：1. 常数规则：对于常数C，有d/dx(C) = 0。
2. 幂函数规则：对于任意实数n，有d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，d/dx(x^1) = 13. 指数函数规则：对于任意实数a，有d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
4. 对数函数规则：对于任意正实数a，有d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)，有d/dx(sin(x)) = cos(x)和d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
6. 乘法规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
7. 商法则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^28. 复合函数规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)。
常用的定积分公式有：1. 常数积分规则：对于常数C和可导函数f(x)，有∫f(x) dx =F(x) + C，其中F'(x) = f(x)。
2. 幂函数积分规则：对于实数n不等于-1和可导函数f(x)，有∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C。
3. 指数函数的积分规则：对于底数为a的指数函数和可导函数f(x)，有∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C。
4. 对数函数的积分规则：对于底数为a的对数函数和可导函数f(x)，有∫(1 / x) dx = ln，x， + C。
5. 三角函数的积分规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)以及可导函数f(x)，有∫sin(x) dx = -cos(x) + C和∫cos(x) dx = sin(x) + C。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式一、常用的求导公式1. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n为实数，则有f'(x) = nx^(n-1)2. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，则有f'(x) = a^x * ln(a)3. 对数函数：若f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，则有f'(x) = 1/(x * ln(a))4.三角函数：- 正弦函数：若f(x) = sin(x)，则有f'(x) = cos(x)- 余弦函数：若f(x) = cos(x)，则有f'(x) = -sin(x)- 正切函数：若f(x) = tan(x)，则有f'(x) = sec^2(x)5.反三角函数：- 反正弦函数：若f(x) = arcsin(x)，则有f'(x) = 1/sqrt(1 - x^2)- 反余弦函数：若f(x) = arccos(x)，则有f'(x) = -1/sqrt(1 - x^2)- 反正切函数：若f(x) = arctan(x)，则有f'(x) = 1/(1 + x^2) 6.双曲函数：- 双曲正弦函数：若f(x) = sinh(x)，则有f'(x) = cosh(x)- 双曲余弦函数：若f(x) = cosh(x)，则有f'(x) = sinh(x)- 双曲正切函数：若f(x) = tanh(x)，则有f'(x) = sech^2(x)1. 常数函数：∫c dx = cx + C，其中C为常数2. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n ≠ -1，则有∫x^n dx =(x^(n+1))/(n+1) + C3. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，则有∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C4. 对数函数：若f(x) = log_a(x)，其中a > 0且a ≠ 1，则有∫1/x dx = ln，x， + C5.三角函数：（以下a、b和c为常数）- 正弦函数：∫sin(ax) dx = -1/a * cos(ax) + C- 余弦函数：∫cos(bx) dx = 1/b * sin(bx) + C- 正切函数：∫tan(cx) dx = -1/c * ln，cos(cx)， + C6.双曲函数：（以下a为常数）- 双曲正弦函数：∫sinh(ax) dx = (1/a) * cosh(ax) + C- 双曲余弦函数：∫cosh(ax) dx = (1/a) * sinh(ax) + C- 双曲正切函数：∫tanh(ax) dx = (1/a) * ln，cosh(ax)， + C以上只是常用的求导和定积分公式的一部分，实际上还有很多其他的公式，在具体的数学应用中根据具体问题选择适用的公式。
常用求导与定积分公式
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(−='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos −='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot −=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc −='(9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x −='(14)211)(arccos x x −−='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=−+函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '−'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠− （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a−=+−+⎰ （18）sin xarc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln ||x C =+（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
自考高等数学一(微积分)常用公式表
高 数 常 用 公 式 表常用公式表（一）1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)²=a ²-2ab+b ² （3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²) 2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a m n=m n a（4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n m a a =a n m - （6）（a m ）n=a（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n nb a （9）（a ）2=a（10）2a =|a| 3、指数与对数关系：（1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若b e =N ，则b=㏑N 4、对数公式：（1）b a b a =log , ㏑e b=b （2）N a aN =log ，e Nln =N（3）aNN a ln ln log = （4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M N Mln ln ln -= （7）M n M n ln ln = （8）㏑=M n ln 1 5、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)² （4）αααtan cos sin = （5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）ααcos 1sec =6、特殊角三角函数值：αsina 0 1 0 --1 0 cosa 10 --1 0 1 tana 0 1 ∞ 0 --∞ 0 cota∞10 --∞ 0 ∞7.倍角公式：（1）（2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cos α）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +9、三角函数与反三角函数关系：（1）若x=siny ，则y=arcsinx （2）若x=cosy ，则y=arccosx（3）若x=tany ，则y=arctanx （4）若x=coty ，则y=arccotx 10、函数定义域求法：（1）分式中的分母不能为0， （a 1α≠0）（2）负数不能开偶次方， （a α≥0） （3）对数中的真数必须大于0， （N a log N>0） （4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（--1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
高等数学一(微积分)常用公式表
1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2（2）(a-b)²=a ²-2ab+b ²（3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0）（2）a P -=P a 1（a ≠0）（3）amn=mna（4）a m a n =a n m +（5）a m ÷a n=n maa =anm -（6）（am）n =amn（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n nba （9）（a ）2=a （10）2a =|a|3、指数与对数关系： （1）若a b=N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若be =N ，则b=㏑N4、对数公式：（1）b a ba =log , ㏑eb=b （2）N aaN=log ，eNln =N（3）aNN a ln ln log =（4）a b be aln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M NMln ln ln-= （7）M n M n ln ln =（8）㏑nM =M nln 15、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)²（4）αααtan cos sin =（5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot =（7）ααcos 1csc = （8）ααcos 1sec =7.倍角公式： （1）αααcos sin 22sin = （2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a- （2）（2cosα）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +常用公式表（二）1、求导法则：（1）（u+v ）/=u /+v /（2）（u-v ）/=u /-v /（3）（cu ）/=cu / （4）（uv ）/=uv /+u/v （5）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、定积分公式：（1）⎰⎰=babadtt f dx x f )()( （2）⎰=aadx x f 0)(（3）()()dx x f dx x f a bba⎰⎰-= （4）⎰⎰⎰+=bac abcdxx f dx x f dx x f )()()(（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则6、积分定理： （1）()()x f dt t f xa='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2（3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰7.积分表()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2()C a xa dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx x a +=-⎰arcsin 1422()C a x ax a dx ax ++-=-⎰ln 211522 8．积分方法()()bax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv。
高数的基本公式大全
高数的基本公式大全高等数学（简称高数）是大多数理工科专业的重要学科之一，其理论基础和应用广泛深入。
在学习高数的过程中，熟练掌握各类基本公式是非常关键的。
本文将为大家总结并介绍一些高数中常用的基本公式，希望能对广大学生有所指导和帮助。
一、导数公式1. 基本导数：常数导数为0，幂函数求导是将幂次降低一次并乘以原幂次系数。
2. 乘积法则：$(u * v)' = u' * v + u * v'$3. 商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' * v - u * v'}{v^2}$4. 复合函数求导法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)$5. 反函数求导法则：$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$6. 指数函数求导法则：$(a^x)' = a^x * \ln(a)$7. 对数函数求导法则：$(\log_a{x})' = \frac{1}{x *\ln(a)}$8. 三角函数求导法则：$(\sin{x})' = \cos{x}$，$(\cos{x})' = -\sin{x}$，$(\tan{x})' = \sec^2{x}$9. 反三角函数求导法则：$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}$，$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，$(\arctan{x})' = \frac{1}{1 + x^2}$二、积分公式1. 基本积分：幂函数的积分是将幂次升高一次并除以新的幂次。
2. 基本定积分：$\int_a^b{f(x)dx} = F(b) - F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全微积分是数学的一个重要分支，涵盖了导数、积分、极限等概念和公式。
在学习微积分的过程中，掌握一些常用的微积分公式对于解题和理解概念非常重要。
下面是一些常用的微积分公式的介绍。
1. 导数的基本公式：- 常数函数导数为0：(c)' = 0，其中 c 是常数。
- 幂函数导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中 n 是常数。
- 乘积法则：(f*g)' = f'*g + f*g'，其中 f 和 g 是可导函数。
- 商法则：(f/g)' = (f'*g - f*g')/g^2，其中 f 和 g 是可导函数，并且 g 不等于0。
- 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)，其中 f 是可导函数，g 是可导函数。
2. 基本积分公式：- 变上限定积分公式：∫(f(x)'dx) = f(x) + C，其中 C 是常数。
- 幂函数积分公式：∫(x^n dx) = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中 n 不等于-1，C 是常数。
- 指数函数积分公式：∫(e^x dx) = e^x + C，其中 C 是常数。
- 三角函数积分公式：∫(sin(x) dx) = -cos(x) + C，∫(cos(x) dx) = sin(x) + C，∫(tan(x) dx) = -ln|cos(x)| + C，C 是常数。
- 分部积分法：∫(f(x)g(x) dx) = f(x)∫(g(x) dx) - ∫(f'(x)∫(g(x) dx) dx，其中 f 和 g 是可导函数。
3. 极限的基本公式：- 夹逼定理：如果对于 x -> a，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 g(x) 和h(x) 的极限都等于 L，则 f(x) 的极限也等于 L。
- 幂函数极限公式：lim(x -> a) (x^n) = a^n，其中 n 是正整数。
常用的求导和定积分公式(完美版)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a x x ln )(='(10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
三角函数积分公式求导公式
一．三角函数二．常用求导公式三．常用积分公式第一部分三角函数二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－1sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]第二部分 求导公式1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x-='，xx 21)(='。
⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。
⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
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一．基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C
(2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2
csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x x ln )(='
(10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）
（3） v u v u uv '+'=')(
（4） 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)
(x f y =在对应区间
x
I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1
=
复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du dx du dx =
或()()y f u x ϕ'''=
二、基本积分表
（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）
（2）1
,1
x x dx C μμ
μ+=
++⎰ (1)u ≠- （3）1
ln ||dx x C x =+⎰
（4）2
tan 1dx
arl x C x =++⎰ （5）
arcsin x C =+⎰
（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰
（8）2
1
tan cos dx x C x =+⎰
（9）21
cot sin dx x C x
=-+⎰
（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰
（13）ln x
x
a a dx C a
=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰
（16）22
11tan x
dx arc C a x a a =++⎰
（17）22
11ln ||2x a
dx C x a a x a
-=+-+⎰ （18）
sin
x
arc C a
=+⎰
（19）
ln(x C =+
（20）
ln |x C =+⎰
（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰
（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：
2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2
x
x +=
， 21cos 2sin 2
x
x -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结：
1常用凑微分公式
x
u x
u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x
x f x d x f dx x
x f x
d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da
a f a dx a a f de
e f dx e e f x d x f dx x
x f x d x
f dx x x f a b ax d b ax f a
dx b ax f x x x
x
x
x
x
x
x
x
arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)
(arcsin .11)
(arctan )(arctan 11
)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1
)(.5)()(..4)
(ln )(ln 1
)(ln .3)
0()()(1
)(.2)
0()
()(1)(.12
2
2
21
==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
≠=
≠++=+⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
-μμ
μ
μμμμ
法
分积元换一第换元公式
积分类型。