浙江专升本数学试卷1

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2023年浙江省绍兴市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年浙江省绍兴市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.函数y=log2(x+l)的定义域是（）A.(2，+∞）B.(-2，+∞)C.(-∞，-1)D.(-1，+∞)2.若直线a⊥直线b，直线b//平面M，则（）A.a//MB.a MC.a与M相交D.a//M，a M与M相交，这三种情况都有可能3.A.A.B.C.D.4.第9题已知向量a=(4，x)，向量b=(5，-2)，且a⊥b，则x等于（）A.10B.-10C.1/10D.-8/55.已知一次函数y=2x+b的图像经过点(2，1)，则该图像也经过点（）。

A.(1，7)B.(1，-3)C.(1，5)D.(1，-1)6.设tanθ=2，则tan(θ+π)=11（）。

7.有不等式(1)|seca|≤|tana|(2)|sina|≤|tana|(3)|csca|≤|cota|(4)|cosa|≤|cota|其中必定成立的是（）A.(2)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)(3)(4)D.都不一定成立8.命题甲：x2=y2，命题乙:x=y甲是乙的()A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.即非充分又非必要条件9.A.A.4x-3y+2=0B.4x+3y-6=0C.3x-4y+6=0D.10.11.12.（）。

A.100B.40C.10D.2013.14.15.A.A.3：1B.4：1C.5：1D.6：116.i为虚数单位，则(2—3i)(3+2i)=（）A.A.12-13iB.-5iC.12+5iD.12-5i17.某学校为新生开设了4门选修课程，规定每位新生至少要选其中3门，则一位新生不同的选课方案共（）。

A.7种B.4种C.5种D.6种18.函数y=2sin6x的最小正周期为（）。

19.设0<α<b<1，则（）A.loga2<logb2B.log2a>log2bC.a1/2>6b1/2D.20.21.22.圆柱的轴截面面积等于10,体积为5π，它的母线长和侧面积分别是( )A.5和10πB.5π和10C.5和25πD.10和10π23. A.2B.3C.4D.524.（）A.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形25.26.A.π/2B.2πC.4πD.8π27.某学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙、丙三门课程至少选修两门，则不同的选课方案共有()A.4种B.18种C.22种D.26种28.设函数f(x－2)＝X2－3x－2，则f(x)＝（）A.A.X2＋x－4B.X2－x－4C.X2＋x＋4D.X2－x－429.30.复数x=口+bi(α，b∈R且a,b不同时为0)等于它的共轭复数的倒数的充要条件是（）A.A.α+b=1B.α2+b2=1C.ab=1D.α=b二、填空题(20题)31.若a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，则|b-a|的最小值是__________.32.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，那么ξ的期望等于33.掷一枚硬币时，正面向上的概率为，掷这枚硬币4次，则恰有2次正面向上的概率是___________________。

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【最新整理，下载后即可编傅】2005年浙江省普通商校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、填空题1. 函数的连续区间是c■V -(A-l)-------------------------2.lim --------- =ogY x(x +4)3.(1) x 轴在空间中的直线方程是 ___________(2)过原点且与x 轴垂直的平面方程是 ______________点X=1处连续。

5.设参数方程［s ：cos2：y = r sin 2&(1)当厂是常数,&是参数时，则2=ax (2)当&是常数，厂是参数时，则字二CIX ------------二. 选择题1 •设函数y = f(x)在［°,b ］上连续可导,ce(a.b),且/ (c) = 0,则当( )时,fW 在x = C •处取得极大值。

(A) 当“ 5 X V c时，当 C V A ： S /?时， f'(x)>0, (B) 当0 W X V C 时， / «>0,当c < xSb时〉 /«<o, (C) 当 <7 5 X V C 时〉 / W<o ,当 c < x S Z?时， /(A )>0,(D) 当Sx vc 时， / W<o ,当 c v x S Z?时〉2.设函数y = /(x)在点"心处可导，则4.设函数f(x)= < ("IFG,bx + 1,x=\，当 G = ____ ,b =X<1时，函数门X )在lim /(儿+3力)一/(如一2力)=( )o(A)f(x°), (B)3f'(x0), (C)4f(x°), (D)5fg・F, x> 03.设函数/(x) = < 0, x = 0,则积分£/(%>/%= ( )o-e』，x<0 _(A) — l, (3)0 (C)l, (£>)2.e5.设级数f?”和级数都发散，则级数是( ). n=l ；f=l w-l(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)可能发散或者可能收敛三•计算题1.求函数y = U2-x + ir的导数。

2023年浙江省台州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年浙江省台州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.2.第11题设0＜a＜1/2，则（）A.log a(1-a)＞1B.cos(1+a)＜cos(1-a)C.a-1＜(1/2)-1D.(1-a)10＜a103.已知点A(1，0)，B(-1，1)，若直线kx-y-1=0与直线AB平行，则k=（）A.B.C.-1D.14.已知全集U=R，A={x|x≥l}，B={x|-l＜x≤2}，则( )A.{x|x≤2}B.{x|x＜2}C.{x|-1＜x≤2}D.{x|-1＜x＜1}5.函数y=3x的反函数是（）A.A．y=(1/3)x(x＞0)B.-y=(1/3)x(x＞0)C.y=log3x(x＞0)D.-y=-log3x(x＞0)6.已知f(x)是偶函数，且其图像与x轴有4个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和为( )A.4B.2C.1D.07.8.（）A.A.{x|0＜x＜1}B.{x|－1＜x＜1}C.{x|0＜x＜2}D.{x|x＞1}9.长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别为4,8，18,则此长方体的体积为A.12B.24C.36D.4811.已知正方形ABCD，以A，C为焦点，且过B点的椭圆的离心率为12. 设f(x)=ax(a>0，且a≠1)，则x>0时，0<f(x)<1成立的充分必要条件是（）A.a>1B.0<a<1C.D.1<a<213.14.A.A.3：1B.4：1C.5：1D.6：115.函数y=(1/3)|x| (x∈R)的值域为( )A.y＞0B.y＜0C.0＜y≤lD.y＞116.若loga2＜logb2＜0，则（）A.A.0＜b＜a＜1B.0＜a＜b＜1C.1＜b＜nD.1＜a＜b17.设甲：△>0.乙：有两个不相等的实数根，则A.A.甲是乙的必要条件，但不是充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是必要条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲是乙的充分条件，也不是必要条件18.已知点P(sinα—COSα／，tanα)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是（）A.A.B.C.D.19.（）A.A.(11，9)B.(4，0)C.(9，3)D.(9，－3)20.若A（4,a）到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a的取值范围是（）A.(0,10)B.[1/3,31/3]C.[0,10]D.(-∞,0)U[1/3,10]21.22.23.A.12B.6C.3D.124.25.第14题曲线|x|+|y|=l所围成的正方形的面积为（）26.不等式|x-2|＜1的解集是（）A.{x-1＜x＜3}B.{x|-2＜x＜l}C.{x|-3＜x＜1}D.{x|1＜x＜＜3}27.A.1B.1/2C.OD.∞28.29.设集合M={x∣-1≤x<2}，N={x∣x≤1}集合M∩N=（）。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》参考答案

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案二..填空题:(每小题4分,共40分)1.21; 2. 2; 3. x 1; 4. )3,1(-; 5. 211x+; 6. ()x f -; 7. 332π; 8.()22sin 2y x x +-; (超纲,去掉) 9.()⎰⎰110,ydx y x f dy ; (超纲,去掉)10. 224=+-z y x .三．计算题(每小题6分,共60分)1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim00xx x x e xe →→=- …………..4分 1=. …………6分解法二.令t e x =-1, 则 ()t x +=1ln ……….. 2分于是, ()11ln lim 1lim00=+=-→→t t x e t x x . …………6分 2.解.x dx dg sin -=, ()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛= …………3分故x e dxdyx cos sin --=. ………..6分3. 解法一.令t x =,,则2t x =, ………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdtt t tdt x x dx……….5分 C x +=arctan 2. ……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2. ……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx e xedx xex x x……….3分10=-=+∞-x e. ………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---1024100212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f ……….3分1sin 532sin 5110025+=+=-x x . ……….6分 6.解. 设()A dx x f =⎰1,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=11011012122dx x f e A eAdx dx edx x f x x……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11.. ………..5分代入原式得()()e e x f x -+=12. ……….6分7.解.特征方程为02=+k k ，得到特征根1,021-==k k ， ………..1分故对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21， ………..3分由观察法，可知非齐次方程的特解是xe y 21=*， ………..5分因而，所求方程的通解为xxe e c c y 2121++=-，其中21,c c 是任意常数. ……….6分 8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n , ….3分所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n . ……..6分 9解.()()222,2y x xy x y x y y f y x y y x y x x x f +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, ……….2分(超纲,去掉) 从而()()0,12,02,0=∂∂=∂∂yf xf, ……….4分所以()()()()dx dy yf dx xf y x df =∂∂+∂∂=2,02,02,0,. ………6分10.解.采用极坐标变换,令θθsin ,cos r y r x == ,πθ20,10<≤≤<r , .2分(超纲,去掉)()⎰⎰⎰⎰=+132022dr r d dxdy y xDπθ ……….4分 2π=. ……..6分四.综合题:(每小题10分,共30分)1.解法一(1).()⎰-=1dx e e S x……….4分()1110=+-=-=e e e ex x. ………..6分(2).()⎰-=122dx e eV x π………..9分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ ………..12分解法二.(1)⎰-=1dx e e S x……….3分110=-=x ee . ………..6分(2).⎰-=122dx e e V xππ ……….9分()12221022+=-=ee e xπππ. …………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dx dy ,令0=dxdy ,得到 2,021==x x (驻点), …….2分(),1622-=x dxy d 由022=dx yd ,得到13=x , …….3分……..8分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间，（0，2）为单调减少区间; ……….10分极大值为－1，极小值为－5, ……..11分)1,(-∞为凸区间，),1(+∞为凹区间 ………12分3.证明. 令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+= ()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ，其中1+<<x x ξ, …….4分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时，()x F 是单调增加的， ………5分而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim , 所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11. ………..6分。

专升本数学练习题浙江

专升本数学练习题浙江### 专升本数学练习题（浙江）#### 一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数$f(x)=x^3-3x$，则$f(x)$的导数为（）。

A. $3x^2-3$B. $x^2-3x$C. $3x^2+3x$D. $x^3-3$2. 已知$\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且$\alpha$为第一象限角，则$\cos \alpha$的值为（）。

A. $\frac{4}{5}$B. $-\frac{4}{5}$C. $\frac{3}{5}$D. $-\frac{3}{5}$3. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$的值为（）。

A. $\frac{1}{3}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{1}{6}$D. $\frac{1}{4}$4. 若$\log_2 8 = 3$，则$2^3$的值为（）。

A. 8B. 16C. 32D. 645. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式值为（）。

A. 0B. -2C. 2D. 5#### 二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数$y=\ln(x)$的反函数为$y=e^x$，其中$x>0$。

2. 若$a>0$，$b>0$，且$a+b=2$，则$ab$的最大值为$\frac{1}{4}$。

3. 计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值为1。

4. 已知$\tan \theta = 2$，则$\sin \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

5. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$的逆矩阵为$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。

浙江省专升本历年真题卷

2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题1．函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是; 2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x ;3．1x 轴在空间中的直线方程是;2过原点且与x 轴垂直的平面方程是;4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时,函数)(x f 在点1=x 处连续;5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x , 1当r 是常数,θ是参数时,则=dx dy ; 2当θ是常数,r 是参数时,则=dxdy; 二．选择题 1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导,),(b a c ∈,且0)('=c f ,则当时,)(x f 在c x =处取得极大值;A 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f ,B 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f ,C 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f ,D 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导,则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim 000; 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,00,0x ,)(22x e x e x f x x ,则积分()11-=⎰f x dx ; 5．设级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=1n n b 都发散,则级数∑∞=+1)(n n n b a 是.A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 可能发散或者可能收敛三．计算题1．求函数x x x y )1(2+-=的导数;2.求函数1223+-=x x y 在区间－1,2中的极大值,极小值;3.求函数xe x xf 2)(=的n 阶导数n n dxfd ;4．计算积分021132--+⎰dx x x ;5．计算积分⎰+dx ex211; 6．计算积分()1202+-⎰x x x e dx ;8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数,并求出它的收敛区间; 9.求二阶微分方程x y dx dydxy d =+-222的通解;10.设b a ,是两个向量,且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值,其中a 表示向量a 的模; 四．综合题 1．计算积分02121sinsin 22++⎰n m x xdx π,其中m n ,是整数; 2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23,其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a , 1证明函数)(x f 在0,1内至少有一个根,2当ac b 832<时,证明函数)(x f 在0,1内只有一个根;2005年高数一答案A 卷一．填空题1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞2．213．1⎩⎨⎧==00z y 或者001z y x ==,或者0,0,===z y t x 其中t 是参数,20=x4．1,0-==b a5．1yxr 2-,2x y 23.1．解：令)1ln(ln 2+-=x x x y ,3分则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--=7分 -----------------------------------------------------------------------------------------------2．解：)43(432'-=-=x x x x y ,驻点为34,021==x x 2分法一46''-=x y ,04)0(''<-=y ,1)0(=y 极大值,5分 04)34(''>=y ,275)34(-=y 极小值.7分5分当0=x 时,1=y 极大值,当34=x 时,275-=y 极小值7分 3．解：利用莱布尼兹公式 x nn e n n nx x dxfd )]1(2[2-++=7分 4．解：⎰⎰⎰------=--=+-0101012]1121[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x 3分＝34ln12ln1=---x x 7分 5．解：⎰+dx e x 211＝=+-+⎰dx ee e xxx 222113分 ++-=)1ln(212x e x C 其中C 是任意常数7分6．解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 1102)12()2(3分＝2－⎰+1)12(dx e x x ＝2－)13(-e +12x e =＝e e e -=-+-12233;7分8：解：=-+=+=]2111[2111x x y 2分＝∑∞=+--012)1()1(n n n n x ,5分收敛区间为-1,3.7分9.解：特征方程为0122=+-λλ,特征值为1=λ二重根,齐次方程0222=+-y dx dydxy d 的通解是x e x c c y )(~21+=,其中21,c c 是任意常数. 3分 x y dx dydxy d =+-222的特解是2+=*x y ,6分所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~21+++=+=*,其中21,c c 是任意常数7分10．解：2222b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a 3分＝26)(222=+b a .7分四．综合题： 1．解：法一⎰++π212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21--++⎰π4分＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰πππ00 ,21]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21mn dx x m n m n x m n m n x m n m n 10分法二当m n ≠时⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++⎰π4分＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-πx m n m n x m n m n 7分当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+πππ000221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2π10分 2．证明：1考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(,2分)(x F 在0,1上连续,在0,1内可导,0)1()0(==F F , 由罗尔定理知,存在)1,0(∈ξ,使得0)('=ξF ,即0)()('==ξξf F ,就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在0,1内至少有一个根.7分 2c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<,所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b , )('x f 保持定号,)(x f 函数)(x f 在0,1内只有一个根.10分2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题1．=n ;2．函数()f x =;3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则=A ;4．设ln(y x x =,则=dydx; ---------------------------密封线------------------------------------5．3 22 2(1)cos 1sin -+=+⎰x xdx x ππ; 8．微分方程2(21)x x y dy x edx+-=+的通解=y ; 二．选择题1．函数()f x 的定义域为[]0,1,则函数11()()55f x f x ++-的定义域;2．当0x →时,与x 不是等价无穷小量的是;3．设0()()xF x f t dt =⎰,其中2,01()1,12⎧≤<=⎨≤≤⎩x x f x x ,则下面结论中正确;()A 31,01()3, 12⎧≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x ()B 311,01()33, 12⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为;()A 20(1)(2)x x x dx ---⎰5．设,a b 为非零向量,且a ⊥b ,则必有; 三．计算题1．计算123lim()6x x x x -→∞++; 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx; 3．设函数2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,求dydx ; 4．计算不定积分221sin cos dx x x ⎰;5．计算定积分 1 0x x dxe e-+⎰;6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足0,100====x x dxdyy 的特解;7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程;8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径;10．当a 为何值时,抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积; 四．综合题-----------密封线--------------------1．本题8分设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程：x02()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根;2．本题7分证明：若0,0,0m n a >>>,则()()m n mnm nm nm n x a x a m n ++-≤+; 3．本题5分设()f x 是连续函数,求证积分2(sin )(sin )(cos )4f x I dx f x f x ππ==+⎰;2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷A 卷答案一．填空题 1．5n =;2．函数()f x =3x =;3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则1A =4．;设ln(y x x =,则dy dx = 5．3 22 2(1)cos 1sin 2x x dx x πππ-+=+⎰ 8．微分方程2(21)x x y dyx e dx+-=+的通解为y =2ln()x x e C ++,其中C 为任意常数; 二．选择题1、C2、D3、D4、C5、B 三．计算题1．计算123lim()6x x x x -→∞++; 解：123lim()6x x x x -→∞++=631 ( ) ()3623lim(1)6x x x x x +---+→∞-+3分又因为633lim(1)6x x e x +-→∞-=+5分313lim() ()622x x x →∞--=-+6分所以123lim()6x x x x -→∞++=32e -;7分2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx; 解；11[cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x=++-+4分=()2cos ln x 7分3．设函数2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,求dy dx ; 解：2222cos 2sin cos t t dxe t e t tdt =-2分 2222sin 2sin cos t t dye t e t tdt=+4分 2222222(cos sin cos )(cos sin cos )2(sin sin cos )(sin sin cos )t t dydy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt++===--7分4．计算不定积分221sin cos dx x x⎰. 解：2222221sin cos sin cos sin cos x xdx dx x x x x+=⎰⎰3分 =2211[]cot tan sin cos dx x x C x x+=-++⎰7分5．计算定积分 1 0x x dxe e-+⎰;解： 112 001x x x x dx e dx e e e-=++⎰⎰3分= 12 0()1()x x d e dx e +⎰5分= 1 0arctan arctan 4xe e π=-;7分6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dyy dx ====的特解;解：微分方程22322x d y dyy e dx dx-+=对应的特征方程为特征根为121,2r r ==1分而1λ=,所以11r λ==为单根,2分对应的齐次方程的通解为212x xY C e C e =+3分非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =-4分有通解2122x x x y C e C e xe =+-5分有000,1x x dyy dx ====12121210,1220C C C C C C +=⎧⇒⇒==⎨+-=⎩ 有解22x xy e xe =-7分7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程;解：通过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的平面束方程为321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+=3分要求与平面2350x y z ++-=垂直,则必须4202λλ+=⇒=-6分所求平面方程为8550x y z -++=7分8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径; 解：()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++2分=ln 2ln(1)ln(1)2xx ++++3分=110011ln 2(1)()(1)121n nn n n n x xn n +∞∞+==+-+-++∑∑=1110112ln 2(1)()12n nn n n x n +∞++=++-+∑6分收敛半径1R =7分10．当a 为何值时,抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积; 解：设所围面积为()S a3312(1)()3a aa a S a x dx ++-==⎰2分令'1()02S a a =⇒=-3分''()20S a =>,所以11()212S -=为最小的面积4分 11122212 2450 - 022580x V y dx x dx x ππππ====⎰⎰7分四；综合题1·设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程x02()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根;证明：令 0()2()1xF x x f t dt =--⎰,则在[0,1]上()F x 连续,2分 1 1(0)10,(1)2()11()0F F f t dt f t dt =-<=--=->⎰⎰,4分由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ,使得()0F C =5分又因为'()2()10F x f x =->>,所以()F x 单调上升,()0F x =在[]0,1内最多有一个根,所以 x02()1x f t dt -=⎰在()0,1内有且仅有一个实根;7分2．证明：若0,0,0m n a >>>,则()()m nmnm n m nm n x a x a m n ++-≤+; 证明：令()()m nF x x a x =-2分'111111()()()()[()]()[()]m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令'()0maF x x m n=⇒=+,当,1m n ≠时,0,x x a ==,此时(0)()0)F F a == +11223(1)()()0()n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++5分所以()ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值,有唯一性定理知：()maF m n+是最大值,故()()()m n m nm nma m n F x F am n m n ++≤=++7分3．设()f x 是连续函数,求积分2(sin )(sin )(cos )f x I dx f x f x π=+⎰的值;解：令,2x t dx dt π=-=-2(sin )(cos )2(sin )(cos )24f x f x I dx I f x f x πππ+==⇒=+⎰.2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题 1．函数()2lg 1-=x y 的定义域是;2．设x y 3sin 5=,则=dxdy ; 3．极限=+⎰∞→dx x x n n 121lim ;4．积分⎰=+dx x xsin 1cot ;5．设,1111xxy -++=则()=5y ;6．积分=-⎰π97sin sin dx x x ;8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解; 二．选择题1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 13211≥<x x ,则1=x 是()x f 的; A 连续点B 跳跃间断点C 无穷间断点D 振荡间断点 2.下列结论中正确的是; A 若1lim1=+∞→nn n a a ,则n n a ∞→lim 存在,B 若A a n n =∞→lim ,则1lim lim lim 11==∞→+∞→+∞→nn n n n n n a a a a ,C 若A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim ,则B b n n A a n =∞→)(lim ,D 若数列{}n a 2收敛,且0122→--n n a a ()∞→n ,则数列{}n a 收敛;3．设()⎰=xdt t tx 0sin α,()()⎰+=x t dt t x sin 011β,则当0→x 时,()x α是()x β的;A 高阶无穷小B 等价无穷小C 同阶但非等价无穷小D 低阶无穷小4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧==t ty t t x ln ln ,则=→dx dy e x lim ; A 2e B 21e C 2e -D 21e -三．计算题1．设xx y 42ln 1cos ln+=,求dxdy ; 2．由方程22ln arctan y x xy+=所确定的y 是x 的函数,求dx dy ;3．计算极限xxx cos 1lim 0-+→; 4．计算积分xdx e x cos 2sin 3⎰+; 5．计算积分()⎰+dx e xe x x21;6．计算积分()⎰+40221tan πdx x e x ;7．求经过点()1,1,1且平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线方程;9．任给有理数a ,函数()x f 满足()()10+-=⎰xdt t a f x f ,求()x f10．将函数()xx x f --=31在点10=x 处展开成幂级数,并指出收敛区间端点不考虑; 四．综合题1．设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形的面积为1S ,直线1,==x ax y 与抛物线2x y =所围成的面积为2S ,当1<a 时,,试确定a 的值,使得21S S S +=最小; 3．当π<<x 0时,求证πx x >2sin ; 高等数学一答案一．填空题： 1．()()∞+⋃.33,22．5ln 5cos sin 33sin 2'xx x y =3．0 4．C xx++sin 1sin ln5．()()651!52x y -⨯=6．94 8．()C y y x =++222ln二．选择题：1、A2、D3、C4、D 三．计算题：1．解;()x x y 4ln 1ln 21cos ln 2+-=2;解：方程两边对x 求导数,得()yx yx y y x y y x 2222''-+=⇒+=-⇒; 3．解:令x t =,212sin lim cos 1lim cos 1lim 20==-=-+++→→→t t tt x x o t o t x 4．解：原式＝()⎰+=+++C e x d e x x 2sin 32sin 3312sin 331 5．解：()⎰+dx e xe x x21＝()⎰⎰⎰+++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x xx x x 111111)1(2＝()()()C e x e xC e e x e e d e x x x x x x x x+++-+-=++-+-=++-+----⎰1ln 11ln 1111 6．解：()⎰+4221tan πdx x e x ＝()=+=+⎰⎰⎰42442222tan 2sec tan 2secπππxdx e xdx e dx x x ex xx＝＝24024242402tan tan 2tan 2tan πππππe x e xdx e xdx e x e xxxx==+-⎰⎰7．解：平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线的方向向量应是所求直线方程为317111--=-=--z y x ; 9．解：原方程两边对x 求导数,得()()'=-f x f a x (1)()()()()'''=--=---=-⎡⎤⎣⎦f x f a x f a a x f x , 所以()f x 满足()()0''+=f x f x (2)由原方程令0=x ,得()01=f ,由方程1得()()0'=f f a ; 方程2对应的特征方程为210+=λ,即=±i λ, 所以2有通解()12cos sin =+f x C x C x ;()01=f ,得11=C ,即()2cos sin =+f x x C x ;()2sin cos '=-+f x x C x ,()()220cos sin '===+f C f a a C a , 所以2cos 1sin =-a C a ,则()cos cos sin 1sin =+-af x x x a;10．解：()()()()11111121212=-⋅=-⋅---⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x x x x100111222+∞∞==---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑n n n n x x x ;收敛区间为112-<x ,即13-<<x ; 四、综合题：1．解：当01<<a 时,=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ,则33333112332323--=-+-=-+a a a a a a a ; ()212'=-S a a ,令()0'=S a ,得=a ; ()20''=>S a a ,所以在01<<a 时,min 26==S S ;当0≤a 时,=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ,则333112332623=-++-=--+a a a a a ;()21022'=--<a S a ,则()S a 在0≤a 时单调减少;故在0≤a 时,()0S 为()S a 的最小值,即()min 103==S S ; 又因为2163-<,所以在1<a 时,S的最小值在=a ,即min 26==S S ; 3、证明：令()sin 12=-x f x x π,则()2cos tan 222⎛⎫- ⎪⎝⎭'=x x x f x x ; 当0<<x π时,cos02>x,tan 22>x x ,()0'<f x ,从而()f x 在()0,π内单调减少,所以()()0>=f x f π,0<<x π即sin12sin 2>⇒>xx x x ππ; 2008年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一.选择题 1.函数()()x x x f cos 12+=是;A 奇函数B 偶函数C 有界函数D 周期函数 2.设函数()x x f =,则函数在0=x 处是;A 可导但不连续B 不连续且不可导C 连续且可导D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ,则成立;4.方程22y x z +=表示的二次曲面是; A 椭球面B 柱面C 圆锥面D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =,则在()b a ,内,曲线()x f y =上平行于x 轴的切线;A 至少有一条B 仅有一条C 不一定存在D 不存在二.填空题1.计算=→2sin 1lim 0xx x ;2.设函数()x f 在1=x 可导,且()10==x dx x df ,则()()=-+→x f x f x 121lim0;. 3.设函数(),ln 2x x f =则()=dxx df ;4.曲线x x x y --=233的拐点坐标;5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ;6.()=⎰2x dt t f dxd ; 7.定积分()=+⎰-ππdx x x2;10.设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行,则平面∏的方程为; 三.计算题:每小题6分,共60分1.计算xe x x 1lim 0-→;2.设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy ;3.计算不定积分()⎰+x x dx1;4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x ;5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f ;6.设()x f 在[]1,0上连续,且满足()()⎰+=12dt t f e x f x ,求()x f ;7.求微分方程x e dx dydxy d =+22的通解; 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数;四.综合题1.设平面图形由曲线x e y =及直线0,==x e y 所围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积; 2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.--------------------------密封线高等数学一答案1.21;;3.x 1;4.)3,1(-;5.211x +; 6.()x f -;7.332π;10.224=+-z y x .三．计算题每小题6分,共60分1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim 00xx x x e x e →→=-…………..4分1=.…………6分解法二.令t e x =-1,则()t x +=1ln ………..2分于是,()11ln lim 1lim00=+=-→→t tx e t x x .…………6分 2.解.x dx dg sin -=,()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛=…………3分故x e dxdyx cos sin --=.………..6分 3.解法一.令t x =,,则2t x =,………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdtt t tdt x x dx ……….5分 C x +=arctan 2.……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2.……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx e xedx xe x x x……….3分10=-=+∞-xe .………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---12410212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f ……….3分1sin 532sin 5110025+=+=-x x .……….6分 6.解.设()A dx x f =⎰1,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=110110102122dx x f e A eAdx dx e dx x f x x……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11..………..5分代入原式得()()e e x f x -+=12.……….6分7.解.特征方程为02=+k k ,得到特征根1,021-==k k ,………..1分故对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21,………..3分由观察法,可知非齐次方程的特解是xe y 21=*,………..5分因而,所求方程的通解为x x e e c c y 2121++=-,其中21,c c 是任意常数.……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ,….3分所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n .……..6分四.综合题:每小题10分,共30分1.解法一1.()⎰-=1dx e e S x ……….4分()111=+-=-=e e eex x .………..6分2.()⎰-=122dx e e V x π………..9分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ………..12分解法二.1⎰-=1dx e e S x ……….3分110=-=x ee .………..6分2.⎰-=122dx e e V x ππ……….9分()12221022+=-=e e e xπππ.…………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dxdy,令0=dx dy ,得到2,021==x x 驻点,…….2分 (),1622-=x dx y d 由022=dxyd ,得到13=x ,…….3分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间,0,2为单调减少区间;……….10分极大值为－1,极小值为－5,……..11分)1,(-∞为凸区间,),1(+∞为凹区间………12分 3.证明.令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ,其中1+<<x x ξ,…….4分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时,()x F 是单调增加的,………5分而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim ,所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.………..6分2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题 3．写出函数的水平渐近线和垂直渐近线; 二．选择题 4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的;充分条件,必要条件, 充分必要条件,既非充分又非必要条件; 三．计算题4．计算极限)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x .7．函数方程,其中变量是变量的函数,求和9．求微分方程x y x dx dyxsin )(sin cos =+的通解. 10．直线1=x 把圆422=+y x 分成左,右两部分,求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.四．综合题：本题共2个小题,每小题10分,共20分1．设m n ,是整数,计算积分⎰πcos cos mxdx nx .2005年高数二答案A 卷一．填空题3．10y =,22x = 二．选择题 4、D三．计算题4．解：)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e7．解：---------------------------------------------------------------------------------------------------2222222233422202(2)2()021()()(1)()()()220()()dy dy x y xy dx dxdyx y x y dxdy x y x dx x y x y x dy x y x x x x y x d y x y dx dxx y x y x y x x xy y x y x y ∴+++=⇒+++=+⇒=-=--+++-+++-++=-=-++++++=-=-=++3分7分9．解：xx x y 2cos sin )'cos (=5分 1cos +=x C y 其中C 为任意常数7分10．解：直线1=x 与圆422=+y x 的交点是)3,1(),3,1(21-P P ,2分右面部分绕y 轴旋转一周的所得几何体的体积.⎰---=332]1)4[(dy y V π5分＝ππ34)33(233=-yy 7分四．综合题：1．解：⎰π0cos cos mxdx nx ＝⎰-++π])cos()[cos(21dx x m n x m n 3分＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==≠=mn m n m n ,00 ,0 ,2ππ10分2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题1.若3sin 41,0()0ax x e x f x xa x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续,则a =; 2.曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为;3.设函数sin (21)x y x =+,则其导数为;4.22(1cos )x x dx -+⎰＝;5.设cos(sin )y x =,则dy =dx ;6.曲线y =1x =,3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周, 所得旋转体体积为;7.微分方程450y y y '''-+=的通解为;8.若级数3111n n α∞-=∑收敛,则α的取值范围是;二．选择题1．lim arctan 1x x x x →-∞=+; A 2πB 2π-C 1D 不存在 2.当0x →时,()sin f x x x =-是比2x 的.A 高阶无穷小B 等价无穷小C 同阶无穷小D 低阶无穷小3.级数n ∞=. ()A 绝对收敛()B 条件收敛()C 发散()D 无法判断4.曲线2y x =与直线1y =所围成的图形的面积为.5.广义积分30(1)x dx x +∞+⎰为. ()A 1-()B 01()2C -1()2D 三．计算题1. 计算极限020tan lim x x tdt x →⎰;2．计算函数y x =y '; 3计算由隐函数ln y e x y =确定的函数()y f x =的微分dy ;4.判别正项级数211)n n ∞=+的敛散性; 5.计算不定积分⎰6. 求幂级数203n n n x ∞=∑的收敛半径与收敛区间;7. 计算定积分20sin x xdx π⎰; 8. 计算微分方程22(1)(1)dy x y dx y x +=+满足初始条件(0)1y =的特解; 9. 计算函数sin(ln )y x =的二阶导数y '';10.将函数ln y x =展成(1)x -的幂级数并指出收敛区间.四．综合题1.设0a b <<,证明不等式11(2,3,)()n n n n b a ab n n b a ---<<=-; 2．设函数220()()f x x f x dx =-⎰,求()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值; 3.设1sin ,0()0,0x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,α为实数试问α在什么范围时,1()f x 在点0x =连续；2()f x 在点0x =可导;4．若函数0()()()xx f x x t f t dt e =-+⎰,求()f x ; 2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷A 参考答案及评分标准一、填空题1.若3sin 41,0()0ax x e x f x x a x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续,则 a =1.2.曲线231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为37y x =-. 3.设函数sin (21)x y x =+,则其导数为sin 2sin (21)[cos ln(21)]21x x y x x x x '=++++. 4.22(1cos )x x dx -+⎰＝4.5.设cos(sin )y x =,则dy =cos sin(sin )x x -dx .6.曲线y =1x =,3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周,所得旋转体体积为(3ln32)π-.7.微分方程450y y y '''-+=的通解为212(cos sin )x y e C x C x =+.8.若级数3111n n α∞-=∑收敛,则α的取值范围是23α> 二、选择题1、B2、A3、B4、C5、D三、计算题2. 计算极限020tan lim xx tdt x →⎰. 解：020tan lim x x tdt x →⎰＝0tan lim 2x x x→5分＝126分 2．计算函数y x =y '. 解1：两边取对数,得11ln 2ln ln(1)ln(1)22=++--y x x x 1分两边求导数2112(1)2(1)y y x x x '=+++-4分＝2211x x x ⎫+⎪-⎭6分解2：由于1ln 2ln [ln(1)ln(1)]2x x x x y e e ++--==,所以12ln [ln(1)ln(1)]22111211x x x y e x x x ++--⎡⎤⎛⎫'=++ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎣⎦4分＝2211x x x ⎫+⎪-⎭6分 3计算由隐函数ln y e x y =确定的函数()y f x =的微分dy .解：方程两边关于x 求导数,把y 看成x 的函数.ln y xy y e y y''=+3分解得ln y y y y ye x'=-4分所以函数()y f x =的微分ln y y y dy dx ye x =-6分 5.判别正项级数211)n n ∞=+的敛散性. 解1：由于2211ln(1)n n +<,所以32211)n a n n =+<=3分已知级数31213(1)2n p n ∞==>∑收敛5分由比较判别法知级数211)n n∞=+收敛.6分解2：取321n b n =,2232211)ln(1)lim lim lim 11n n n n n a n n b n n→∞→∞→∞++==＝14分因为级数3121n n∞=∑收敛5分所以原级数211)n n ∞=+收敛;6分 5.计算不定积分⎰解1：＝2分＝C +6分解2：设t =则2x t =,2dx tdt =,于是⎰22(1)tdt t t +⎰4分 =221dt t +⎰=2arctan t C +5分=C +6分6.求幂级数203n n n x ∞=∑的收敛半径与收敛区间.解：当0x ≠时,12(1)2123lim lim 33n n n n n n n nu x x u x +++→∞→∞==2分所以当231x <,即||x <时,幂级数203n n n x ∞=∑收敛；当231x >,即||x >时,幂级数203n nn x ∞=∑发散,所以幂级数的收敛半径R =3分由于x =±,级数203n n n x ∞=∑成为01n ∞=∑发散;5分因此幂级数收敛区间为(6分 11.计算定积分20sin x xdx π⎰ 解：由于公式21sin (1cos2)2x x =-,所以 20sin x xdx π⎰＝01(1cos2)2x x dx π-⎰2分＝000111(cos2)cos2222x x x dx xdx x xdx πππ-=-⎰⎰⎰ ＝201sin 2044x xd x ππ-⎰3分＝20sin 21sin 20444x x xdx πππ-+⎰5分＝21cos2048x ππ- ＝24π6分12.计算微分方程22(1)(1)dy x y dx y x +=+满足初始条件(0)1y =的特解. 解：分离变量得2211ydy xdx y x=++2分两边积分2211ydy xdx y x =++⎰⎰ 于是有22221(1)1(1)2121d y d x y x ++=++⎰⎰ 即22111ln(1)ln(1)222y x C +=++4分或22ln(1)ln(1)y x C +=++将初始条件(0)1y =代入得ln2C =5分所求特解是2221y x =+6分13.计算函数sin(ln )y x =的二阶导数y ''. 解：cos(ln )x y x'=3分 22sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )x x x x y x x--+''==-6分 14.将函数ln y x =展成(1)x -的幂级数并指出收敛区间.解：因为ln ln[1(1)]y x x ==+-1分根据幂级数展开式231ln(1)(1)23nn x x x x x n -+=-+++-+,11x -<≤2分于是231(1)(1)(1)ln (1)(1)23nn x x x x x n ----=--+++-+5分收敛区间是(0,2]x ∈6分四、综合题1.设0a b <<,证明不等式11(2,3,)()n nn n b a a b n n b a ---<<=-证明：设(),2n f x x n =≥,2分则()f x 在闭区间[,]a b 上满足Lagrange 定理条件,于是存在一点(,)a b ξ∈,使()()()f b f a f b aξ-'=-3分即1n nn b a n b a ξ--=-4分因为2n ≥且a b ξ<<,所以111n n n a b ξ---<<,5分因此11n n n n b a na nb b a ---<<-,从而11()n n n n b a a b n b a ---<<-.7分 2．设函数220()()f x x f x dx =-⎰,求()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值.解：由于定积分20()f x dx ⎰是一确定的实数,设20()f x dx k =⎰1分对()f x 的等式两边积分有于是208()23k f x dx k ==-⎰2分由上式解得89k = 28()9f x x =-3分令()20f x x '==得驻点0x =4分当(0,2)x ∈时,恒有()0f x '>,表明()f x 在区间(0,2)内严格增加,5分所以8(0)9f =-是函数()f x 在[0,2]的最小值6分 28(2)9f =是函数()f x 在[0,2]的最大值.7分． 3.设1sin ,0()0,0x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,α为实数试问α在什么范围时 1()f x 在点0x =连续；2()f x 在点0x =可导.解：1当0α>时,x α是0x →时的无穷小量,而1sin x是有界变量,2分所以当0α>时,001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f xα→→===3分即当0α>时,()f x 在点0x =连续;4分2当1α>时,由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量,得 001sin ()(0)(0)lim lim x x x f x f x f x x α→→-'==6分＝101lim sin 0x x x α-→=7分所以当1α>时,()f x 在点0x =可导.8分 4．若函数0()()()x x f x x t f t dt e =-+⎰,求()f x . 解：00()()()x x x f x x f t dt tf t dt e =-+⎰⎰ 上式两边关于x 求导数 0()()()()x x f x f t dt xf x xf x e '=+-+⎰,0()()x x f x f t dt e '=+⎰1分 ()()x f x f x e ''=+2分记()y f x =,则上式是二阶常系数非齐次微分方程,即x y y e ''-=I 0y y ''-=的通解是*12x x y C e C e -=+,12,C C 为任意常数;3分由于1λ=是0y y ''-=的特征方程210r -=的单根,所以设x y axe =是方程I 的一个特解,于是有x x y ae axe '=+与2x x y ae axe ''=+ 将它们代入方程I 得12a =4分于是方程I 的通解为1212x x x y C e C e xe -=++,II 这里12,C C 为任意常数. 从已知条件可求得,(0)1f =,(0)1f '=并代入方程II5分得1212(0)11(0)12f C C f C C =+=⎧⎪⎨'=-+=⎪⎩ 解得1231,44C C ==7分所求函数311()442x x x f x e e xe -=++8分 2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题 1. 设)1ln(1-+=x y ,其反函数为; 封线--------2. 设23ln 2+-=x x x y ,函数y 的可去间断点为; 3. 设x e x x y =)(,则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为;4. 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件为;5. 确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为；斜渐近线为; 6. 广义积分21ln e dx x x+∞=⎰; 7. 对于x xe x y x y x y x sin )(2)(2)(=+'+'',其特解可以假设为;二、选择题1.曲线13-=x y 的拐点为A )1,0(-B (1,0)C )2,1(--D 无拐点2.当0x →时,2(1cos )x -是2sin x 的.()A 同阶但不是等价无穷小()B 等价无穷小()C 高阶无穷小()D 低阶无穷小3.若2)1(='f ,则0(1)(1)lim sin x f x f x→+-= A 2B 2-C 1D 0 4.对于幂级数∑∞=-11)1(n p n n ,下列说法中正确的为 A 当1<p 时,发散B 当1<p 时,条件收敛C 当1>p 时,条件收敛D 当1>p 时,绝对收敛5.若x x y sin =,x y sin =分别为非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的解,则x x y sin )1(+=为下列方程中的解：A 0=+'+''qy y p yB )(2x f qy y p y =+'+''C )(x f qy y p y =+'+''D )(x xf qy y p y =+'+''三、计算题1. 求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程;2. 12+=x e y x,求)(x y '; 3. 求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解;4. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定,求微分dy ; 5. 求极限)cot 11(lim 20x x xx -→; 6. 确定级数∑∞=13!sin n n n n 的收敛性; 7.计算定积分20x ⎰. 8. 确定幂级数∑∞=-111n n n x na 收敛半径及收敛域,其中a 为正常数; 9. 求⎰++-dx x x x x )1(322; 10.求解微分方程x e x y y sin cos -=+'. 四、综合题 1. 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数. 2.计算21n n →∞++++ 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x x x x x f x ϕ,其中)(x ϕ具有二阶导数,且1)0(=ϕ,0)0(='ϕ,1)0(=''ϕ, (1)确定a 的值,使)(x f 在0=x 处连续； (2)求)(x f '; 4．设)(x f 在),1[+∞具有连续导数,且满足方程⎰=+-x dt t f t x f x 1221)()1()(,求)(x f ; 2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷A 参考答案及评分标准一、填空题：只需在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有8个空格,每一空格5分,共40分 8. 设)1ln(1-+=x y ,其反函数为11+=-x e y . ----------------------------------------------------------------------------9. 设23ln 2+-=x x xy ,函数y 的可去间断点为1=x . 10.设x e x x y =)(,则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为)1(412e +π. 11.级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件为lim 0n n u →∞=.12.确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为1=x ,斜渐近线为1+=x y .13.广义积分21ln edx x x+∞=⎰1. 14.对于x xe x y x y x y x sin )(2)(2)(=+'+'',其特解可以假设为]sin )(cos )[(*x D Cx x B Ax e y x +++=.二、选择题1、A2、C3、A4、D5、B 三、计算题11.求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程. 解：x x xe e x y 22)(+=',1分2)0(='y 1分切线方程：12+=x y 2分法线方程：121+-=x y 2分12.12+=x e y x,求)(x y '. 解：)1ln(2121ln 2+-=x x y 3分 )121(12122+-+='x xx e y x 3分 13.求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解. 解：1052=+'+''y y y特征方程为0522=++r r ,解为i r 21±-=2分通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-2分 2设特解为x Ae y =*,代入求得41=A 1分故原方程通解为x x e x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=-1分14.设函数()y y x =由方程2022=-⎰-yt dt e xy 确定,求微分dy .解：2220y y xyy y e -''+-=4分dx xyey dy y 222-=-2分15.求极限)cot 11(lim 20x x x x -→. 解：)cot 11(lim 20x x x x -→xx x x x x sin cos sin lim 20-=→2分 30cos sin lim xx x x x -=→2分 313sin lim 20==→x x x x 2分 16.确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.解：!!sin 33n n n n n ≤,1分由比值判别法判断,级数∑∞=13!n n n 收敛3分由比较判别法判断原级数绝对收敛2分 17.计算定积分20x ⎰.解：设t x sin 2=,2cos dx tdt =1分2sin 2222204sin 2cos x tx t tdt π==⋅⎰⎰1分2204sin 2tdt π=⎰2分202(1cos4)t dt ππ=-=⎰2分18.确定幂级数111n nn x na∞-=∑收敛半径及收敛域,其中a 为正常数.。

浙江专升本数学历年真题

浙江专升本数学历年真题一、选择题1. 下列哪个集合是有限集？A. 正整数集B. 实数集C. 自然数集D. 有理数集答案: C2. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12，下列哪个点是 f(x) = 0 的解？A. (1, 1)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (4, 4)答案: B3. 下列哪个不等式的解集表示函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 的值域？A. x ≤ 2B. x ≥ 2C. x > 2D. x < 2答案: B4. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A ∩ B。

A. {3, 4, 5}B. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C. {3, 4, 5, 6, 7}D. {1, 2}答案: A二、解答题1. 解方程组：2x + y = 5x - y = 1解答:将第二个方程两边同时加上 y：2x + y = 5x - y + y = 1 + y化简得到：2x + y = 5x = 1 + y将第二个方程的结果代入第一个方程：2(1 + y) + y = 5化简得到：2 + 2y + y = 53y + 2 = 53y = 3y = 1将 y 的值代入第一个方程得到：2x + 1 = 52x = 4x = 2所以方程组的解为 x = 2，y = 1。

2. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求函数的最大值。

解答:首先求出函数的导数：f’(x) = 2x - 3令导数等于 0，求得驻点：2x - 3 = 0x = 3/2将驻点代入函数得到最大值：f(3/2) = (3/2)^2 - 3(3/2) + 2化简得到：f(3/2) = 9/4 - 9/2 + 2f(3/2) = 1/4所以函数 f(x) 的最大值为 1/4。

3. 计算集合S = {1, 2, 3, …, 99, 100} 中所有奇数的和。

2022-2023学年浙江省宁波市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年浙江省宁波市成考专升本数学(理)自考真题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.设直线的参数方程为，则此直线在y轴上的截距是( )A.5B.-5C.5/2D.-5/22.3. 直线Z过定点(1，3)，且与两坐标轴正向所围成的三角形面积等于6，则2的方程是（）(n)3x-Y=0A.3x+y=6B.x+3y=10C.y=3—3x4.4个人排成一行，其中甲、乙二人总排在一起，则不同的排法共有（）A.A.3种B.6种C.12种D.24种5.6.7.函数y=x2-4x-5的图像与x轴交于A，B两点，则|AB|=（）A.3B.4C.6D.58.（）A.A.1B.－1C.iD.－i9.函数y＝log5(x＞0)的反函数是（）A.A.y＝x5(x∈R)B.y＝x(x∈R)C.y＝5x(x∈R)D.10.集合{0，1，2，3，4，5}不含元素1、4的所有子集的个数是（）A.A.13B.14C.15D.1611.设0＜a＜b,则（）A.1/a＜1/bB.a3＞b3C.log2a＞log2bD.3a＜3b12.设P={x|x2—4x+3<0}，Q={x|x(x-1)>2}，则P∩Q等于（）A.A.{x|x>3}B.{x|-1<x<2}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<2}13.下列各选项中，正确的是（）A.y=x+sinx是偶函数B.y=x+sinx是奇函数C.Y=D.xE.+sinx是偶函数F.y=G.xH.+sinx是奇函数14. A.5 B.2 C.3 D.415.（）。

A.8B.14C.12D.1016.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x)=4x+1，则f(1)=（）A.9B.5C.7D.317.已知，且x为第一象限角，则sin2x=（）A.B.C.D.18.若函数y=f(x)的定义域为[-1,1],那么f(2x-1)的定义域是A.[0,1]B.[-3,1]C.[-1,1]D.[-1,0]19.已知，则=（）A.-3B.C.3D.20.函数f(x)=|1-x|-|x-3|(x∈R)的值域是（）A.[-2,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0.4]21.22.（）A.A.B.C.8D.－823.24.下列函数中，不是周期函数A.y=sin(x+π)B.y=sin1/xC.y=1+cosxD.y=sin2πx25.不等式|2x-3|≤1的解集为（）。

浙江数学专升本试题及答案

浙江数学专升本试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 + 4x + 3 = 0的解？A. x = -1B. x = -3C. x = 1D. x = 32. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1在x=2处的导数值是：A. 2B. 5C. 8D. 103. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = an + n，求a5的值是：A. 10B. 15C. 20D. 254. 一个圆的半径为5，其面积为：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B的结果是：A. {1}B. {2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3}6. 根据题目所给的几何图形，求其体积的计算公式是：A. V = πr^3B. V = 1/3πr^2hC. V = πr^2hD. V = 4/3πr^37. 已知向量a=(2, 3)，b=(-1, 2)，求向量a与b的点积是：A. -1B. 1C. 3D. 58. 一个函数f(x)在区间(a, b)内连续，且f(a) = f(b) = 0，根据罗尔定理，至少存在一点c∈(a, b)使得：A. f'(c) = 0B. f(c) = 0C. f'(c) = 1D. f(c) = 19. 根据题目所给的统计数据，求样本均值的公式是：A. μ = Σxi / nB. μ = Σxi / (n-1)C. σ = Σ(xi - μ)^2 / nD. σ = Σ(xi - μ)^2 / (n-1)10. 一个随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望E(X)等于：A. npB. nC. pD. 2np答案：1. B2. D3. B4. B5. B6. B7. D8. A9. A10. A二、填空题（每题2分，共20分）11. 将分数1/3转换为小数是________。

浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分） 1．函数()2lg 1-=x y 的定义域是______________________。

2．设xy 3sin 5=，则_________________________________=dx dy。

3．极限_________________________1lim102=+⎰∞→dx x x n n 。

4．积分⎰=+_______________________________sin 1cot dx x x。

5．设,1111xxy -++=则()_______________________5=y 。

6．积分________________________________sin sin 097=-⎰πdx x x 。

7．设()yx ey x u 32sin ++-=，则________________________=du 。

8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解________________________。

二．选择题：（本题共有4个小题，每一个小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 132 11≥<x x ，则1=x 是()x f 的【】。

().A 连续点， ().B 跳跃间断点， ().C 无穷间断点， ().D 振荡间断点。

2. 下列结论中正确的是【】。

().A 若1lim 1=+∞→nn n a a ，则n n a ∞→lim 存在，().B 若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 11==∞→+∞→+∞→n n n n nn n a a a a ，().C 若A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，则B b n n A a n =∞→)(lim ，().D 若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。

2022-2023学年浙江省宁波市成考专升本数学(理)自考测试卷(含答案)

2022-2023学年浙江省宁波市成考专升本数学(理)自考测试卷(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个，则这3个球中有黑球的不同取法共有（）A.3种B.4种C.2种D.6种2.若α＝2009°，则下列命题正确的是（）A.A.cosα＞0，tanα＞0B.cosα＞0，tanα＜0C.cosα＜0，tanα＞0D.cosα＜0，tanα＜03.4.第12题以方程x2-3x-3=0的两实根的倒数为根的一个一元二次方程为（）A.3x2+3x+1=0B.3x2+3x-l=OC.3x2-3x-1=0D.3x2-3x+l=O5.6.下列四个命题中正确的是（）①已知a，6，c三条直线，其中a，b异面，a//c，则b，c异面．②若a与b异面，b与C异面，则a与c异面．③过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．④不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线．A.A.③④B.②③④C.①②③④D.①②7.圆的圆心在（)点上.A.(1，-2)B.(0,5)C.(5,5)D.(0,0)8.9.已知复数z1=2+i，z2=l-3i，则3z1-z2＝（）A.A.5+6iB.5-5iC.5D.710.盒中有3个红球和4个白球，从中随机抽取3球，其中最多有一个白球的概率是（）A.A.B.C.D.11.A.A.α≤-4B.α≥-4C.α≥8D.n≤812.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏的概率为A.0.008B.0.104C.0.096D.113.A.2B.2C.3D.414.（）A.A.B.C.D.15.函数y=x2+x+4在点（-1,4）处的切线的斜率为（）A.-1B.-2C.4D.916.过点P(2-3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是A.x+y+1=0或3x+2y=0B.x-y-1或3x+2y=0C.x+y-1或3x+2y=0D.x-y+1或3x+2y=017.由平面直角坐标系中Y轴上所有点所组成的集合是（）A.A.{(x，y))B.((x，0))C.((0，y))D.{(x，y)|xy＝0)18.sin15°cos150=（）A.14B.C.D.19.（）A.A.为奇函数且在(－∞，0)上是减函数B.为奇函数且在(－∞，0)上是增函数C.为偶函数且在(0，＋∞)上是减函数D.为偶函数且在(0，＋∞)上是增函数20.设函数的图像经过点（2,-2)，则是k=（）。

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浙江省 2013 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或
钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试
题卷上。

一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。

在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设f(x)=sin(cos2x )，-∞<x<∞，则此函数是
A.有界函数
B.奇函数
C.偶函数
D.周期函数
2.若函数y=f(x)是区间[1,5]上的连续函数，则该函数一定
A.在区间[1,5]上可积 B 在区间（1,5）上有最小值
C.在区间（1,5）上可导
D.在区间（1,5）上有最大值
3.dx x x π0cos =
A.0
B.1
C.-1
D.-2
4.由曲线x y =，y=x 所围成的平面图形的面积是
A.3/2
B.1/2
C.1/3
D.1/6
5.二阶微分方程x x e y y y x cos sin 36```2=-+，则其特解的形式为
A.)sin cos (2x b x a e x +
B.)2sin 2cos (2x b x a e x +
C.)sin cos (2x b x a xe x +
D.
)2sin 2cos (2x b x a xe x + 非选择题部分
注意事项:
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷
上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的
签字笔或钢笔描黑。

二、填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。

1.极限=→)sin(lim 20
x xIn x 2.函数x y sin =的定义域是
3.已知1)1(’=f ，=∆∆+-∆-→∆x x f x f x )1()1(lim 0
4.若函数 )(x y y =由方程y xe y sin 1+=确定，则y`=
5.⎰=x x dx ln
6.极限)1sin ...2sin 21(sin 1lim 2n n n n n ++∞
→用定积分表示 7.∑∞=+-1
1
2)1(n n n n x 的收敛区间是
8.求常微分方程 2)()(`y x Q y x p y =+的通解
9.求法向量是a=(1，-3,2)且过点（1，0，1）的平面方程
10.球面x 2+y 2+(z-2)2=4与平面2x+y-z+26=0之间的距离是
三、计算题：本题共有8小题，其中16-19 小题每小题7分，20-23
小题每小题8分，共 60分。

计算题必须写出必要的计算过程，
只
写答案的不给分。

2.)`(求0,00,)(21
x f x x e x f x ⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=-
3.求x e y x
2=的单调区间和凹凸区间
4.讨论方程3x^2-1=c o s x 有几个根
5.求⎰
xdx x 2sin
6.求⎰++1
01)1ln(2dx x x
7.计算瑕积分
⎰+10)1(x x dx
8.把函数61)(2-+=x x x f 展开成x 的幂级数，并求收敛域
四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。

9.证明：若f(x)是[-a, a]上的连续函数，
则
⎰⎰-⎪⎩⎪⎨⎧=a a
a x f x f dt t f dx x f 为奇函数，若是偶函数若)(0)(,)(2)(0
10.设f(t)是实的非负可积函数，若可积函数x （t ）满足⎰≤t
ds s x s f t x 0)()()(，则x(t)≤0.
11.若f(x)在x=0的某个邻域中有连续的一阶导数f ’(0)=0,f ”(0)存在，证明：
).0``(61)(sin )(lim 40f x x f x f x =-+→。