线性代数课件--第二章行列式
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线性代数第二章方阵的行列式
习题2.2(B) 第1(1)(3)题
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数矩阵第2节行列式-PPT精选文档
a c b d a c a d b c b d ① u x + v y , ② u x + u y + v x + v y .
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
2-2.1(行列式的性质1—性质3)--线性代数PPT
bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
bi1 bi2 bin ci1 ci2 cin
an1 an2 ann an1 an2 ann
§2.2 行列式的性质与计算
证
左 按 第 i行 展 开 (bi1 ci1 ) Ai1 (bin cin ) Ain
(bi1 Ai1 bin Ain ) (ci1 Ai1 cin Ain )
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
bi1 bi 2
det A ak1 Ak1 ak 2 Ak 2 akn Akn , (k i, j)
Mkl(l=1,…,n): n-1阶行列式, 有两行元对应相等
Akl 0 (k 1, ..., n) det A 0
§2.2 行列式的性质与计算
性质3
a11
a12
a1n
推论 detA的某一行全为零 det A 0
性质2 detA 的第i行元素与第j行元素对应相等
即 aik = ajk , i≠j, k=1,…, n det A 0
证 对行列式的阶n用数学归纳法 1o: n=2, 显然. 2o: 设结论对n-1阶行列式成立, 对n阶行列式, 按第k(i, j)行展开:
0
ann
a1,n1
a2,n1
0
a11
a a nn n1,n1
an1,n1
a12
a1,n2
a22
a2,n2
线性代数课件第二章第四节n阶矩阵乘积的行列式
02
计算行列式$|begin{matrix} 4 & -1 & 2 1 & 3 & 1 0 & -2 & 4 end{matrix}|$的值。
03
计算行列式$|begin{matrix} 3 & -2 & 1 1 & 0 & 1 -1 & 3 & 2 end{matrix}|$的值。
解答
步骤一
按照行列式的展开法则，将第一行第二列的 元素$-5$与第二行第一列的元素$1$相乘， 并加上第二行第二列的元素$3$与第三行第 一列的元素$-1$相乘，得到$-5 times 1 + (-5) times (-1) = -5 + 5 = 0$。
分块法
将高阶行列式分块处理，利用分块后 的子块性质简化计算。
递推法
利用递推关系式，将高阶行列式转化 为低阶行列式计算，从而简化计算。
03
n阶矩阵乘积的行列式的 应用
在线性方程组中的应用
求解系数矩阵的行列式
在求解线性方程组时，可以通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有解，以及解的情况。如果 系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解；如果行列式为零，则方程组可能有无穷多解或无解。
，得到$-1 times (-1) + (-3) times (-2) = 1 + 6 = 7$。
步骤二：将第三行第二列的 元素$-6$与第一行第一列的
元素$-3$相乘，得到$-6 times -3 = 18$。
04
步骤三
感谢您的观看
THANKS
解答
步骤六
将第二行第三列的元素$-1$与第三行第一列的元素$2$相乘，得到$-1 times (-2) = 2$。
计算行列式$|begin{matrix} 4 & -1 & 2 1 & 3 & 1 0 & -2 & 4 end{matrix}|$的值。
03
计算行列式$|begin{matrix} 3 & -2 & 1 1 & 0 & 1 -1 & 3 & 2 end{matrix}|$的值。
解答
步骤一
按照行列式的展开法则，将第一行第二列的 元素$-5$与第二行第一列的元素$1$相乘， 并加上第二行第二列的元素$3$与第三行第 一列的元素$-1$相乘，得到$-5 times 1 + (-5) times (-1) = -5 + 5 = 0$。
分块法
将高阶行列式分块处理，利用分块后 的子块性质简化计算。
递推法
利用递推关系式，将高阶行列式转化 为低阶行列式计算，从而简化计算。
03
n阶矩阵乘积的行列式的 应用
在线性方程组中的应用
求解系数矩阵的行列式
在求解线性方程组时，可以通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有解，以及解的情况。如果 系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解；如果行列式为零，则方程组可能有无穷多解或无解。
，得到$-1 times (-1) + (-3) times (-2) = 1 + 6 = 7$。
步骤二：将第三行第二列的 元素$-6$与第一行第一列的
元素$-3$相乘，得到$-6 times -3 = 18$。
04
步骤三
感谢您的观看
THANKS
解答
步骤六
将第二行第三列的元素$-1$与第三行第一列的元素$2$相乘，得到$-1 times (-2) = 2$。
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
THANKS
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
第二章(行列式)ppt课件
a 1 1 a 1 2 a 1 3 D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
二章行列式ppt课件
m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 推论2
偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次 对换改变排列的奇偶性。
任意一个n 级排列都可以经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换的次数与该 排列有相同的奇偶性.
a31 b3 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
n( n1)
1 2 a1na2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
1 a a 1 j1 2 j2 anjn
j1 jn
若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1，
它的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n 1 n
2
当a 时b ， 经对换后 a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a 时b ， 经对换后 a的逆序数不变， 的b 逆序数减少1.
因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
a1al a b1bm bb c1cn
m 次相邻对换
线性代数行列式的性质与计算课件
=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2) (-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
Da11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
an1 an2 … ann
推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.
行列式的性质
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，
则此行列式可以写成两个行列式之和.即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
row (行)
要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进co行lum计n（算列。）
为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：
1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 ri rj表示 ； 2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示； 3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.
为了不引起混淆, 每步最好只进行一个 操作. 例如:
D
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
1 0 1 5
1 0 1 5
1 0 1 5
r3 2r2
0 r4 r2 0
1 0
3 3
8
0 r3 r4
19
0
1 0
高中数学《行列式》课件
4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn
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13
0 x1 2
2 1 (2) 0 3 2 2 3 2 (2) 3 3 13 13
3 －2
2 3 x2 2 3
1
0 20 31 3
3
13
般 地 ， 2阶 矩 阵 A
a11 a21
a12 a22
,
对 应 的 2阶 行 列 式 a11 a12 是 一 个 数 ， a21 a22
线性代数课件--第二章行列式
单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容
第二章 行列式
第一节 行列式的定义 第二节 行列式的性质及其计算 第三节 矩阵的秩 第四节 克莱姆法则
2.1 行 列 式 的 定 义
行列式可用来表示面积、体积等几何量，是线性代数中的
重要概念，也是微积分和其他数学分支中的重要工具。
a11 a12
a1n
det A a21 a22
a2n
注意：
an1 an2
a nn
1） 矩 阵 A是 n n的 数 表 ， 而 行 列 式 det A是 一 个 数 ；
2) 矩 阵 可 以 有 ： 行 数 m 列 数 n；
只 有 方 阵 才 有 行 列 式 ： 行 数 =列 数 的 矩 阵 有 对 应 的 行 列 式 ；
S
OAA
-
S
AA
C
C
=
a
b
1
2
-
a
b
2
1
在 一 般 情 况 下 ， 可 证 明 S =|a b -a b |
OACB
12
21
ab
定义
1 1 =a b -a b ,称 左 边 的 表 达 式 为 二 阶 行 列 式 。
ab
12
21
2
2
2.1 行列式的定义
例2.2 设有二元一次线性方程组
a11 a21
其 值 为 代 数 和 a11a22
a
21
a1
。
2
n元 一 次 方 程 组 的 解 也 可 用 行 列 式 表 示 ，
需 引 入 n阶 行 列 式 的 概 念 。
2.1 行列式的定义 2.1.2 n阶 行 列 式 的 定 义
将
任
意
一
个
n阶
矩
阵
A
（
a
）
ij n
n
，
对
应
一
个
数
，
称
为
A的
行 列 式(determ inant)， 记 为 :
行数 列数的矩阵没有行列式；
3) 矩 阵 用 括 号 ， 行 列 式 用 竖 线 | |。
2.1 行列式的定义
与 一 个 任 意 的 n阶 矩 阵 A = (a ij)相 关 的 三 个 概 念 ：
※ aij的 余 子 矩 阵 A ij ： 矩 阵 A去 掉 第 i行 和 第 j列 后 的 矩 阵 ， 即
例
如
：
设
矩
阵
A
1 2
4 3
0 1
，
其
a
1
的
1
余
子
矩
阵
A11
4 3
0
1
a
1
的
1
余
子
式
4 3
0 4,
1
a
1
的
1
代
数
余
子
式
A 11
( 1)11
4 3
0 4
1
a
1
的
2
余
子矩阵
A12
1
2
0
1
a
1
的
2
余
子
式
1 2
0 1,
1
a
1
的
2
代
数
余
子
式
A 12
( 1)12
1 2
0 1
1
a
3
的
3
余
子
矩
阵
A33
a11 a12
a1 j
a1n
a
2
1
a 22
a2 j
a2
n
Aij
ai1
ai2
a ij
a in
a
n
1
an2
anj
a nn
※
aij的 余 子 式 :
A
的
ij
行
列
式
det
Aij
※ aij 代 数 余 子 式 : Α ij= ( - 1 )i j d et Aij
2.1 行列式的定义
2 0 4
i1
i1
上两式分别称为行列式按第一行或第一列的展开式。
上 两 式 也 给 出 了 计 算 n阶 行 列 式 的 逐 步 降 阶 法 ： 将 n阶 行
A A C C 和 O A C B 都 是 平 行 四 边 形 ，
而 且 A C = O B = a 。 2
所 以 , S = a b , S = a b 。 Δ O A A 和 Δ B C C 全 等 ， 所 以
O A C B
12
A A C C
21
= - S OACB
S + S O A C B B C C
定义为
d e t A a 1 1 A1 1 a 1 2 A1 2 a 1 n A1 n
n
n
a 1 j A1 j = a 1 j ( 1 )1 j d e t A1 j
j1
j1
或
d e t A a 1 1 A1 1 a 2 1 A 2 1 a n 1 A n 1
n
n
a i1 A i1 = a i1 ( 1 ) i 1 d e t A i1
,
x2
a11b2 a11a 22
a 21b1 a 21a12
可改用行列式表示：
b1
x1
b2 a11
a 21
a12 a 22 , a12 a 22
a11 b1
x2
a 21 a11
b2 a12
a 21 a 22
2.1 行列式的定义
例
求
方
程
组
2 3
x1 x1
3 2
x x
2 2
1 0
的解。
解：代入行列式表示的方程的求根公式，有
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
可用消元法求其解。当a11a22 a21a12 0 时，该方程组有唯一解
x1
b1 a 22 a11a22
b2 a12 a21a12
,
x2
a11b2 a11a22
a21b1 a a21 12
该公式不好记
设 记 号 ：a11 a21 a11 a21
2
1
0
4
a
的
33
余
子
式
2 1
0 8,
4
a
的
33
代
数
余
子
式
A 33
( 1)33
2 1
0 8
4
2.1 行列式的定义
定 义 2.1 (行 列 式 的 递 归 定 义 )
1阶 矩 阵 A a11 的 行 列 式 定 义 为 数 a11
det (a11) a11 设 已 定 义 了 n 1阶 行 列 式 。 n阶 ( n 2 ) 矩 阵 A的 行 列 式
2.1.1 二 阶 行 列 式
例 2.1 在 xOy平 面 上 有 一 个 平 行 四 边
形 OACB， 它 的 两 条 邻 边 是 向 量
O A = ( a , b ) ，O B = ( a , b ) ， 求 其 面 积 。
11
22
解 设 点 A,B,C在 Ox轴 上 的 投 影 分 别
是 A , B , C ， 又 在 C C 上 取 C C = A A , 则
a12 a22
a11a22 a21a12，
b1 b2
b1 b2
a11b2 a21b1
a12 a22
b1a22 b2 a12，
2.1 行列式的定义
这
时
，
方
程
组
a11 x1 a 21 x1
a12 x2 a 22 x2
b1 的 b2
解
为
x1
b1a 22 a11a 22
b2a12 a 21a12