六年级数论综合

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六年级数论综合奥数题

六年级数论综合奥数题一、数论基础知识回顾1. 整除的概念若整数公式除以非零整数公式，商为整数，且余数为零，我们就说公式能被公式整除（或说公式能整除公式），记作公式。

例如公式，余数为公式，则说公式。

2. 因数与倍数如果公式能被公式整除，公式就叫做公式的倍数，公式就叫做公式的因数。

例如在公式中，公式是公式的倍数，公式是公式的因数。

3. 质数与合数质数是指在大于公式的自然数中，除了公式和它本身以外不再有其他因数的自然数。

例如公式、公式、公式、公式等。

合数是指自然数中除了能被公式和本身整除外，还能被其他数（公式除外）整除的数。

例如公式，公式，所以公式、公式是合数。

4. 分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。

例如公式。

二、典型数论综合奥数题及解析求公式的因数有多少个？解析：1. 先将公式分解质因数：公式。

2. 根据因数个数定理：对于一个数公式（公式为质数，公式为正整数），它的因数个数为公式。

3. 对于公式，其因数个数为公式个。

题目2：已知两个数的最大公因数是公式，最小公倍数是公式，其中一个数是公式，求另一个数。

解析：1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。

设另一个数为公式。

2. 则公式。

3. 先计算公式，那么公式。

题目3：有一个三位数，它是公式的倍数，且它各位数字之和是公式的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？1. 设这个三位数为公式（公式为百位数字，公式为十位数字，公式为个位数字）。

2. 已知公式，且公式是公式的倍数。

将公式代入公式可得公式是公式的倍数，因为公式是一位数，所以公式。

3. 又因为这个数是公式的倍数，根据公式的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式的倍数，这个数就是公式的倍数。

已知公式。

4. 满足公式的组合有公式、公式、公式、公式等，所以这个三位数可以是公式、公式、公式、公式等。

六年级数论综合

六年级－-数论综合
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六年级第8讲数论综合(一)
【兴趣篇】
４．一个各位数字均不为０的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如,按此方法由247将得到47、27、２４)。已知这些两位数中一个是５的倍数,另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数,原来的三位数是多少？
①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同;
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数.
你能破解此密文吗?
【分析与解】由①得,A不能为３、７，B不能为4、8,Ｃ不能为2、1，2１C÷１2，当C为5时,余数是11,当C为8时,余数是２,当C为９时,余数是3，其它的不符合。
【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有ｎ除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．则将n－1是3、５的倍数,即是15的倍数，所以n=15t＋1,又因为凡是7的倍数,即15ｔ+1＝7A,将系数与常数对7取模,有ｔ+1≡0(mｏd7）,所以t取6或6与７的倍数和. 对应孔数为1５×6+ｌ＝91或９1与１０5的倍数和，满足题意的孔数只有91.即这个圆圈上共有91个孔．
【超越篇】
1．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数,任意４个数的和都是6的倍数。请问：这６个数的和最小是多少？
【分析与解】我们由题可以想到，这６个数能被7整除，被６除余3,可以得出这6个数分别是:21、６3、10５、14７、1８９、231。这6个数的和最小是75６。

六年级奥数专题数论综合二(学生版)

学科培优数学“数论综合二”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。

翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显著的位置。

在小学各类数学竞赛和小升初考试中,我们系统研究发现,直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中,这一分值比例还将更高。

知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题目】一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算．为了显示出222222,最少要按“7”键多少次?【试题来源】【题目】有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆,则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【试题来源】【题目】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是 .【试题来源】【题目】在纸上写着一列自然数1,2,…,98,99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到4,5,…,98,99,6；而两次操作后得到7,8,…,98,99,6,15.这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后剩下的数是 .【试题来源】【题目】有两种规格的9箱钢珠,每箱300个,甲种钢珠每个10克,乙种钢珠每个11克,将这9箱钢珠编为1~9号,然后依次从1~9号箱中取出20,21,22,23,24,25,26,27,28,个钢珠,这些钢珠共重5555克。

问：哪几箱是甲种钢珠？【试题来源】【题目】把除1外的所有奇数依次按一项,二项,三项,四项循环的方式进行分组：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,3l,33),(35,37,39,41),(43),……．那么,第1994个括号内的各数之和是多少?【试题来源】【题目】2001个球平均分给若干人,恰好分完。

第9讲数论综合(讲义)人教版六年级下册数学

第9讲小升初专项复习（6）——数论综合思维启航一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳1．数的整除（1）熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。

（4×25=100）（3）一个数的末三位数能被8或125整除。

那么这个数就能被8或125整除。

（8×125=1000）（4）一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。

另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。

（很常用，请牢记。

）（7×11×13=1001）（5）如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。

即如果c︱a，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。

（6）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。

即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。

（7）如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。

即如果a︱b，b︱c，则a︱c。

（8）如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。

即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。

2．奇数和偶数（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。

反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。

六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx

数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．板块二余数问题【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003商与余数之和为 2113，则被除数是多少【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ______．【解析】 (70110 160)50 290 ， 503 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是58．70 29 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，12 23 15 50，所以除数是29 (12)2315 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________ ．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9 】一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220 后所得的余数，则这个自然数是多少【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以这个自然数是 17．【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少【解析】根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603 AK 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4A 2K 3 L L 4r 3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969513 17 ．51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题)22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】找规律．用 7 除 23， 456，⋯的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，⋯， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4．因为 22003 23 6672，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同．而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2除以 7 余 1．故22003与 20032的和除以 7 的余数是 4 15．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少【解析】 238除以 7的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2200823 669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数为：6692 2 ； 2008 除以 7 的余数为227 的余数，为 1；所以16，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以2200820082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数【解析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以这串数除以 5 的余数分别为： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0，⋯⋯ 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯这串数列当中第 2008 个数除以 3所得的余数为多少【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、1、 2、 0⋯⋯第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0．【例 13 】 ( 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________ ．【解析】本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 ( 个 ) ， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 ( 个) ，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来．因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的组数是：702 9 78 ( 组 ) ，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为 9-2 7 ．【例 14 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和．【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的余数为 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3．将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15 】设 20092009 的各位数字之和为A ， A 的各位数字之和为B ， B 的各位数字之和为C ， C 的各位数字之和为 D ，那么 D9 的余数相同，所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 2009 2009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数为200926 334 5633459 的余数为 51，所以 222 除以 2 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9 8036 72324 ，即 A ；那么 A 的各位数字之和 B9 5 45 ， B 的各位数字之72324和 C 9 2 18 ，小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14，的各位数字之和为 5，即 D 5 ．CC板块三完全平方数【例 16 】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而 72 23322 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于 2 31 31 19222008 2 322 2、⋯⋯、 22都满足题意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的满足条件的数共有31 个．【例 17 】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少【解析】设这个数减去2，减去 100为B2，则 A2B2A B A B100633737 1，63 为A可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19 ， B18，这样这个数为 182100424 ．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、 B 2 ，那么这两个完全平方数的差为54A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x ． 5x 是平方数，设 5 x2225 a ，则 x 5a，3x15a23 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有3 和 5 的质因数各 2 个，即 a2至少是 225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19 】 ( 美国小学数学奥林匹克) 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少如【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba(10a b) (10b a )9(a b)45 ，a b 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( 这个数也叫原数的反序数) ，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为 abcd ，则新数为dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a)90(c b) ．根据题意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数为1099．【例 20 】 ( 第五届希望杯培训试题) 有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因为 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它们的和是：222(a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数为4，其他两数分别是1， 2．【巩固】 ( 迎春杯决赛 ) 有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a、 b、 c，那么6 个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 19 3，所以所有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a， b， c 分别是0 : 9 中不同的数码，用a， b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几【解析】由 a ，b， c 组成的六个数的和是222(a b c) ．因为223422210 ，所以 a b c 10 ．若 a b c11，则所求数为222112234208，但 2081011，不合题意．若 a b c12，则所求数为222122234430 ，但 430712，不合题意．若 a b c13，则所求数为222132234652， 6 5213，符合题意．若 a b c14，则所求数为222142234874，但 8741914 ，不合题意．若 a b c15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21 】在几进制中有 4 13 100【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6， 4， 3，2 中的一个．但是式子中出现了4，所以 n 要比 4 大，不可能是4， 3，2 进制．另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知道n 10 ，那么n不能是12．所以， n 只能是 6．【巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45 20 ，但是现在为 4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为16 的约数，可能为16、 8、 4 或 2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、 2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制．【例 22】在 6 进制中有三位数abc ，化为9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】(abc)6 =a× 62＋ b× 6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c× 92+b×9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3 ，5)=1 ．所以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7 ，16)=1 ，并且 a、c≠ 0，所以 a=16，c=7．但是在6， 9 进制，不可以有一个数字为16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c； mod7 后， 3+2c≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k为整数 ) ．因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1 ．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc7( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc7 b c，整理得(b1)(c1)8 ，又8 1 82 4 ，对应的 b 2、c9( 舍去 ) 或b 3、c5，所以这三个质数可能是3， 5，7练习 2 ．有一个大于 1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，4514，14，的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．59(56,14)14练习 3 ．将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：L ，试求这个多位数除以 9 的余数．【解析】以这个八位数为例，它被9 除的余数等于19 99 2 00 0 被 9 除的余数，但是由于1999与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0 0 0 被 9 除的余数相同，所以就与 1999 2000被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数L被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为： 1 2008 20082017036 ，它被 9 除的余数为 1． 2另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，⋯⋯， 0062007 ， 2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同．因此，此数被 9 除的余数为 1．练习 4 ．在 7 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】首先还原为十进制： (abc )7 a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9 c 92b 9 a 81c 9b a ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ，则 3a 5c ．所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数．所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 549 3 248 ．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数把它们写出来．【解析】有六个这样的数，分别是 11， 13， 17， 23， 37， 47．【备选 2】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _______．（415 4 88）（4 1） 79【解析】因为被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为所以，被除数为79 4 8 324．【备选 3】 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 ________．【解析】先将 1016 分解质因数： 10163a 是一个完全平方数，所以至少为42，故2 127 ，由于 1016 2127 a 最小为 2 127 254．【备选 4】在几进制中有 125 125 16324【解析】注意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因为 15625 16324，所以一定是不到10 就已经进位，才能得到16324，所以 n 10 ．再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10 ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位．所以说进位制 n为21 的约数，又小于 10，也就是可能为7 或 3．因为出现了 6，所以 n只能是 7．。

六年级奥数数论综合

数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【例2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【例3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【例4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？板块二余数问题【例5】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【例6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【例7】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【例8】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【例9】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例10】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？【例11】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是________．【巩固】除以7的余数是多少？【例12】(2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【例13】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是________．【例14】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【例15】设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么？板块三完全平方数【例16】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【例17】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【例18】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．板块四位值原理【例19】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【例20】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【巩固】a，b，c分别是中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？板块五进制问题【例21】在几进制中有？【巩固】算式是几进制数的乘法？【例22】在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？课后练习：练习1．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．练习2．有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数．练习3．将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．练习4．在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？备选：【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【备选3】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【备选4】在几进制中有？。

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合知识点精讲特殊数的整除特征1. 尾数判断法1) 能被2整除的数的特征：2) 能被5整除的数的特征：3) 能被4 (或25)整除的数的特征：4) 能被8 (或125)整除的数的特征：2. 数字求和法：3. 99的整除特性：4. 奇偶位求差法：5. 三位截断法：特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数1. 基本定义【质数】一一【合数】一一注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】一一【分解质因数】一一用短除法和分拆相乘法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且a 1 <a 2<a 3< va n。

【互质数】【偶数】【奇数】2. 质数重要性质1）100以内有25个质数：2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3）1既不是质数，也不是合数4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数5）最小的质数是2•最小的奇质数是36）有无限多个3. 质数的判断：1）定义法：判断整除性2）熟记100以内的质数3）平方判断法：例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.4. 合数1）无限多个2）最小的合数是43）每个合数至少有三个约数5. 互质数1）什么样的两个数- -定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21.6. 偶数和奇数1）2）偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3）4）数是他们乘积的一半5）•因此，要分解的合数应写在等号左边，如：0属于偶数十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是除2外所有的正偶数均为合数相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇奇X 奇=奇偶X 奇=偶偶 ><禺=偶四、约数与倍数1. 约数与倍数概念：2. 一个数约数的个数：3. 平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法： 5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

小学数学六年级下册数论之数论综合六年级小升初讲课上课PPT教学课件

例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（）块。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正方形，至少需要瓷砖的块数为（）。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
4、位值原理技巧：
数论基础
例题1：如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题2：某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占1/7,得80～89分的人数占1/2，得70～79分得人数占1/3.那么得70分以下的有________人。
例题3： a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数是_______
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.

六年级奥数讲义-数论综合(含答案)

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

六年级数论综合

六年级第8讲数论综合（一）【兴趣篇】4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24)。

已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？【分析与解】一个是5的倍数, 各4位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。

能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。

被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95，能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。

经试得满足条件的三位数是656。

6．一个自然数N共有9个约数，而N—1共有8个约数。

满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？【分析与解】N要约数为9。

N分解质因数指数必定是2与2，N—1要约数为8，N—1分解质因数指数必定是1、1与1，N要最小，所以从2的2次乘3的3次，可是，N—1不符合，经试，只有196才符合，用同样的方法，得到第二小的是256。

10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。

对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件:①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同;②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数.你能破解此密文吗?【分析与解】由①得，A不能为3、7，B不能为4、8，C不能为2、1，21C÷12，当C 为5时，余数是11，当C为8时，余数是2，当C为9时，余数是3，其它的不符合。

8B4÷12，当B为5时，余数是2，其它的不符合，所B只能是5， C只能是9。

B、C是奇数，所以A只能是是偶数，A37÷12，有且只当A是4时，余数是5。

六年级数学专题思维训练—数论综合(含答案及解析)

六年级数学专题思维训练—数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．2 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？4宫格 9宫格5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．6 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．7 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个8 不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有个9 试说明，将1+21+31+。

+401的和写成一个最简分数nm 时，m 不会是5的倍数10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？11 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字a 、b ，1，2组成的其他23个四位数的和等于 90669，求a 和6的值．12 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、_ ___、____、____、314 N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为15 写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是参考答案及解析1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．【答案】68097【分析】17+4×20+10×202+8×203=680972 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．【答案】36126或54189【分析】这个五位数为abcde，由题意abcde= 2007 (a+b+c+d +e）由于9¦ 2007，可得9¦abcde，则有9¦(a+b+c+d+e)， 2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,7225290315.经检验，36126和54189符合题意．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【答案】 (1)999个，(2)999个．【分析】(l)由于每连续4个自然数中必有一个能被4整除，3998÷4=999……2．因此从1到3998这3998个自然数中能被4整除的一共有999个‘(2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd（不是四位则在前面补零，如12=0012）．由于b.c，d各有10种数字可任意选择，而且当b.c.d选定后．为满足a+b+c+d 能被4整除，千位数字“必唯一确定．事实上，若b+c+d=4K时，则a=o；若b+c+d=4K+l 时．则a=3 ：若b+c+d=4K+2时，则a=2；若b+C+d=4K+3，则a=1．（K为整数）综上所述，在o到3999这4000个整数中有1×10 ×10×10=1000（个）数的各位数字之和能被4整除．因此，从1到3998这3998个自然数中有1ooo-1=999(个）数的各位数字之和能被4整除，4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？76田4宫格 9宫格【答案】25【分析】m2向的火柴棒有m+1列，每列有m根，也共有m(m+1)根．所以，摆放”，m2宫格”共用了2m( m+1) 根火柴棒．由2m(m+ l) =1300，得到m(m+1)=650=2×52×13=25×26．因此m=25 ．5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．【答案】24【分析】情况一：．．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友不报数而是拍手．再下一个小朋友报8．此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍手跳过）之间的差等于总人数．小明本次应当拍手，而不是报出91．所以”总人数是91—19=72的约数．有72．36．24，18，……，其中是“二十多”的只有24．情况二：，．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8．此时．把所有i 的倍数和带有数字7的数去掉之后，剩余的数排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数．从19到90这72个数中，含有数字7的有27,37,47,57,67,70到79.87．共16个．是i 的倍数且不含有数字7的有21,28,35,42,49,56,63,84共8令，所以排除掉之后剩下48个．总人数应当是48的约数，有48,24,16，……，其中是“二十多”的也只有24。

六年级奥数讲义-数论综合(含答案)

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

小学数学六年级数论专题汇总

小学数学六年级数论专题汇总
数论作为数学中的一个分支，是对于数字本身及其相互关系的研究。

它是数学的重要组成部分，而小学的数学教育也开始逐步引入数论的相关知识。

下面是小学六年级数论专题的汇总：
一、素数
1. 素数的定义：只能被1和自身整除的数称为素数。

2. 素数的判断方法：试除法、筛法等。

3. 素数的性质：除了1和本身外，素数没有其他的因数；素数的个数是无限的；任何一个大于1的自然数都可以表示成几个素数相乘的形式。

二、公因数和最大公因数
1. 公因数：能够同时整除两个或两个以上的数的因数称为公因数。

2. 最大公因数：两个或多个数公有的因数中，最大的一个数称为它们的最大公因数。

3. 求最大公因数的方法：试除法、辗转相除法等。

三、约数和倍数
1. 约数：能够整除一个数的正整数称为这个数的约数。

2. 倍数：一个数的倍数是它的某个整数倍。

3. 最大公约数与最小公倍数的关系：最大公约数与最小公倍数互为倒数。

四、分数
1. 分数的定义：分母为正整数，分子为自然数的数叫做分数。

2. 分数的简化：约分。

3. 分数的加减乘除：通分、约分、借位、进位等。

以上是数论的主要内容。

小学生可以通过学习数论，加强对数字的认识和掌握基本的计算方法，为今后更深入的数学学习打下坚实的基础。

六年级数学数论综合

数论综合
1．某年的十月里有5个星期日，4个星期六，问这年的10月31日是星期几？
2．有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，求这个两位数。

3．除107后，余数为2的两位数有。

4．31453×68765×987657的积，除以4的余数是。

5．
个
200022222除以13所得的余数是。

6．哪些数除以7能使商与余数相同？
7．在1，2，3，…，29，30这30个自然数中，最多能取出个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。

8一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1求适合条件的最小自然数。

9．用0，1，2，3这四个数字组成三位数，其中：
（1）有多少个不同的四位数？
（2）有多少个没有重复数字的四位偶数？
10．红旗路小学成立一支篮球队，在一次赛前安排中，教练发现其中一人不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上。

问：教练可以部署多少种不同的站位方法？
11．从1～9这九个数字中选出4个不同的数字，可以组成个大于4000小于8000且能被5整除的数。

12．7个同学排成两排照相，前排3人，后排4人，共有几种站法？
13．6个不同的文具盒里装着3支不同的铅笔，4支不同的圆珠笔，2把不同的尺子。

若从中各取出一个，配成一套学习用具，最多有多少套不同的学习用具？。

六年级火箭班第一讲数论综合训练2

综合训练之数论2一、约数与倍数1、几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.自然数a与b的最大公因数记作（a,b）.2、如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b3、几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数.自然数a和b的最小公倍数记作［ａ，b］4、将一个自然数分解质因数比较困难时，可运用辗转相除法求两自然数的最大公约数.即一个较大自然数与另一个自然数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数.5、约数个数与约数和：设自然数n的质因子分解式如n= p m11 p m22 ...p mk k，那么：①n的约数个数：（指数＋1）相乘。

即（m1+1）(m2+1) （m3+1）……(m k+1)②n的所有约数和：指数递减，相加相乘。

即（p m11 + p m1-11 +p m1-21 +…+ p1 +p01）（p m22 + p m2-12 +p m2-22 +…+ p2 +p02）（p m33 + p m3-13 +p m3-23+…+ p3 +p03）……（p mk k + p mk-1k +p mk-2k +…+ p k +p0k）6、完全平方数性质①平方差： A2–B2 =（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：把数分解，使他满足积是平方数。

④奇数的平方被4除余1，偶数的平方能被4或8整除。

⑤任何两个整数的平方和被4除一定不余3.⑥任何两个整数的平方差被4除一定不余2.二、余数与同余在有余数的除法里被除数=除数×商+余数。

六年级第20讲数论综合(学生版)

第20讲数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．2 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？4宫格 9宫格5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．6 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．7 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个8 不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有个9 试说明，将1+21+31+。

+401的和写成一个最简分数nm 时，m 不会是5的倍数10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？11 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字a 、b ，1，2组成的其他23个四位数的和等于 90669，求a 和6的值． N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N 的最大值是13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、_ ___、____、____、314 N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为 15 写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n 位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是。

6年级奥数数论综合问题(1)例题解析

【内容概述】进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．【例题】1．用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)5，(aab)5是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少?[分析与解]注意(adc)5+(1)5＝(aab)5，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b＝0，而c＝(10)5－(1)5＝(4)5，则c＝4．而(ade)5+(1)5＝(adc)5，所以e+1＝c，则e＝3．又d+1＝a，所以d＝1，a＝2．那么，(cde)5为(413)5＝4×52+1×5+3＝108．即(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是108．批注：二进制中是逢二进一，五进制中是逢五进一。

2．算式1534×25＝43214是几进位制数的乘法?[分析与解]注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5＝20，但是现在为4，说明进走20－4＝16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534×25＝38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．3．设l，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中取出若干个数，每个数至多取一次，然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的和数．把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，l0，12，…，那么其中第39个数是多少?[分析与解]我们知道1，3，9，27，81，243都是3的若干次幂，写成3进制依次为：(1)3，(10)3，(100)3，(1000)3，(10000)3，(100000)3，则从中任意选取若干数，且不重复，那么它们的和在3进制中都只是由1和0组成．但是在3进制中，并不是所有的数字都是只由0，1组成，这就给计数造成了困难．而2进制中所有的数字都是只由1和0组成．于是，我们想到使用2进制，在2进制中第39个非零自然数，即39应记为：(100111)2．在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，有(100111)3＝1×35+1×32+1×3+1＝256．即其中第39个数是256．评注：这道题我们不厌其烦的详细说明这些，只是想帮助大家复习进位制中的n进制与十进制的互相转化．此63个数的范围在3进制中的范围是(1)3～(111111)3而且不会有进位产生，也就是都是由0和1这两个数字组成的，所以我们可以把其想象为二进制，中的第39个数是什么？4．求方程19[x]－96{x}＝0的解的个数．[分析与解]有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]＝96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．进一步计算有0，，，，，为原方程的解．批注;解决此类问题的方法就是要销去一个定义符号，然后用不等式的方法来解答。

数论综合-小学六年级秋季第一讲

（一）知识点概述1、综合复习数论各方面知识。

2、平方数的尾数特点、被4除余数特点以及平方数因子特点。

3、对十进制数的理解与认识，会利用位值原则分析解决问题。

4、约数、倍数、分解质因数的知识运用。

（二）典型例题1、1到2010这2010个自然数中，有多少个数约数个数为奇数？2、自然数N是一个三位数，它是一个完全平方数，且它的三个数位上的数都为完全平方数，这样的自然数有几个？3、一个多位数（至少为两位）均是由同一个数字组成，如77777，333。

那么，所有这样的数中，是否存在平方数？4、自然数1，2，3，4，5，……按顺序排列，划去2的倍数和3的倍数，但是其中7的倍数一律保留，剩下的第2010个数是多少？5、有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1332，这样的三位数中最大的是？6、三个两位数的和的40，如果把每一个数的十位数与个位数互换，组成三个新的两位数，它们的和是多少？7、有两个三位数，分别在200~300之间和300~400之间，两数之比为2:3，分别把两个数的百位数字移到个位之后，得到两个新的三位数之和为1355，求原来的两个三位数。

8、若n 是自然数，求证分数11n 187n 12++不需要约分。

9、12010+22010+…+20102010的个位数字是几？10、从1开始到a 的所有自然数做乘法，得到的结果末尾有21个零，a 的最大值是多少？如果计算出来的结果末尾有91个零，结果正确吗？为什么？11、某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12。

他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？12、使用从1到9的数字各一次，设法组成四个平方数，使它们都具有除了1以外的某些公因数。

（三）课后作业1、一个多位数，由30个数字5，和若干个数字0组成，问：这样的数是平方数吗？2、在1到100的自然数中，既不是4的倍数，也不是3的倍数的数共有多少个？3、有一类正整数，它是2的倍数，也是3的倍数，但是并不是5的倍数，那么这类数字从小到大排列，第2010个数是多少？4、1×2×3×4×…×2010的末尾有多少个0？5、有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1998，这样的三位数中最小的是?6、连续的四个自然数分别被7,9,11,13整除，这样的四个连续自然数最小的一组是多少？7、若n 是自然数，求证分数2n 31n ++不能约分。

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