线性代数课件--第二章行列式

x1 x1
a12 x2 a22 x2
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b1 b2
可用消元法求其解。当a11a22 a21a12 0 时，该方程组有唯一解
x1
b1 a 22 a11a22
b2 a12 a21a12
,
x2
a11b2 a11a22
a21b1 a a21 12
该公式不好记
设 记 号 ：a11 a21 a11 a21
定义为
d e t A a 1 1 A1 1 a 1 2 A1 2 a 1 n A1 n
n
n
a 1 j A1 j = a 1 j ( 1 )1 j d e t A1 j
j1
j1
或
d e t A a 1 1 A1 1 a 2 1 A 2 1 a n 1 A n 1
n
n
a i1 A i1 = a i1 ( 1 ) i 1 d e t A i1
S
OAA
-
S
AA
C
C
=
a
b
1
2
-
a
b
2
1
在 一 般 情 况 下 ， 可 证 明 S =|a b -a b |
OACB
12
21
ab
定义
1 1 =a b -a b ,称 左 边 的 表 达 式 为 二 阶 行 列 式 。
ab
12
21
2
2
2.1 行列式的定义
例2.2 设有二元一次线性方程组
a11 a21
i1
i1
上两式分别称为行列式按第一行或第一列的展开式。
上 两 式 也 给 出 了 计 算 n阶 行 列 式 的 逐 步 降 阶 法 ： 将 n阶 行
,
x2
a11b2 a11a 22
a 21b1 a 21a12
可改用行列式表示：
b1
x1
b2 a11
a 21
a12 a 22 , a12 a 22
a11 b1
x2
a 21 a11
b2 a12
a 21 a 22
2.1 行列式的定义
例
求
方
程
组
2 3
x1 x1
3 2
x x
2 2
1 0
的解。
解：代入行列式表示的方程的求根公式，有
行数 列数的矩阵没有行列式；
3) 矩 阵 用 括 号 ， 行 列 式 用 竖 线 | |。
2.1 行列式的定义
与 一 个 任 意 的 n阶 矩 阵 A = (a ij)相 关 的 三 个 概 念 ：
※ aij的 余 子 矩 阵 A ij ： 矩 阵 A去 掉 第 i行 和 第 j列 后 的 矩 阵 ， 即
A A C C 和 O A C B 都 是 平 行 四 边 形 ，
而 且 A C = O B = a 。 2
所 以 , S = a b , S = a b 。 Δ O A A 和 Δ B C C 全 等 ， 所 以
O A C B
12
A A C C
21
= - S OACB
S + S O A C B B C C
a11 a12
a1 j
a1n
a
2
1
a 22
a2 j
a2
n
Aij
ai1
ai2
a ij
a in
a
n
1
an2
anj
a nn
※
aij的 余 子 式 :
A
的
ij
行
列
式
det
Aij
※ aij 代 数 余 子 式 : Α ij= ( - 1 )i j d et Aij
2.1 行列式的定义
2 0 4
线性代数课件--第二章行列式
单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容
第二章 行列式
第一节 行列式的定义 第二节 行列式的性质及其计算 第三节 矩阵的秩 第四节 克莱姆法则
2.1 行 列 式 的 定 义
行列式可用来表示面积、体积等几何量，是线性代数中的
重要概念，也是微积分和其他数学分支中的重要工具。
a11 a12
a1n
det A a21 a22
a2n
注意：
an1 an2
a nn
1） 矩 阵 A是 n n的 数 表 ， 而 行 列 式 det A是 一 个 数 ；
2) 矩 阵 可 以 有 ： 行 数 m 列 数 n；
只 有 方 阵 才 有 行 列 式 ： 行 数 =列 数 的 矩 阵 有 对 应 的 行 列 式 ；
例
如
：
设
矩
阵
A
1 2
4 3
0 1
，
其
a
1
的
1
余
子
矩
阵
A11
4 3
0
1
a
1
的
1
余
子
式
4 3
0 4,
1
a
1
的
1
代
数
余
子
式
A 11
( 1)11
4 3
0 4
1
a
1
的
2
余
子矩阵
A12
1
2
0
1
a
1
的
2
余
子
式
1 2
0 1,
1
a
1
的
2
代
数
余
子
式
A 12
( 1)12
1 2
0 1
1
a
3
的
3
余
子
矩
阵
A33
2
1
0
4
a
的
33
余
子
式
2 1
0 8,
4
a
的
33
代
数
余
子
式
A 33
( 1)33
2 1
0 8
4
2.1 行列式的定义
定 义 2.1 (行 列 式 的 递 归 定 义 )
1阶 矩 阵 A a11 的 行 列 式 定 义 为 数 a11
det (a11) a11 设 已 定 义 了 n 1阶 行 列 式 。 n阶 ( n 2 ) 矩 阵 A的 行 列 式
其 值 为 代 数 和 a11a22
a
21
a1
。
2
n元 一 次 方 程 组 的 解 也 可 用 行 列 式 表 示 ，
需 引 入 n阶 行 列 式 的 概 念 。
2.1 行列式的定义 2.1.2 n阶 行 列 式 的 定 义
将
任
意
一
个
n阶
矩
阵
A
（
a
）
ij n
n
，
对
应
一
个
数
，
称
为
A的
行 列 式(determ inant)， 记 为 :
2.1.1 二 阶 行 列 式
例 2.1 在 xOy平 面 上 有 一 个 平 行 四 边
形 OACB， 它 的 两 条 邻 边 是 向 量
O A = ( a , b ) ，O B = ( a , b ) ， 求 其 面 积 。
11
22
解 设 点 A,B,C在 Ox轴 上 的 投 影 分 别
是 A , B , C ， 又 在 C C 上 取 C C = A A , 则
a12 a22
a11a22 a21a12，
b1 b2
b1 b2
a11b2 a21b1
a12 a22
b1a22 b2 a12，
2.1 行列式的定义
这
时
，
方
程
组
a11 x1 a 21 x1
a12 x2 a 22 x2
b1 的 b2
解
为
x1
b1a 22 a11a 22
b2a12 a 21a12
13
0 x1 2
2 1 (2) 0 3 2 2 3 2 (2) 3 3 13 13
3 －2
2 3 x2 2 3
1
0 20 31 3
3
13
13
－2
2.1 行列式的定义
一 般 地 ， 2阶 矩 阵 A
a11 a21
a12 a22
,
对 应 的 2阶 行 列 式 a11 a12 是 一 个 数 ， a21 a22