2020-2020学年北京市东城区高一上期末数学试卷(含答案解析)
高一上学期期末数学试题原卷版
（2）求 的值．
20.已知函数
（1）判断 的奇偶性并证明；
（2）判断 的单调性并说明理由；
（3）若 对任意 恒成立,求 取值范围．
21.对于集合 ，定义函数
对于两个集合 ， ，定义运算 ．
（1）若 ， ，写出 与 值，并求出 ；
（2）证明： ；
（3）证明： 运算具有交换律和结合律，即 ， ．
四、解答题
17.已知集合 ，全集 ．
（1）求 ；
（2）设 ，若 ，求 的取值范围．
18.已知函数， ， ．
（1）求 的解析式和最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值．
19.在平面直角坐标系 中，角 ，β 的顶点与坐标原点 重合，始边为 的非负半轴，终边分别与单位圆交于 两点， 两点的纵坐标分别为
A. , B. , C. , D. ,
5.若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
6.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.“ ， 为正实数”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝ ，其中 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
人与人之间的关系如何,当然会影响到一个人的心情,而情绪的好坏直接影响到一个人的学习和工作效率,每天有个好心情,做事干净利落,学习积极投入,效率自然高。另一方面,把个人和集体结合起来,和同学保持互助关系,团结进取,也能提高学习效率。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)1
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。
北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷及答案
东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高三数学2023.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则A B =（A ）(,2)-∞（B ）(1,)-+∞（C ）(1,1]-（D ）[1,2)（2）在下列函数中，为偶函数的是（A ）()cos f x x x =-（B ）()cos f x x x =（C ）()ln f x x=（D ）()f x x=（3）在1(nx x+的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（A ）8（B ）16（C ）32（D ）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（A ）111（B ）19（C ）311（D ）13（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M ．若OMP △的面积为625，则sin 2α=（A ）625（B ）1225(C)1825（D ）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为（A ）3（B ）23（C ）25（D ）5（8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（A ）33(,])33-∞-+∞ （B ）33[,33-（C ）55(,)22-∞-+∞ （D ）55[]22-（10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q ，使得11//C Q AC ；②存在点Q ，使得11C Q AC ⊥；③对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离为定值；④对于任意点Q ，△1A CQ 都不是锐角三角形.（A ）①③（B ）②③（C ）②④（D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若复数z 满足(i)i 3z +=-，则____.z =（12）已知函数()3cos f x x x =-，则(3f π=；若将()f x 的图象向左平行移动6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为.（13）经过抛物线22(0)ypx p =>焦点F 的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，则点B 的纵坐标B y 与点D 的纵坐标D y 的大小关系为By D y .(用“>”“<”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩当0a =时，()f x 的值域为__________；若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是___________.（15）对于数列{}n a ，令11234(1)n n n T a a a a a +=-+-++-L ，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =；②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的n *∈N 都成立；④若对任意的N n *∈，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。
北京市东城区2020-2021学年高一上学期期末考试英语试题(含答案)
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12.The online activity for teens will be onห้องสมุดไป่ตู้
A.November 9B.November 10
C.November 11D.November 12
13.If you go to the event at King George Square bus station, you may
I'm 14 years old and in ninth grade. A little while ago, I was walking home from school and saw some writing on a___1___of a house I was passing. It said, “Happiness is a direction, not a destination.” I had been having a bad day and just reading this brightened my day a little. I saw the___2___everyday while walking home from school and one day decided to___3___something on the fence for someone else to see. I took out a pen and wrote one of my favorite quotes down. When I came back to the fence, I saw another quote under mine in the same handwriting as the first one. I___4___on another, and we kept at this pattern for quite a while. One day, I was writing yet another quote on the fence and the old man, one of my neighbors, who___5___the fence saw me. He came out and I thought he would___6___me for writing on his fence; he was not known to be a very friendly person. He gave me a quick look and then read the quotes on the fence, all 20 or so of them. Without saying a word, he went back inside. I was a bit___7___for a while, and didn't go back to the fence, but when I did, I noticed not more quotes but two words in totally___8___handwriting had been added: “Thank you.”
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
北京市东城区2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度北京市东城区高一第一学期期末数学试卷一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)设集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},那么下列结论正确的是()A.M＝∅B.M∈NC.M⫋ND.N⫋M2.(5分)下列函数为偶函数的是()A.y＝|x|B.y＝lnxC.y＝e xD.y＝x33.(5分)已知函数y＝sin x在区间M上单调递增,那么区间M可以是()A.(0,2π)B.(0,π)C.D.4.(5分)命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为()A.∃x∈A,2x∉BB.∃x∉A,2x∈BC.∀x∈A,2x∉BD.∀x∉A,2x∈B5.(5分)若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.a2＞b2B.2a＞2bC.aD.6.(5分)下列各式正确的是()A. B.C. D.7.(5分)“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A.8100B.900C.81D.9二、多项选择题：本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.(5分)关于函数f(x)＝1＋cos x,x∈(,2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是()A.当t＜0或t≥2时,有0个交点B.当t＝0或时,有1个交点C.当时,有2个交点D.当0＜t＜2时,有2个交点10.(5分)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,下列命题正确的有()A.对于任意实数a,f(x)为偶函数B.对于任意实数a,f(x)＞0C.存在实数a,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)三、填空题：共6小题,每小题5分,共30分.11.(5分)函数f(x)＝ln(1﹣x2)的定义域是.12.(5分)sin的值为.13.(5分)函数f(x)的值域为(0,＋∞),且在定义域内单调递减,则符合要求的函数f(x)可以为.(写出符合条件的一个函数即可)14.(5分)在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为.15.(5分)已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝；若f(t)＝1,则实数t＝.16.(5分)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2＞t1＋t3.其中正确命题的序号有.(注：请写出所有正确结论的序号)四、解答题：共5小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(12分)已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＜0},全集U＝R.(1)求∁U A；(2)设B＝{x|m﹣1≤x≤m},若B⊆∁U A,求m的取值范围.18.(13分)已知函数,f(0)＝.(1)求f(x)的解析式和最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.(1)求tanβ的值；(2)求的值.20.(16分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并说明理由；(3)若f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,求x的取值范围.21.(15分)对于集合A,定义函数f A(x)＝对于两个集合A,B,定义运算A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1}.(1)若A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},写出f A(1)与f B(1)的值,并求出A*B；(2)证明：f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)证明：*运算具有交换律和结合律,即A*B＝B*A,(A*B)*C＝A*(B*C).2019～2020学年度北京市东城区高一第一学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)设集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},那么下列结论正确的是()A.M＝∅B.M∈NC.M⫋ND.N⫋M利用集合与集合的关系直接求解.【试题答案】解：∵集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},∴M⫋N.故选：C.【点评】本题考查集合的关系的判断,考查交集、并集、子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.(5分)下列函数为偶函数的是()A.y＝|x|B.y＝lnxC.y＝e xD.y＝x3根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案.【试题答案】解：根据题意,依次分析选项：对于A,y＝|x|,是偶函数,符合题意；对于B,y＝lnx,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；对于C,y＝e x,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；对于D,y＝x3,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；故选：A.【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题.3.(5分)已知函数y＝sin x在区间M上单调递增,那么区间M可以是()A.(0,2π)B.(0,π)C.D.直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果.【试题答案】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[](k∈Z),当k＝0时,单调增区间为[],由于为[]的子区间,故选：D.【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.4.(5分)命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为()A.∃x∈A,2x∉BB.∃x∉A,2x∈BC.∀x∈A,2x∉BD.∀x∉A,2x∈B根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【试题答案】解：命题为全称命题,则命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为∃x∈A,2x∉B,故选：A.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.(5分)若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.a2＞b2B.2a＞2bC.aD.直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果.【试题答案】解：由于a＞b,且a和b的正负号不确定,所以选项ACD都不正确.对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数,且a＞b,故正确故选：B.【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.6.(5分)下列各式正确的是()A. B.C. D.利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解.【试题答案】解：在A中,sin＞0＞sin＝﹣sin,故A错误；在B中,＜cos,故B正确；在C中,＞,故C错误；在D中,＞cos＝sin,故D错误.故选：B.【点评】本题考查命题真假的判断,考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.(5分)“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件可以取特殊值讨论充要性.【试题答案】解：若a,b为正实数,取a＝1,b＝1,则a＋b＝2,则“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的不充分条件；若a＋b＞2,取a＝1,b＝0,则b不是正实数,则“a＋b＞2”是“a,b为正实数''的不必要条件；则“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的既不充分也不必要条件,故选：D.【点评】本题考查命题充要性,以及不等式,属于基础题.8.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A.8100B.900C.81D.9由题意令V＝2m/s,0m/s,则可求出耗氧量,求出之比.【试题答案】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝,即,即,即o＝8100,鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝,即,即o'＝100,故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为,故选：C.【点评】本题考查对数求值,属于中档题.二、多项选择题：本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.(5分)关于函数f(x)＝1＋cos x,x∈(,2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是()A.当t＜0或t≥2时,有0个交点B.当t＝0或时,有1个交点C.当时,有2个交点D.当0＜t＜2时,有2个交点直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果.【试题答案】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时,有0个交点,故正确.②对于选项B：当t＝0或时,有1个交点,故正确.③对于选项C：当t＝时,只有一个交点,故错误.④对于选项D：当,只有一个交点,故错误.故选：AB.【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.10.(5分)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,下列命题正确的有()A.对于任意实数a,f(x)为偶函数B.对于任意实数a,f(x)＞0C.存在实数a,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果.【试题答案】解：函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,①对于选项A：由于x∈R,且f(﹣x)＝f(x),故函数f(x)为偶函数.故选项A正确.②对于选项B：由于x2≥0,所以,故4|x|＋x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时,f(x)＜0,故选项B错误.③对于选项C：由于函数f(x)的图象关于y轴对称,在x＞0时,函数为单调递增函数,在x＜0时,函数为单调递减函数,故f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,故选项C正确.④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称,且在x＞0时,函数为单调递增函数,在x＜0时,函数为单调递减函数,故存在实数a＝0时,当x∈(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)时,不等式成立,故选项D正确.故选：ACD.【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.三、填空题：共6小题,每小题5分,共30分.11.(5分)函数f(x)＝ln(1﹣x2)的定义域是(﹣1,1).解不等式1﹣x2＞0即可.【试题答案】解：令1﹣x2＞0,解得﹣1＜x＜1,即函数的定义域为(﹣1,1).故答案为：(﹣1,1).【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题.12.(5分)sin的值为﹣.原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,计算即可得到结果.【试题答案】解：sin＝sin(2π﹣)＝﹣sin＝﹣.故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.13.(5分)函数f(x)的值域为(0,＋∞),且在定义域内单调递减,则符合要求的函数f(x)可以为f(x)＝.(写出符合条件的一个函数即可)由函数f(x)＝()x的值域为(0,＋∞),且在定义域R内单调递减,即是符合要求的一个函数.【试题答案】解：∵函数f(x)＝()x的值域为(0,＋∞),且在定义域R内单调递减,∴函数f(x)＝()x即是符合要求的一个函数,故答案为：f(x)＝()x.【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题.14.(5分)在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.①利用交集定义直接求解.②利用并集定义直接求解.【试题答案】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B.故答案为：A∩B.②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.故答案为：A∪C.【点评】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.(5分)已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝；若f(t)＝1,则实数t＝0或1.结合已知函数解析式,把x＝﹣2代入即可求解f(﹣2),结合已知函数解析式及f(t)＝1,对t进行分类讨论分别求解.【试题答案】解：f(x)＝则f(﹣2)＝2﹣2＝,∵f(t)＝1,①当t≥1时,可得＝1,即t＝1,②当t＜1时,可得2t＝1,即t＝0,综上可得t＝0或t＝1.故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题.16.(5分)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2＞t1＋t3.其中正确命题的序号有①②④.(注：请写出所有正确结论的序号)直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果.【试题答案】解：浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),函数的图象经过(2,2)所以2＝a2﹣1,解得a＝2.①当x＝0时y＝,故选项A正确.②当第8个月时,y＝28﹣1＝27＝128＞60,故②正确.③当t＝1时,y＝1,增加0.5,当t＝2时,y＝2,增加1,故每月的增加不相等,故③错误.④根据函数的解析式,解得t1＝log210＋1,同理t2＝log220＋1,t3＝log230＋1,所以2t2＝2log220＋2＝log2400＋2＞t1＋t2＝log2300＋2,所以则2t2＞t1＋t3.故④正确.故答案为：①②④.【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.四、解答题：共5小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(12分)已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＜0},全集U＝R.(1)求∁U A；(2)设B＝{x|m﹣1≤x≤m},若B⊆∁U A,求m的取值范围.(1)根据题意,求出集合A,进而由补集的性质分析可得答案；(2)根据题意,结合集合间的关系分析可得答案.【试题答案】解：(1)根据题意,因为A＝{x|x2＋3x＋2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}.因为全集U＝R,所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1},(2)根据题意,∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1},若B⊆∁U A,当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2,即m≥0或m≤﹣2,所以m的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[0,＋∞).【点评】本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题.18.(13分)已知函数,f(0)＝.(1)求f(x)的解析式和最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.(1)利用函数值,转化求解函数的解析式,推出函数的周期；(2)利用函数的自变量的范围,求出相位的范围,然后求解正弦函数的最值.【试题答案】解：(1)因为,所以.又因为φ∈,所以φ＝.所以.所以f(x)最的小正周期.(2)因为x∈[0,2π],所以.当,即时,f(x)有最大值2,当,即x＝2π时,f(x)有最小值.【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.(1)求tanβ的值；(2)求的值.(1)由题意利用任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,求得tanβ的值.(2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.【试题答案】解：(1)因为β的终边与单位圆交于点B,B点的纵坐标为,所以.因为,所以.所以.(2)因为α的终边与单位圆交于点A,A点的纵坐标为,所以.因为,所以,故＝＝＝.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系、诱导公式,属于基础题. 20.(16分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并说明理由；(3)若f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,求x的取值范围.(1)定义域为R,然后求出f(﹣x),得f(﹣x)＝﹣f(x),所以为奇函数；(2)直接由指数函数的单调性可判断函数f(x)的单调性；(3)不等式变形,由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,令关于a的函数g(a)＝xa＋1﹣x＞0在(﹣∞,2]上恒成立,g(a)一定单调递减,所以满足则只需解出x的范围.【试题答案】解：(1)f(x)为奇函数.因为f(x)定义域为R,,所以f(﹣x)＝﹣f(x).所以f(x)为奇函数；(2)在(﹣∞,＋∞)是增函数.因为y＝3x在(﹣∞,＋∞)是增函数,且y＝3﹣x在(﹣∞,＋∞)是减函数,所以在(﹣∞,＋∞)是增函数,(3)由(1)(2)知f(x)为奇函数且f(x)(﹣∞,＋∞)是增函数.又因为f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0,所以f(ax﹣1)＞﹣f(2﹣x)＝f(x﹣2).所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈(﹣∞,2]恒成立.令g(a)＝xa＋(1﹣x),a∈(﹣∞,2].则只需,解得所以﹣1＜x≤0.所以x的取值范围为(﹣1,0].【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性,使用中档题.21.(15分)对于集合A,定义函数f A(x)＝对于两个集合A,B,定义运算A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1}.(1)若A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},写出f A(1)与f B(1)的值,并求出A*B；(2)证明：f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)证明：*运算具有交换律和结合律,即A*B＝B*A,(A*B)*C＝A*(B*C).(1)由新定义的元素即可求出f A(1)与f B(1)的值,再分情况求出A*B；(2)对x是否属于集合A,B分情况讨论,即可证明出f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)利用(2)的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律.【试题答案】解：(1)∵A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},∴f A(1)＝﹣1,f B(1)＝1,∴A*B＝{1,4,5}；(2)①当x∈A且x∈B时,f A(x)＝f B(x)＝﹣1,所以x∉A*B.所以f A*B(x)＝1,所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x),②当x∈A且x∉B时,f A(x)＝﹣1,f B(x)＝1,所以x∈A*B.所以f A*B(x)＝﹣1,所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x),③当x∉A且x∈B时,f A(x)＝1,f B(x)＝﹣1.所以x∈A*B.所以f A*B(x)＝﹣1.所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x).④当x∉A且x∉B时,f A(x)＝f B(x)＝1.所以x∉A*B.所以f A*B(x)＝1.所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x).综上,f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)因为A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1},B*A＝{x|f B(x)•f A(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1},所以A*B＝B*A.因为(A*B)*C＝{x|f A*B(x)•f C(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)•f C(x)＝﹣1},A*(B*C)＝{x|f A(x)•f B*C(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)•f C(x)＝﹣1},所以(A*B)*C＝A*(B*C).【点评】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是中档题.。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．5，则（）7．已知，，c=log3A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ） A ．55% B ．65% C ．75% D ．80%10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数y=f （x ）的定义域为{x|﹣2≤x ≤3，且x ≠2}，值域为{y|﹣1≤y ≤2，且y ≠0}，则y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．关于x 的方程（a ＞0，且a ≠1）解的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为 ．14．已知角α为第四象限角，且，则sin α= ；tan （π﹣α）= ．15．已知9a =3，lnx=a ，则x= ．16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．17．已知，且满足，则sin αcos α= ；sin α﹣cos α= ．18．已知函数若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使f （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M，由交集的运算求出M∩N．【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【考点】弧长公式．【分析】由已知利用弧长公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】要向量组可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底，这两个向量必不共线（平行），画出图形，利用图象分析向量之间是否共线后，可得答案．【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解： =，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由函数的奇偶性易得g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，解m的方程可得．【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】由已知中的折扣办法，将2700代入计算实际付款额可得实际折扣率．【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0，令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为（﹣∞，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．已知角α为第四象限角，且，则sinα= ﹣；tan（π﹣α）= 2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinα和tan（π﹣α）的值．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．已知9a=3，lnx=a，则x= ．【考点】对数的运算性质．【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴lnx==ln，∴x=故答案为：16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出两个向量的数量积，然后求出|﹣|的平方，再开方求值．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，直接由条件求得sinαcosα的值，可得α∈（π，），再根据sinα﹣cosα=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】分段函数的应用．【分析】当x≥0时，2x﹣1≥0，故若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则当x＜0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）根据交集的定义计算即可，（Ⅱ）根据集合的元素特征，即可求出，（Ⅲ）根据交集的定义即可求出【解答】解：（Ⅰ）集合A={x∈R|2x﹣3≥0}=[，+∞），B={x|1＜x＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={x∈N|1≤x＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={x∈N|1≤x＜a}=[1，a），A∩C=∅，∴1≤a≤220．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=g（），求得φ的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得h（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）=sin（ωx）﹣的图象，若h（x）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）﹣．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得h（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=kx2+2x为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，即可求实数k的值；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，分类讨论，求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx2+2x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，0＜a＜1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递减，x=2时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递增，x=﹣1时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）由新定义，讨论2x﹣1＞x，2x﹣1=x，2x﹣1＜x，解不等式即可得到所求函数F （2x﹣1）；（Ⅱ）讨论x＞1，x=1，x＜1，由F（2x﹣1），求得F（|x﹣a|），运用恒成立思想，即可得到a的值；（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化简h（x），分别求得值域，即可得到所求h（x）在时的值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；可得F（2x﹣1）=；（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，即有x=；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，则h（x）的零点个数为2；当x+sinx＞x，即≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1，]；当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；当x+sinx＜x，即π＜x≤时，h（x）=﹣cosx∈[，1）．综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．。
2022-2023学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知向量a →=（m ，1），b →=（﹣1，2）．若a →∥b →，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．−122．复数z 满足i •z ＝1﹣2i ，则z ＝（ ） A ．2﹣iB ．﹣2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A ．3.6x +3.4y +3.0z B ．x+y+z 2 C ．0.36x +0.34y +0.30zD ．x+y+z34．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π 5．设a ，b 为实数，若a+i b−2i=1+i ，则（ ）A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝5，b ＝3C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝1，b ＝36．将函数y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π2个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A ．y =−√2sinx B ．y =√2cosx C ．y ＝﹣sin x ﹣cos xD ．y ＝cos x +sin x7．已知长方形墙ACFE 把地面上B ，D 两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得AB ＝6米，BC ＝8米．现欲通过计算，能唯一求得B ，D 两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）A ．点D 到AC 的距离B ．CD 长度和DF 长度C ．∠ACB 和∠ADCD ．CD 长度和∠ACD8．设a →，b →为非零向量，|a →|=|b →|，则“a →，b →夹角为钝角”是“|a →+b →|＜√2|a →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ，P 为棱A 1B 1的中点，Q 为线段A 1C 上的动点．以下结论中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使BQ ∥ACB ．不存在点Q ，使BQ ⊥B 1C 1C ．对任意点Q ，都有BQ ⊥AB 1D ．存在点Q ，使BQ ∥平面PCC 110．如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点P 0为射线y ＝﹣x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当0≤t ≤12时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[0，π2]B ．[7π8，11π8] C ．[11π8，15π8] D ．[3π4，11π4] 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)1.已知集合A={A∈A|−2≤A<2}，A={0,1}，则下列判断正确的是()A。
A∈AB。
A∩A=⌀C。
A⊆AD。
A⊆A2.已知A>0，则对于2−3A−A^2，说法正确的是()A。
有最小值2+4√3B。
有最小值2−4√3C。
有最大值2+4√3D。
有最大值2−4√33.已知AA=(1,A)，AA//AA，则|AA+AA|=()A。
√10B。
√5C。
2√5D。
104.已知A=log0.3 3，A=log0.3 4，A=30.3，则()A。
A<A<AB。
A<A<AC。
A<A<AD。
A<A<A5.为了得到函数A=cos5A，A∈A的图象，只需把余弦函数的图象A=AAAA，A∈A上所有的点的()A。
横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B。
横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变C。
纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D。
纵坐标缩短到原来的5倍，横坐标不变6.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分。
如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A。
这9年我国快递业务量有增有减B。
这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C。
这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D。
这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7.在空间四边形ABCD中，若AA⊥AA，AA⊥AA，则对角线AC与BD的位置关系为()A。
相交但不垂直B。
垂直但不相交C。
不相交也不垂直D。
无法判断8.若直线l经过A(2,1)，A(1,−A/2)(A∈A)两点，则直线l 的倾斜角A的取值范围是()A。
≤A≤π/4B。
π/4<A<π/2C。
π/4≤A<π/2D。
π/2<A≤3π/49.三条直线A+A=4，A−A=1，A+AA=3构成三角形，则a 的取值可以是()A。
2023-2024学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝N，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．下列函数中，与y＝x﹣1是同一函数的是（）A．y=√x33−1B．y=√(x−1)2C．y=x 2−1x+1D．y=√x2−13．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝2x C．f（x）=−1xD．f（x）＝tan x 4．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a2＞b2，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b5．若sinα=12，α∈（π2，π），则cos（π﹣α）的值为（）A．−√32B．−12C．√32D．126．下列函数中，满足对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）的是（）A．f（x）＝2x2B．f（x）＝lnxC．f(x)=x−12D．f（x）＝﹣x37．已知a＝3﹣0.1，b=−log135，c=log√32，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b8．“角α与β的终边关于直线y＝x对称”是“sin（α+β）＝1”的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件9．某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为y＝y0•e kt，其中y0为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，则n的值约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．20B．16C．12D．710．已知f （x ）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，当﹣5≤x ≤0时，f （x ）的图象如图所示，则不等式f(x)sinx＞0的解集为（ ）A ．（﹣π，﹣2）∪（0，2）∪（π，5]B ．（﹣π，﹣2）∪（π，5]C ．[﹣5，﹣π）∪（﹣2，0）∪（2，π）D ．[﹣5，﹣2）∪（π，5] 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。
2023年北京市东城区高三上期末数学试卷(含答案)
0
1
P( = 3) = 0.43 = 0.064.
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E = 0 0.216 + 1 0.432 + 2 0.288 + 3 0.064 = 1.2 ．
（Ⅲ）c<b<a．
…………………10 分 …………………13 分
（19）（共 14 分）
2a + 2b = 6,
G
F
平面 PAB 平面 BEFG = BG ， 所以 EF // BG. 所以四边形 BEFG 是平行四边形.
A B
E
D C
所以 FG = BE = 1 AD. 2
所以 F 为 PD 的中点. （II）选条件①： AD ⊥ PB .
因为底面 ABCD 为正方形， 所以 AD ⊥ AB . 又 AD ⊥ PB ， AB PB = B ， 所以 AD ⊥ 平面 PAB . 所以 AD ⊥ PA .
A 的长度为 2 的子列有 3 个， A 的长度为 4 的子列有1个，
所以 T ( A) = 6 .
…………………5 分
（Ⅱ）T ( A) = T ( A) = T ( A) .
理由如下：
若 m1 ，m2 ， ，mk−1，mk 是 A：a1 ，a2 ， ，an 的一个子列， 则 mk ，mk−1 ， ，m2，m1 为 A ：an ，an−1 ， ，a1 的一个子列. 若 m1 ，m2 ， ，mk−1，mk 与 n1 ，n2 ， ，nk−1，nk 是 A：a1 ，a2 ， ，an 的两个不同子列， 则 mk ，mk−1 ， ，m2，m1 与 nk ，nk−1 ， ，n2，n1 也是 A ：an ，an−1 ， ，a1 的两个不同子列. 所以 T ( A) T ( A) . 同理 T ( A) T ( A) ， 所以T ( A) = T ( A) .
2023-2024学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集U ＝{x |0＜x ＜4}，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜4}B ．{x |2＜x ≤4}C ．{x |2≤x ＜4}D ．{x |2≤x ≤4}2．设复数z 满足（1+i ）z ＝i ，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12+12iB ．12−12iC ．−12+12iD ．−12−12i3．(x +1x)5的展开式中，x 的系数为（ ）A ．1B ．5C ．10D ．204．设等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，若a 1＝2，a 2a 3a 4＝a 9，则S 3＝（ ） A ．6B ．8C ．12D ．145．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，且a →•b →=0，对任意实数λ，μ，下列结论正确的是（ ） A ．（λa →−μb →）•（λa →−μb →）＝0 B ．（λa →−μb →）•（μa →+λb →）＝0 C ．（λa →−μb →）•（λa →+μb →）＝0D ．（λa →+μb →）•（μa →+λb →）＝06．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F 分别是DD 1，BB 1的中点．用过点F 且平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）A ．2√5B ．√6C ．√5D ．√527．已知a ＞0，b ＞0，则“a 12＞b 12”是“12a＜12b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示．在t ＝0时刻，粒子从点A （0，1）出发，沿着轨迹曲线运动到B （1，﹣1），再沿着轨迹曲线途经A 点运动到C （﹣1，﹣1），之后便沿着轨迹曲线在B ，C 两点之间循环往复运动．设该粒子在t 时刻的位置对应点P （x ，y ），则坐标x ，y 随时间t （t ≥0）变化的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知线段AB 的长度为10，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合）．点N 在圆心为M ，半径为MA 的圆上，且B ，M ，N 不共线，则△BMN 的面积的最大值为（ ） A ．252B ．254C ．25√32D ．25√3410．设函数f(x)=cosx +√cos2x ，对于下列四个判断： ①函数f （x ）的一个周期为π； ②函数f （x ）的值域是[−√22，2]；③函数f （x ）的图象上存在点P （x ，y ），使得其到点（1，0）的距离为√22；④当x ∈[−π4，π4]时，函数f （x ）的图象与直线y ＝2有且仅有一个公共点．正确的判断是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷1. 已知向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，那么实数k的值为( )A. 12B. −12C. −2D. 22. 直线l:x−y−√3=0的倾斜角是( )A. 45∘B. 135∘C. 60∘D. 90∘3. 抛物线y2=−2x的准线方程是( )A. y=12B. y=−1 C. x=12D. x=14. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”(英文为：“TogetherforaSharedFuture”)，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：A. 18B. 16C. 112D. 145. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，S n+1=S n+2n，那么a3=( )A. 4B. 5C. 7D. 96. 已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，那么直线A1C与平面AA1D1D 所成角的正弦值为( )A. √66B. √356C. √33D. √637. 如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为( )A. 15B. 14C. 13D. 128. 圆心为(−1,2)，半径r=3的圆的标准方程为( )A. (x−1)2+(y+2)2=9B. (x+1)2+(y−2)2=9C. (x−1)2+(y+2)2=3D. (x+1)2+(y−2)2=39. 已知正四棱锥P−ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD 面积的最小值为( )A. √2B. √32C. √23D. 4√2310. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为( )A. 19B. 536C. 16D. 1311. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )A. 8kmB. 6kmC. 4kmD. 2km12. 对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{a n}是无界的．记数列{a n}的前n项和为S n，下列结论正确的是( )A. 若a n=1，则数列{a n}是无界的nB. 若a n=nsinn，则数列{a n}是有界的C. 若a n=(−1)n，则数列{S n}是有界的D. 若a n=2+1，则数列{S n}是有界的n213. 已知空间向量a⃗=(1,−1,0)，b⃗ =(m,1,−1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数m=______.14. 在等差数列{a n}中，a1=2，a4=a2+6，则a n=______.15. 两条直线l1：3x−4y−2=0与l2：3x−4y+8=0之间的距离是______.16. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是2，且每道题答对与否互不影响，则甲恰3好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.17. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程______.18. 已知点P是曲线ax2+by2=1(其中a，b为常数)上的一点，设M，N是直线y=x上任意两个不同的点，且|MN|=t.则下列结论正确的是______.①当ab>0时，方程ax2+by2=1表示椭圆；②当ab<0时，方程ax2+by2=1表示双曲线；③当a =124，b =18，且t =4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有6个；④当a =124，b =18，且0<t <4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有8个．19. 某超市有A ，B ，C 三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立． 收银台 顾客 A 收银台 B 收银台 C 收银台 甲 a 0.20.4 乙0.3b 0.3(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅰ)求甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率； (Ⅰ)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率．20. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA ⊥AD ，PA =AB =2，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题． 条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件②：PA ⊥AB.(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值； (Ⅰ)求点B 到平面ACQ 的距离．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21. 已知圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4及点P(3,1).(Ⅰ)判断圆C 和圆C 1的位置关系； (Ⅰ)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，一个顶点为A(0,1).(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅰ)若求点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，且|AB|=43√2，求点B 的坐标．23. 已知无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.设y 1=a(0≤a ≤1). (Ⅰ)若a =14，求y 3的值； (Ⅰ)若y 3=0，求a 的值；(Ⅰ)给定整数M(M ≥3)，是否存在这样的实数a ，使数列{y n }满足： ①数列{y n }的前M 项都不为零；②数列{y n }中从第M +1项起，每一项都是零．若存在，请将所有这样的实数a 从小到大排列形成数列{a n }，并写出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，∴−48=1−2=k1，∴k=−12，故选：B.利用空间向量共线的坐标运算求解即可．本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由直线l:x−y−√3=0，得y=x−√3，则直线l的斜率k=1，其倾斜角为45∘.故选：A.化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线的方程为y2=−2x，∴该抛物线的准线方程为x=12.故选：C.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．4.【答案】B【解析】解：字母e的频数为4个，则字母“e”出现的频率是424=16.故选：B.根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查频数分布表，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：依题意，由S n+1=S n+2n，可知S n+1−S n=2n，当n=2时，a3=S3−S2=22=4.故选：A.先将题干已知条件进行转化，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)代入进行计算即可得到a3的值．本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．6.【答案】A【解析】解：连接A1D，如图所示：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥平面AA1D1D，故直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，在长方形AA1D1D中，A1D=√AD2+A1A2=√5，CA1=√A1D2+CD2=√6在Rt△CA1D中，sin∠CA1D=CDCA1=1√6=√66，故选：A.根据棱柱的结构特征，可得直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，即可得出答案．本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有C42=6种，选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，故所求的概率为P=26=13.故选：C.由已知结合古典概率公式即可求解．本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9；故选：B.根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，∵四棱锥P−ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，DH=BH，∵O为BD的中点，∴OH⊥BD，∵OC⊂平面ABCD，∴OC⊥PO，∵AB=2，PO=4，∴BD=2√2，OC=√2，在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，为√2√4+2=43，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，∴OH∈[43,4]，又∵S△HBD=12×2√2×OH，∴当OH=43时，△HBD的面积最小，为4√23.故选：D.取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知PO⊥OC，OH⊥BD，所以在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出△HBD面积的最小值．本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，又2x+y≤16=24，则x+y≤4，则满足事件“2x+y≤16”的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种，则事件“2x+y≤16”的概率为636=16，故选：C.根据古典概型概率计算公式可解．本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设震中为P ，依题意有|PB|−|PA|=6<|AB|=10，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线靠近A 的一支，因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A ，P ，B 三点共线时，取等号， 所以|PB|−6+|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B 站的距离至少为8km. 故选：A.设震中为P ，根据双曲线的定义以及|PA|+|PB|≥|AB|=10可求出结果． 本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于A ，∵|a n |=|1n |=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得|a n |≤M 恒成立，∴数列{a n }是有界的，A 错误； 对于B ，|a n |=|nsinn|=n|sinn|，∵|sinn|≤1，∴|a n |≤n ，即随着n 的增大，不存在正数M ，使得|a n |≤M 恒成立， ∴数列{a n }是无界的，B 错误；对于C ，当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =−1； ∴|S n |≤1，∴存在正数M =1，使得|S n |≤M 恒成立， ∴数列{S n }是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2≤4(2n−1)(2n+1)=4(12n−1−12n+1)， ∴S n =2n +1+122+132+…+1n 2≤2n +4(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)=2n +4(1−12n+1)=2n +8n 2n+1=2(n −22n+1+2)，∵y =x −22x+1在(0,+∞)上单调递增，∴n −22n+1∈[13,+∞),∴不存在正数M ，使得|S n |≤M 恒成立，∴数列{S n }是无界的，D 错误． 故选：C.根据已知|a n |≤1恒成立，A 错误；a n =nsinn ，|a n |不存在最大值，即数列{a n }无界；C 项分别在n 为偶数和n 为奇数情况下求和，由此可确定；D 项采用放缩法可判断．本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．13.【答案】1【解析】解：因为a ⃗ =(1,−1,0)，b ⃗ =(m,1,−1)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， 所以m −1=0，解得m =1， 故答案为：1.由a ⃗ ⊥b ⃗ ，可建立关于m 的方程，解出即可．本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3n −1【解析】解：等差数列{a n }中，a 1=2，a 4=a 2+6， 所以a 4−a 2=2d =6， 所以d =3，则a n =a 1+3(n −1)=3n −1. 故答案为：3n −1.由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：两条直线l 1：3x −4y −2=0与l 2：3x −4y +8=0之间的距离是√3+4=2.故答案为：2.由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】40243 310【解析】解：设甲能够答对X 道题目， 则X ∼B(5,23)，P(X =2)=C 52(23)2×(1−23)3=40243，若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对， 则乙恰好答对两道题的概率为C 32C 52=310.故答案为：40243；310.根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．17.【答案】x2−y24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程)【解析】解：∵渐近线方程为2x±y=0，设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，所以双曲线的方程为x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).故答案为：x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，写出结果即可．本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．18.【答案】②③④【解析】解：方程ax2+by2=1中，当a=b>0时，可表示圆；当ab<0时，ax2+by2=1表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为x 224+y28=1椭圆与直线y=x均关于原点对称，设点P(2√6cosθ,2√2sinθ)，则点P到直线y=x的距离d=|2√6cosθ−2√2sinθ|√2=4|sin(θ−π3)|∈[0,4]；对③：t=4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t=4，d=2√2<4，满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个，图1若P不是直角顶点，如图2，则|MN|=t=4，d=4，满足△PMN是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，图2故t=4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；<4，对④：0<t<4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t，d=t√2满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个．若P不是直角顶点，如图3，则|MN|=t，d=t<4，满足△MNP是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，图3故0<t<4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；故答案为：②③④．对①②，根据方程ax2+by2=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；对③④，求出点P到直线y=x的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结论．本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，甲选择A 收银台的概率为a =1−0.2−0.4=0.4，乙选项B 收银台的概率为b =1−0.3−0.3=0.4；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率为0.4×0.3=0.12；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率为1−(1−0.4)×(1−0.3)=0.58. 【解析】(I)根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； 本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)选取条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PA ⊥平面ABCD ； 选取条件②：PA ⊥AB ，证明：∵PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD =A ， ∴PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 则平面ABCD 的一个法向量为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，如图所示：PA =AB =2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，Q(0,1,1)，设平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取y =−1，则x =1，z =1，∴平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， 设平面ACQ 与平面ABCD 夹角为α，则cosα=|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=22×√3=√33，故平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为√33； (Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， B(2,0,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，∴点B 到平面ACQ 的距离|n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√3=2√33. 【解析】(Ⅰ)分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论； (Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法，即可得出答案；(Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C(1,−2)，半径R =3.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1(3,1)，r =2. ∴|CC 1|=√(1−3)2+(−2−1)2=√13， ∵3−2<√13<3+2， ∴圆C 和圆C 1相交．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，即kx −y +1−3k =0， 则√1+k =3，解得k =0或k =−125， ∴要求的切线方程为y −1=0或12x +5y −41=0.【解析】(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C ，半径R.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1，r.求出圆心距离|CC 1|，与半径的和差比较即可得出位置关系．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，根据直线与圆相切的性质即可得出k.本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，上顶点为A(0,1)，所以b =1,ca =√22，即a =√2c ，因为a 2=b 2+c 2，所以2c 2=b 2+c 2，所以b =c =1， 所以a =√2， 所以椭圆E 的方程为x 42+y 2=1.(Ⅰ)由题意易知，斜率不存在时不符合要求．当直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y =kx +1， 由{y =kx +1x 2+2y 2=2，整理得(1+2k 2)x 2+4kx =0， 因为A(0,1)，则B(−4k2k 2+1,1−2k22k 2+1)，由|AB|=4√23，得|AB|=√1+k 2⋅|−4k2k 2+1|=4√23，化简得k 4+k 2−2=0， 解得k 2=1或−2(舍)， 所以点B 的坐标为(±43,−13).【解析】(Ⅰ)根据椭圆中a ，b ，c 的关系求解即可；(Ⅰ)易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l ：y =kx +1，联立直线与椭圆的方程，求出B 点坐标，由|AB|=43√2，化简可得k 的方程，解方程求出k 2的值即可求出B 点坐标．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.y 1=a(0≤a ≤1)， ∵y 1=a =14，∴y 2=2y 1=12，y 3=2−2y 2=1. (Ⅰ)y 3=0，(1)当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，∴y 2=0， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=0， 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=1，. (2)当12≤y 2≤1时，y 3=2−2y 2，∴y 2=1， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=12∉[0,12). 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=12. 综上，a =0，1，12. (Ⅰ)存在这样的a.∵y M+1=0，y M ≠0，∴由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12， (1)当0≤y M−2<12时，y M−1=2y M−2，∴y M−2=14， (2)当12≤y M−2≤1时，y M−1=2−2y M−2，∴y M−2=34， 依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−12M−1，n=1，2，3，⋅⋅⋅，2M−2.【解析】(Ⅰ)由y 1=a =14，能求出y 2和y 3.(Ⅰ)y 3=0，当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，求出y 2=0，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=0，若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=1；当12≤y 2≤1时，求出y 2=1，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=12∉[0,12).若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=12.(Ⅰ)存在这样的a.由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12，当0≤y M−2<12时，求出y M−2=14，当12≤y M−2≤1时，求出y M−2=34，依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，由此能求出数列{a n }的通项公式．本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2023-2024学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°2．已知空间中直线l 的一个方向向量a →=(1，2，4)，平面α的一个法向量n →=(2，4，8)，则（ ） A ．直线l 与平面α平行 B ．直线l 在平面α内C ．直线l 与平面α垂直D ．直线l 与平面α不相交3．抛物线y 2＝4x 的焦点到其准线的距离是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =n 2+2n ，则a 2＝（ ） A ．1B ．3C ．5D ．85．双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±√33x D ．y =±√3x6．线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如表：从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ） A ．56B ．12C ．13D ．167．哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ） A ．2041年～2042年 B ．2061年～2062年C ．2081年～2082年D ．2101年～2102年8．在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线3x +4y ﹣10＝0相切，则该圆半径的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．已知a ，b ∈R ，则“﹣1，a ，b ，2为等比数列”是“ab ＝﹣2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．曲线C ：x m +y n ＝1，其中m ，n 均为正数，则下列命题错误的是（ ） A ．当m ＝3，n ＝1时，曲线C 关于（0，1）中心对称 B ．当m =12，n =12时，曲线C 是轴对称图形C ．当m ＝4，n ＝2时，曲线C 所围成的面积小于πD ．当m ＝3，n ＝2时，曲线C 上的点与（0，0）距离的最小值等于1 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
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2020-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．（3分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．（3分）二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（3分）已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．7．（3分）已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（3分）已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．（3分）某商场在2020年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=；tan（π﹣α）=．15．（4分）已知9a=3，lnx=a，则x=．16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=．18．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x ∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h（x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．（10分）已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．2020-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．（3分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．（3分）二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．（3分）已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．（3分）已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：=，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．（3分）已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．（3分）某商场在2020年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．（3分）若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C 错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为（﹣∞，3] ．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=﹣；tan（π﹣α）=2．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．（4分）已知9a=3，lnx=a，则x=．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴lnx==ln，∴x=故答案为：16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=﹣．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x ∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A={x∈R|2x﹣3≥0}=[，+∞），B={x|1＜x＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={x∈N|1≤x＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={x∈N|1≤x＜a}=[1，a），A∩C=∅，当C=∅时，即a＜1时满足，当C≠∅，可得1≤a≤2，综上所述a的范围为（﹣∞，2]20．（10分）已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h（x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）=sin（ωx）﹣的图象，若h（x）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）﹣．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得h（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．（10分）已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx2+2x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，0＜a＜1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递减，x=2时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递增，x=﹣1时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；可得F（2x﹣1）=；（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，即有x=；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，则h（x）的零点个数为2；当x+sinx＞x，即≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1，]；当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；当x+sinx＜x，即π＜x≤时，h（x）=﹣cosx∈[，1）．综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．。